量纲分析与无量纲化(量纲原理)
建模 第九章量纲分析
五、大作业(以队为单位完成)
题目:每个队从2005或2006年竞赛题中任选一个题目,采取三人合作方 式完成一篇论文.成员之间要有效的分工和合作,队长要发挥核心领导 和组织作用.论文上注明三个成员的姓名. 在9月8日前交到我的邮箱 这次作业的目的: 熟悉赛题 熟悉论文写作格式 培养团队协作精神 熟悉建模的每个环节(选题-查阅文献资料-分析题意-做出模型假设建立模型和求解模型-改进模型-评价模型-(应用模型)等. 培养攻关意识 提示：可以参考参考甚至 模仿已有的论文。
其中k是常数,下面列出变量和对应的量纲 变量 | F k v A ρ -------------------------------------------------量纲 | MLT -2 M0L0T0 LT-1 L2 M L-3
就量纲而言,由假设(2)得, MLT 2 =(M 0 L0T 0 )(LT 1 ) a (L2 ) b (ML3 ) c ,
THE END
变量 | v r g ρ μ ----------------------------------------------------2 -1 -3 -1 -2 量纲 | LT L LT M L ML T
.
(3)确定无量纲乘积,由Buckingham（布金汉） 定理,列出线性方程组
在变量中间找出所有的无量纲乘积,其形式 必为va r b g c d e (1) 故量纲为(LT 1 )a (L) b (LT 2 )c (ML3 ) d (ML1T 1 ) e , 因为(1)式是无量纲的, 所以, a+b+c-3d-e=0 -a-2c-e=0 d+e=0
T M 1L 1 2T 2 1
量纲分析法
又因为矩阵 0 2 2 0 1 2 1 0 的秩为3
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1
3个线性独立物理量：m,k,g
0 2 2 1 1 0 0
00 1
寻找剩余物理量对应的无量纲量 lnl x1 lnm x2 lnk x3 lng
这个现象的各个物理量及其关系式 f (q1, q2 ,..., qn ) 0
（2）确定基本变量：从n个物理量中选取m个基本物理量
q x1a1 x2a2 ...xmam lnq a1 lnx1 a2 lnx2 ...am lnxm
可以把它看成是m维空间的正交基矢，则 a1, a2,..., am 就是矢量
规律的影响；
(3)可进行超越函数运算：
由于有量纲量只能做简单的代数运算，做对数、指数、三
角函数等超越函数的运算是没有意义的。只有无量纲化才能
进行超越函数运算。如气体等温压缩计算式：W
p1V1
ln
V2 V1
量纲分析与无量纲化
研概究念方与法意义
量纲分析法
方法一：瑞利法（Rayleigh） ——量纲和谐原理的直接应用
例题一：
如图所示，质点做单摆运动，求摆动周期 t 的表达式
(1)找出同 t有关的物理量：m, l, g ，即 f t, m, l, g 0
(2)写出指数乘积关系式 t m1l2 g3
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(3)写出量纲式 [t] [m]1 [l]2 [g]3
q x1 j 1
q2 x2 j ... qm xmj ( j 1,2,...,n m)
qm j
《水力学》课件——第六章 量纲分析与相似理论
• 物理过程的有量纲表达形式为 f (x1, x2,", xn ) = 0 ，其中 m 个物
理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这m
个物理量组合成无量纲量 1, 2,", ， 定理的结论是：物理
过程的无量纲表达形式为 F(
1,
nm
2,", n m =
)0
例 初速为零的自由落体运动位移s
形）得到流动的相似准数：
斯特劳哈尔数
S UT
t
L
弗劳德数
Fr U gL
欧拉数
P
En
U2
雷诺数
Re UL
它们分别是时变惯性力、重力、压差力、粘性力相似的准数。
斯特劳哈尔数
UT St L
表征
位变惯性力 时变惯性力
雷诺数
R UL e
表征
位变惯性力
弗劳德数
Fr U gL
表征 位变惯性力
欧拉数
P
En
U2
粘性力 表征
• 应用 定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物
理量时，既不能遗漏，也不要多列。
ห้องสมุดไป่ตู้6—2 相似理论
一. 流动相似概念
• 本节在量纲分析基础上，讨论两个规模不同的不可压流体流
