高中数学(人教版选修1-2)单元质量检测《第一章 测试题》
一、选择题
1．下列结论正确的是（ ）
①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系；
③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；
④回归分析是对具有相关关系两个变量进行统计分析的一种常用方法．
Ａ．①② Ｂ．①②③ Ｃ．①②④ Ｄ．①②③④
2．年劳动生产率x （千元）和工人工资y （元）之间回归方程为y=10+70x ，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均（ ）
Ａ．增加70元 Ｂ．减少70元 Ｃ．增加80元 Ｄ．减少80元
3.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（ ） Ａ.y=1.23x+4 Ｂ．y=1.23x+5
Ｃ．y=1.23x+0.08 Ｄ．y=0.08x+1.23
4．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到班级与成绩列联表如下：
则随机变量2K 的观测值约为（ ）
Ａ．0.60 Ｂ．0.828 Ｃ．2.712 Ｄ．6.004
5．下列属于相关现象的是（ ）
Ａ利息与利率 Ｃ．电视机产量与苹果产量Ｂ．居民收入与储蓄存款 Ｄ．某种商品的销售额与销售价格
6. 下列关系中是函数关系的是（ ）
Ａ．等边三角形的边长和周长关系 Ｃ．电脑的销售额和利润的关系
Ｂ．玉米的产量和施肥量的关系 D.日光灯的产量和单位生产成本关系
7. 一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93。
用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ）
Ａ．身高一定是145.83cm Ｃ．身高在145.83cm 以下 Ｂ．身高在145.83cm 以上 Ｄ．身高在145.83cm 左右
8. 变量y 与 x 之间的回归方程表示（ ）
A. y 与 x 之间的函数关系
B. y 与 x 之间的不确定性关系
C. y 与 x 之间的真实关系
D. y 与 x 之间的真实关系达到最大限度的吻合
9.若已知Σ（x - x ）2是Σ（y - y ）2的两倍，Σ（x- x ）·Σ（y- y ）是Σ（y- y ）2的1.2倍，则（ ）新课标第一网 A. 21.2 B. 1.22
C.0.92
D.0.65 10.下表是x 与y 之间的一组数据,则y 关于x 的线性回归方程必过点( ) 优秀 不优秀 总计 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 总计 19 71 90 x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
A.(2,2)
B.(1.5,2)
C.(1,2)
D.(1.5,4) 11．相关系数r的取值范围是（）
A.。
(易错题)高中数学选修1-2第一章《统计案例》测试(答案解析)
一、选择题1．下列说法：①对于独立性检验，2χ的值越大，说明两事件相关程度越大；②以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程y a bx =+中，2b =，1x =，3y =，则1a =；④通过回归直线y bx a =+及回归系数b ，可以精确反映变量的取值和变化趋势，其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为34，若他前一球投不进则后一球投进的概率为14．若他第1球投进的概率为34，则他第3球投进的概率为（ ） A ．34B ．58C ．116D ．9163．甲、乙两人进行乒乓球比赛，假设每局比赛甲胜的概率是0.6，乙胜的概率是0.4.那么采用5局3胜制还是7局4胜制对乙更有利？（ ） A ．5局3胜制B ．7局4胜制C ．都一样D ．说不清楚4．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生追星的人数占男生人数的16，女生追星的人数占女生人数的23.若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则男生至少有（ ） 参考数据及公式如下：2()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++A ．12B ．11C ．10D ．185．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由2222()110(40302030),7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”6．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ） A ．25B ．1225C ．1625D ．457．A B 两支篮球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局A 队获胜的概率是12外，其余每局比赛B 队获胜的概率都是13.假设各局比赛结果相互独立.则A 队以3:2获得比赛胜利的概率为（ ） A ．427B ．281C ．1681D ．8278．某市通过随机询问100名不同年级的学生是否能做到“扶跌倒老人”，得到如下列联表：低年级 30 15则下列结论正确的是（ ） 附参照表：2()P K k ≥0.10 0.025 0.01 k 2.7065.0246.635参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++A ．在犯错误的概率不超过90%的前提下，认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关”C ．有90%以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”D ．有90%以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关” 9．在一次独立性检验中，得出列表如下：AA合计 B100 400500B900 a90a + 合计190400a +590a +且最后发现，两个分类变量A 和B 没有任何关系，则a 的可能值是( ) A ．720 B ．360C ．180D ．9010．学生会为了调查学生对2018年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关,抽样调查100人,得到如下数据:根据表中数据,通过计算统计量并参考以下临界数据:若由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”,则此结论出错的概率不超过A．B．C．D．11．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A．0.12 B．0.42 C．0.46 D．0.8812．甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学单独正确解决这个问题的概率分别为12，13，15，则有人能够解决这个问题的概率为（）A．130B．415C．1115D．1315二、填空题13．两个实习生加工一个零件，产品为一等品的概率分别为23和34，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________.14．掷三个骰子,出现的三个点数的乘积为偶数的概率是________.15．某大学进行自主招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示:得出下面四个结论:①甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前②乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前③甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前④乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前则所有正确结论的序号是_________.16．已知x、y之间的一组数据如下：x0123则线性回归方程ˆya bx =+所表示的直线必经过点________. 17．以下四个命题，其中正确的序号是____________________．①从匀速传递的产品生产流水线上，每20分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程0.212ˆyx =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位；④分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值为k ，当k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大.18．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为__________．19．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为______________20．某班主任对全班50名学生的积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：则至少有________的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关.