对数函数基础运算法则及例题_答案
高中数学对数的运算
对数函数专题对数及对数运算【要点梳理】要点一、对数概念 1．对数的概念如果()01b a N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b ．其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．要点诠释：对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R ． 2．对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即0N >； （2）1的对数为0，即log 10a =； （3）底的对数等于1，即log 1a a =．3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作．以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作． 4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 要点二、对数的运算法则 已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； ()log log log a a a MN M N =+ 推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；log log log a a a M M N N=-（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； log log a a M M αα=要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log 2（-3）（-5）=log 2（-3）+log 2（-5）是不成立的，因为虽然log 2（-3）（-5）是存在的，但log 2（-3）与log 2（-5）是不存在的．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：log a （M ±N ）=log a M ±log a N ， log a （M ·N ）=log a M ·log a N ，log a N M N M a a log log =． 要点三、对数公式 1．对数恒等式：log log a b Na a N a N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有:（1）)(log log R n M M n a a n ∈=令 log a M=b ， 则有a b =M ， （a b ）n =M n ，即n b n M a =)(， 即n a M b n log =，即:n a a M M n log log =．（2）)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有)1,0(log log ≠>=c c M a c b c即M a b c c log log =⋅， 即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a ．【典型例题】类型一、对数的概念例1．求下列各式中x 的取值范围： （1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2(1)log (1)x x +-． 【答案】（1）5x >；（2）1,2x x >≠且；（3）1x >-且0,1x x ≠≠ 【解析】（1）由题意50x ->，5x ∴>，即为所求．（2）由题意20,10,11,x x x +>⎧⎨->-≠⎩且即2,1,2,x x x >-⎧⎨>≠⎩且1,2x x ∴>≠且． （3）由题意2(1)0,10,11,x x x ⎧->⎨+>+≠⎩且解得1x >-且0,1x x ≠≠．【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．举一反三：【变式1】函数21log (2)x y x -=+的定义域为 ．【答案】1|12x x x ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且类型二、指数式与对数式互化及其应用 例2．将下列指数式与对数式互化： （1）2log 164=；（2）13log 273=-；（3）3x =；（4）35125=；（5）1122-=；（6）2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭．【解析】运用对数的定义进行互化．（1）4216=；（2）31273-⎛⎫= ⎪⎝⎭；（33x =；（4）5log 1253=；（5）21log 12=-；（6）13log 92=-．【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段．举一反三：【变式1】求下列各式中x 的值：（1）161log 2x =- （2）log 86x = （3）lg1000=x （4）2-2ln e x =【答案】（1）14；（2；（3）3；（4）-4．【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x ．（1）1112()212221(16)(4)444x --⋅--=====；（2）111166366628()(8)(2)2x x x ======，所以 （3）10x =1000=103，于是x=3；（4）由22222ln ln 42x x e x e e e x --=-===-，得，即所以．例3．（2014 广东湛江期中）不用计算器计算：7log 203log lg25lg47(9.8)+++- 【答案】132【解析】原式323log 3lg(254)21=+⨯++23lg1032=++3132322=++=【总结升华】对数恒等式log a N a N =中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数．举一反三：【变式1】求log log log a b c b c N a ⋅⋅的值（a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0） 【答案】N【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算．log log log log log log log log log ()()c a b c a b b c c Nb c N b cc N N a a b c N ⋅⋅⎡⎤====⎣⎦类型四、积、商、幂的对数例4． z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式35(1)log ;(2)log ();(3)log a a a a xy x y z 【解析】（1）log log log log aa a a xyx y z z=+-； （2）3535log ()log log 3log 5log a a a a a x y x y x y =+=+；（3）1log log log ()log log log 2a a a a a a yz x y z yz ==--；（4）log a211log ()log 2log log log 23a a a a a x y x y z -=+-．(有错误） 【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．举一反三： 【变式1】求值（1）1log 864log 325log 21025-+ （2）lg2·lg50+（lg5）2 （3）lg25+lg2·lg50+（lg2）2【答案】（1）22；（2）1；（3）2． 【解析】（1）1log 864log 325log 21025-+.220184082log 35log 26225=-+=⨯-+⋅=（2）原式=lg2（1+lg5）+（lg5）2=lg2+lg2lg5+（lg5）2=lg2+lg5（lg2+lg5）=lg2+lg5=1（3）原式=2lg5+lg2（1+lg5）+（lg2）2=2lg5+lg2+lg2lg5+（lg2）2=1+lg5+lg2（lg5+lg2）=1+lg5+lg2=2． 类型五、换底公式的运用例5．已知18log 9,185b a ==，求36log 45．【答案】2a ba+- 【解析】解法一：18log 9,185b a ==，18log 5b ∴=，于是181818183618181818log 45log (95)log 9log 5log 4518log 36log (182)1log 221log 9a b a ba ⨯+++=====⨯+-+． 【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．（3）解决这类问题要注意隐含条件“log 1a a =”的灵活运用． 【变式1】求值：（1）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++；【解析】（1）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++452log 233log 65)22log 2)(log 33log 23log ()9log 2log 2)(log 8log 3log 4log 3log (3233223332222=⋅⋅=++=++=类型六、对数运算法则的应用例6．求值（1）91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅（2）7lg142lg lg 7lg183-+-【解析】（1）原式=103log 2log 5log 2log 253322526-=---（2）原式=2lg(27)2(lg 7lg 3)lg 7lg(32)⨯--+-⨯ =lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20+-++--=举一反三：【变式1】计算下列各式的值 （1）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++【解析】（1）原式=()22lg52lg 2lg5(2lg 2lg5)lg 2++++=22lg10(lg 5lg 2)++=2+1=3；【巩固练习】一、选择题1. 有以下四个结论：①lg （lg10）=0；②ln （lne ）=0；③若10=lg x ，则x =10；④若e =ln x ，则x =e 2，其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④ 【答案】C【解析】由log 1,log 10a a a ==知①②正确．2. 下列等式成立的有（ ）①1lg 2100=-；②33log 2=；③2log 525=；④ln 1e e =；⑤lg 333=；A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②③④⑤ 【答案】B【解析】21lg lg102100-==-；3. 对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（ ）A ．(),5-∞B ． ()2,5C ．()()2,33,5D ．()2,+∞【答案】C【解析】由对数的定义可知50,20,21,a a a ->⎧⎪->⎨⎪-≠⎩所以25a <<且3a ≠，故选C ．4. 若0,1a a >≠，则下列说法正确的是（ ）①若M N =，则log log a a M N =；②log log a a M N =，则M N =； ③22log log a a M N =，则M N =；④若M N =，则22log log a a M N =． A ．①③ B ．②④ C ．② D ．①②③④ 【答案】C【解析】注意使log log a a M N =成立的条件是M 、N 必须为正数，所以①③④不正确，而②是正确的，故选C ．5. 若56789log 6log 7log 8log 9log 10y =⋅⋅⋅⋅，则（ ）A ．(0,1)y ∈B ．(1,2)y ∈C ．(2,3)y ∈D ．(3,4)y ∈ 【答案】B 【解析】55lg 6lg 7lg8lg9lg10log 101log 2lg5lg 6lg 7lg8lg9y =⨯⨯⨯⨯==+，因为50log 21<<，所以12y <<，故选B ．6. （2014江西三县月考）计算662log 3log 4+的结果是（）A ．6log 2B ． 2C ． 6log 3D ． 3【答案】B【解析】666662log 3log 4log 9log 4log 362+=+==．故选：B ． 二、填空题1. 若312log 19x-=，则x = ．【答案】-13【解析】 由指数式与对数式互化，可得1239x-=，解得13x =-． 2. 若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== ；【答案】12【解析】 2log 2log 3log 4log 34312a a a a a a a +=⋅=⨯=．3. 若2510a b ==，则11a b+= ．【答案】1【解析】因为210,a =所以21log 10lg 2a ==，又因为510,b =所以51log 10lg 5b ==，所以原式=lg 2lg51+=．。
对数函数习题和的答案解析