动的相似问题。这是进行有关流体力学模型试验时必须面对的 问题。
• 几何相似：流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角度
• 在两个相似
流动中，对应 的无量纲量是 相同的。
• 不可压流体的流动都受N-S方程的控制，那么
我们怎样来保证两个不同规模的流动是相似的 呢？两个相似的不可压流体流动的无量纲解应 是相等的，这意味着控制流动的无量纲方程和 无量纲边界条件和初始条件应是完全一样的。
量纲分析
v1最大
60º < θ < 75º
s1>> s2 备注
• 只讨论起航时的航向，是静态模型 只讨论起航时的航向， • 航行过程中终点 将不在正东方 航行过程中终点B将不在正东方
2.9量纲分析与无量纲化 量纲分析与无量纲化
量纲是物理学中的重要概念， 量纲是物理学中的重要概念，量纲分析是物理学中的 重要方法。物理量分为基本量 导出量, 基本量和 重要方法。物理量分为基本量和导出量, 基本量是通 过测量来定义的量; 过测量来定义的量; 导出量是通过基本概念或定律导 出的量。 不考虑数字因素时 出的量。在不考虑数字因素时, 表示一个量是由哪些 基本量导出的及如何导出的式子, 基本量导出的及如何导出的式子, 称为此量的量纲 或量纲式) (或量纲式)。把不存在任何联系的性质不同的量纲叫 做基本量纲; 做基本量纲; 把可以由基本量纲导出的量纲叫做导出 量纲。物理量Q 的量纲记为dimQ, 国际物理学界沿用 量纲。 的量纲记为dim 习惯记为[ 习惯记为[ Q ]
模型 建立
α
w1
• θ
船在正东方向速度分量v 船在正东方向速度分量 1=vcosθ
模型建立
v1=vcosθ = k1(f1-p1)cosθ f1=w1sinα=wsinα sin(θ-α) p1=pcosθ p2 p1 p v
模型求解
求θ,α ,使 v1最大 使
1) 当θ固定时求α使f1最大 f1=w[cos(θ-2α)-cosθ]/2
Pi定理 (Buckingham) 定理
设 f(q1, q2, …, qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律， 是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, … , Xn 是基本量 纲, n≤m, q1, q2, … , qm 的量纲可表为 ≤
量纲分析
第一节量纲分析方法1.1量纲当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。
概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。
它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。
在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J 速度v = ds/dt 量纲： = 加速度a = dv/dt 量纲： 力F = ma 量纲： 压强P = F/S 量纲：实际中，也有些量是无量纲的，比如等，此时记为。
有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。
模型所描述的规律应该独立于量纲的影响。
机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响，因此机理模型需要无量纲化。
使用无量纲量来描述客观规律。
在量纲表达式中,其基本量量纲的全部指数均为零的量，即无量纲量，也称纯数。
1.无量纲量具有数值的特性，它可以通过两个量纲相同的物理量相除得到，也可由几个量纲不同的物理量通过乘除组合得到。
2.无量纲量具有这样一些特点：①无量纲数既无量纲又无单位，因此其数值大小与所选单位无关。
即无论选择什么单位制计算，其结果总是相同的。
当然，同一问题必须用同一单位制进行计算。
②对数、指数、三角函数等超越函数的运算往往都是对无量纲量来讲的。
③一个力学方程，如果用无量纲数表示的话，它的应用就可以不受单位制的限制。
要正确反映一个物理现象所代表之客观规律，当用数学公式描述已物理量时，等号两端就必须保持量纲的一致性和单位的一致性，即其所遵循的物理方程式各项的量纲必须一致，可以用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。
量纲分析就是基于量纲一致的原则来分析物理量之间关系的一种方法。
量纲分析法
量纲分析法量纲分析法是一种工程数学方法，用于处理含有多个变量的物理问题。