（请用百分数表示）.注：独立性检验界值表三、解答题21．在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策的引导与社会观念的转变，大学生的创业意识与就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收，担保贷款等多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数i y （单位：万元）与时间i t （单位：年）的数据，列表如下：（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案． 方案一：每满500元可减50元；方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为25，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立．（ⅰ）某位顾客购买了1050元的产品，该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客换得100元现金奖励的概率（ⅱ）某位顾客购买了2000元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择方案一返回200元现金，还是选择方案二参加四次抽奖？说明理由．附：相关系数公式：()()nnii i itt y y t yntyr---==∑∑，7.547≈，5185.2i i i t y ==∑，=22．某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在M 处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N 处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮.甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M 处和N 处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如图表：若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.（1）求甲同学通过测试的概率；（2）在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.23．奶茶是年轻人非常喜欢的饮品．某机构对于奶茶的消费情况在一商圈附近做了一些调查，发现女性喜欢奶茶的人数明显高于男性，每月喝奶茶的次数也比男性高，但单次奶茶消费金额男性似乎明显高于女性．针对每月奶茶消费是否超过百元进行调查，已知在调查的200人中女性人数是男性人数的4倍，统计如下：超过百元未超过百元合计男8女144合计200关？（2）在月消费超百元的调查者中，同时进行对于品牌喜好的调查．发现喜欢A 品牌的男女均为3人，现从喜欢A 品牌的这6人中抽取2人送纪念品，求这两人恰好都是女性的概率． 附：()20P K k ≥0.10 0.010 0.001 0k2.7066.63510.828()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 24．为激活国内消费布场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策，某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，界定3至8月份购买商品在5000元以上人群属“购买力强人群”，购买商品在5000元以下人群属“购买力弱人群”.现从电商平台消费人群中随机选出200人，发现这200人中属购买力强的人数占80%，并将这200人按年龄分组，记第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[)55,65，得到的频率分布直方图，如图所示.（1）求出频率分布直方图中的a 值和这200人的平均年龄；（2）从第2，3，5组中用分层抽样的方法抽取12人，并再从这12人中随机抽取3人进行电话回访，求这三人恰好属于不同组别的概率；（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中“购买力弱人群”的中老年人有20人，问是否有99%的把握认为是否“购买力强人群”与年龄有关？ 附：()20P K K 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++ 25．某外卖平台为提高外卖配送效率，针对外卖配送业务提出了两种新的配送方案，为比较两种配送方案的效率，共选取50名外卖骑手，并将他们随机分成两组，每组25人，第一组骑手用甲配送方案，第二组骑手用乙配送方案．根据骑手在相同时间内完成配送订单的数量（单位：单）绘制了如图茎叶图：（1）根据茎叶图，求各组内25位骑手完成订单数的中位数，已知用甲配送方案的25位骑手完成订单数的平均数为52，结合中位数与平均数判断哪种配送方案的效率更高，并说明理由；（2）设所有50名骑手在相同时间内完成订单数的平均数m ，将完成订单数超过m 记为“优秀”，不超过m 记为“一般”，然后将骑手的对应人数填入如表列联表；（3）根据（2）中的列联表，判断能否有95%的把握认为两种配送方案的效率有差异．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.26．新能源汽车已经走进我们的生活，逐渐为大家所青睐.现在有某品牌的新能源汽车在甲市进行预售，预售场面异常火爆，故该经销商采用竞价策略基本规则是：①竞价者都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与竞价的总人数；②竞价采用“一月一期制”，当月竞价时间截止后，系统根据当期汽车配额，按照竞价人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2020年6月份的汽车竞价，他为了预测最低成交价，根据网站的公告，统计了最近5个月参与竞价的人数（如下表）（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞价人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：ˆ bt y a =+，并预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2020年6月份汽车竞价人员的报价进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：（i ）求这200位竞价人员报价的平均值x 和样本方差s 2（同一区间的报价用该价格区间的中点值代替）（ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布()2,,N μσ且μ与σ2可分别由（i ）中所示的样本平均数x 及s 2估计.若2020年月6份计划提供的新能源车辆数为3174，根据市场调研，最低成交价高于样本平均数x ，请你预测（需说明理由）最低成交价. 参考公式及数据：①回归方程ˆˆˆy bx a =+，其中1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-⋅==--∑∑ ②5521155, 2.6;ii i i i tx y ====≈∑∑③若随机变量X 服从正态分布()2,,N μσ则()()0.6826,220.9544,P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+= ()330.9974P X μσμσ-<<+=.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据独立性检验、非线性回归方程以及回归直线方程相关知识进行判断. 【详解】对于命题①，根据独立性检验的性质知，两个分类变量2χ越大，说明两个分类变量相关程度越大，命题①正确；对于命题②，由kxy ce =，两边取自然对数，可得ln ln y c kx =+，令ln z y =，得ln z kx c =+，0.34z x =+，所以ln 40.3c k =⎧⎨=⎩，则40.3c e k ⎧=⎨=⎩，命题②正确；对于命题③，回归直线方程y a bx =+中，3211a y bx =-=-⨯=，命题③正确； 对于命题④，通过回归直线y bx a =+及回归系数b ，可估计和预测变量的取值和变化趋势，命题④错误.故选C. 【点睛】本题考查了回归直线方程、非线性回归方程变换以及独立性检验相关知识，考查推理能力，属于中等题.2．D解析：D 【分析】分两种情况讨论：第2球投进和第2球投不进，利用独立事件的概率公式可得出所求事件的概率. 【详解】分以下两种情况讨论： （1）第2球投进，其概率为3311544448⨯+⨯=，第3球投进的概率为53158432⨯=； （2）第2球投不进，其概率为53188-=，第3球投进的概率为3138432⨯=. 综上所述：第3球投进的概率为1539323216+=，故选D. 【点睛】本题考查概率的求法，考查独立事件概率乘法公式的应用，同时也考查对立事件概率公式的应用，解题时要注意对事件进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.3．A解析：A 【分析】分别计算出乙在5局3胜制和7局4胜制情形下对应的概率，然后进行比较即可得出答案. 