习题课——对数函数及其性质的应用一、A组1.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,且a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1解析:由题意可知y=log a(x+c)的图象是由y=log a x的图象向左平移c个单位长度得到的,结合题图知0<c<1.根据单调性易知0<a<1.答案:D2.已知a=,b=log2,c=lo,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b解析:∵0<a=<20=1,b=log2<log21=0,c=lo>lo=1,∴c>a>b.故选D.答案:D3.函数f(x)=的定义域为()A.(3,5]B.[-3,5]C.[-5,3)D.[-5,-3]解析:要使函数有意义,则3-log2(3-x)≥0,即log2(3-x)≤3,∴0<3-x≤8,∴-5≤x<3.答案:C4.函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)解析:令t=x2-4>0,可得x>2或x<-2.故函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),当x∈(-∞,-2)时,t随x的增大而减小,y=lo t随t的减小而增大,所以y=lo(x2-4)随x的增大而增大,即f(x)在(-∞,-2)上单调递增.故选D.答案:D5.已知y=log a(2-ax)在区间[0,1]上为减函数,则a的取值范围为()A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.[2,+∞)解析:由题设知a>0,则t=2-ax在区间[0,1]上是减函数.因为y=log a(2-ax)在区间[0,1]上是减函数,所以y=log a t在定义域内是增函数,且t min>0.因此故1<a<2.答案:B6.导学号29900104已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是.解析:函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则0<a≤1.答案:(0,1]7.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,且f=0,则不等式f(log4x)<0的解集是.解析:由题意可知,f(log4x)<0⇔-<log4x<⇔log4<log4x<log4<x<2.答案:8.已知函数f(x)=log a(x+1)(a>0,且a≠1),g(x)=log a(4-2x).(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;(2)求使函数f(x)-g(x)的值为正数时x的取值范围.解:(1)由题意可知,f(x)-g(x)=log a(x+1)-log a(4-2x),要使函数f(x)-g(x)有意义,则解得-1<x<2.故函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,2).(2)令f(x)-g(x)>0,得f(x)>g(x),即log a(x+1)>log a(4-2x).当a>1时,可得x+1>4-2x,解得x>1.由(1)知-1<x<2,所以1<x<2;当0<a<1时,可得x+1<4-2x,解得x<1,由(1)知-1<x<2,所以-1<x<1.综上所述,当a>1时,x的取值范围是(1,2);当0<a<1时,x的取值范围是(-1,1).9.导学号29900105若-3≤lo x≤-,求f(x)=的最值.解:f(x)==(log2x-1)(log2x-2)=(log2x)2-3log2x+2.令log2x=t,∵-3≤lo x≤-,∴-3≤-log2x≤-,∴≤log2x≤3.∴t∈.∴f(x)=g(t)=t2-3t+2=.∴当t=时,g(t)取最小值-;此时,log2x=,x=2;当t=3时,g(t)取最大值2,此时,log2x=3,x=8.综上,当x=2时,f(x)取最小值-;当x=8时,f(x)取最大值2.二、B组1.(2016·江西南昌二中高一期中)函数y=x·ln |x|的大致图象是()解析:函数f(x)=x·ln |x|的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,且f(-x)=-x·ln |-x|=-x·ln|x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,排除选项B;当0<x<1时,f(x)<0,排除选项A,C.故选D.答案:D2.(2016·河南许昌四校高一联考)若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是()A.a≤4B.a≤2C.-4<a≤4D.-2≤a≤4解析:∵函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,∴y=x2-ax+3a在[2,+∞)上大于零且单调递增,故有解得-4<a≤4,故选C.答案:C3.已知函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,g(x)=-f(|x|),若g(lg x)>g(1),则x的取值范围是()A.B.(0,10)C.(10,+∞)D.∪(10,+∞)解析:因为g(lg x)>g(1),所以f(|lg x|)<f(1).又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以0≤|lg x|<1,解得<x<10.答案:A4.已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则a,b,c的大小关系为.解析:∵b=log23.2=log2,c=log23.6=log2,又函数y=log2x在区间(0,+∞)上是增函数,3.6>,∴log23.6>log2>log2,∴a>c>b.答案:a>c>b5.已知函数y=log a x,当x>2时恒有|y|≥1,则a的取值范围是.解析:当a>1时,y=log a x在区间(2,+∞)上是增函数,由log a2≥1,得1<a≤2;当0<a<1时,y=log a x在区间(2,+∞)上是减函数,且log a2≤-1,得≤a<1.故a的取值范围是∪(1,2].答案:∪(1,2]6.导学号29900106若函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a的值为.解析:当0<a<1时,f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,∴f(x)在区间[a,2a]上的最小值为log a(2a),最大值为log a a,∴log a a=3log a(2a),∴log a(2a)=,即=2a,a=8a3,∴a2=,a=.当a>1时,f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,∴f(x)在区间[a,2a]上的最小值为log a a,最大值为log a(2a),∴log a(2a)=3log a a,∴log a(2a)=3,即a3=2a,∴a2=2,a=.故a的值为.答案:7.已知函数f(x)=lg(3x-3).(1)求函数f(x)的定义域和值域;(2)设函数h(x)=f(x)-lg(3x+3),若不等式h(x)>t无实数解,求实数t的取值范围.解:(1)由3x-3>0,得x>1,所以f(x)的定义域为(1,+∞).因为(3x-3)∈(0,+∞),所以函数f(x)的值域为R.(2)因为h(x)=lg(3x-3)-lg(3x+3)=lg=lg的定义域为(1,+∞),且h(x)在区间(1,+∞)上是增函数, 所以函数h(x)的值域为(-∞,0).若不等式h(x)>t无实数解,则t的取值范围为t≥0.8.导学号29900107已知函数f(x-1)=lg.(1)求函数f(x)的解析式;(2)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x+1).解:(1)令t=x-1,则x=t+1.由题意知>0,即0<x<2,则-1<t<1.所以f(t)=lg=lg.故f(x)=lg(-1<x<1).(2)lg≥lg(3x+1)⇔≥3x+1>0.由3x+1>0,得x>-.因为-1<x<1,所以1-x>0.由≥3x+1,得x+1≥(3x+1)(1-x),即3x2-x≥0,x(3x-1)≥0,解得x≥或x≤0.又x>-,-1<x<1,所以-<x≤0或≤x<1.故不等式的解集为.。
对数函数基础运算法则及例题-答案
对数函数的定义：函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞．对数的四则运算法则：若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a MM N N=-;(3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N nN a na log 1log =对数函数的图像及性质例1．已知x =49时，不等式 (x 2– x – 2)＞ (–x 2+2x + 3)成立，求使此不等式成立的x 的取值范围.解：∵x =49使原不等式成立. ∴[249)49(2--]＞ )3492)49(1[2+⋅+⋅ 即1613＞1639. 而1613＜1639. 所以y = 为减函数，故0＜a ＜1.∴原不等式可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)25,2( 例2．求证：函数f (x ) =xx -1log 2在(0, 1)上是增函数.解：设0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 2) – f (x 1) = 212221log log 11x x x x ---21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 21122x x x x --⋅ ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴12x x ＞1，2111x x --＞1. 则2112211log x x x x --⋅＞0，∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数 例3．已知f (x ) = (a – ) (a ＞1).（1）求f(x)的定义域和值域；（2）判证并证明f(x)的单调性.解：（1）由a＞1，a–＞0，而a＞，则x＜1. 故f(x)的定义域为( -∞,1)，而＜a，可知0＜a–＜a，又a＞1. 则(a– )＜ = 1.取f (x)＜1，故函数f (x)的值域为(–∞, 1).（2）设x1＞x2＞1，又a＞1，∴1x a＞2x a，∴1x aa ＜2x a，∴ (a–1x a)＜ (a–2x a)，即f (x1)＜f (x2)，故f (x)在(1, +∞)上为减函数.。
对数的运算及练习(带解析)
4.3.2 对数的运算1．对数运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R)． 2．换底公式若a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1， 则有log a b ＝log c blog c a．1．计算log 84＋log 82等于( ) A ．log 86 B ．8 C ．6D ．1D 解析：log 84＋log 82＝log 88＝1. 2．计算log 510－log 52等于( ) A ．log 58 B ．lg 5 C ．1D ．2 C 解析：log 510－log 52＝log 55＝1. 3．计算2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4 C 解析：2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 4．计算log 23·log 32＝________． 1 解析：log 23·log 32＝lg 3lg 2×lg 2lg 3＝1. 5．计算log 225·log 322·log 59＝________． 6 解析：原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6.【例1】(1)若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 45lg 12＝( ) A.a ＋2b 2a ＋b B.1－a ＋2b 2a ＋bC.1－b ＋2a 2a ＋bD.1－a ＋2b a ＋2b(2)计算：lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________．(1)B (2)－1 解析：(1)lg 45lg 12＝lg 5＋lg 9lg 3＋lg 4＝1－lg 2＋2lg 3lg 3＋2lg 2＝1－a ＋2b2a ＋b .(2)lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.【例2】计算：(1)log 345－log 35； (2)log 2(23×45)；(3)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2；(4)log 29·log 38.解：(1)log 345－log 35＝log 3455＝log 39＝log 332＝2.(2)log 2(23×45)＝log 2(23×210)＝log 2(213) ＝13log 22＝13. (3)原式＝lg （27×8）－lg 1032lg 1210＝lg （332×23÷1032）lg 1210＝lg⎝⎛⎭⎫3×41032lg 1210＝32lg1210lg 1210＝32.(4)log 29·log 38＝log 232·log 323 ＝2log 23·3log 32＝6log 23·1log 23＝6.利用对数运算性质化简与求值的原则和方法(1)基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理；②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于化简的原则进行． (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．提醒：对于对数的运算性质要熟练掌握，并能够灵活运用，在求值过程中，要注意公式的正用和逆用．计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.解：(1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (3)原式＝12（lg 2＋lg 9－lg 10）lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝lg 1.82lg 1.8＝12.【例3】已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645. 解：因为18b ＝5，所以log 185＝b . (方法一)log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a.(方法二)因为lg 9lg 18＝log 189＝a ， 所以lg 9＝a lg 18，同理得lg 5＝b lg 18， 所以log 3645＝lg 45lg 36＝lg （9×5）lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.