量纲分析法与无量纲化
数据建模目前有两种比较通用的方式
数据建模目前有两种比较通用的方式1983年，数学建模作为一门独立的课程进入我国高等学校，在清华大学首次开设。
1987年高等教育出版社出版了国内第一本《数学模型》教材。
20多年来，数学建模工作发展的非常快，许多高校相继开设了数学建模课程，我国从1989年起参加美国数学建模竞赛，1992年国家教委高教司提出在全国普通高等学校开展数学建模竞赛，旨在“培养学生解决实际问题的能力和创新精神，全面提高学生的综合素质”。
近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越来越高，而数学模型和数学建模也被广泛地应用于其他学科和社会的各个领域。
本文主要介绍了数学建模中常用的方法。
一、数学建模的相关概念原型就是人们在社会实践中所关心和研究的现实世界中的事物或对象。
模型是指为了某个特定目的将原型所具有的本质属性的某一部分信息经过简化、提炼而构造的原型替代物。
一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。
数学模型是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，进行一些必要的抽象、简化和假设，借助数学语言，运用数学工具建立起来的一个数学结构。
数学建模是指对特定的客观对象建立数学模型的过程，是现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示，是构造刻画客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。
二、教学模型的分类数学模型从不同的角度可以分成不同的类型，从数学的角度，按建立模型的数学方法主要分为以下几种模型：几何模型、代数模型、规划模型、优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型等。
三、数学建模的常用方法1.类比法数学建模的过程就是把实际问题经过分析、抽象、概括后，用数学语言、数学概念和数学符号表述成数学问题，而表述成什么样的问题取决于思考者解决问题的意图。
类比法建模一般在具体分析该实际问题的各个因素的基础上，通过联想、归纳对各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知关系，在不同的对象或完全不相关的对象中找出同样的或相似的关系，用已知模型的某些结论类比得到解决该“类似”问题的数学方法，最终建立起解决问题的模型。
量纲分析与无量纲化(量纲原理)
1
3
(1)
l m
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(1)的量纲表达式
[t ] [m] [l ] [ g ]
T M L
1 0 2 1 / 2 1 / 2 3
3
2 3
T
23
mg 对比
1 0 2 3 0 2 1 3
基本解
( y1 , y2 , y3 , y4 ) (2, 0, 1, 1)
T
T
t l g F ( ) 0
2 1
(t l / g )
Pi定理 (Buckingham)
设 f(q1, q2, , qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量 纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1, 0, 0) T y2 ( 0, 2, 0, 0, 1, 0) y ( 1, 3, 1, 0, 0, 1)T 3
量纲分析与无量纲化
量纲齐次原则
物 理 量 的 量 纲
长度 l 的量纲记 L=[l] 质量 m的量纲记 M=[m]
时间 t 的量纲记 T=[t] 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=LMT-2 引力常数 k 的量纲 [k]
动力学中 基本量纲 L, M, T 导出量纲
变量 x,t 和独立参数 r,v,g 的量纲 [x]=L, [t]=T, [r]=L, [v]=LT-1, [g]=LT-2 用参数r,v,g的组合,分别 构造与x,t具有相同量纲 的xc, tc （特征尺度） 如
量纲分析
第一节量纲分析方法1.1量纲当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。
概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。
它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。
在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J 速度v = ds/dt 量纲： = 加速度a = dv/dt 量纲： 力F = ma 量纲： 压强P = F/S 量纲：实际中，也有些量是无量纲的，比如等，此时记为。
有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。
模型所描述的规律应该独立于量纲的影响。
机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响，因此机理模型需要无量纲化。
使用无量纲量来描述客观规律。
在量纲表达式中,其基本量量纲的全部指数均为零的量，即无量纲量，也称纯数。
1.无量纲量具有数值的特性，它可以通过两个量纲相同的物理量相除得到，也可由几个量纲不同的物理量通过乘除组合得到。
2.无量纲量具有这样一些特点：①无量纲数既无量纲又无单位，因此其数值大小与所选单位无关。
即无论选择什么单位制计算，其结果总是相同的。
当然，同一问题必须用同一单位制进行计算。
②对数、指数、三角函数等超越函数的运算往往都是对无量纲量来讲的。
③一个力学方程，如果用无量纲数表示的话，它的应用就可以不受单位制的限制。
要正确反映一个物理现象所代表之客观规律，当用数学公式描述已物理量时，等号两端就必须保持量纲的一致性和单位的一致性，即其所遵循的物理方程式各项的量纲必须一致，可以用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。
量纲分析就是基于量纲一致的原则来分析物理量之间关系的一种方法。
量纲分析与无量纲化实例及MATLAB求解
爆炸的冲击波是造成破坏的主要原因，研究冲击波是必要的。建立
数学模型，用予预测冲击波的传播过程：冲击波的半径随时间变化的规 律。
研究冲击波的半径随时间变化的规律
（二）量的分析
爆炸—能量释放.发生是在一点上突然释放出大量 的能量。主要变量：E—能量
爆炸表面形成一个球面，以冲击波形式在空中向外传播.
