自动控制原理实验教程第2章
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《自动控制原理》第2章 线性系统的传递函数
+
anc(t)
=
b0
dm dtm
r(t)
+
b1
d m−1 d t m −1
r(t)
++
bm−1
d dt
r(t)
+
bmr(t)
(m n)
设r(t), c(t)及各阶导数在t=0时的值均为零(零初始条件)， 则对方程两端求拉氏变换，可得系统的传递函数
Ch2 控制系统的数学模型
◼ 传递函数的一般形式：
Ch2 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
本章内容
❖ 引言 ❖ 物理系统的微分方程 ❖ 拉氏变换与拉氏反变换 ❖ 线性系统的传递函数 ❖ 方框图及其等效变换 ❖ 信号流图与Mason公式*
Ch2 控制系统的数学模型
2.3 线性系统的传递函数
一. 传递函数的定义
Ux(s) =
I
(s) − I2(s) sC1
(2)
I 2 (s)
=
Ux
(s) −Uo(s) R2
(3)
U o (s)
=
I 2 (s) sC2
(4)
Ch2 控制系统的数学模型
I (s) = Ui (s) −U x (s) (1) R1
Ui _
I
1/R1
Ux
Ux(s) =
I
(s) − I2(s) sC1
Uo (s)
Ui (s) （b）
I(s) Uo (s)
Ch2 控制系统的数学模型
I(s)
（c）
Uo (s)
Ui (s)
I(s)
－ Uo (s) （d）
自动控制原理第2章
自动控制理论
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
自动控制原理实验教程
Ui(S )
TS
(3) 阶跃响应： Uo(t) = K + 1 t
T
(t ≥ 0)
(4) 模拟电路图：如图 1.1-6 所示。
其中 K = R1 / R0 ； T = R0C
4
自动控制原理
第 1 章 线性系统的时域分析
比例积分环节
R1
C
Ui
R0
_
10K
信号输入端
反相器
10K _
R0 = R1 = 200K; C = 1uF 或 2uF
Ui(S)
1
Uo(S)
TS
(2) 传递函数： Uo(S) = 1
Ui(S) TS
(3) 阶跃响应： Uo(t) = 1 t (t ≥ 0)
T
(4) 模拟电路图：如图 1.1-4 所示。
图 1.1-3
其中 T = R0C
Ui
R0
信号输入端
积分环节 C
_
反相器
10K
10K
_
Uo
输出测量端
R0 = 200K; C = 1uF 或 2uF
图 1.1-4 3
自动控制原理
(5) 理想与实际阶跃响应曲线对照： ① 取 R0 = 200K；C = 1uF。
理想阶跃响应曲线
Uo 无穷
Uo(t)
1 Ui(t)
0 0.2s
t
② 取 R0 = 200K；C = 2uF。
第 1 章 线性系统的时域分析
实测阶跃响应曲线
Uo
10V
Uo(t)
1 Ui(t)
(5) 理想与实际阶跃响应曲线对照： ① 取 R0 = R1 = 200K；C = 1uF。
图 1.1-6
《自动控制原理》课件第二章
Cen idRd
Ld
d id dt
ud
(2-4)
当略去电动机的负载力矩和粘性摩擦力矩时，机械运动
微分方程式为
M GD2 d n 375 d t
(2-5)
式中，M为电动机的转矩(N·m)； GD2为电动机的飞轮矩
(N·m2)。当电动机的励磁不变时，电动机的转矩与电枢电
流成正比，即电动机转矩为
M=Cmid
称为相似量。如式(2-1)中的变量ui、uo分别与式(2-3)中的变
量f(t)、y(t)为对应的相似量。
2.1.2 线性定常微分方程求解及系统运动的模态 当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条
件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变 化的特性。
若线性定常连续系统的微分方程模型的一般表示形式为 y(n)(t)+a1y(n－1)(t)+···+any(t)=b0u(m)(t)+b1u(m－1)(t)+…+bmu(t)
x0
( x x0 )2
当增量x－x0很小时，略去其高次幂项，则有
y
y0
f (x)
f (x0)
d f (x) dx
x0
(x x0)
令Δy=y－y0=f(x)－f(x0)，Δx=x－x0，K=(df(x)/dx)|x0，则线性
