知识讲解 对数及对数运算 基础
对数与对数运算（讲解与基础训练）
对数与对数运算（讲解与基础训练）对数与对数运算⼀、知识点总结1、定义：⼀般地，如果)1,0(≠>=a a N a x 且，那么数x 叫做以N x N a a log =的对数，记作为底,叫做真数。
叫做对数的底数，其中N a注意：（1）（负数与零没有对数）；且01,0>≠>N a a（2）b a a b a a a ===log ,01log ;1log （3）对数恒等式：N a Na=log2、对数的运算性质如果那么：且,0,0,1,0>>≠>N M a a;log log )(log )1(N M N M a a a +=?N M NM a a a log log log )2(-=(3))(log log R n M P M a P a ∈= 3、⾃然对数与常⽤对数）为底的对数（⾃然对数：以⽆理数71828.2)1(≈e e ，写作：x ln(2)常⽤对数：为底的对数以10，写作：x lg 4、换底公式：)0;1,0;1,0(log log log >≠>≠>=b c c a a abb c c a 且且⼆、例题解析例1、将下列指数式转化为对数式，对数式转化为指数式：3616)4(105)3(;913)2(;644)1(223====--；m3log )8(;18log )7(;481log )6(;416log )5(5432====N M例2、求下列各式中x 的值。
1)12(log )4(;32log )3(;91log )2(;64log )1(8274-=--===x x x x412)7(;0)lg(ln )6(;1)(lg log )5(3log 3===x x x例3、（1）（2007，海⼝中学期中测试）求的取值范围。
中的x x x )23(log )21(+- （2）的值。
求实数已知x x x x ,1)3(log 2 )3(=++ （3）的值。
对数与对数运算法则
对数与对数运算法则对数是数学中一个重要的概念，在很多领域中都有广泛的应用，比如数学、物理、工程等。
它能够简化大数值的运算和计算复杂问题，也有助于解决各种类型的方程和不等式。
本文将探讨对数的含义，以及对数运算的法则。
1.对数的含义：对数最基本的定义是，对于一个正数a，如果b是一个正数且满足a 的b次方等于另一个正数x，那么b就是以a为底x的对数，记为log_a(x)。
其中a被称为对数的底数，x被称为真数，b被称为对数。
用数学语言描述对数，可以写作a^b=x，等价于log_a(x)=b。
2.对数运算的法则：对数运算有一系列的基本法则，可以简化对数的运算和推导。
2.1对数的互换性：如果a>0且a≠1，且m、n是正数，那么log_a(m×n)=log_a(m)+log_a(n)。
这条法则允许我们将乘法变成加法。
2.2对数的逆运算性：如果a>0且a≠1，那么对于正数m和任意正数b，有：a^(log_a(m))=m。
换句话说，当对数与指数运算发生时，可以互相抵消。
2.3对数的对换性：如果a>0且a≠1，且m、n是正数，那么log_a(m/n)=log_a(m)-log_a(n)。
这条法则允许我们将除法变成减法。
2.4对数的幂次性：如果a>0且a≠1，那么对任意正数m和正数b，有：log_a(m^b)=b×log_a(m)。
换句话说，可以通过幂次运算将对数与指数运算进行交换。
2.5对数的换底公式：对于任意正数a、b和c，有：log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)。
这条法则允许我们将对数底数的换成任意值，并以其他常见的底数来计算。
3.对数运算的应用：3.1科学计数法：对数可以简化大数值的表示。
通过对数运算，我们可以将一个很大或很小的数字表示为以10为底的对数形式。
例如，1,000,000可以写成log_10(1,000,000)=63.2方程的求解：对数可以帮助解决一些涉及指数和幂函数的方程。
对数的知识点归纳总结
对数的知识点归纳总结一、对数的基本概念1. 对数的定义对数是指数函数的逆运算。
给定正实数a（a≠1）和正实数x，如果等式a^y=x成立，那么数y就是以a为底，x的对数，记作y=log_a(x)。
其中，a被称为对数的底，x被称为真数，y被称为对数。
对数的值可以是实数，也可以是复数。
2. 基本性质（1）对数的底为正实数且不等于1。
（2）对数的真数为正实数。
（3）对数的值可以是实数，也可以是复数。
（4）对数函数为单调增函数。
二、对数的性质1. 对数的运算性质（1）对数的乘法性质：log_a(m) + log_a(n) = log_a(mn)（2）对数的除法性质：log_a(m) - log_a(n) = log_a(m/n)（3）对数的幂运算性质：log_a(m^n) = n*log_a(m)（4）对数的换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)2. 对数的性质（1）log_a(a) = 1（2）log_a(1) = 0（3）log_a(m) = -log_a(1/m)（4）log_a(a^x)=x（5）a^log_a(x) = x3. 对数的常用对数和自然对数常用对数是以10为底的对数，记作log(x)，常用于科学计算。
自然对数是以自然数e为底的对数，记作ln(x)，在微积分和概率论中有着广泛的应用。
三、对数的应用1. 对数在科学计算中的应用对数在科学计算中有着广泛的应用，特别是在大数据处理和模型拟合中。
通过对数据取对数，可以将呈指数增长或减小的数据转化为线性增长或减小的数据，方便进行线性回归分析或模型拟合。
2. 对数在工程学中的应用对数在工程学中有着重要的应用，特别是在电路设计、信号处理和控制系统中。