( g , l , , v, s, f ) 0
[g] = LT-2, [l] = L, [] = L-3M, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
1 A 0 2 (g) 1 3 1 2 1 ( L) 0 1 0 0 1 ( M ) 0 0 1 0 2 (T ) (l ) ( ) (v) ( s) ( f )
基本解
( y1 , y2 , y3 , y4 ) (2, 0, 1, 1)
T
T
t l g F ( ) 0
2 1
(t l / g )
Pi定理 (Buckingham)
设 f(q1, q2, , qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量 纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为
x,y,z的量纲单 位缩小a,b,c倍
对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
f (ax1 , by1 , cz1 ), p2 f (ax2 , by2 , cz2 ) p1
f ( x1 , y1 , z1 ) f (ax1 , by1 , cz1 ) f ( x2 , y2 , z2 ) f (ax2 , by2 , cz2 )
无量纲化的解释
将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲。
它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。
有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理。
在数理处理上，有很多时候采用“无量纲化”，它实际上对研究有什么样实际意义？为什么说优先使用无量钢化的参数？1. 描述的是实际问题的内蕴的特征。
量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。
模型所描述的规律应该独立于量纲的影响机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响因此机理模型需要无量纲化。
使用无量纲量来描述客观规律。
2.反映一个物理现象所代表之客观规律，其所遵循的物理方程式各项的量纲必须一致，可以用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。
当某个流动现象未知或复杂得难以用理论分析写出其物理方程时，量纲分析就是一种强有力的科学方法。
这时只需仔细分析这些现象所包含的主要物理量，并通过量纲分析和换算，将含有较多物理量的方程转化为数目较少的无量纲数组方程，就能为解决问题理出头绪，找出解决问题的方向，这就是量纲分析的价值。
3.人感觉量纲分析目的有二：一是使复杂的实际问题的数理建模合理化，即找全影响因素；二是使计算过程简单化，省去标注单位换算的麻烦。
4. 在非线性动力学中，无量纲化的主要目的有二：1、很多情况下可以通过无量纲化得到一个小参数，从而使研究的问题变为弱非线性问题，进而可以采用摄动法、多尺度法、平均法等来处理；2、对于多自由度系统，可以通过无量纲化使得每个自由度上的响应差别不是特别大，从而可以在计算时避免出现病态问题。
5.其实无量纲化的最直接的作用就是便于数学处理.你想物理上所有的运算都要考虑物理量之间的关系!但是数学上如果要考虑那么多的关系就比较麻烦而且也限制了数学工具的使用!所以通过无量纲化把所有的物理量化为数值上的关系就没有任何问题,处理起来也很方便!另外也可以代入一定的变换,这在数学上是非常必要的!也是很有效的6.使用无量纲化方法至少有以下几个好处：1. 在公式推导计算的过程中使用无量纲化，可以保证最后量纲是一致的；2. 进行无量纲化后可以暴露问题的小项，从而忽略它们或者利用它们进行近似计算（比如使用摄动法一般都要先进行无量纲化）7.量纲分析大概是从实验研究开始的，目的为了校正实验模型和结构真实尺寸上的差距所引起的实验结果有别于实际结果。