化方程可简记为Δy=KΔx。这样，便得到函数y=f(x)在工作
点A附近的线性化方程为y=Kx。
图2-4 小偏差线性化示意图
对于有两个自变量x1、x2的非线性函数f(x1，x2)，同样 可在某工作点(x10，x20)附近用泰勒级数展开为
y
f (x1 ，x2 )
f
自控原理cp2第二章
23
叠加原理
叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或 叫齐次性）。
例： 设线性微分方程式为
d 2c(t) dc(t) c(t) r(t) dt dt
若 r(t) r1(t) 时，方程有解 c1(t)，而 r(t) r2(t)时，
方程有解 c2(t) ，分别代入上式且将两式相加，则显 然有，当 r(t) r1(t) ＋r2 (t) 时，必存在解 为 c(t) c1(t) c2(t) ，即为可叠加性。
ur
8
• 例3. 设有一弹簧•质 量• 阻尼动力系统如 图所示，当外力F(t)作 用于系统时，系统将
产生运动，试写出外 力F(t)与质量块的位移 y(t)之间的动态方程。 其中弹簧的弹性系数 为k，阻尼器的阻尼系 数为f，质量块的质量 为m。
F(t) f
k M y(t)
解：分析质量块m受力，有
基本步骤： 分析各元件工作原理,明确输入、输 出量 建立输入、输出量的动态联系 消去中间变量 标准化微分方程
4
列写微分方程的一般方法
• 例1. 列写如图所示RC网络的微分方程。 R
i
ur
C
uc
5
解：由基尔霍夫定律得:
ur
Ri
1 C
idt
uc
1 C
idt
i＝C duC dt
1 C2s
(1 R1C1s)(1 R2C2 s)
Ur (s)
1 R1 C1s
R1C1C2 s 2
R1
1 C1s
(c)
R2
1 Cs
Uc
(s)
R2
自控控制原理第2章课件
第一节 列写系统微分方程
人们常将描述系统工作状态的各物理量随时间变化的规律 用数学表达式或图形表示出来，这种描述系统各个物理量之间 关系的数学表达式或图形称为系统的数学模型。
建立数学模型有两种方法：机理分析法和实验辨识法。机 理分析法是通过理论推导得出，这种方法是根据各环节所遵循 的物理规律来编写；实验辨识法是由实验求取，即根据实验数 据通过整理编写出来。
Ld Rd
Tm
GD2 375
Rd cmce
则得
TmTd
d 2n dt 2
Tm
dn dt
n
ud ce
6
列写系统微分方程
以上两例中的物理部件（环节）不尽相同，但它们的数学 模型却是相同的。我们把具有相同数学模型的不同物理系统称 之为相似系统。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相 似量。
对于同一个物理系统，当输入量、输出量改变时，所求出 的数学模型却是不同的。利用相似系统的概念，我们可以用一 个易于实现的系统来研究与其相似的复杂系统，并根据相似系 统的理论出现了仿真研究法。
C
R
uo
C
11
列写系统微分方程
方法一：从第一个电容、电阻网络环节列出微分方程：
RC
duo dt
uo
uo1
从第二个电容、电阻网络环节列出微分方程：
RC
duo1 dt
uo1
ui
代入上式中得：
(RC)2
d 2uo dt 2
2RC
duo dt
uo
ui
但实际上第一个网络和第二个网络之间存在负载效应（耦合），因此 它们不能划分为独立的两个环节。
di ed id Rd Ld dt ud ed cen
根据电动机力矩平衡原理列微分方程
人们常将描述系统工作状态的各物理量随时间变化的规律 用数学表达式或图形表示出来，这种描述系统各个物理量之间 关系的数学表达式或图形称为系统的数学模型。
建立数学模型有两种方法：机理分析法和实验辨识法。机 理分析法是通过理论推导得出，这种方法是根据各环节所遵循 的物理规律来编写；实验辨识法是由实验求取，即根据实验数 据通过整理编写出来。
Ld Rd
Tm
GD2 375
Rd cmce
则得
TmTd
d 2n dt 2
Tm
dn dt
n
ud ce
6
列写系统微分方程
以上两例中的物理部件（环节）不尽相同，但它们的数学 模型却是相同的。我们把具有相同数学模型的不同物理系统称 之为相似系统。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相 似量。
对于同一个物理系统，当输入量、输出量改变时，所求出 的数学模型却是不同的。利用相似系统的概念，我们可以用一 个易于实现的系统来研究与其相似的复杂系统，并根据相似系 统的理论出现了仿真研究法。
C
R
uo
C
11
列写系统微分方程