【详解】当采用5局3胜制时，乙可以3:0，3:1，3:2战胜甲，故乙获胜的概率为：322222340.4+0.40.60.40.40.60.40.3174C C ⨯⨯+⨯⨯≈;当采用7局4胜制时，乙可以4:0，4:1，4:2，4:3战胜甲，故乙获胜的概率为：4333323334560.4+0.40.60.40.40.60.4+0.40.60.40.2898C C C ⨯⨯+⨯⨯⨯⨯≈，显然采用5局3胜制对乙更有利，故选A. 【点睛】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率，意在考查学生的计算能力和分析能力，难度中等.4．A解析：A 【分析】设男生人数为x ，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，列不等式即可得出结论. 【详解】设男生人数为x ，依题意可得列联表如下：则2 3.841K >，由222235236183 3.841822x x x K x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭==>⋅⋅⋅，解得10.24x >， ,26x x为整数，∴若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有12人，故选A. 【点睛】本题主要考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题. 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.5．A解析：A 【详解】由27.8 6.635K ≈>，而()26.6350.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A6．C解析：C 【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率． 【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件A ，收到张老师的信息为事件B ，A 、B 相互独立，42()()105P A P B ===， 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=．故选C ． 【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率．在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率．这样可减少计算，保证正确．7．A解析：A 【解析】分析：若“A 队以3:2胜利”，则前四局A 、B 各胜两局，第五局A 胜利，利用独立事件同时发生的概率公式可得结果. 详解：若“A 队以3:2胜利”， 则前四局A 、B 各胜两局， 第五局A 胜利，因为各局比赛结果相互独立， 所以队以3:2获得比赛胜利的概率为2224211433227P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A. 点睛：本题主要考查阅读能力，独立事件同时发生的概率公式，意在考查利用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.8．C解析：C 【解析】分析：根据列联表中数据，利用公式求得2 3.03K ≈，参照临界值表即可得到正确结论. 详解：由公式()()()()()22n d bc k a b c d a c b d -=++++可得2 3.03K ≈，参照临界值表，2.7063.030 3.841<<，∴0090以上的把握认为，“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”，故选C.点睛：本题考查了独立性检验的应用，属于基础题. 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.9．B解析：B 【解析】∵两个分类变量A 和B 没有任何关系，∴()()()()2259010090400 2.70219040090500a a K a a +-⨯=<⨯++，代入验证可知360a =满足，故选B.10．A解析：A 【解析】 由题意可得，所以, 由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”,则此结论出错的概率不超过，故选A.【方法点睛】本题主要考查独立性检验的应用，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）11．D解析：D 【解析】由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)(1－0.7)＝0.12. ∴至少有一人被录取的概率为1－0.12＝0.88.故选D. 考点：相互独立事件的概率.12．C解析：C 【分析】先利用相互独立事件的概率乘法公式求出“三人都未解答这个问题”的概率，利用对立事件的概率公式得到“有人能够解决这个问题”的概率即可． 【详解】三人都未解答这个问题的概率为 （112-）（113-）（115-）415=，故有人能够解决这个问题的概率为14111515-=， 故选：C ． 【点睛】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件和对立事件的概率公式，考查了正难则反的原则，属于中档题．二、填空题13．【分析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解【详解】解：两个实习生加工一个零件产品为一等品的概率分别为和这两个零件中恰有一个一等品的概率为：故答案为：【点睛】本题考查概率的求法考查相互独立事件概率乘 解析：512【分析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解． 【详解】解：两个实习生加工一个零件，产品为一等品的概率分别为23和34， ∴这两个零件中恰有一个一等品的概率为：2323511343412p ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：512． 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14．【分析】若点数的乘积为偶数此至少有一个骰子的点数为偶数考虑反面情况：三个骰子全部是奇数的概率用减去此概率即可得到结果【详解】因为三个点数的乘积为偶数时则至少有一个点数为偶数若三个点数均为奇数此时对应解析：7 8【分析】若点数的乘积为偶数，此至少有一个骰子的点数为偶数，考虑反面情况：三个骰子全部是奇数的概率，用1减去此概率即可得到结果.【详解】因为三个点数的乘积为偶数时，则至少有一个点数为偶数，若三个点数均为奇数，此时对应的概率为：311 28⎛⎫=⎪⎝⎭，所以至少有一个点数为偶数的概率为：17188 P=-=.故答案为：7 8 .【点睛】本题考查相互独立事件的概率计算，难度一般.概率计算时，若出现至多、至少这样的描述，可考虑从问题的反面解决问题.15．③④【解析】根据图示可得甲同学的逻辑思维成绩排名很靠前但总排名靠后说明阅读表达成绩排名靠后；乙同学的逻辑思维成绩排名适中但总排名靠前说明阅读表达成绩排名靠前；丙同学的逻辑思维成绩排名及阅读表达成绩排解析：③④【解析】根据图示可得，甲同学的逻辑思维成绩排名很靠前但总排名靠后，说明阅读表达成绩排名靠后；乙同学的逻辑思维成绩排名适中但总排名靠前，说明阅读表达成绩排名靠前；丙同学的逻辑思维成绩排名及阅读表达成绩排名居中，则乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前；甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前，故③④正确.故答案为③④.16．（155）【解析】由题意可得：线性回归方程过样本中心点即线性回归方程所表示的直线必经过点（155）点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键(2)回归直线方程必过样本点中心解析：（1.5,5）【解析】由题意可得：0123 1.54x +++==，826454y +++==， 线性回归方程过样本中心点，即线性回归方程ˆya bx =+所表示的直线必经过点（1.5,5） 点睛：(1)正确理解计算,b a 的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+必过样本点中心(),x y ．17．②③【分析】利用系统抽样的定义判断①利用独立性检验判断④；利用相关系数的性质判断②；由回归方程的性质判断③【详解】①为系统抽样①不正确；④分类变量与它们的随机变量的观测值为当越小与有关系的把握程度越解析：②③ 【分析】利用系统抽样的定义判断①利用独立性检验判断④；利用相关系数的性质判断②；由回归方程的性质判断③． 【详解】①为系统抽样, ①不正确；④分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值为k ，当k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小，④不正确；根据相关系数的性质可知②正确；由回归方程的性质可知③正确．故答案为②③. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查系统抽样、相关系数、回归方程、独立性检验，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.18．【解析】前两个不是红灯第三个是红灯所以概率为解析：427【解析】前两个不是红灯，第三个是红灯，所以概率为2114(1)3327-= 19．【分析】利用等可能事件的概率分别求得从甲袋和乙袋中取一球取到白球的概率然后再利用独立事件的概率求解【详解】从甲袋中取一球取到白球的概率为从甲袋中取一球取到白球的概率为所以从甲乙两袋中各取一球均为白球解析：16【分析】利用等可能事件的概率，分别求得从甲袋和乙袋中取一球取到白球的概率，然后再利用独立事件的概率求解.