数据建模目前有两种比较通用的方式
数据建模目前有两种比较通用的方式 1983 年，数学建模作为一门独立的课程进入我国高等学校，在清华大学首 次开设。
1987年高等教育出版社出版了国内第一本《数学模型》教材。
20 多年 来，数学建模工作发展的非常快，许多高校相继开设了数学建模课程，我国从 1989年起参加美国数学建模竞赛， 1992 年国家教委高教司提出在全国普通高等 学校开展数学建模竞赛， 旨在“培养学生解决实际问题的能力和创新精神， 全面 提高学生的综合素质” 。
近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越 来越高，而数学模型和数学建模也被广泛地应用于其他学科和社会的各个领域。
本文主要介绍了数学建模中常用的方法。
一、数学建模的相关概念原型就是人们在社会实践中所关心和研究的现实世界中的事物或对象。
模型 是指为了某个特定目的将原型所具有的本质属性的某一部分信息经过简化、 提炼 而构造的原型替代物。
一个原型， 为了不同的目的可以有多种不同的模型。
数学 模型是指对于现实世界的某一特定对象， 为了某个特定目的， 进行一些必要的抽 象、简化和假设，借助数学语言，运用数学工具建立起来的一个数学结构。
数学建模是指对特定的客观对象建立数学模型的过程， 是现实的现象通过心 智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，是构造刻画客观事物原型的数学模型并用以分析、 学方法。
二、教学模型的分类 数学方法主要分为以下几种模型：几何模型、代数模型、规划模型、优化模型、 微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型等。
三、数学建模的常用方法 1. 类比法 数学建模的过程就是把实际问题经过分析、抽象、概括后，用数学语言、数 学概念和数学符号表述成数学问题， 而表述成什么样的问题取决于思考者解决问 题的意图。
类比法建模一般在具体分析该实际问题的各个因素的基础上， 通过联 想、归纳对各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知关系，在不同的对象或完全不相关的对象中找出同样的或相似的关系， 用已知模型的某 些结论类比得到解决该“类似”问题的数学方法，最终建立起解决问题的模型。
3.1量纲分析法
t = λm l g
α1 α 2
α1 α2
1
α3
(1)
l m
α1, α2, α3 为待定系数，λ为无量纲量 为待定系数，
(1)的量纲表达式 的量纲表达式
[t ] = [ m ] [l ] [ g ] 2α α α +α T =M L T
α3
3 2
3
mg 对比
π s = ∏qj
j =1
m
ysj
为得到阻力 f 的显式表达式
π = g l v 1 π 2 = l 2 s π = g 1l 3 ρ 1 f 3 π 3 = ψ (π1,π 2 ) F=0
1 2 1 2
f = l gρψ(π1,π2 ),
3
v s π1 = , π2 = 2 l gl
3.1 物 理 量 的 量 纲
量纲分析法建模
动力学中 基本量纲 M, L, T 导出量纲
质量 m的量纲记 M=[m] 的量纲记 长度 l 的量纲记 L=[l] 时间 t 的量纲记 T=[t] 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=MLT-2
ψ 未定
3.2 量纲分析在物理模拟中的应用
例: 航船阻力的物理模拟 通过航船模型确定原型船所受阻力 3 ′ ′ f1 = l13g1ρ1ψ (π1,π 2 ) f = l gρψ (π1,π 2 ) 可得原 已知模 型船所 π = v , π = s 型船所 π1 = v1 , π 2 = s1 ′ ′ 2 1 2 2 受阻力 l1 g1l1 受阻力 l gl
T
πs = ∏qj
j=1
m
量纲分析与无量纲化实例及MATLAB求解
t0 0 时,能量 E 完全释放.