对数可用于描述电压、信号和控制变量的倍增和倍减关系，方便工程师进行设计和分析。
3. 对数在经济学中的应用对数在经济学中有着广泛的应用，特别是在复利计算和经济增长模型中。
对数可用于描述资金的复利增长和经济指标的增长趋势，方便经济学家进行分析和预测。
知识讲解_对数及对数运算_基础
(2)
log a
M
logc M logc a
(c 0, c 1) ，
令
logaM=b，
则 有 ab=M，
则有
logc ab logc M (c 0, c 1)
即 b logc
a
log c
M
，
即b
logc M logc a
，即 log a
M
logc M logc a
(c
(1)0 和负数没有对数，即 N 0 ； (2)1 的对数为 0，即 loga 1 0 ； (3)底的对数等于 1，即 loga a 1.
3．两种特殊的对数
通常将以 10 为底的对数叫做常用对数， log10 N作作作 为底的对数叫做自然对数， loge N简记作 ln N .
4．对数式与指数式的关系
质．
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．
（3）解决这类问题要注意隐含条件“ loga a 1”的灵活运用．
举一反三：
【变式
1】求值：(1)
(log 4
3
log8
3)(log3
2
log 9
27
32
；(3)
91 2
log3
2
log 3 2
2 )
5 6
log 2
3
3 2
log 3
2
5 4
；
(2) log8
loga
M N
loga M
loga
N
(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
对数知识点总结讲解
对数知识点总结讲解一、对数的定义1. 对数的含义对数是一种数学工具，用来描述一个数与另一个数的幂之间的关系。
例如，如果一个数a 的x次方等于另一个数b，那么x就是以a为底，b为真数的对数，记作loga(b)。
2. 对数的性质对数具有以下几个基本性质：（1）对数的底数不能是0或1；（2）对数的真数不能是负数；（3）以a为底，b为真数的对数等于以10为底，b/a的对数的值乘以以10为底，a的对数的值。
3. 对数的公式表示对数的公式表示为：loga(b) = x，其中a为对数的底数，b为对数的真数，x为对数的值。
对数的值x可以是正数、负数、零。
二、对数的性质1. 对数的运算规则（1）乘法法则：loga(bc) = loga(b) + loga(c)（2）除法法则：loga(b/c) = loga(b) - loga(c)（3）幂法则：loga(b^c) = c*loga(b)（4）换底公式：loga(b) = logc(b)/logc(a)2. 对数的性质（1）loga(1) = 0；（2）loga(a) = 1；（3）a^loga(b) = b；（4）loga(a^x) = x。
三、对数的常用公式1. 对数的常用公式1（1）loga(b) = 1/logb(a)（2）loga(b) = ln(b)/ln(a)（3）loga(b) = logc(b)/logc(a)2. 对数的常用公式2（1）loga(b) + loga(c) = loga(bc)（2）loga(b) - loga(c) = loga(b/c)（3）loga(b^c) = c*loga(b)3. 对数的常用公式3（1）换底公式：loga(b) = logc(b)/logc(a)（2）对数的乘方化简：a^loga(b) = b（3）对数的乘方化简：loga(a^x) = x四、对数的应用1. 对数在数学中的应用（1）对数在指数函数的求导中的应用；（2）对数在对数函数的积分中的应用；（3）对数在数学建模中的应用。
对数及其运算基础知识及例题
对数及其运算基础知识及例题1、定义：对数是指用一个数b（b>0且不等于1）作为底数，将一个正数a表示成幂b的指数的形式，即a=b^x（x为实数），则x称为以b为底a的对数，记作logb a。
2、性质：①logb 1=0（b>0且不等于1）②logb b=1（b>0且不等于1）③logb (mn)=logb m+logb n（m>0，n>0，b>0且不等于1）④logb (m/n)=logb m-logb n（m>0，n>0，b>0且不等于1）⑤logb m^k=klogb m（m>0，b>0且不等于1，k为任意实数）3、对数的运算性质：①logb (mn)=logb m+logb n②logb (m/n)=logb m-logb n③logb m^k=klogb m④logb (a^k)=klogb a⑤logb a=logc a/logc b（b>0，且不等于1，c>0，且不等于1）4、换底公式：XXX b（b>0，且不等于1，c>0，且不等于1）5、对数的其他运算性质：①logb a=logb c，则a=c②logb a=logc a/logc b=logd a/logd b6、常用对数和自然对数：常用对数：以10为底数的对数，记作XXX。
自然对数：以自然常数e（e≈2.）为底数的对数，记作ln。
典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中x的取值范围：1）log2(x-5)≥0；（2）log(x-1)-log(x+2)0.改写为：1）x≥5；2）x>1且x<2；3）x>1且x1且x>1.类型二、指数式与对数式互化及其应用例2.将下列指数式与对数式互化：1)log2 16=4；(2)log1/27=-3；(3)log3 1/2= -1/log2 3；(4)53=125；(5)2^-1=1/2；(6)(1/3)^x=9.改写为：1)2^4=16；2)1/27=3^-3；3)3^-1/2=2/log2 3；4)5^3=125；5)2^-1=1/2；6)x=log(1/3)9/log(1/3)2.类型三、利用对数恒等式化简求值1+log5 77=log5 500.类型四、积、商、幂的对数例4.用loga x,loga y,loga z表示下列各式：1)loga (xy/z)=loga x+loga y-loga z；2)loga (xy)=loga x+loga y；3)loga (x^2/y^3z)=2loga x-3loga y-loga z；4)loga (x^2y^3/z)=2loga x+3loga y-loga z。