应用换底公式应注意的两个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．1．已知2x ＝3y ＝a ，且1x ＋1y ＝2，则a 的值为( )A ．36B ．6C ．2 6 D. 6D 解析：因为2x ＝3y ＝a ， 所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，所以1x ＋1y ＝1log 2a ＋1log 3a ＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝2，所以a 2＝6，解得a ＝±6.又a ＞0，所以a ＝ 6. 2．求值：(1)log 23·log 35·log 516； (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)．解：(1)原式＝lg 3lg 2·lg 5lg 3·lg 16lg 5＝lg 16lg 2＝4lg 2lg 2＝4.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8 ＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54.探究题1 若log 23＝a ，log 25＝b ，则用a ，b 表示log 415＝________． a ＋b 2 解析：log 415＝log 215log 24＝log 23＋log 252＝a ＋b2.探究题2 已知3a ＝5b ＝c ，且1a ＋1b ＝2，求c 的值．解：∵3a ＝5b ＝c ， ∴a ＝log 3c ，b ＝log 5c ， ∴1a ＝log c 3，1b＝log c 5， ∴1a ＋1b ＝logc 3＋log c 5＝log c 15＝2. 得c 2＝15， 即c ＝15.解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质．常用方法有： (1)将真数化为“底数”；(2)将同底数的对数的和、差、倍合并； (3)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z ，且2x ＝py . (1)求p 的值； (2)证明：1z －1x ＝12y.解析：设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k ＞0，且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .(1)由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3klog 34，因为log 3k ≠0，所以p ＝2log 34＝4log 32. (2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12y .对数的运算练习(30分钟60分)1.(5分)计算：log153－log62＋log155－log63＝()A．－2B．0C．1 D．2B解析：原式＝log15(3×5)－log6(2×3)＝1－1＝0.2．(5分)设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝()A.baB.a＋baC．ab D．a＋bB解析：∵10a＝2，∴lg 2＝a，∴log26＝lg 6lg 2＝lg 2＋lg 3lg 2＝a＋ba.3．(5分)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是() A．logab•logcb＝logcaB．logab•logca＝logcbC．loga(bc)＝logab•logacD．loga(b＋c)＝logab＋logacB解析：由logab•logcb＝lg blg a•lg blg c≠logca，故A错；由logab•logca＝lg blg a•lg alg c ＝lg blg c＝logcb；loga(bc)＝logab＋logac，故C，D错．故选B.4．(5分)如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么()A．x＝ab3c5 B．x＝3ab5cC．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c3A解析：lg a＋3lg b－5lg c＝lg a＋lg b3－lg c5＝lgab3c5，由lg x＝lgab3c5，可得x＝ab3c5. 5．(5分)log2 4等于()A.12B.14C．2 D．4D解析：log2 4＝log2 (2)4＝4.6．(5分)已知lg 2＝a，lg 3＝b，则用a，b表示lg 15为()A．b－a＋1B．b(a－1)C．b－a－1D．b(1－a)A解析：lg 15＝lg(3×5)＝lg 3＋lg 5＝lg 3＋lg 102＝lg 3＋1－lg 2＝b－a＋1.7.(5分)方程lg x＋lg(x＋3)＝1的解是x＝________．2解析：原方程可化为lg(x2＋3x)＝1，∴x>0，x＋3>0，x2＋3x－10＝0，解得x＝2.8.(5分)若3x＝4y＝36，则2x＋1y＝________．1解析：3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得xlog63＝ylog64＝2，∴2x＝log63，2y＝log64，即1y＝log62，故2x＋1y＝log63＋log62＝1.9.(5分)已知log23＝a，log37＝b，则log1456＝________(用a，b表示)．3＋ab1＋ab解析：由log23＝a，log37＝b，得log27＝ab，则log1456＝log256log214＝log28＋log27log22＋log27＝3＋log271＋log27＝3＋ab1＋ab. 10.(15分)计算．(1)log535－2log573＋log57－log51.8；(2)log2748＋log212－12log242－1.解：(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.(2)原式＝log2748＋log212－log242－log22＝log27×1248×42×2＝log2122＝log22－23＝－32.。
高中数学《对数函数》题型战法试题及答案
第二章 函数2.5.1对数函数（题型战法）知识梳理一 对数的概念1.（1）；（2） （3）2.. .二 对数的运算法则（1）积 （2）商 （3）幂 （4）换底公式：，推论:.三 对数函数的图像与性质（1）定义域是()0+∞，，因此函数图象一定在y 轴的右边. （2）值域是实数集R . （3）函数图象一定过点()1,0.（4）当a >1时，log a y x =是增函数；当0<a <1时，log a y x =是减函数. （5）对数函数的图象（6）对数函数log a y x =和1log ay x=的图象关于x 轴对称.题型战法题型战法一 对数与对数的运算log 10a =log 1a a =log log a b Na a N a N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭N N lg log 10简记作log ln e N N 简记作()log log log a a a MN M N =+log log log aa a MM N N=-log log a a M M αα=)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a )1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a典例1．计算：(1)7lg142lg lg 7lg183-+-； (2)求x 的值：5log (lg )1x =.变式1-1．计算求值(1)()362189-⎛⎫--- ⎪⎝⎭；(2)221lg lg2log 24log log 32+++； (3)已知623a b ==，求11a b-的值．变式1-2．计算：13341log 2log 278⎛⎫-⨯+ ⎪⎝⎭．变式1-3．计算： (1)ln 2ln 3ln 36+； (2)22lg 2lg 52lg 2lg 5++； (3)23log 9log 4⋅；(4)414log 28log 56+； (5)154311lglog 9log 125log 10032+--；(6)81log 32+(8)235111log log log 2589⋅⋅．变式1-4．计算：(1)230223482e lg 2lg 5log 4log 927---⎛⎫-+++⨯ ⎪⎝⎭； (2)若3log 21x =，求22x x -+的值．题型战法二 对数函数的概念典例2．已知函数①4x y =；①log 2x y =；①3log y x =-；①log y =①3log 1y x =+；①()2log 1y x =+.其中是对数函数的是（ ） A ．①①① B ．①①① C ．①① D ．①①①变式2-1．给出下列函数：①223log y x =；①3log (1)y x =-；①(1)log x y x +=；①log e y x =.其中是对数函数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个变式2-2．下列函数是对数函数的是（ ） A ．y ＝ln x B ．y ＝ln(x ＋1) C ．y ＝log xe D ．y ＝log xx变式2-3．函数()()25log a f x a a x =+- 为对数函数，则18f ⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ）A ．3B ． 3-C ．3log 6-D ．3log 8-变式2-4．对数函数的图像过点M (125，3)，则此对数函数的解析式为（ ） A ．y ＝log 5x B ．y ＝15log x C ．y ＝13log xD ．y ＝log 3x题型战法三 对数函数的图像典例3．在同一坐标系中，函数2x y =与2log y x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．变式3-1．函数()xf x a -=与()log a g x x =-在同一坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．变式3-2．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b变式3-3．已知函数()log 31a y x =++(0a >且1)a ≠，则函数恒过定点（ ） A ．()1,0 B ．()2,0-C ．()0,1D ．()2,1-变式3-4．函数()log 231a y x =-+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ）题型战法四 对数函数的定义域典例4．函数()()ln 2f x x =-的定义域为（ ） A ．[)0,2 B ．(),2-∞ C ．[)0,∞+ D ．()0,2变式4-1．使式子(31)log (3)x x --有意义的x 的取值范围是（ ） A ．3x > B ．3x < C ．133x <<D ．133x <<且23x ≠变式4-2．函数y = ）A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．[1,2]D ．(1,2]变式4-3．函数()()01ln e 2xx f x -=-+） A ．()1,2 B ．()ln 2,2 C ．()()ln2,11,2⋃ D ．[)(]ln2,11,2⋃变式4-4．已知函数()21log xf x x-=，()1f x +的定义域为M ，()2f x 的定义域为N ，则（ ） A ．M N B ．M N ⋂=∅C ．M ⊆ND ．N ⊆M题型战法五 对数函数的值域典例5．函数ln(2)1y x =-+的值域为（ ） A ．R B ．(1,)+∞C ．[1,)+∞D ．(2,)+∞变式5-1．函数()2log 21xy =+的值域是（ ）A ．[1,)+∞B ．(0,1)C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞变式5-2．函数()()1lg 4211x x f x +=-+的最小值是（ ）．A ．10B ．1C ．11D ．lg11变式5-3．若函数()()2ln ,0,2,03x a x f x x x x ⎧--≤<=⎨-+≤≤⎩的值域为[)3,∞-+，则a 的取值范围是（ ）A ．)3e ,0⎡-⎣B ．31e ,e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．31e ,e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．31e ,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭变式5-4．已知函数()23log y x m =+的值域为[2,)+∞，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．9D ．27题型战法六 对数函数的单调性典例6．函数213log (2)y x x =-的单调减区间为（ ） A ．(0,1] B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[0,2]变式6-1．函数()()212log 6f x x x =-++的单调递增区间是（ ） A ．1,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭变式6-2．已知函数()()22log 45f x x x =--在(),a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．(],2-∞ C ．[)2,+∞ D ．[)5,+∞变式6-3．已知函数()log (3)a f x ax =-在[]0,1上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()1,3C ．()0,3D ．()1,+∞变式6-4．已知()()()2213,2log 23,2a x a x a x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨-->⎪⎩是(),-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．