【详解】从甲袋中取一球取到白球的概率为2142p ==， 从甲袋中取一球取到白球的概率为2163p ==， 所以从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为111236p =⨯=. 故答案为：16【点睛】本题主要考查等可能事件的概率和独立事件的概率的求法，属于中档题.20．【分析】根据列联表计算可得由可得结果【详解】由题意得：至少有的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关故答案为：【点睛】本题考查独立性检验问题的求解考查基础公式的应用 解析：99.9%【分析】根据22⨯列联表计算可得2K ，由210.828K >可得结果. 【详解】由题意得：()225018197611.53810.82825252426K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， ∴至少有10.1%99.9%-=的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关.故答案为：99.9%. 【点睛】本题考查独立性检验问题的求解，考查基础公式的应用.三、解答题21．（1）0.97r ≈；y 与t 的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合；（2）（ⅰ）1225；（ⅱ）选择参加四次抽奖；答案见解析． 【分析】（1）由题表计算出t ，y ．55i it ytyr -=∑（2）（ⅰ）设其获得100元现金奖励为事件A ，由独立事件的概率乘法公式可得()P A ；（ⅱ）设X 表示该顾客在四次抽奖中中奖的次数．则24,5XB ⎛⎫⎪⎝⎭，计算出()E X 和奖。
(必考题)高中数学选修1-2第一章《统计案例》测试卷(答案解析)(3)
一、选择题1．某校高二（1）班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是34和45，现甲、乙各投篮一次，恰有一人进球的概率是（ ） A ．120B ．320C ．15D ．7202．某校学生会为研究该校学生的性别与语文、数学、英语成绩这3个变量之间的关系，随机抽查了100名学生，得到某次期末考试的成绩数据如表1至表3，根据表中数据可知该校学生语文、数学、英语这三门学科中（ ）表1表2表3 语文 性别不及格 及格 总计 数学 性别不及格 及格 总计 英语 性别不及格 及格 总男 14 36 50 男 10 40 50 男 25 25 女 16 34 50 女 20 30 50 女 5 45 总计3070100总计3070100总计30701A ．语文成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小B ．数学成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小C ．英语成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小D ．英语成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小 3．某人射击一次命中目标的概率为12，且每次射击相互独立，则此人射击 7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为（ ） A ．3761()2CB ．2741()2AC ．2741()2CD ．1741()2C4．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆漂流的汽油桶．现有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击相互独立，且命中概率都是34．则打光子弹的概率是（ ） A ．9256B ．13256C ．45512D ．910245．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有（ ）参考公式：0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．12人B ．18人C ．24人D ．30人6．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生追星的人数占男生人数的16，女生追星的人数占女生人数的23.若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则男生至少有（ ） 参考数据及公式如下：20()P K k ≥ 0.050 0.0100.0010k3.841 6.635 10.8282()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++A ．12B ．11C ．10D ．187．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班60名学生进行问卷调查，得到如下图所示的22⨯列联表，则至少有（ ）的把握认为喜爱打篮球与性别有关.喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计男生 25530 女生 151530合计40 20 60附参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.20()P K k ≥ 0.100.050.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.8415.0246.6357.78910.828A ．99.9%B ．99.5%C ．99%D ．97.5%8．甲、乙两名同学参加2018年高考，根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考140分以上的概率分别为12和45，甲、乙两人是否考140分以上相互独立，则预估这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140 分以上的概率为( ) A ．12B ．23C ．34D ．139．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X （单位：辆）均服从正态分布()2600,Nσ，若()5007000.6P X <<=，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（ ） A ．1125B ．12125 C ．61125 D ．6412510．下列说法中正确的是（ ）A ．设随机变量~(10,0.01)X N ，则1(10)2P X >= B ．线性回归直线不一定过样本中心点(,)x yC ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1D ．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为50m +，100m +，150m +，……的学生，这样的抽样方法是分层抽样11．为了解学生对街舞的喜欢是否与性别有关，在全校学生中进行抽样调查，根据数据，求得2K 的观测值0 4.804k ≈，则至少有（ ）的把握认为对街舞的喜欢与性别有关．参考数据：A ．90%B ．95%C ．97.5%D ．99%12．甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队不超过4场即获胜的概率是（ ） A ．0.18B ．0.21C ．0.39D ．0.42二、填空题13．有7个评委各自独立对A 、B 两位选手投票表决，两位选手旗鼓相当，每位评委公平投票且不得弃权.若7位评委依次揭晓票选结果，则A 选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先的概率是______.14．有9粒种子分种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，需要补种的坑数为2的概率等于_______.15．已知如下四个命题：①在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于0，表示回归效果越好；②在回归直线方程ˆ0.812yx =-中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy平均增加0.8个单位；③两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；④对分类变量X 与Y ，对它们的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，则“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中正确命题的序号是__________． 16．三个元件正常工作的概率分别为，，，将两个元件并联后再和串联接入电路，如图所示，则电路不发生故障的概率为_________．17．从包括甲乙两人的6名学生中选出3人作为代表，记事件A ：甲被选为代表，事件B :乙没有被选为代表，则()P B A │等于_________.18．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为______________19．把一枚硬币任意抛掷三次，事件A =“至少出现一次反面”，事件B =“恰好出现一次正面”，则(/)P B A =__________．20．