(四)模型的建立
寻求关系式
f ( R, E, t , 0 , P 0) 0
涉及物理量: R, E, t , 0 , P 0
量纲分析:力学问题,基本量纲:L,M,T 各物理量的量纲:
dim[ R] LM 0T 0 2 2 2 2 2 dim[ E ] L MT , 功： f l MLT L L MT 0 0 dim[t ] L M T dim[ ] L3 MT 0 0 1 2 2 2 1 2 dim[ P ] L MT , 压强： F / s f / s MLT / L L MT 0
未定
量纲分析法的评注
• 物理量的选取 (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的 • 基本量纲的选取
基本量纲个数n; 选哪些基本量纲
• 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解 • 方法的普适性 • 结果的局限性 不需要特定的专业知识 函数F和无量纲量未定
2.9.2 量纲分析在物理模拟中的应用
( g , l , , v, s, f ) 0
[g] = LT-2, [l] = L, [] = L-3M, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
1 A 0 2 (g) 1 3 1 2 1 ( L) 0 1 0 0 1 ( M ) 0 0 1 0 2 (T ) (l ) ( ) (v) ( s) ( f )
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1, 0, 0) T y2 ( 0, 2, 0, 0, 1, 0) y ( 1, 3, 1, 0, 0, 1)T 3
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动力学中 基本量纲 M, L, T 导出量纲
量纲齐次原则
描述物理规律的表达式每一项必须具有相同的量纲
1 2 S (t ) S0 vt at 2
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 例：求单摆运动周期 T 的表达式
设物理量 T, m, l, g 之间有关系式 l m mg
1 1,
2 2
l1 f1 l
3
3 f1 l1 1 ( 1 ) 3 f l
f
结论：按一定尺寸比例造模型船，量测 f， 可算出 f1 ~ 物理模拟
量纲分析法的评注
• 物理量的选取 (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的 • 基本量纲的选取
m-r 个无量纲量
s qj
j 1
m
ysj
g l v 1 2 l s 2 g 1l 3 1 f 3
1 2 1 2
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,,v,s,f) = 0 等价
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价
f (T , m, l , g ) 0
假设等价于无量刚量关系式
l T 2 g
F ( ) 0
单摆运动中 T, m, l, g 的一般表达式
f (T , m, l , g ) 0
T m l g
y1 y2 y3 y4
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
T M L
y1 y2 y3
y
dx x rx 1 r,K为正参数 dt K
x->y 变量无量纲化
x具有量纲，且 与 K 量纲相同 t具有量纲，且 与 1/r 量纲相同
x K
dy ry 1 y dt
rt , t 时间无量纲化
dy y 1 y d
简化后的模型不含参数！便于理论分析和数值求解。
无量纲化 (Dimensionless) 是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度， 将有量纲量化为无量纲量达到减少参数，简化模型的效果。
动力学物理量的量纲
质量 m的量纲记 M=[m] 长度 l 的量纲记 L=[l] 时间 t 的量纲记 T=[t] 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=MLT-2 万有引力常数 G 的量纲 [G] =M-1L3T-2 对无量纲量，[]=1(=M0L0T0)
f , s, l , v, , g
~模型船的参数(均已知) 注意：二者的相同
f1 , s1 , l1 , v1 , 1 , g1
~原型船的参数 (f1未知，其他已知)
f l 3 g ( 1 , 2 ) v s 1 , 2 2 l gl
) f1 l13 g1 1 ( 1, 2 v1 s1 2 1 , 2 l1 g1l1
v gl
: Froude number
量纲分析示例：波浪对航船的阻力
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度, 重力加速度g。
f (q1 , q2 ,, qm ) 0
( g , l , , v, s, f ) 0
[g] = LT-2, [l] = L, [] = ML-3, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = MLT-2