5,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[]1,6D ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型战法七 比较大小与解不等式典例7．若13π212log 3,log 3a b c ===，，则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c << D ．a b c <<变式7-1．设2log 0.3a =，122log 5b =，0.30.4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>变式7-2．若0.80.60.80.6log log 0.2a b c ===，，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>变式7-3．不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．1133x -<< B ．0x < C ．113x -<< D ．103x <<变式7-4．设函数()133,12log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()3f x ≤的x 的取值范围是（ ）A ．[)0,+∞B ．[)1,+∞C ．(),0-∞D ．[)0,1题型战法八 对数函数的应用典例8．人们常用里氏震级e M 表示地震的强度，S E 表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为2lg 4.83e s M E =-，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏4.2级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏6.0级地震，则后者释放的能量大约为前者的（ ）倍．(参考数据：0.30.710~2.00,10 5.01=) A ．180 B ．270 C ．500 D ．720变式8-1．中国的5G 技术领先世界，5G 技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C 取决于信道带宽W ，经科学研究表明：C 与W 满足2log (1)S C W N=+，其中S 是信道内信号的平均功率，N 是信道内部的高斯噪声功率，SN为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W ，而将信噪比S N从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）(附：lg 20.3010≈) A ．10%B ．20%C ．30%D ．40%变式8-2．中国的5G 技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C （单位：bit/s ）取决于信道宽度W （单位：HZ ）､信道内信号的平均功率S （单位：dB ）、信道内部的高斯噪声功率N （单位：dB ）的大小，其中SN叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度W 变为原来2倍，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）（附：lg 20.3≈） A ．110% B ．120% C ．130% D ．140%变式8-3．声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ） A ．105倍 B ．108倍 C ．1010倍 D ．1012倍变式8-4．某工厂2015年生产某产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年增产20%，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件（已知lg20.3010=，1g30.4771=）（ ）A ．2019年B ．2020年C ．2021年D ．2022年题型战法九 反函数典例9．已知函数()2log f x x =，其反函数为（ ）A ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()21log f x x=C ．()f x x =D ．()2xf x =变式9-1．函数21()1(2)2f x x x =+<-的反函数是（ ）A ．22(13)y x x =-≤<B ．22(3)y x x =->C ．22(13)y x x =--≤<D ．22(3)y x x =-->变式9-2．设函数()x f x a b =+（0a >，且1a ≠）的图象过点()0,1，其反函数的图象过点()2,1，则a b +等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5变式9-3．已知函数()3log f x x =与()g x 的图像关于y x =对称，则()1g -=（ ） A ．3 B ．13C ．1D ．1-变式9-4．与函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是（ ）A ．4x y =B ．4x y -=C ．14log y x= D ．4log y x =第二章 函数2.5.1对数函数（题型战法）知识梳理一 对数的概念1.（1）；（2） （3）2.. .二 对数的运算法则（1）积 （2）商 （3）幂 （4）换底公式：，推论:.三 对数函数的图像与性质（1）定义域是()0+∞，，因此函数图象一定在y 轴的右边. （2）值域是实数集R . （3）函数图象一定过点()1,0.（4）当a >1时，log a y x =是增函数；当0<a <1时，log a y x =是减函数. （5）对数函数的图象（6）对数函数log a y x =和1log ay x=的图象关于x 轴对称.题型战法题型战法一 对数与对数的运算典例1．计算：(1)7lg142lg lg 7lg183-+-； (2)求x 的值：5log (lg )1x =. 【答案】(1)0； (2)510.log 10a =log 1aa =log log ab Na a N a N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭N N lg log 10简记作log ln e N N 简记作()log log log a a a MN M N =+log log log aa a MM N N=-log log a a M M αα=)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a )1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab ba【解析】 【分析】（1）根据对数的运算法则计算即可；（2）根据对数的概念将对数式改为指数式即可求解.(1)原式()()()2lg 272lg7lg3lg7lg 32=⨯--+-⨯lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg2=+-++--=0；(2)55log (lg )1lg 510x x x =⇒=⇒=. 变式1-1．计算求值 (1)()362189-⎛⎫--- ⎪⎝⎭；(2)221lg lg2log 24log log 32+++； (3)已知623a b ==，求11a b-的值． 【答案】(1)44 (2)92(3)1 【解析】 【分析】（1）由指数的运算法则计算 （2）由对数的运算法则计算 （3）将指数式转化为对数式后计算 (1)()33622023218323172271449-⨯⎛⎫---=⨯--=--= ⎪⎝⎭；(2)221lg lg 2log 24log log 32+++()32232lg 2lg 2log 38log 3log 3=-++⨯+- 2239log 33log 322=++-=； (3)6log 3a =，2log 3b =，则31log 6a =，31log 2b=；所以33311log 6log 2log 31a b-=-==．变式1-2．计算：13341log 2log 278⎛⎫-⨯+ ⎪⎝⎭．【答案】12-. 【解析】 【分析】根据指数与对数的运算性质即可求解. 【详解】原式213321132231log 2log lg 2lg 532⎡⎤⎛⎫=-⨯+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎢⎥⎣⎭⎦ ()3213log 2lo 132g lg 2lg522+⨯=-⨯⨯+ ()3213log 2l 13og 102lg 22+⨯=-⨯⨯ 132122=-+ =12-． 变式1-3．计算： (1)ln 2ln 3ln 36+； (2)22lg 2lg 52lg 2lg 5++； (3)23log 9log 4⋅；(4)414log 28log 56+； (5)154311lglog 9log 125log 10032+--；(6)81log 32+(8)235111log log log 2589⋅⋅．【答案】(1)12 (2)1 (3)4 (4)12- (5)92- (6)1- (7)ln3e (8)12- 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质及换底公式逐一计算即可. (1)解：ln 2ln 3ln 61ln 362ln 62+==； (2)解：()222lg 2lg 52lg 2lg5lg 2lg51++=+=； (3)解：()2323log 9log 42log 32log 24⋅=⋅=；(4)解：2141444224111log 28log 56log 28log 56log log 2log 2222-+=-===-=-；(5)解：154311lg log 9log 125log 10032+--2223515231lg10log log 5log 23---⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭52232=---+92=-； (6)解：81log 32+32532log 2lg10-=+ 52133=-+=-； (7)1ln 3ln 3e ==+=；(8)解：235111log log log 2589⋅⋅232235log 5log 2log 3---=⋅⋅ 23512log 5log 2log 312=-⋅⋅=-.变式1-4．计算：(1)230223482e lg 2lg 5log 4log 927---⎛⎫-+++⨯ ⎪⎝⎭；(2)若3log 21x =，求22x x -+的值． 【答案】(1)14(2)103【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂、对数的运算法则及换底公式计算可得；（2）根据换底公式的性质得到2log 3x =，再根据指数对数恒等式得到2x ，即可得解；(1)解：230223482e lg 2lg 5log 4log 927---⎛⎫-+++⨯ ⎪⎝⎭222322322lg 22lg 5log 2log 2783⎛⎫=---+⨯ ⎪⎝⎭()2333239122lg2lg52log 2log 3222442⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=--+⎢+⋅=--⎝⎥+⎣=⎭⎦(2)解：3log 21x =，∴231log 3log 2x ==， ∴2o 3l g 223x ==，11022333x x -∴+=+=．题型战法二 对数函数的概念典例2．已知函数①4x y =；①log 2x y =；①3log y x =-；①log y =①3log 1y x =+；①()2log 1y x =+.其中是对数函数的是（ ） A ．①①① B ．①①① C ．①① D ．①①①【答案】C 【解析】依据对数函数的定义即可判断. 【详解】根据对数函数的定义，只有符合log a y x =（0a >且1a ≠）形式的函数才是对数函数，其中x 是自变量，a 是常数.易知，①是指数函数；①中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；①中313log log y x x =-=，是对数函数；①中0.04log log y x ==，是对数函数；①①中函数显然不是对数函数，由此可知只有①①是对数函数. 故选：C .变式2-1．给出下列函数：①223log y x =；①3log (1)y x =-；①(1)log x y x +=；①log e y x =.其中是对数函数的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的特征判断即可得答案. 【详解】①①不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ； ①不是对数函数，因为对数的底数不是常数；①是对数函数． 故选:A.变式2-2．下列函数是对数函数的是（ ） A ．y ＝ln x B ．y ＝ln(x ＋1) C ．y ＝log xe D ．y ＝log xx【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的定义判断． 【详解】A 是对数函数，B 中真数是1x +，不是x ，不是对数函数，C 中底数不是常数，不是对数函数，D 中底数不是常数，不是对数函数．变式2-3．函数()()25log a f x a a x =+- 为对数函数，则18f ⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ）A ．3B ． 3-C ．3log 6-D ．3log 8-【答案】B 【解析】 【分析】可以先根据对数函数的性质来确定a 的取值范围，再带入18得出结果． 【详解】因为函数()f x 为对数函数，所以函数()f x 系数为1，即251a a +-=，即2a =或3-， 因为对数函数底数大于0， 所以2a =，()2log f x x =，所以138f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【点睛】对数函数的系数等于一、真数大于0、底数大于0且不等于1．变式2-4．对数函数的图像过点M (125，3)，则此对数函数的解析式为（ ） A ．y ＝log 5x B ．y ＝15log xC ．y ＝13log xD ．