对数的概念及运算法则-PPT
你发现了什 么?
对数恒等式： loga an n 作为公式用
18
探 求下列各式的值：
究
活
动 (1) 2log2 3 3
感 悟
(2) 7log7 0.6 0.6
数
学 (3) 0.4log0.4 89 89
你发现了什 么?
对数恒等式： aloga N N
19
练习 3.求下列各式的值
（1） log5 25 2 （2） log25 25 1 （3） lg10 1 （4） lg 0.01 2 （5） lg1000 3 （6） lg 0.001 3
log a
M N
log a M
log a N
(2)
logaMn nlogaM(n R) (3)
例题讲解 例1 求下列各式的值：
（1） log2 6 1
（2） lg 5 lg 2 lg(5 2) lg10 1
（3）
log5
3
log5
1 3
（4） log3 5 log3 15
26
102 100
log10 100 2
1
42 2
log 4
2
1 2
102 0.01
log10 0.01 2
练习： a x N loga N x
把下列指数式改写成对数式
（1）54 625 log5 625 4
（2） 26 1 64
（3） 3a 27
log2
1 64
6
log3 27 a
对数的概念及运算法则
知识探究（一）：对数的概念
思考1:若24＝M，则M＝？16 思考2:若若22x－＝2＝16N，，则则xN＝＝？？414
若2x＝ 1 4
对数计算知识点归纳总结
对数计算知识点归纳总结一、基本概念1. 对数的定义对数的定义可以从指数函数的逆函数出发。
设a>0且a≠1，a的x次幂函数y=a^x是严格增函数和满射的，对数函数y=log_a x是a^y=x的逆函数。
其中，a称为底数，x称为真数，y称为对数。
如果底数未标明，则默认情况下一般为10，即log=lg。
2. 底数、真数和对数在对数的定义中，底数指的是指数函数的底数，真数指的是指数函数的结果值，对数指的是幂函数的幂指数。
例如，在对数表达式log28中，2是底数，8是真数，3是对数。
3. 对数的符号与数值对数的数值是实数，在常见对数中，对数的值是无理数。
在实际应用中，对数的值往往是无限循环小数。
4. 对数的常见类型对数按照底数的不同可以分为常用对数（底数为10）和自然对数（底数为e）等不同类型。
常用对数在实际应用中使用率较高，自然对数在微积分等领域具有特殊的作用。
二、性质1. 对数函数的图像对数函数的图像是一条渐进线（一条直线和坐标轴所组成的图像），且对数函数是严格递增的。
对数函数的图像有着特殊的凹陷形状。
2. 对数函数的定义域和值域对数函数的定义域是真数的取值范围，是所有正实数的集合。
对数函数的值域是对数的取值范围，是所有实数的集合。
3. 对数函数的性质（1）对数函数是严格递增函数；（2）对数函数的图像是一条渐进线；（3）对数函数的定义域是正实数的集合；（4）对数函数的值域是实数的集合。
4. 对数与指数的关系对数和指数是互为逆运算的关系，即a^log_a x = x，log_a(a^x)=x。
对数和指数的关系在数学推导和实际问题中有着重要的应用。
三、运算规则1. 对数的运算性质对数具有一系列的运算规则，包括等式变形、对数运算、对数化简等。
对数的运算规则可以帮助简化复杂的计算和推导过程。
2. 对数乘除法规则（1）log a mn = log a m + log a n（对数乘法规则）；（2）log a (m/n) = log a m - log a n（对数除法规则）。
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对数及对数运算【学习目标】1．理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；2．了解常用对数与自然对数的意义；3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用．【要点梳理】要点一、对数概念1．对数的概念如果??01b aNaa???，且，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:log a N=b．其中a叫做对数的底数，N叫做真数．要点诠释：对数式log a N=b中各字母的取值范围是：a>0 且a?1， N>0， b?R．2．对数??log0a Na??，且a1具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即0N?；（2）1的对数为0，即log10a?；（3）底的对数等于1，即log1a a?．3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，NNlglog10简记作．以e（e是一个无理数，2.7182e????）为底的对数叫做自然对数，logln e NN简记作．4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．要点二、对数的运算法则已知??loglog010aa MNaaMN???