方法一：从第一个电容、电阻网络环节列出微分方程：
RC
duo dt
uo
uo1
从第二个电容、电阻网络环节列出微分方程：
RC
duo1 dt
uo1
ui
代入上式中得：
(RC)2
d 2uo dt 2
2RC
duo dt
uo
ui
但实际上第一个网络和第二个网络之间存在负载效应（耦合），因此 它们不能划分为独立的两个环节。
di ed id Rd Ld dt ud ed cen
根据电动机力矩平衡原理列微分方程
自动控制原理第2章课后习题及解答
uc
= R1RL2C ur
2-3 证明图 2-34 (a) 所示的力学系统和图 2-34 (b) 所示的电路系统是相似系统（即 有相同形式的数学模型）。
图 2-34 系统原理图
解
(a) 取A、B两点分别进行受力分析，如图解2-3(a)所示。对A点有
k2 (x − y) + f 2 (x − y) = f1 ( y − y1 )
9
- 17 -
(3)
X (s) =
1
s(s + 2)3 (s + 3)
(4) X (s) =
s +1
s(s 2 + 2s + 2)
解
(1) x(t) = et−1
(2)
原式
=
2 3
⋅
s
2
3 + 32
x(t) = 2 sin 3t 3
(3)
原式 ＝ −1 + 1 − 3 + 1 + 1 2(s + 2)3 4(s + 2)2 8(s + 2) 24s 3(s + 3)
+
1 C2R2
uc
=
du
2 r
dt 2
+
2 CR
dur dt
+
1 C2R2
ur
(c) 由图解 2-2（c）可写出
Ur (= s) R1 [I1(s) + I2 (s)] + (Ls + R2 )I2 (s) (6)
1 Cs
I1
(s)
=
(Ls
+
R2
)I2
(s)
(7)
自动控制原理第2章
拉普拉斯变换
因果
t f1 (t) f (t)e
s jw
象函数
( jw )t w F1 ( ) f (t )e dt
0
正LT
F(s) f (t)e dt
st
0
原函数 逆LT
1 jw st f (t ) F ( s )e ds w 2j j
d 2 y (t ) F (t ) mg Fk (t ) Ff (t ) m dt 2 由虎克定律：
Fk (t ) k[ y(t ) y0 ]
其中ky0 mg
摩擦力和速度成正比：
非重根系数的计算
cr +1 ,...,cn按式2-12或2-13计算获得；
重根系数的计算 cr ,cr -1 ,...,c1按下式计算：
cr lim( s - s1 ) r F ( s) d cr -1 lim [( s - s1 ) r F ( s )] s s1 ds ... cr - j ... 1 d (r-1) r c1 = [( s s ) 1 F ( s )] lim j (r -1)! s s1 ds1 1 d (j) lim j [( s - s1 ) r F ( s )] j! s s1 ds1
无量纲化
可用数学模型
标准化
标准数学模型
数学模型的分类
按输入输出的表达形式
微分方程（时间域）
传递函数（复数域）
动态结构图（各元件传函的连接关系） 响应曲线（step、pulse） 频率特性（bode图、nyquist图、nichols图）
状态变量形式
• 静态数学模型 • 动态数学模型
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2020/2/18
自动控制原理实验教程
【范例2-8】已知系统，。求负反馈闭环传递函数。
G(s)
2s2 5s 1 s2 2s 3
H (s) 5(s 2) s 10
【自我实践2-6】已知系统，求它的单位负反馈闭环传递函 数。
G(s) 2s 1 s2 2s 3
2020/2/18
2020/2/18
自动控制原理实验教程
【范例2-3】已知系统传递函数
G(s)
10 s 5
(s 0.5)(s 2)(s 3)
【自我实践2-2】建立控制系统的零极点模型：
G(s) 8(s 1 j)(s 1 j) s 2 (s 5)(s 6)(s 2 1)
2020/2/18
自动控制原理实验教程
2. 实验原理 动态特性可采用阶跃响应或脉冲响应测量法，即给被测对 象施加阶跃输入信号或脉冲输入信号，利用示波器或记录 仪测量被测对象的输出响应，如图所示。
阶跃信号 或
脉冲信号
被测对象
uc
超低频示波器 或
数字示波器
ur
2020/2/18
自动控制原理实验教程
G(s) b0sm b1sm1 ... bm num(s) , a0sn a1s n1 ... an den(s)
nm