y ＝log 3x【答案】A 【解析】 【分析】设对数函数y ＝log ax (a >0，且a ≠1)，将点代入即可求解. 【详解】设函数解析式为y ＝log ax (a >0，且a ≠1)． 由于对数函数的图像过点M (125，3)， 所以3＝log a 125，得a ＝5. 所以对数函数的解析式为y ＝log 5x . 故选：A.题型战法三 对数函数的图像典例3．在同一坐标系中，函数2x y =与2log y x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合对数函数与指数函数的性质，即可得出结果. 【详解】由指数函数与对数函数的单调性知： 2x y =在R 上单调递增，2log y x =在()0+∞，上单调递增，只有B 满足. 故选：B.变式3-1．函数()xf x a -=与()log a g x x =-在同一坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分别讨论1a >和01a <<时函数()xf x a -=与()log a g x x =-在的单调性和所过定点，利用排除法即可求解. 【详解】由对数和指数函数的性质可得0a >且1a ≠，当1a >时，()xf x a -=过点()0,1在R 上单调递减，()log a g x x =-过点()1,0在()0,∞+单调递减，所以排除选项C ，当01a <<时，()xf x a -=过点()0,1在R 上单调递增，()log a g x x =-过点()1,0在()0,∞+单调递增，所以排除选项AD ， 故选：B.变式3-2．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小． 【详解】y ＝log ax 的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log bx ，y ＝log cx 的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b ，c ①（0，1），又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b . 故选：D ．变式3-3．已知函数()log 31a y x =++(0a >且1)a ≠，则函数恒过定点（ ） A ．()1,0 B ．()2,0-C ．()0,1D ．()2,1-【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数过定点求解. 【详解】令31+=x ，解得2x =-，1y =， 所以函数恒过定点()2,1-， 故选：D变式3-4．函数()log 231a y x =-+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．()2,1 B ．()2,0C ．()2,1-D ．()1,1【答案】A 【解析】 【分析】令真数为1，求出x 的值，再代入函数解析式可得定点P 的坐标. 【详解】令231x -=，可得2x =，此时log 111a y =+=，故点P 的坐标为()2,1. 故选：A.题型战法四 对数函数的定义域典例4．函数()()ln 2f x x =-的定义域为（ ） A ．[)0,2 B ．(),2-∞C ．[)0,∞+D ．()0,2【答案】A【解析】 【分析】由对数函数的性质和二次根式的性质求解． 【详解】由题意020x x ≥⎧⎨->⎩，解得02x ≤<．故选：A ．变式4-1．使式子(31)log (3)x x --有意义的x 的取值范围是（ ） A ．3x > B ．3x < C ．133x <<D ．133x <<且23x ≠【答案】D 【解析】 【分析】对数函数中，底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式，求出x 的取值范围. 【详解】由题意得：31031130x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得：133x <<且23x ≠.故选：D变式4-2．函数y =的定义域为（ ）A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．[1,2]D ．(1,2]【答案】D 【解析】 【分析】根据根式、对数函数的性质有011x <-≤，即可得定义域. 【详解】由题设，12log (1)0x -≥，即011x <-≤，可得12x <≤. 所以函数定义域为(1,2]. 故选：D变式4-3．函数()()1ln e 2x x f x -=-+）A ．()1,2B ．()ln 2,2C ．()()ln2,11,2⋃D ．[)(]ln2,11,2⋃【答案】C 【解析】 【分析】根据使函数有意义得到不等式组，解得即可； 【详解】解：因为()()01ln e 2x x f x -=-，所以e 201020x x x ⎧->⎪-≠⎨⎪->⎩，解得ln 22x <<且1x ≠，所以函数的定义域为()()ln2,11,2⋃； 故选：C变式4-4．已知函数()21log xf x x-=，()1f x +的定义域为M ，()2f x 的定义域为N ，则（ ） A ．M N B ．M N ⋂=∅C ．M ⊆ND ．N ⊆M【答案】B 【解析】 【分析】分别求出()1f x +的定义域为M 和()2f x 的定义域为N 即可求解. 【详解】()21log 1xf x x -+=+，则{}10M x x =-<<， ()2122log 2xf x x -=，则102N x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，所以M N ⋂=∅，故选：B ．题型战法五 对数函数的值域典例5．函数ln(2)1y x =-+的值域为（ ）A ．RB ．(1,)+∞C ．[1,)+∞D ．(2,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】由ln y x =的值域为R 可得ln(2)1y x =-+的值域为R . 【详解】由对数函数ln y x =的值域为R ，向右平移2个单位得函数1ln(2)y x =-的值域为R ， 则ln(2)1y x =-+的值域为R ， 故选：A.变式5-1．函数()2log 21xy =+的值域是（ ）A ．[1,)+∞B ．(0,1)C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质可求原函数的值域. 【详解】设21x t =+，则211x t =+>，故()2log 210x+>， 故()2log 21xy =+的值域为(0,+∞故选：D.变式5-2．函数()()1lg 4211x x f x +=-+的最小值是（ ）．A ．10B ．1C ．11D ．lg11【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法，令14211x x t +=-+，则lg y t =，先求出t 的范围，从而可求出函数的最小值 【详解】设14211x x t +=-+，则lg y t =，因为()()221421122211211010x x x x x t +=-+=-⋅+=-+≥，所以lg lg101y t =≥=，所以()()1lg 4211x x f x +=-+的最小值为1，变式5-3．若函数()()2ln ,0,2,03x a x f x x x x ⎧--≤<=⎨-+≤≤⎩的值域为[)3,∞-+，则a 的取值范围是（ ）A ．)3e ,0⎡-⎣B ．31e ,e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．31e ,e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．31e ,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】求出当03x ≤≤和0a x ≤<时的取值范围，结合值域关系建立不等式进行求解即可 【详解】当03x ≤≤ 时，22()2(1)1[3,1]f x x x x =-+=--+∈- 当0a x ≤< 时，()ln()[ln(),)f x x a =--∈--+∞ 要使()f x 的值域为[)3,∞-+则3ln()1a -≤--≤ ，31e ea ∴-≤≤-故选：C变式5-4．已知函数()23log y x m =+的值域为[2,)+∞，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．9D ．27【答案】C 【解析】 【分析】根据对数型复合函数的性质计算可得； 【详解】解：因为函数()23log y x m =+的值域为[2,)+∞，所以2y x m =+的最小值为9，所以9m =；故选：C题型战法六 对数函数的单调性典例6．函数213log (2)y x x =-的单调减区间为（ ）A ．(0,1]B ．(0,2)C ．(1,2)D ．[0,2]【答案】A 【解析】先求得函数的定义域，利用二次函数的性质求得函数的单调区间，结合复合函数单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式220x x ->，即22(2)0x x x x -=-<，解得02x <<， 即函数()f x 的定义域为()0,2，令()22g x x x =-，可得其图象开口向下，对称轴的方程为1x =，当(0,1]x ∈时，函数()g x 单调递增，又由函数13log y x=在定义域上为单调递减函数， 结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数213log (2)y x x =-的单调减区间为(0,1]. 故选：A.变式6-1．函数()()212log 6f x x x =-++的单调递增区间是（ ） A ．1,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】同增异减”求得答案. 【详解】由题意，()2260602,3x x x x x -++>⇒--<⇒∈-，()212125log 24f x x ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，按照“同增异减”的原则可知，函数的单调递增区间是1,32⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.变式6-2．已知函数()()22log 45f x x x =--在(),a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．(],2-∞ C ．[)2,+∞ D ．[)5,+∞【答案】D 【解析】复合函数单调性问题，第一步确定定义域，第二步同增异减，即可得到答案. 【详解】由2450x x -->，得1x <-或5x >，即函数()f x 的定义域为(,1)(5+)-∞-∞，， 令245t x x =--，则()229t x =--，所以函数t 在(),1-∞-上单调递减，在(5+)∞，上单调递增，又函数lg y t =在()0,+∞上单调递增， 从而函数()f x 的单调递增区间为(5+)∞，，由题意知(+)(5+)a ∞⊆∞，，，①5a ≥ . 故选：D.变式6-3．已知函数()log (3)a f x ax =-在[]0,1上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,3 C ．()0,3 D ．()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性同增异减求得a 的取值范围. 【详解】由于0a >且1a ≠，所以3y ax =-为减函数， 根据复合函数的单调性同增异减可知1a >. 所以310131a a a -⨯>⎧⇒<<⎨>⎩.故选：B变式6-4．已知()()()2213,2log 23,2a x a x a x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨-->⎪⎩是(),-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．5,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[]1,6D ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据()f x 的单调性列不等式组，由此求得a 的取值范围. 【详解】因为()()()2213,2log 23,2a x a x a x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨-->⎪⎩是(),-∞+∞上的减函数，所以()21221422130a a a a -⎧≥⎪⎪>⎨⎪--+≥⎪⎩，解得562a ≤≤．故选：A题型战法七 比较大小与解不等式典例7．若13π212log 3,log 3a b c ===，，则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c << D ．a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性进行判断可. 【详解】因为103πππ221221,0log 1log 3log π=1,log log 103>==<<<=， 所以c b a <<， 故选：A变式7-1．设2log 0.3a =，122log 5b =，0.30.4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行求解判断即可. 【详解】因为22log 0.3log 10a =<=，122225log log log 2152b ==>=，0.3000.40.41c <=<=， 所以有b c a >>， 故选：B变式7-2．若0.80.60.80.6log log 0.2a b c ===，8，，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数与指数函数的性质判断． 【详解】由对数函数和指数函数性质得：0.6log 80<，0.80.8log 0.2log 0.81>=，0.800.61<<，所以b a c <<． 故选：D ．变式7-3．不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．1133x -<< B ．0x < C ．113x -<< D ．103x <<【答案】D 【解析】 【分析】. 