投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为12，复审的稿件能通过评审的概率为14，各专家独立评审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为__________.三、解答题21．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛.规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束.假设每局比赛小明获胜的概率都是23. （1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；（2）若现在是小明6：2的比分领先，记X 表示结束比赛还需打的局数，求X 的分布列及期望.22．某航空公司规定：国内航班（不构成国际运输的国内航段）托运行李每件重量上限为50kg ，每件尺寸限制为40cm 60cm 100cm ⨯⨯，其中头等舱乘客免费行李额为40kg ，经济舱乘客免费行李额为20kg .某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如表所示的数据：（1）请完成22⨯列联表，并判断是否在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关？（2）调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李超出免费行李额且不超出的旅客中（其中女性旅客4人）随机抽取4人，对其中的女性旅客赠送“100元超额行李补贴券”，记赠送的补贴券总金额为X 元，求X 的分布列与数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：23．某工厂A ，B 两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，A ，B 生产线生产的产品为合格品的概率分别为p 和21(0.51)p p -．（1）从A ，B 生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p 的最小值0p ；（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值． ①已知A ，B 生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从A ，B 生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如图所示，用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X ，求X 的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．24．某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的2倍，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的56，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的13. （1）若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人?（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排2个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p ，每人每次接种花费()0m m >元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续2次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期；第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试验结束；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为q ，每人每次花费()0n n >元，每个周期接种3次，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期.假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.①若甲团队的试验平均花费大于乙团队的试验平均花费，求p 、q 、m 、n 满足的关系式；②若m n =，2p q =，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()20P K k ≥ 0.100.05 0.01 0.005 0.001 0k 2.7063.8416.6357.87910.82825．某大型运动会的组委会为了搞好接待工作，招募了30名男志愿者和20名女志愿者.调查发现，这些志愿者中有部分志愿者喜爱运动，另一部分志愿者不喜欢运动，并得到了如下等高条形图和22⨯列联表:喜爱运动 不喜爱运动 总计 男生 ab30 女生 cd20 总计50（1）求出列联表中a ､b ､c ､d 的值；（2）是否有99%的把握认为喜爱运动与性别有关?附:参考公式和数据:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（其中n a b c d =+++）20()P K k ≥ 0.5000.100 0.050 0.010 0.001 0k 0.4552.7063.8416.63510.82826．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，分别用甲、乙两种方法培育该品种花苗.为比较两种培育方法的效果，选取了40棵花苗，随机分成两组，每组20棵.第一组花苗用甲方法培育，第二组用乙方法培育.培育完成后，对每棵花苗进行综合评分，绘制了如图所示的茎叶图：（1）分别求两种方法培育的花苗综合评分的中位数.你认为哪一种方法培育的花苗综合评分更高？并说明理由.（2）综合评分超过80的花苗称为优质花苗，填写下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为优质花苗与培育方法有关？优质花苗 非优质花苗 合计甲培育法 乙培育法 合计附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++. ()20P K k ≥ 0.0100.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.7063.8415.0246.6357.87910.828【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式求得 甲投进而乙没有投进的概率，以及乙投进而甲没有投进的概率，相加即得所求． 【详解】甲投进而乙没有投进的概率为343(1)4520⨯-=，乙投进而甲没有投进的概率为341(1)455-⨯=,故甲、乙各投篮一次，恰有一人投进球的概率是 31720520+=,故选：D 【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．2．C解析：C 【分析】根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论． 【详解】因为()()2210014341636100103020403070505030705050⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯<⨯⨯⨯⨯⨯⨯()2100254552530705050⨯⨯-⨯<⨯⨯⨯，所以英语成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小. 故选C 【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目． 3．B解析：B 【分析】由于射击一次命中目标的概率为12，所以关键先求出射击7次有4次命中且恰有3次连续命中的所有可能数，即根据独立事件概率公式得结果. 【详解】因为射击7次有4次命中且恰有3次连续命中有24A 种情况，所以所求概率为7241A 2⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.选B. 【点睛】本题考查排列组合以及独立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题.4．B解析：B 【分析】打光所有子弹，分中0次、中一次、中2次． 【详解】5次中0次：5 1 4⎛⎫ ⎪⎝⎭5次中一次：4 153144 C⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭5次中两次：前4次中一次，最后一次必中314331 444C⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭则打光子弹的概率是514⎛⎫⎪⎝⎭+4153144C⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭+314331444C⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=13256,选B【点睛】本题需理解打光所有子弹的含义：可能引爆，也可能未引爆．5．B解析：B【解析】【分析】设男生人数为，女生人数为，完善列联表，计算解不等式得到答案.