这种方法非常有用，因为在实际应用中，我们通常需要考虑许多不同的变量和参数，这些参数可能具有不同的单位和量纲，使得问题变得复杂和难以处理。
利用量纲分析法，可以将各个参数转换为无量纲形式，从而简化问题并提高计算精度。
1. 什么是量纲首先，我们需要明确什么是量纲。
量纲是一个物理量所具有的度量属性，通常包括基本量纲，比如长度、时间、质量、电流等等。
每个量纲都有一个标准单位，比如米、秒、千克、安培等等。
通过组合不同的基本量纲和单位，我们可以得到其他物理量的单位和量纲。
比如速度可以表示为长度/时间，加速度可以表示为长度/时间^2。
在处理物理问题时，量纲是非常重要的，因为它们决定了各个物理量之间的关系和单位的选择。
2. 如何运用量纲分析法量纲分析法是一种基于量纲的数学方法，用于研究变量之间的关系和有效参数的数量。
在使用这种方法时，我们需要将所有涉及的物理量和参数转换为无量纲形式，然后通过比较各个无量纲参量的数量级和变化趋势来分析问题。
这种方法可用于许多不同的物理问题，例如流体力学、热传递、电路分析等等。
下面我们以流体力学为例来讲解量纲分析法的应用过程。
首先，我们考虑一个典型的流体力学问题：水从一根直管中流出的速度是多少？公司设计师可以运用以下方程式解决此题: v = (P1 - P2) / ρL其中v是水的速度，P1和P2是入口和出口处的压力，ρ是水的密度，L是管道长度。
我们观察到这个公式涉及四个参数，每个参数都有自己的单位和量纲。
在使用量纲分析法时，我们需要将它们都转换为无量纲形式。
我们可以定义以下五个无量纲参量：F1 = v L / νF2 = (P1 - P2) / (0.5ρv^2)F3 = D / LF4 = ε/ D其中，ν是水的动力粘度，D是管道的直径，ε是管道壁面粗糙度。
这里表示F1 代表惯性力，F2 代表压力力，F3 代表管道长度比，F4 代表管道细度等无量纲参量。
量纲分析法
（注：在流体力学中称 Fr =
v lg
为
Froude
数，
Re
=
lvρ μ
为
Reynold
数。）
3． 无量纲化 单位和量纲在建模过程中是一个需要注意的问题，在建立模型时，为了满足量纲齐次原 则需要引入新的参量，这使得模型十分复杂；在建立和分析模型时，模型所描述的实际问题 的内涵性质一般应该独立于度量单位的选择。因此在机理模型建立过程中如何使得模型摆脱
模型建立：
由万有引力定律 m1
d2y dt 2
=
−k
m1m2 (y + r)2
，y(0)
=
0,
y′(0)
=
v 。由假设
2，y′′(0)
=
−g
。
在方程始终令 t = 0 ，则有 g = k m2 ，则模型可以简化为 r2
y′′
=
−
r2g (y + r)2
,
y(0)
=
0,
y′(0)
=
v
。
在模型中有三个参量 r, g, v ，两个变量 t, y 。这些量都是有量纲的，下面将利用无量纲
2
二、 轮廓模型
1．量的比例关系
因为模型表达了不同量纲的量之间的转换规律，不同量纲的量的乘幂之间一定存在比例
关系。所以在同一模型中，若量 X1 和 X 2 的量纲分别为 [ X 1 ] = X α 和 [ X 2 ] = X β ，则一
定有
X1
=
kX
α 2
/
β
。
例 4（几何上的比例关系）
对于正立方体：设棱长为 L1 = a ，底面周长为 L2 = 4a ，底面对角线长 L3 = 2a ，立
无量纲化的解释
将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲。
它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。
有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理。
在数理处理上，有很多时候采用“无量纲化”，它实际上对研究有什么样实际意义？为什么说优先使用无量钢化的参数？1. 描述的是实际问题的内蕴的特征。
量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。
模型所描述的规律应该独立于量纲的影响机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响因此机理模型需要无量纲化。
使用无量纲量来描述客观规律。
2.反映一个物理现象所代表之客观规律，其所遵循的物理方程式各项的量纲必须一致，可以用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。
当某个流动现象未知或复杂得难以用理论分析写出其物理方程时，量纲分析就是一种强有力的科学方法。