【详解】由()211log 31133x x +<⇔-<<，由于1110333x x <<⇒-<<，而1133x -<<⇒103x <<，故不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是103x <<，A 选项是充要条件，B 选项是既不充分也不必要条件，C 选项是必要不充分条件. 故选：D.变式7-4．设函数()133,12log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()3f x ≤的x 的取值范围是（ ）A ．[)0,+∞B ．[)1,+∞C ．(),0-∞D ．[)0,1【答案】A 【解析】 【分析】分1x ≤和1x >两种情况解不等式即可 【详解】当1x ≤时，由()3f x ≤，得133x -≤，得11x -≤，解得01x ≤≤， 当1x >时，由()3f x ≤，得32log 3x -≤，得13x ≥，所以1x >， 综上，0x ≥， 故选：A题型战法八 对数函数的应用典例8．人们常用里氏震级e M 表示地震的强度，S E 表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为2lg 4.83e s M E =-，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏4.2级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏6.0级地震，则后者释放的能量大约为前者的（ ）倍．(参考数据：0.30.710~2.00,10 5.01=) A ．180 B ．270 C ．500 D ．720【答案】C 【解析】 【分析】设前者、后者的里氏震级分别为e e M M '''、，前者、后者释放出的能量分别为E '、E ''，根据已知关系式列式相减，利用对数运算法则可得． 【详解】设前者、后者的里氏震级分别为e e M M '''、，前者、后者释放出的能量分别为E '、E ''，则其满足关系2lg 4.83e s M E ''=-和2 4.83e s M lgE ''''=-，两式作差可以得到22lg lg ,33e e s s M M E E ''''''-=-，即 2.710s sE E '''=，所以 2.730.3101010500s s E E '''==÷≈，故选：C ．变式8-1．中国的5G 技术领先世界，5G 技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C 取决于信道带宽W ，经科学研究表明：C 与W 满足2log (1)SC W N=+，其中S 是信道内信号的平均功率，N 是信道内部的高斯噪声功率，SN为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）(附：lg 20.3010≈) A ．10% B ．20%C ．30%D ．40%【答案】B 【解析】 【分析】 先计算1000S N=和4000SN =时的最大数据传输速率1C 和2C ，再计算增大的百分比211C C C -即可. 【详解】 当1000SN=时，122log 1001log 1000C W W =≈； 当4000SN=时，222log 4001log 4000C W W =≈. 所以增大的百分比为：2122112log 4000lg 4000lg 4lg10001111log 1000lg1000lg1000C C C W C C W -+=-=-=-=-lg 42lg 220.30100.220%lg100033⨯==≈≈=. 故选：B.变式8-2．中国的5G 技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C （单位：bit/s ）取决于信道宽度W （单位：HZ ）､信道内信号的平均功率S （单位：dB ）、信道内部的高斯噪声功率N （单位：dB ）的大小，其中SN叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度W 变为原来2倍，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）（附：lg 20.3≈） A ．110% B ．120%C ．130%D ．140%【答案】D 【解析】 【分析】利用对数减法与换底公式可求得结果.【详解】 当1000SN=时，2log 1001C W =； 当40000SN=时，信道宽度W 变为原来2倍，22log 4001C W =. 因为222210002222log 4001log 10012log 400142log 10004114log 21lg 21 1.4log 1001log 1001log 10003W W W -+=-≈-=+=+≈.故选：D.变式8-3．声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ） A ．105倍 B ．108倍 C ．1010倍 D ．1012倍【答案】B 【解析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为12,x x ，根据题意得出()1140f x =，()260f x =，计算求12xx 的值.【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为12,x x ，()111210lg140110x f x -=⨯=⨯，2110x =， ()221210lg60110x f x -=⨯=⨯，6210x -=，所以81210x x =， 因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的810倍. 故选：B变式8-4．某工厂2015年生产某产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年增产20%，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件（已知lg20.3010=，1g30.4771=）（ ）A ．2019年B ．2020年C ．2021年D ．2022年【答案】D 【解析】 【分析】根据2016年开始每年比上一年增产20%，由()21206n +%>求解即可.【详解】2015年为初始值，再过1年，即2016年，产品的年产量为()2120%+， 再过n 年（n N ∈），这家工厂生产这种产品的年产量为()2120%n+，由()21206n +%>得，1.23n >，两边取对数得，lg1.2lg3n >， 即lg 3lg 3lg 30.4771 6.2lg1.2lg1212lg 2lg 310.60300.47711n >===≈-+-+-， 而n N ∈，故7n =，即2022年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件. 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于读懂函数模型，熟练掌握对数的运算，才能根据实际情况突破难点.题型战法九 反函数典例9．已知函数()2log f x x =，其反函数为（ ）A ．()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()21log f x x =C ．()f xD ．()2x f x = 【答案】D【解析】【分析】利用反函数定义求解.【详解】()2log f x x =的反函数为2log x y =，即2x y =，故其反函数为()2x f x =.故选：D变式9-1．函数21()1(2)2f x x x =+<-的反函数是（ ）A ．3)y x =≤<B ．3)y x =>C ．3)y x =≤<D ．3)y x =>【解析】【分析】 设211(2)2y x x =+<-，反解后可得反函数. 【详解】设211(2)2y x x =+<-，则3y >，且3)x y =>，故原函数的反函数为3)y x ==>， 故选：D.变式9-2．设函数()x f x a b =+（0a >，且1a ≠）的图象过点()0,1，其反函数的图象过点()2,1，则a b +等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】【分析】反函数过点(),m n ，则原函数过点(),n m【详解】()f x 反函数的图象过点(2,1),则)f 的图象过点(1,2) 所以0112a b a b ⎧+=⎨+=⎩,解得20a b =⎧⎨=⎩,所以2a b += 故选 ：A变式9-3．已知函数()3log f x x =与()g x 的图像关于y x =对称，则()1g -=（ ） A ．3B ．13C ．1D ．1- 【答案】B【解析】【分析】根据同底的指数函数和对数函数互为反函数可解.【详解】由题知()g x 是()3log f x x =的反函数，所以()3x g x =，所以()11133g --==.变式9-4．与函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是（ ） A ．4x y =B ．4x y -=C ．14log y x =D ．4log y x =【答案】C【解析】【分析】 利用函数x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数可得出结果.【详解】 因为函数x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数，且这两个函数的图象关于直线y x =对称， 因此，与函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是14log y x =. 故选：C.。
带标准答案对数与对数函数经典例题
经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1．将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1)(2)(3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值2．求值：解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：【变式1】求值(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即.类型四、换底公式的运用4．(1)已知log x y=a，用a表示；(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：a m=x，b n=x，c p=x∴，∴；方法二：.举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1)(2)；(3)法一：法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5．求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)举一反三：【变式1】求值：解：另解：设=m (m>0).∴，∴，∴，∴lg2=lgm，∴2=m，即.【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?解：∵∴，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6. 求下列函数的定义域：(1)；(2).思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数；(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y=(2) y=ln(a x-k·2x)(a>0且a¹1，kÎR).解：(1)因为，所以，所以函数的定义域为(1，)(，2).(2)因为a x-k·2x>0，所以()x>k.[1]当k≤0时，定义域为R；[2]当k>0时，(i)若a>2，则函数定义域为(k，+∞)；(ii)若0<a<2，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)；(iii)若a=2，则当0<k<1时，函数定义域为R；当k≥1时，此时不能构成函数，否则定义域为.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4]. 类型七、函数图象问题7．作出下列函数的图象：(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2) y=lg|x|；(3) y=-1+lgx.解：(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3).类型八、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.8. 比较下列各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)log a5.1，log a5.9(a>0且a≠1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4<log28.5；解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4<log28.5；解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4<log28.5；(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，y=log a x在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1<log a5.9当0<a<1时，y=log a x在(0，+∞)上是减函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1>log a5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=log a5.1，则，令b2=log a5.9，则当a>1时，y=a x在R上是增函数，且5.1<5.9所以，b1<b2，即当0<a<1时，y=a x在R上是减函数，且5.1<5.9所以，b1>b2，即.举一反三：【变式1】（2011 天津理7）已知则（）A．B．C．D．解析：另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得又∵为单调递增函数，∴故选C.9. 