【详解】设男生人数为，女生人数为喜欢抖音不喜欢抖音总计男生女生总计男女人数为整数故答案选B【点睛】本题考查了独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.6．A解析：A【分析】设男生人数为x ，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，列不等式即可得出结论. 【详解】设男生人数为x ，依题意可得列联表如下：则2 3.841K >，由222235236183 3.841822x x x K x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭==>⋅⋅⋅，解得10.24x >， ,26x x为整数， ∴若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有12人，故选A. 【点睛】本题主要考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题. 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.7．C解析：C 【解析】分析：根据列联表中数据，利用公式求得27.333k ≈，对照临界值即可的结果. 详解：根据所给的列联表， 得到()226025151557.333 6.63540203030k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴至少有0099的把握认为喜爱打篮球与性别有关，故选C.点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.8．A解析：A 【解析】分析：根据互斥事件概率加法公式以及独立事件概率乘积公式求概率.详解：因为这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140 分以上的概率为甲考140 分以上乙未考到140 分以上事件概率与乙考140 分以上甲未考到140 分以上事件概率的和，而 甲考140 分以上乙未考到140 分以上事件概率为14(1)25⨯-，乙考140 分以上甲未考到140 分以上事件概率为14(1)25-⨯，因此，所求概率为14(1)25⨯-1451(1)25102+-⨯==， 选A.点睛：本题考查互斥事件概率加法公式以及独立事件概率乘积公式，考查基本求解能力.9．C解析：C 【解析】分析：根据正态曲线的对称性求解即可.详解：根据正态曲线的对称性，每个收费口超过700辆的概率()()()111700150070010.60.2225P X P X ⎡⎤≥=-<<=⨯-==⎣⎦， ∴这三个收费口每天至少有一个超过700辆的概率 3161115125P ⎛⎫=--=⎪⎝⎭，故选C. 点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.10．A解析：A 【解析】在A 中，设随机变量X 服从正态分布N （10，0.01），则由正态分布性质得1(10)2P X >=，故A 正确； 在B 中，线性回归直线一定过样本中心点(),x y ，故B 错误；在C 中，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故C 错误；在D 中，先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这样的抽样方法是系统抽样法，故D 错误. 故选：A11．B解析：B 【解析】因为4.804>3.841,所以有95%的把握认为对街舞的喜欢与性别有关．12．C解析：C 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解． 【详解】解：甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立， 则甲队以3:1获胜的概率是：()()()10.60.610.50.50.610.60.50.510.60.60.50.50.21P =⨯⨯-⨯+⨯-⨯⨯+-⨯⨯⨯=．甲队以3:0获胜的概率是： 20.60.60.50.18P =⨯⨯=则甲队不超过4场即获胜的概率120.210.180.39P P P =+=+= 故选：C 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】将比分分为四种情况讨论计算概率【详解】由条件可知前两名投票的都投给选手并且投给每位选手的概率是若投票给两位选手的比分为则概率为若比分为则投给选手的方法有种所以概率为若比分为则投给选手的两票不 解析：532【分析】将比分分为7:0，6:1，5:2，4:3四种情况讨论计算概率. 【详解】由条件可知前两名投票的都投给选手A ，并且投给每位选手的概率是12P =. 若投票给A 、B 两位选手的比分为7:0，则概率为712⎛⎫ ⎪⎝⎭， 若比分为6:1，则投给选手B 的方法有155C =种，所以概率为7152⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭若比分为5:2，则投给选手B 的两票不能在第三和第四的位置，有2519C -=种，所以概率为7192⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， 若比分为4:3，则投给A 的票不能是最后一位，且不能占5,6位，有2415C -=种，所以概率为7152⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， 所以概率()7151595232P ⎛⎫=+++⋅=⎪⎝⎭. 故答案为：532【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，重点考查分类的思想，属于中档题型.14．【分析】先计算出粒种子都没有发芽的概率即得出每个坑需要补种的概率然后利用独立重复试验的概率得出所求事件的概率【详解】由独立事件的概率乘法公式可知粒种子没有粒发芽的概率为所以一个坑需要补种的概率为由独 解析：21512【分析】先计算出3粒种子都没有发芽的概率，即得出每个坑需要补种的概率，然后利用独立重复试验的概率得出所求事件的概率. 【详解】由独立事件的概率乘法公式可知，3粒种子没有1粒发芽的概率为31128⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以，一个坑需要补种的概率为18， 由独立重复试验的概率公式可得，需要补种的坑数为2的概率为223172188512C ⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭， 故答案为21512. 【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式的应用，同时也考查了独立重复试验恰有()k k N *∈次发生的概率，要弄清楚事件的基本类型，并结合相应的概率公式进行计算，考查分析问题和理解问题的能力，属于中等题.15．②③【分析】①根据相关指数的性质进行判断；②根据回归方程的性质进行判断；③根据相关系数的性质进行判断；④根据随机变量的观测值k 的关系进行判断【详解】①在线性回归模型中相关指数表示解释变量对于预报变量解析：②③ 【分析】①根据相关指数2R 的性质进行判断；②根据回归方程的性质进行判断；③根据相关系数的性质进行判断；④根据随机变量2K 的观测值k 的关系进行判断. 【详解】①在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于1，表示回归效果越好，所以①错误；②在回归直线方程ˆy=0.8x−12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.8个单位，正确；③两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，正确；④对分类变量X 与Y ，对它们的随机变量K2的观测值k 来说，k 越小，则“X 与Y 有关系”的把握程度越小，所以④错误； 故正确命题的序号是②③. 【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有线性回归分析，两个变量之间相关关系强弱的判断，独立性检验，属于简单题目.16．【解析】分析：组成的并联电路可从反面计算即先计算发生故障的概率然后用对立事件概率得出不发生故障概率详解：由题意故答案为点睛：零件不发生故障的概率分别为则它们组成的电路中如果是串联电路则不发生故障的概 解析：【解析】分析：23,T T 组成的并联电路可从反面计算，即先计算发生故障的概率，然后用对立事件概率得出不发生故障概率． 详解：由题意11115(1)24432P =⨯-⨯=． 故答案为1532． 点睛：零件12,,,k a a a 不发生故障的概率分别为12,,,k p p p ，则它们组成的电路中，如果是串联电路，则不发生故障的概率易于计算，即为12k p p p ，如果组成的是并联电路，则发生故障的概率易于计算，即为12(1)(1)(1)k p p p ---．17．【解析】因为所以应填答案解析：35【解析】因为()()2254336613,210C C P A P AB C C ====，所以3(|)5P B A =。
人教a版高中数学选修21全册同步练习及单元检测含答案
答案： 一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0) 此方程有两个不相等的实数根
假
三、解答题 ( 每小题 10 分，共 20 分 )
7．指出下列命题的条件 p 和结论 q： (1) 若 x＋ y 是有理数，则 x， y 都是有理数；
(2) 如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数．
1
1
∴ a＋1≥１且 a≤ 2，即 0≤ a≤ 2.