，且，、（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；??logloglog aaa MNMN??推广：????121212loglogloglog0akaaakk NNNNNNNNN?????、、、（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；logloglog aaa MMNN??（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；loglog aa MM???要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log2（-3）（-5）=log2（-3）+log2（-5）是不成立的，因为虽然log2（-3）（-5）是存在的，但log2．（-3）与log2（-5）是不存在的．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：log a（M?N）=log a M?log a N，log a（M·N）=log a M·log a N，log a NMNM aa loglog?．要点三、对数公式1．对数恒等式：log log a bNa aNaNNb???????2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有: （1）)(loglogRnMM naa n??令 log a M=b，则有a b=M，（a b）n=M n，即nbn Ma?)(，即na Mb n log?，即:naa MM n loglog?．（2）)1,0(logloglog???ccaMM cca，令log a M=b，则有a b=M，则有)1,0(loglog???ccMa cbc即Mab cc loglog??，即aMb cc loglog?，即)1,0(logloglog???ccaMM cca当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log1log?????bbaaab ba．【典型例题】类型一、对数的概念例1．求下列各式中x的取值范围：（1）2log(5)x?；（2）(1)log(2)x x??；（3）2(1)log(1)x x??．【答案】（1）5x?；（2）1,2xx??且；（3）1x??且0,1xx??【解析】（1）由题意50x??，5x??，即为所求．（2）由题意20,10,11,xxx?????????且即2,1,2,xxx???????且1,2xx???且．（3）由题意2(1)0,10,11,xxx?????????且解得1x??且0,1xx??．【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．举一反三：【变式1】函数21log(2)x yx???的定义域为【答案】1|12xxx????????且类型二、指数式与对数式互化及其应用例2．将下列指数式与对数式互化：（1）2log164?；（2）13log273??；（3）3log3x?；（4）35125?；（5）1122??；（6）2193????????．【解析】运用对数的定义进行互化．??33x?；（4）5log1253?；（5）（1）4216?；（2）31273????????；（3）21log12??；（6）13log92??．【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段．举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：（1）161log2x??（2）log86x?（3）lg1000=x （4）2-2lnex?【答案】（1）14；（2）2；（3）3；（4）-4．【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x．（1）1112()212221(16)(4)444x??????????；（2）111166366628()(8)(2)22xxx??????，所以；（3）10x=1000=103，于是x=3；（4）由22222lnln 42x xexeeex????????，得，即所以．【高清课堂：对数及对数运算369068例1】【变式2】计算：222log4;log8;log32并比较．【解析】222log4log22;??322log8log23;??522log32log25??．类型三、利用对数恒等式化简求值例3．不用计算器计算：log27lg25lg47(9.8)?????7log203【答案】132【解析】原式323log3lg(254)21?????23lg1032???3132322????【总结升华】对数恒等式log a N aN?中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数．举一反三：【变式1】求logloglog abc bcN a??的值（a，b，c∈R+，且不等于1，N>0）【答案】N【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算．logloglogloglogloglogloglog()()cabcabbcc NbcNbccNN aabcN??????????．类型四、积、商、幂的对数【高清课堂：对数及对数运算369068 例3】例4．zyx aaa log,log,log用表示下列各式2353(1)log;(2)log();(3)log;(4)log aaaa xyxyxxyzyzz【解析】（1）loglogloglog aaaa xyxyzz???