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
( g , l , , v, s, f ) 0
rank A = 3
Ay=0 有m-r=3个基本解
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0,1, 0, 0)T T y ( 0,1, 0 ) 0, 2, 0, 2 T y ( 0, 0, 1 ) 3 1, 3, 1,
1 v 2 1 p 1 lv 2 1 2 1 3 l v g
p v 2 ( 2 , 3 ) v 2 ( 2 , 3 ), 未定
Re 2 lv
: Reynold number;Fr 3
例3：简化非线性参数方程
A(ax b)1 / 3 kx c
ax b u3
A, a, b, k , c
bk a
5个参数
Au u c
k a 3
u v u->v 无量纲化
d c bk a
Aa ad v v 2 k k 3
3
Aa ad ,w k k 3 ac bk Aa
f (q1 , q2 ,, qm ) 0
(l , v, , p, , g) 0
[l] = L, [v] =LT-1, [] = ML-3, [p] = ML-1T-2, [] = ML-1T-1, [g] = LT-2
0 0 1 1 1 0 M L A 1 1 3 1 1 1 T 0 1 0 2 1 2 l
j 1
m
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
量纲分析示例： （水头损失问题）管道内不可压缩粘性流体的压强差 管道两端 管道长l, 流速v, 粘性系数, 选取物理量 压强差 p 密度重力加速度g。
[q j ] X i ,
aij i 1
n
j 1,2,, m
A {aij }nm
m=6, n=3
v p g
rank A = r
Ay=0 有m-r个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
[T ] M 0 L0T 1 1 0 0 [ m ] M LT 0 1 0 [ l ] M LT 0 1 2 [ g ] M LT
y2 0 y3 y4 0 y 2y 0 1 4
LT
2 y4
M 0 L0T 0
未定
3.2 量纲分析在物理模拟中的应用
例: 航船阻力的物理模拟
通过航船模型确定原型船所受阻力 3 3 ) f l ( 1, 2 f l g ( 1 , 2 ) 1 1 g1 1 可得原 已知模 v s v s 1 1 型船所 型船所 , , 2 2 1 2 2 1 l 受阻力 g1l1 l 受阻力 gl 1
2 1
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (l,v,,p,,g) = 0 等价
s qj
j 1
m
ysj
为得到差 p 的显式表达式 F=0
隐函数定理
1 ( 2 , 3 )
M y2 Ly3 y4 T y1 2 y4 M 0 L0T 0
y
T 1 T 2
基本解
( y1 , y2 , y3 , y4 ) (1, 0, 1 2, )
Tl g
l (T ( ) 0
Pi定理 (Buckingham)
设 f(q , q , , qm) = 0是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可以表示为
量纲分析法与 无量纲化
量纲分析法与无量纲化
量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的, 在物理领域中建立 数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐 次原则，确定各物理量之间的关系。它是一种数学分析方法，通过量纲分析， 可以正确的分析各变量之间的关系，简化试验和便于成果整理。 在国际单位制中，有7个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度 、J、和N；称为基本量纲。 和物质的量，它们的量纲分别为 M、L、T、I、 任意一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，
1 1 0 2 1 2 1 1 0 y y1 , y2 , y3 0 0 1 0 1 0 0 0 1
m-r 个无量纲量
s qj
j 1
m
ysj
1 v p 1 lv 2 1 2 1 3 l v g
1
2
[q j ] X i ,
aij i 1
n
j 1,2,, m
定义量纲矩阵 线性齐次方程组
A {aij }nm ,
若 rankA r
Ay 0 有 m-r 个基本解，记作
y sj
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r 则
s qj
v v w
3
w
k Aa
作业
P60 2，4
•利用无量纲化思想将下面的数学模型参数数量减到最少 （a~e均为正参数）：
dx x [( a e ) by ] dt dy y[(c e) dx] dt
例2：简化三次方程
az bz cz d 0, a 0
3 2
b 令z x 3a
x px q 0
3
卡丹公式（Cardano's Formula ）
xk
k 1 3
令
，
q 2 2 p 3 3
2 i q q 1 k 3 , k 1, 2, 3. e 3 2 2