1 ∴满足条件的 a 的取值范围为 0， 2 .
4 8．求证： 0≤ a< 是不等式
ax2－ ax＋1－ a>0 对一切实数
x 都成立的充要条件．
5
4 证明： 充分性：∵ 0<a< ，
5 ∴ Δ＝a2－ 4a(1 －a) ＝ 5a2－ 4a＝ a(5 a－4)<0 ， 则 ax2－ ax＋ 1－ a>0 对一切实数 x 都成立． 而当 a＝ 0 时，不等式 ax2－ax＋ 1－ a>0 可变成 1>0.
x 都成立的充要条件．
尖子生题库 ☆☆☆ 9． (10 分 ) 已知条件 p： A＝ { x|2 a≤ x≤ a2＋ 1} ，条件 q： B＝{ x| x2－ 3( a＋ 1) x＋2(3 a＋ 1) ≤0} ．若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围． 解析： 先化简 B， B＝ { x|( x－ 2)[ x－ (3 a＋1)] ≤0} ，
答案： (1)(2)(3)
x 6．设集合 A＝ x| x－1<0 ，B＝ { x|0< x<3} ，那么“ m∈ A”是“ m∈ B”的 ________条件．
x
解析：
A＝
x|
<0 x－ 1
人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++=（ ）．A ．14B ．12C ．34D ．12．已知()1,1,2P -，()23,1,0P 、()30,1,3P ，则向量12PP 与13PP 的夹角是（ ） A ．30B ．45C ．60D ．903．给出下列两个命题：命题:p 空间任意三个向量都是共面向量；命题:q 若0a >，0b >，则方程221ax by +=表示的曲线一定是椭圆.那么下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q ⌝∧D ．()p q ⌝∨4．如图，三棱锥S ﹣ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，∠ABC ＝90°，AB ＞BC ，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CA 的中点，记直线SE 与SF 所成的角为α，直线SG 与平面SAB 所成的角为β，平面SEG 与平面SBC 所成的锐二面角为γ，则（ ）A ．α＞γ＞βB ．α＞β＞γC ．γ＞α＞βD ．γ＞β＞α5．如图，已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点G 是1B C 的中点，点,H E 分别为1,GD C D 的中点，GD ⊥平面,HE α⊂平面α，平面11AC D 与平面α相交于一条线段，则该线段的长度是（ ）A ．144B ．114C ．142D ．1126．两直线14127x y z -+==-和623511x y z +--==-的夹角的余弦是（ ） A ．22-B ．22C ．2 D ．2-7．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -所有棱长都为1，且1160,45,A AD A AB DAB ︒∠=∠=∠=︒则1BD =（ ）A ．31-B ．21-C ．32-D ．32-8．在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则x y z ++=（ ） A ．52B ．2C ．32D ．1169．在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),(22,0,0),(0,22,0)O E F ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足||||3CO CB ==，若1cos ,6EF BC <>=，，则OC OF ⋅=（ ） A ．9B ．7C ．5D ．310．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng ）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体ABCDEF 是一个刍甍，其中四边形ABCD 为矩形，其中8AB =，23AD =，ADE 与BCF △都是等边三角形，且二面角E AD B --与F BC A --相等，则EF 长度的取值范围为（ ）A ．（2,14）B ．（2,8）C ．（0,12）D ．（2,12）11．正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论：①AD 与BC 所成的角为60︒：②AC 与BD 所成的角为90︒：③BC 与面ACD 6：④二面角A BC D --2：其中正确结论的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．112．有下列四个命题：①已知1e 和2e 是两个互相垂直的单位向量，a =21e +32e ，1b ke =-42e ，且a ⊥b ，则实数k ＝6；②已知正四面体O ﹣ABC 的棱长为1，则（OA OB +）•（CA CB +）＝1；③已知A （1，1，0），B （0，3，0），C （2，2，3），则向量AC 在AB 上正投影的数量是55； ④已知1a e =-223e e +，1b e =-+32e +23e ，c =-31e +72e （{1e ，2e ，3e }为空间向量的一个基底），则向量a ，b ，c 不可能共面． 其中正确命题的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．如图，在棱长均相等的四面体O ABC -中，点D 为AB 的中点，12CE ED =，设OA a =，OB b =，OC c =，则OE =（ ）A ．111663a b c ++ B ．111333a b b ++C ．111663a b c +- D ．112663a b c ++ 二、填空题14．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AD AA =，且1C D 与底面1111D C B A 所成角为60°，则直线1C D 与平面11CB D 所成的角的正弦值为______．15．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，A ∠为直角，//AB CD ，4AB =，2AD =，1DC =，则异面直线1BC 与DC 所成角的余弦值为______．16．在一直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为__________．17．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 的中点，则异面线1BD 与AM 所成角的余弦值为________.18．平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱AB 、AD 、AA 1的长均为1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠DAB 3π=，则对角线AC 1的长为_____．19．已知向量(1,2,1)a =-，(2,2,0)b =-，则a 在b 方向上的投影为________． 20．如图所示,在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===,点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，若=MN xa yb zc ++，则x y z ++=_____________21．设平面α的法向量为(1,2,2)-，平面β的法向量为(2,,4)λ，若α∥β，则λ的值为______22．在三棱锥O-ABC 中，OA ､OB ､OC 两两垂直，3OA =，4OB =，5OC =，D 是AB 的中点，则CD 与平面OAB 所成的角的正切值为___________.23．