在MATLAB中用分子、分母多项式系数按s的降幂次序构 成两个向量： num = [ b0 , b1 ,…, bm ] ，den = [ a0 , a1 ,…, an]。
第2章 控制系统的数学模型
实验一 基于MATLAB/Simulink建立控制系统数学模型
1. 实验目的
（1）熟悉MATLAB实验环境，掌握MATLAB命令窗口的基本操作。 （2）掌握MATLAB建立控制系统数学模型的命令及模型相互转换的 方法。 （3）掌握使用MATLAB命令化简模型基本连接的方法。 （4）学会使用Simulink模型结构图化简复杂控制系统模型的方法。
自动控制原理实验教程
（4）用系统Simulink模型结构图化简控制系统模型 【范例2-9】已知系统结构图，求系统闭环传递函数 。
1
5
1
1
s+1
s+2
R(s)
C(s)
G1
G2
2020/2/18
自动控制原理实验教程
3. 实验能力要求
（1）熟练使用各种函数命令建立控制系统数学模型。 （2）完成实验的范例题和自我实践，并记录结果。
2020/2/18
自动控制原理实验教程
用函数tf ( ) 来建立控制系统的传递函数模型， 用函数printsys ( ) 来输出控制系统的函数， 其命令调用格式为：
sys = tf ( num , den ) 和printsys ( num , den )
Tips：对于已知的多项式模型传递函数，其分子、分母多 项式系数两个向量可分别用sys.num{1}与sys.den{1}命令 求出。
2020/2/18
自动控制原理实验教程
实验二 典型环节模拟电路及其数学模型
1. 实验目的 （1）掌握典型环节模拟电路的构成，学会运用模拟电子 组件构造控制系统。 （2）观察和分析各典型环节的单位阶跃响应曲线，掌握 它们各自的特性。 （3）掌握各典型环节的特征参数的测量方法，并根据阶 跃响应曲线建立传递函数。
若G（s）为闭环前向通道的传递函数sys1，H （s）为反馈函数的传递函数sys2，
则feedback（）函数调用格式为：
sys = feedback（sys1, sys2, sign）
其中sign是反馈极性，sign缺省时，默认为 负反馈，sign＝-1；正反馈时，sign＝1， 单位反馈时，sys2＝1，且不能省略。
G(s)
s2 5s 6 s3 2s2 s
【自我实践2-4】建立控制系统的多项式模 型。
G(s) 8(s 1)(s 2) s(s 5)(s 6)(s 3)
2020/2/18
自动控制原理实验教程
（3）控制系统反馈连接之后的等效传递函数
两个环节反馈连接后，其等效传递函数可用 feedback ( ) 函数求得。
5 1)(s2
4s
4)
2020/2/18
自动控制原理实验教程
2）零极点增益模型
零极点模型是是分别对原传递函数的分子、分母进行因式 分解，以获得系统的零点和极点的表示形式。
G(s) K (s z1 )(s z2 ) (s zm ) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
式中，K为系统增益，z1，z2，…，zm为系统零点，p1， p2，…，pn为系统极点。 在MATLAB中，用向量z，p，k构成矢量组 [ z, p, k ] 表示 系统。即 z = [ z1, z2 ,…,zm ] ，p = [ p1, p2,…, pn ] ，k = [ k ] 用函数命令zpk ( ) 来建立系统的零极点增益模型，其函数 调用格式为： sys = zpk ( z, p, k )
2020/2/18
自动控制原理实验教程
2. 实验内容
（1）控制系统模型的建立 控制系统常用的数学模型有四种：传递函数模型（tf对 象）、零极点增益模型（zpk对象）、结构框图模型和状 态空间模型（ss对象）。经典控制理论中数学模型一般 使用前三种模型，状态空间模型属于现代控制理论范畴。
1）传递函数模型（也称为多项式模型） 连续系统的传递函数模型为：
【范例2-1】已知系统传递函数
G(s)
s3
s 3 2s2 2s
1
2020/2/18
自动控制原理实验教程
【范例2-2】已知系统传递函数
G(s)
5(s 2)2 (s1)
【自我实践2-1】建立控制系统的传递函数模型：
G(s)
s(s
（2）控制系统模型间的相互转换 [num , den] = zp2tf ( z, p, k ) 零极点模型转换为多项式模型 [z , p , k] = tf2zp ( num, den ) 多项式模型转化为零极点模型
2020/2/18
自动控制原理实验教程
【范例2-6】已知系统传递函数 ，求其等效
的零极点模型。