这时只需仔细分析这些现象所包含的主要物理量，并通过量纲分析和换算，将含有较多物理量的方程转化为数目较少的无量纲数组方程，就能为解决问题理出头绪，找出解决问题的方向，这就是量纲分析的价值。
3.人感觉量纲分析目的有二：一是使复杂的实际问题的数理建模合理化，即找全影响因素；二是使计算过程简单化，省去标注单位换算的麻烦。
4. 在非线性动力学中，无量纲化的主要目的有二：1、很多情况下可以通过无量纲化得到一个小参数，从而使研究的问题变为弱非线性问题，进而可以采用摄动法、多尺度法、平均法等来处理；2、对于多自由度系统，可以通过无量纲化使得每个自由度上的响应差别不是特别大，从而可以在计算时避免出现病态问题。
5.其实无量纲化的最直接的作用就是便于数学处理.你想物理上所有的运算都要考虑物理量之间的关系!但是数学上如果要考虑那么多的关系就比较麻烦而且也限制了数学工具的使用!所以通过无量纲化把所有的物理量化为数值上的关系就没有任何问题,处理起来也很方便!另外也可以代入一定的变换,这在数学上是非常必要的!也是很有效的6.使用无量纲化方法至少有以下几个好处：1. 在公式推导计算的过程中使用无量纲化，可以保证最后量纲是一致的；2. 进行无量纲化后可以暴露问题的小项，从而忽略它们或者利用它们进行近似计算（比如使用摄动法一般都要先进行无量纲化）7.量纲分析大概是从实验研究开始的，目的为了校正实验模型和结构真实尺寸上的差距所引起的实验结果有别于实际结果。
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1
3
(1)
l m
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(1)的量纲表达式
[t ] [m] [l ] [ g ]
T M L
1 0 2 1 / 2 1 / 2 3
3
2 3
T
23
mg 对比
1 0 2 3 0 2 1 3
基本解
( y1 , y2 , y3 , y4 ) (2, 0, 1, 1)
T
T
t l g F ( ) 0
2 1
(t l / g )
Pi定理 (Buckingham)
设 f(q1, q2, , qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量 纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1, 0, 0) T y2 ( 0, 2, 0, 0, 1, 0) y ( 1, 3, 1, 0, 0, 1)T 3
量纲分析与无量纲化
量纲齐次原则
物 理 量 的 量 纲
长度 l 的量纲记 L=[l] 质量 m的量纲记 M=[m]
时间 t 的量纲记 T=[t] 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=LMT-2 引力常数 k 的量纲 [k]
动力学中 基本量纲 L, M, T 导出量纲
变量 x,t 和独立参数 r,v,g 的量纲 [x]=L, [t]=T, [r]=L, [v]=LT-1, [g]=LT-2 用参数r,v,g的组合,分别 构造与x,t具有相同量纲 的xc, tc （特征尺度） 如
令
x t x ,t xc tc
—无量纲变量
xc r, tc r / v
x, t
x 无解
不能忽略项
1 x ( x 1) 2 2) x (0) 0 2 v (0) , x rg
忽略项 x
1 , 2 ( x 1) (0) 0 x (0) 0, x
x (t ) 0 x(t ) 0
( L0 M 0T 1 ) y ( L0 M 1T 0 ) y ( L1 M 0T 0 ) y
1 2
3
(L M T ) L M T
1 0 2 y4 0 0
0
L
y
y3 y4
M T
y2
y1 2 y4
LM T
0 0
0
y3 y 4 0 y2 0 y 2y 0 4 1
g g1
3 1 1 3
1 1,
v1 2 l1 ( ) v l
2 2
s1 l1 2 ( ) s l
f1 l f l
( 1 )
按一定尺寸比例造模型船， 量测 f，可算出 f1 ~ 物理模拟
f1 l1 3 ( ) f l
无量纲化
例：火箭发射
星球表面竖直发射。初速v, 星球半 径r, 表面重力加速度g 研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律 t=0 时 x=0, 火箭质量m1, 星球质量m2 牛顿第二定律，万有引力定律
1 2 是原问题 x(t ) gt vt 的近似解 2
可以忽略项
为什么3)能忽略项，得到原问题近似解，而1) 2)不能?