；（2）3535log()loglog3log5log aaaaa xyxyxy????；（3）1logloglog()logloglog2aaaaaa xxyzxyzyz?????；（4）23log a xyz=2311log()log2logloglog23aaaaa xyzxyz????．【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．举一反三：【变式1】求值（1）1log864log325log21025??（2）lg2·lg50+（lg5）2（3）lg25+lg2·lg50+（lg2）2【答案】（1）22；（2）1；（3）2．【解析】（1）1log864log325log21025??.220184082log35log26225?????????（2）原式=lg2（1+lg5）+（lg5）2=lg2+lg2lg5+（lg5）2=lg2+lg5（lg2+lg5）=lg2+lg5=1 （3）原式=2lg5+lg2（1+lg5）+（lg2）2=2lg5+lg2+lg2lg5+（lg2）2=1+lg5+lg2（lg5+lg2）=1+lg5+lg2=2．类型五、换底公式的运用例5．已知18log9,185b a??，求36log45．【答案】2aba??【解析】解法一：18log9,185b a??，18log5b??，于是181818183618181818log45log(95)log9log5log4518log36log(182)1lo g221log9ababa?????????????．解法二：18log9,185b a??，18log5b??，于是1818181836218181818log45log(95)log9log5log45.18log362log18log9 2log9aba?????????解法三：18log9,185b a??，lg9lg18,lg5lg18ab???，362lg45lg(95)lg9lg5lg18lg18log4518lg362lg18lg92lg18lg1 82lg9ababaa?????????????．解法四：18log9a?，189.a??又185,4559181818bbaab???????．令36log45x?，则364518xab???，即218181836()18,()18,339x x abxab??????21818log.9xab???21818log18log92ababxa???????．【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．（3）解决这类问题要注意隐含条件“log1a a?”的灵活运用．举一反三：【变式1】求值：（1）)2log2)(log3log3(log9384??；（2）32log9log278?；（3）31log529?．【答案】（1）54；（2）109；（3）325【解析】（1）)2log2)(log3log3(log9384??452log233log65)22log2)(log33log23log()9log2log2)(log8 log3log4log3log(3233223332222??????????；（2）32log9log278?9103lg32lg52lg33lg227lg32lg8lg9lg?????；（3）法一：31log529?33331log2(log5)1log25252333325??????法二：31log529?99112log252log25939925????．类型六、对数运算法则的应用例6．（2016春陕西期中）计算（1）34331654()loglog8145???（2）7lg142lglg7lg183???（3）)36log43log32(loglog42122??（4）353log21log235???【思路点拨】根据对数和批数的运算性质计算即可．【答案】（1）278；（2）0；（3）3；（4）44．【解析】（1）334()4433316542542727()loglog()log0814534588???????????（2）原式=2lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(32)??????=lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20???????（3）原式=38log)6log43log5(log)6log43log5(log2222222221????????（4）35353log21log2log2log2313533552725244????????????．举一反三：【变式1】计算下列各式的值（1）??222lg5lg8lg5lg20lg23???；（2）33(lg2)3lg2lg5(lg5)??．【答案】（1）3；（2）1．【解析】（1）原式=??22lg52lg2lg5(2lg2lg5)lg2????=22lg10(lg5lg2)??=2+1=3；（2）原式=????22lg2lg5lg2lg2lg5(lg5)???????+3lg2 lg5=??22lg22lg2lg5(lg5)??=??2lg2lg51??．【变式2】已知1,(1,0)()44,(0,1)xx xfxx?????????，则4(log3)f?【思路点拨】判断出40log31??，根据分段函数的式子求解，再利用对数运算求解．【答案】3【解析】∵1,(1,0)()44,(0,1)xx xfxx?????????，40log31??∴4log34(log3)43f??，故答案为：3。