第8讲 信道编码：卷积码汇总

输入序列 u j
u j1
g1(x) 1 x0 1 x1 1 x2
u j2
g2 (x) 1 x0 0 x1 1 x2
g1(x) 1 x x2
g2(x) 1 x2
g1
c1
c2
g2
输出序列
通常称这两个多项式为生成多项式。将所要编码的信息序列与生成 多项式相乘即可得到卷积码编码序列
以输入序列1101110…为例： c1 g1(x)gu(x) (1 x x2 )(1 x x3 x4 x5 L ) c2 g2 (x)gu(x) (1 x2 )(1 x x3 x4 x5 L )
C203 C213 C223 C233 211 22312
n位长的码组中有i个误 码的错误图样的数目
Hale Waihona Puke Baidu
n - k位长的校正 子的数目
卷积码
又名连环码，是一种非线性码，卷积码定义： 1）将信息序列分成长度为k的子组 2）然后编成长为n的子码，而监督码元长为n - k 3）监督码元不仅与本子码的k个信息码元有关，而且还与前N - 1 个子组有关，即各子码内的监督码元不仅对本子码有监督作用， 而且还对前面N – 1个子组内的信息有监督作用 一般用(n, k, N)表示卷积码，其中n表示码组长度，k表示编码的码 元数，N表示约束长度 卷积码的编码器一般有k个输入位、n个输出位，具有m = N – 1级 移位寄存器构成的记忆系统
非本原BCH码 当码组长度为23，其中信息位占12的非本原BCH码称为格雷码，
其生成多项式：
(5343)8 = 101011100011，g1(x) = x11 + x9 + x7 + nx6-+kx位5 +的x校+正1 子与误 其逆多项式 g2(x) = x11 + x10 + x6 + x5 + x4 + x2 + 码错x +不误1超图也过样是t一生个一成的对多所应项有式 且有：x23 + 1 = (x + 1) g1(x) g2(x) 格雷码是除汉明码外，迄今为止唯一的一个完备码
一般常用二进制序列表示生成多项式，即： g1(x) 1 x x2 g1 (111) g2 (x) 1 x2 g2 (101)
则上例为： c1 g1(x)gu(x) (1 x x2 )(1 x x3 x4 x5 L ) (111) (1101110L ) 10000101L c2 g2 (x)gu(x) (1 x2 )(1 x x3 x4 x5 L ) (101) (1101110L ) 11101011L
c (c1,0 , c2,0 , c1,1, c2,1, c1,2 , c2,2 ,L ) 1101010001100111
卷积码的解析表示—半无限矩阵
在半无限矩阵表示方法中输入的信息序列和输出序列都用半无限矢量表示：
u u0 u1 u2 L
c c1,0 c2,0 c1,1 c2,1 c1,2 c2,2 L
m1(x) = (23)8 = 010011 = x4 + x + 1 m3(x) = (37)8 = 011111 = x4 + x3 + x2 + x + 1 m5(x) = (07)8 = 000111 = x2+ x + 1 g(x) = LCM[ m1(x), m3(x), m5(x) ] = x10 + x8 + x5 + x4 + x2 + x + 1
u(x) 1gx0 0gx1 1gx2 1gx3 1gx4 L 1 x2 x3 x4 L
x的幂次表示相对于时间起点的单位延时数目，一般情况下输入序 列可表示为：
u(x) u0 gx0 u1gx1 u2 gx2 u3 gx3 u4 gx4 L
同样可以用x延时算子表达式表示各输入点与模2加法器连接关系 ，若某输入点与某个模2加法器相连，则多项式中的系数为1，否 则为0。以(2, 1, 3)卷积码编码器为例
输入第k个信息比特时，输出为：
c1,k 1 uk 1 uk 2 uk 3 , c2,k 1 uk 1 uk 3
信道编码
BCH码
是一类能纠正多个随机错误的循环码 其生成多项式为：
g(x) LCM m1(x), m3(x),L , m2t1(x)
其中mi(x)为素多项式，t为纠错个数，LCM表示取最小公倍数，最 小码距d ≥ 2t+1
BCH码分为两种： 1）本原BCH码：码长n = 2m - 1 2）非本原BCH码：码长n为2m - 1的因子
如(2, 1, 3)卷积码，码长为n = 2，信息位即输入码元k = 1，约束长度 N = 3的编码器，其编码器由2个移位寄存器和两个模2加法器组成
输入序列 u j
u j1
u j2
g1
c1
c2
g2
输出序列
卷积码的解析表示—延时多项式
编码器中输入、输出序列可表示为延时算子x的多项式。比如输入 序列101110…表达为：
则两个输出端c1 c2以及输出序列c分别为： c1 (c1,0 , c1,1, c1,2 ,L ) 10000101L c2 (c2,0 , c2,1, c2,2 ,L ) 11101011L c (c1,0 , c2,0 , c1,1, c2,1, c1,2 , c2,2 ,L ) 1101010001100111
当第一个信息比特输入时，假设移位寄存器起始状态为全0，则输出的两个输
出比特为：
c1,0 u0 , c2,0 u0
当第二个信息比特输入时， 前一比特右移一位，则输出的两个输出比特为：
c1,1 u0 u1, c2,1 u1
当第三个信息比特输入时，前两比特又移一位， 则输出的两个输出比特为：
c1,2 u0 u1 u2 , c2,2 u0 u2
其中m表示素多项式的次数
多项式的序号
多项式系数的 八进制形式
英文字母的含义： ABCD表示本原多项式； EFGH表示非本原多项式
BCH码的构造 例如，(15, 5)BCH码可纠正3个错误，确定其生成多项式 1）t = 3，所以d ≥ 7 2）n = 15，即 2m – 1 = 15，所以m = 4 3）查既约多项式表可知4阶多项式分别有：