证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1<x2 则又∵y=log2x在上是增函数即f(x1)<f(x2)∴函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式1】已知f(log a x)=(a>0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=log a x(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=log a x为增函数，若t1<t2，则0<x1<x2，∴f(t1)-f(t2)=，∵0<x1<x2，a>1，∴f(t1)<f(t2)，∴f(t)在R上为增函数，当0<a<1时，同理可得f(t)在R上为增函数.∴不论a>1或0<a<1，f(x)在R上总是增函数.10．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵y=t为减函数，且0<t≤4，∴y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1<x<3.∴t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.∴函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.类型九、函数的奇偶性11. 判断下列函数的奇偶性. (1)(2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称又所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型十、对数函数性质的综合应用12．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是.解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；当a≠0时，有a>1.∴a的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或0≤a≤1，∴a的取值范围为0≤a≤1.13．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0).并且A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8)) (a>1)，如图.∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕∴S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+).由于a>1时，a2+8a>9，∴1<1+<，又函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，∴0<2log2(1+)<2log2，即0<S<2log2.(3)S=f(a)在定义域(1，+∞)上是减函数，证明如下：任取a1，a2，使1<a1<a2<+∞，则：(1+)-(1+)=16()=16·，由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴a1+a2+8>0，+8a2>0，+8a1>0，a1-a2<0，∴1<1+<1+，再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是可得f(a1)>f(a2)∴S=f(a)在(1，+∞)上是减函数.(4)由S>2，即得，解之可得：1<a<4-4.。
高一数学上册 第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)
高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若a某N(a0,且a1)，则某叫做以a为底N的对数，记作某logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：某logaNa某N(a0,a1,N0)．（2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logaabb．N；自然对数：lnN，即loge（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10…）．e2.71828（4）对数的运算性质如果a0,a1,M①加法：logaN（其中0,N0，那么MlogaNloga(MN)M②减法：logaMlogaNlogaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)④alogaNNnlogaM(b0,nR)bn⑤logabM⑥换底公式：logaNlogbN(b0,且b1)logba【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称定义函数对数函数yloga某(a0且a1)叫做对数函数a1y某10a1y某1yloga某yloga某图象O(1,0)O(1,0)某某定义域值域过定点奇偶性(0,)R图象过定点(1,0)，即当某1时，y0．非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数loga某0(某1)函数值的变化情况loga某0(某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近某轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴(6)反函数的概念设函数果对于yf(某)的定义域为A，值域为C，从式子yf(某)中解出某，得式子某(y)．如y在C中的任何一个值，通过式子某(y)，某在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子某(y)表示某是y的函数，函数某(y)叫做函数yf(某)的反函数，记作某f1(y)，习惯上改写成yf1(某)．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将某yf(某)中反解出某f1(y)；f1(y)改写成yf1(某)，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数②函数yf(某)与反函数yf1(某)的图象关于直线y某对称．yf(某)的定义域、值域分别是其反函数yf1(某)的值域、定义域．yf(某)的图象上，则P"(b,a)在反函数yf1(某)的图象上．③若P(a,b)在原函数④一般地，函数yf(某)要有反函数则它必须为单调函数．一、选择题：1．log89的值是log23A．（）23B．1C．32D．22．已知某=2+1,则log4(某3－某－6)等于A.（）C.0D.32B.54123．已知lg2=a，lg3=b，则lg12等于lg15（）A．2ab1abB．a2b1abC．2ab1abD．a2b1ab4．已知2lg(某－2y)=lg某＋lgy，则某的值为 yA．1B．4（）C．1或4C．(C．ln5D．4或-1（）5.函数y=log1(2某1)的定义域为2A．(1，＋∞)B．［1，＋∞)2B．5e1，1]2D．(－∞，1)（）D．log5e（）y6.已知f(e某)=某，则f(5)等于A．e57．若f(某)loga某(a0且a1),且f1(2)1,则f(某)的图像是yyyABCD8．设集合A{某|某10},B{某|log2某0|},则AB等于A．{某|某1}C．{某|某1}B．{某|某0}D．{某|某1或某1}2O某O某O某O某（）9．函数yln某1,某(1,)的反函数为（）某1e某1,某(0,)B．y某e1e某1,某(,0)D．y某e1e某1,某(0,)A．y某e1e某1,某(,0)C．y某e1二、填空题：10．计算：log2.56.25＋lg11log23＋lne＋2=10011．函数y=log4(某－1)2(某＜1的反函数为__________．12．函数y=(log1某)2－log1某2＋5在2≤某≤4时的值域为______．44三、解答题：13．已知y=loga(2－a某)在区间{0，1}上是某的减函数，求a的取值范围．14．已知函数f(某)=lg[(a2－1)某2＋(a＋1)某＋1]，若f(某)的定义域为R，求实数a的取值范围．15．已知f(某)=某2＋(lga＋2)某＋lgb，f(－1)=－2，当某∈R时f(某)≥2某恒成立，求实数a的值，并求此时f(某)的最小值？一、选择题：.15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.25y8413，14.y=1－2某(某∈R)，217.解析：因为a是底，所以其必须满足a>0且a不等于1a>0所以2-a某为减函数，要是Y=loga(2-a某)为减函数，则Y=loga（Z）为增函数，得a>1又知减函数区间为[0,1]，a必须满足2-a某0>02-a某1>0即得a扩展阅读：高一数学上册_第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若a某N(a0,且a1)，则某叫做以a为底N的对数，记作某logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：某logaNa某N(a0,a1,N0)．（2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logbaab．（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828…）．（4）对数的运算性质如果a0,a1,M0,N0，那么①加法：logaMlogaNloga(MN)②减法：logaMlogaNlogMaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)log④aaNN⑤lognnabMblogaM(b0,nR)⑥换底公式：logbNaNloglog(b0,且b1)ba【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数yloga某(a0且a1)叫做对数函数a10a1y某1ylog某1a某yyloga某图象(1,0)OO(1,0)某某定义域(0,)值域R 过定点图象过定点(1,0)，即当某1时，y0．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数loga某0(某1)loga某0(某1)函数值的变化情况loga某0(某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)loga某0(0某1)a变化对在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴④一般地，函数yf(某)要有反函数则它必须为单调函数．图象的影响(6)反函数的概念设函数yf(某)的定义域为A，值域为C，从式子yf(某)中解出某，得式子某(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子某(y)，某在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子某(y)表示某是y的函数，函数某(y)叫做函数yf(某)的反函数，记作某f1(y)，习惯上改写成yf1(某)．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式yf(某)中反解出某f1(y)；③将某f1(y)改写成yf1(某)，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数②函数yf(某)与反函数yf1(某)的图象关于直线y某对称．yf(某)的定义域、值域分别是其反函数yf1(某)的值域、定义域．yf(某)的图象上，则P(b,a)在反函数yf(某)的图象"1③若P(a,b)在原函数上．一、选择题：1．log89log的值是23A．23B．12．已知某=2+1,则log4(某3－某－6)等于A.3B.5243．已知lg2=a，lg3=b，则lg12lg15等于A．2ab1abB．a2b1abD．a2b1ab4．已知2lg(某－2y)=lg某＋lgy，则某y的值为A．1B．45.函数y=log1(2某1)的定义域为2A．(12，＋∞)B．［1，＋∞)1)6.已知f(e某)=某，则f(5)等于C．32（）C.0（）C．（）C．1或4C．(12，1]（）D．2D.122ab1abD．4或-1）D．(－∞，（）A．e5B．5eC．ln5D．log5e7．若f(某)loga某(a0且a1),且f1(2)1,则f(某)的图像是（）yyyyABCDO某O某某OO某8．设集合A{某|某210},B{某|lo2某g0|}则,AB等于（）A．{某|某1}B．{某|某0}C．{某|某1}D．{某|某1或某1}9．函数yln某1某1,某(1,)的反函数为（）A．ye某1e某1,某(0,)B．ye某1e某1,某(0,)C．ye某1e某1e某1,某(,0)D．ye某1,某(,0)二、填空题：10．计算：log2.56.25＋lg1100＋lne＋21log23=（11．函数y=log4(某－1)2(某＜1的反函数为__________．12．函数y=(log1某)2－log1某2＋5在2≤某≤4时的值域为______．44三、解答题：13．已知y=loga(2－a某)在区间{0，1}上是某的减函数，求a的取值范围．14．已知函数f(某)=lg[(a2－1)某2＋(a＋1)某＋1]，若f(某)的定义域为R，求实数a的取值范围．15．已知f(某)=某2＋(lga＋2)某＋lgb，f(－1)=－2，当某∈R时f(某)≥2某恒成立，求实数a的值，并求此时f(某)的最小值？一、选择题：.132，14.y=1－2某(某∈R)，15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.254y817.解析：因为a是底，所以其必须满足a>0且a不等于1a>0所以2-a某为减函数，要是Y=loga(2-a某)为减函数，则Y=loga（Z）为增函数，得a>1又知减函数区间为[0,1]，a必须满足2-a某0>02-a某1>0即得a。
对数函数知识点及典型例题讲解