2 x v / g , tc v / g 3）令 c
x
m1
0 m2
v g
r
m1 m2 k m1 x 2 2 ( x r ) km2 r g
g ( x 0) x
r g x 2 (x r) ( 0) v x (0) 0, x
2
x x(t; r, v, g ) ——3个独立参数
用无量纲化方法减少独立参数个数
=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)
m1m2 f k 2 r
量纲齐次原则
例：单摆运动
等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 求摆动周期 t 的表达式
设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
t m l g
1 2
( g , l , , v, s, f ) 0
[g] = LT-2, [l] = L, [] = L-3M, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
1 A 0 2 (g) 1 3 1 2 1 ( L) 0 1 0 0 1 ( M ) 0 0 1 0 2 (T ) (l ) ( ) (v) ( s) ( f )
利用新变量 x , t , x x(t; r , v, g ) 将被简化
xc, tc的不同构造
x t x ,t xc tc
x x(t; r, v, g ) 的不同简化结果 1）令 xc r, tc r / v x x / r, t vt / r
dx v x vx dt 2 2 2 v d x v x x 2 r dt r
例: 航船阻力的物理模拟
通过航船模型确定原型船所受阻力
已知模 型船所 v , s 1 2 受阻力 l2 gl
f l g ( 1 , 2 )
3
可得原 型船所 v1 , s1 1 2 2 受阻力 l1 g1l1
) f1 l g ( 1, 2
s qj
j 1
m
ysj
为得到阻力 f 的显式表达式
g l v 1 2 2 l s g 1l 3 1 f 3 3 (1, 2 ) F=0
1 2 1 2
f l g (1, 2 ),
3
v s 1 , 2 2 l gl
l t g
l t 2 g
t m l g
1 2
3
为什么假设这种形式
设p= f(x,y,z)
x,y,z的量纲单 位缩小a,b,c倍
对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
f (ax1 , by1 , cz1 ), p2 f (ax2 , by2 , cz2 ) p1
[q j ] X i ,
aij i 1
n
j 1,2,, m
量纲矩阵记作 线性齐次方程组
A {aij }nm ,
若 rankA ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ r
Ay 0 有 m-r 个基本解，记作
y sj
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r 则
s qj
r g x 原 2 (x r) 问 题 x (0) 0, x ( 0) v
2
xc v / g , tc v / g
1 2 x(t ) gt vt 2
g x x ( 0) 0 x ( 0) v
火箭发射过程 中引力m1g不变 即 x+r r
不能忽略项 忽略项
3)
1 v , x 2 (x 1) rg x (0) 0, x (0) 1
2
1, x (0) 1 x (0) 0, x
t2 x (t ) t 2
x t 2 x ,t t xc tc x (t ) t 2 2
[q j ] X i ,
aij i 1
n
j 1,2,, m
A {aij }nm
m=6, n=3
f (q1 , q2 ,, qm ) 0
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T
( g , l , , v, s, f ) 0
f (t , m, l , g ) 0
t m l g
y1 y2 y3 y4
0 0 1 [ t ] L M T 0 1 0 [ m ] L M T 1 0 0 [l ] L M T 1 0 2 [ g ] L M T
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
x x (t ; )
为无量纲量
1 v , x 2 (x 1) rg x (0) 0, x (0) 1
2
1 ） 2） 3） 的共同点
重要差别
3
解
x x (t ; )
只含1个参数——无量纲量 考察无量纲量
rg 6370 10 9.8 8000 (m / s) v
f ( x1 , y1 , z1 ) f (ax1 , by1 , cz1 ) f ( x2 , y2 , z2 ) f (ax2 , by2 , cz2 )
p1 p1 p2 p 2
p= f(x,y,z)的形式为
f ( x, y, z ) x y z
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式
未定
量纲分析法的评注
• 物理量的选取 (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的 • 基本量纲的选取
基本量纲个数n; 选哪些基本量纲
• 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解 • 方法的普适性 • 结果的局限性 不需要特定的专业知识 函数F和无量纲量未定
量纲分析在物理模拟中的应用