对数函数知识点1．对数：(1) 定义：如果N a b =)1,0(≠>a a 且，那么称 为 ，记作 ，其中a 称为对数的底，N 称为真数. ① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________．② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数，N e log 记作_________． (2) 基本性质：① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ；③ 1log =a a ； ④ 对数恒等式：N a N a =log ． (3) 运算性质：① log a (MN)＝___________________________； ② log a NM ＝____________________________；③ log a M n＝ (n ∈R).④ 换底公式：log a N ＝ (a >0，a ≠1，m >0，m ≠1，N>0)⑤ log mna a nb b m = .2．对数函数：① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4) 函数x y a log =与函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴)；4) 函数y ＝log a x 与 的图象关于x 轴对称． ③ 函数值的变化特征：例1 计算：（1）)32(log32-+（2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-;（3）21lg 4932-34lg 8+lg 245.例2 比较下列各组数的大小.（1）log 332与log 556; （2）log 1.10.7与log 1.20.7;（3）已知log 21b ＜log 21a ＜log 21c,比较2b ,2a ,2c 的大小关系.例3已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 试求a 的取值范围.函数y=log 2x 的图象交于C 、D 两点.例4 已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行与 （1）证明:点C 、D 和原点O 在同一直线上； （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.1解：（1）方法一 利用对数定义求值 设)32(log32-+=x, 则(2+3)x=2-3=321+=（2+3）-1,∴x=-1.方法二 利用对数的运算性质求解)32(log 32-+=32log +321+=32log+(2+3)-1=-1.（2）原式=lg 2（2lg 2+lg5）+12lg 2)2(lg 2+-=lg 2(lg2+lg5)+|lg 2-1| =lg 2+(1-lg 2)=1. （3）原式=21（lg32-lg49）-34lg821+21lg245 =21 (5lg2-2lg7)-34×2lg 23+21 (2lg7+lg5) =25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5 =21lg(2×5)= 21lg10=21. 2解：（1）∵log 332＜log 31=0, 而log 556＞log 51=0,∴log 332＜log 556.(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2, ∴0＞2.1log 1.1log 7.00.7>, ∴2.1log 11.1log 17.07.0<,即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7.方法二 作出y=log 1.1x 与y=log 1.2x 的图象. 如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7. (3)∵y=x 21log 为减函数，且c a b 212121log log log <<, ∴b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c .3解：当a ＞1时，对于任意x ∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x 在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x ∈［3，+∞），有f(x)≥log a 3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立. 只要log a 3≥1=log a a 即可，∴1＜a ≤3. 当0＜a ＜1时，对于x ∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f （x ）=log a x 在［3，+∞）上为减函数，∴-f （x ）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x ∈［3，+∞）都有 |f(x)|=-f(x)≥-log a 3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立， 只要-log a 3≥1成立即可， ∴log a 3≤-1=log a a1,即a 1≤3,∴31≤a ＜1. 综上，使|f(x)|≥1对任意x ∈［3，+∞）都成立的a 的取值范围是：(1，3］∪［31，1）.例4（1）证明 设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2, 由题设知x 1＞1,x 2＞1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2. 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2), 由于log 2x 1=2log log 818x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2, OC 的斜率为k 1=118112log 3log x x x x =, OD 的斜率为,log 3log 2282222x x x x k ==由此可知k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一直线上. （2）解： 由于BC 平行于x 轴，知log 2x 1=log 8x 2，即得log 2x 1=31log 2x 2,x 2=x 31, 代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2，得x 31log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1＞1,知log 8x 1≠0,故x 31=3x 1, 又因x 1＞1,解得x 1=3,于是点A 的坐标为（3，log 83).训练1：化简求值. （1）log 2487+log 212-21log 242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是 （ ）A.log a bb bba1loglog 1<< B.bbb baa1log 1log log << C.b bb aba1log 1log log << D.b bb aablog 1log 1log <<训练3：已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞, 1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.训练4：已知函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x). （1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.1解：(1)原式=log 2487+log 212-log 242-log 22=log 2.232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.（3）原式=(.452lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++2解： C3解：令g(x)=x 2-ax-a,则g(x)=（x-2a ）2-a-42a , 由以上知g(x ）的图象关于直线x=2a 对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log 2g(x)的底数2＞1, 在区间（-∞,1-3］上是减函数， 所以g(x)=x 2-ax-a 在区间（-∞,1-3］上也是单调减函数，且g(x)＞0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>-----≥⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-0)31()31(3220)31(2312a a a g a ，即解得2-23≤a ＜2.故a 的取值范围是{a|2-23≤a ＜2}.4解：（1）f(x)有意义时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-+,③0,②01,①011x p x x x 由①、②得x ＞1,由③得x ＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p ＞1,f(x)的定义域是(1,p).（2）f(x)=log 2［(x+1)(p-x)］ =log 2［-（x-21-p ）2+4)1(2+p ］ (1＜x ＜p), ①当1＜21-p ＜p ，即p ＞3时， 0＜-(x-4)1(4)1()21222+≤++-p p p , ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ≤2log 2(p+1)-2. ②当21-p ≤1，即1＜p ≤3时， ∵0＜-(x-),1(24)1()2122-<++-p p p ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ＜1+log 2(p-1). 综合①②可知： 当p ＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log 2(p+1)-2］; 当1＜p ≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log 2(p-1)). 1．处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.2．对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.3．含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类. 4．含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.。
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对数函数的定义：
函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 对数的四则运算法则：
若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则
(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a
a a M M N N
=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1log = 对数函数的图像及性质
例1．已知x =4
9时，不等式 log a (x 2–x – 2)＞log a (–x 2 +2x + 3)成立， 求使此不等式成立的x 的取值范围.
解：∵x =49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]＞log a )34
92)49(1[2+⋅+⋅ 即log a 1613＞log a 1639. 而1613＜16
39. 所以y = log a x 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ，解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<<-<<->-<2513121x x x x 或.
故使不等式成立的x 的取值范围是)25,
2( 例2．求证：函数f (x ) =x x -1log 2
在(0, 1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1，
则f (x 2)–f (x 1) = 212
221log log 11x x x x ---21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 21122x x x x --⋅ ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴12x x ＞1，2111x x --＞1. 则2
112211log x x x x --⋅＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数
例3．已知f (x ) = log a (a –a x ) (a ＞1).
（1）求f (x )的定义域和值域；（2）判证并证明f (x )的单调性.
解：（1）由a ＞1，a –a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1. 故f (x )的定义域为( -∞,1)， 而a x ＜a ，可知0＜a –a x ＜a ，又a ＞1. 则log a (a –a x )＜lg a a = 1.
取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞, 1).
（2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1，∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a-2x a ，
∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )，
即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(1, +∞)上为减函数.。