设向量(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-，且//a b ，则a b ⋅的值为__________．24．已知四棱柱111ABCD A BC D -的底面ABCD 是矩形，5AB =，3AD =，14AA =，1160BAA DAA ∠=∠=︒，则1AC =________.25．在空间直角坐标系中，(2,0,1)a x =--，(1,,2)b y =，且|2|13a b +=2m x y =+的取值范围是_____．26．平面α的法向量u =(x,1,-2),平面β的法向量v =1-1,,2y ⎛⎫⎪⎝⎭,已知α∥β,则x+y=______.参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用空间向量的基本定理可计算得出1111333OG OA OB OC =++，由已知条件可得出134OG OG =，进而可求得x 、y 、z 的值，由此可求得结果.【详解】如下图所示，连接1AG 并延长交BC 于点D ，则点D 为BC 的中点，1G 为ABC 的重心，可得123AG AD =， 而()()111222OD OB BD OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+， ()1122123333OG OA AG OA AD OA OD OA OA OD =+=+=+-=+()()12113323OA OB OC OA OB OC =+⋅+=++，所以，13311111144333444OG OG OA OB OC OA OB OC ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭， 所以，14x y z ===，因此，34x y z ++=. 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于空间向量的基底分解的问题，一般需要利用向量的加减法法则进行处理，也可以借助一些相应的结论对运算进行简化.2．D解析：D 【分析】设向量12PP 与13PP 的夹角为θ，计算出向量12PP 与13PP 的坐标，然后由12131213cos PP PP PP PP θ⋅=⋅计算出cos θ的值，可得出θ的值.【详解】设向量12PP 与13PP 的夹角为θ， ()()()123,1,01,1,22,2,2PP =--=-，()()()130,1,31,1,21,2,1PP =--=-，则12131213cos 0PP PP PP PP θ⋅==⋅，所以，90θ=，故选D.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量的坐标计算向量的夹角，考查计算能力，属于中等题.3．D解析：D 【分析】判断命题p 和命题q 为假命题，再判断复合命题的真假得到答案. 【详解】命题:p 空间任意三个向量都是共面向量，为假命题； 当0a b =>时，方程221ax by +=表示圆，故q 为假命题；故p q ∧，p q ∨，()p q ⌝∧为假命题，()p q ⌝∨为真命题. 故选：D . 【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.4．A解析：A 【分析】根据题意可知，G 作SE 的垂线l ，显然l 垂直平面SAB ，故直线SG 与平面SAB 所成的角为β＝∠GSE ，同理，平面SEG 与平面SBC 所成的锐二面角为γ＝∠FSG ，利用三角函数结合几何性质，得出结论. 【详解】因为AB ⊥BC ，SA ＝SB ＝SC ，所以AB ⊥SE ，所以AB ⊥平面SGE ，AB ⊥SG ， 又SG ⊥AC ，所以SG ⊥平面ABC ， 过G 作SE 的垂线l ，显然l 垂直平面SAB ， 故直线SG 与平面SAB 所成的角为β＝∠GSE ，同理，平面SEG 与平面SBC 所成的锐二面角为γ＝∠FSG ，由tanγ＝tan FG EGSG SGβ>=，得γ＞β，γ也是直线SF 与平面SEG 所成的角， 由cosα＝cosβ•cosγ＜cosγ，则α＞γ，所以α＞γ＞β， 故选：A .【点睛】本题考查了异面直线夹角，线面夹角，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.5．C解析：C 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得到E 是两个平面的一个交点，分析另一个交点的位置，可能在11A C 或1A D 上，设其交点坐标用向量计算可得答案. 【详解】如图，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，()0,0,0D ，()12,0,2A ，()()1,2,10,1,1G E ，，()1,2,1DG =，因为HE ⊂平面α，所以E ∈平面α，因为E ∈1C D ，所以E ∈平面11AC D ， 所以E 是两个平面的一个交点，如果另一个交点在11A C 上，设为M 且设(),2,2M a a -，02a ≤≤所以(),1,1EM a a =-，因为EM ⊂平面α，DG ⊥平面α，所以0EM DG ⋅=， 即2210a a +-+=，解得3a =不合题意，所以另一个交点在1A D 上，不妨设为F ， 所以平面11AC D ⋂平面EF α=，即求EF 的长度，且(),0,F b b ，02b ≤≤， 因为EF ⊂平面α，DG ⊥平面α，所以0EF DG ⋅=，(),1,1EF b b =--， 即210b b -+-=，解得32b =，所以33,0,22F ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以2231141222EF ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查了用向量解决线面垂直、线线垂直的问题，关键点是建立空间直角坐标系和分析两个平面的交线的位置，考查了学生的空间想象力、推理能力和计算能力.6．B解析：B 【分析】写出直线的方向向量，求出方向向量的夹角的余弦值，其绝对值为两直线夹角余弦． 【详解】由题意两直线的方向向量分别为(1,2,7)m =-，(5,1,1)n =-，22cos ,14492511m n m n m n⋅<>===-++⋅++，∵两直线夹角为锐角或直角，∴所求余弦值为22． 故选：B ． 【点睛】本题考查求空间两直线的夹角，求出两直线的方向向量，由方向向量的夹角与两直线夹角相等或互补求解．7．C解析：C 【分析】由11,BD AD AB AA =-+平方，根据向量的数量积运算法则及性质可求出1||BD . 【详解】 如图：由11,BD AD AB AA =-+2211()BD AD AB AA ∴=-+222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++-⋅-⋅+⋅21111211cos 45cos60c 12161os 0︒︒︒-⨯⨯=⨯+++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 32=-,13||2BD ∴=-故选：C 【点睛】本题主要考查了向量的加法法则、向量数量积运算性质、向量模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．A解析：A【分析】根据空间向量的线性运算，得出AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝，结合题意，即可求出11,2y z ==，从而得出x y z ++的值. 【详解】解：由空间向量的线性运算，得AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝，由题可知，2AC x AB y BC z CC →→→→''=++， 则1,1,21x y z ===，所以11,2y z ==， 151122x y z ∴++=++=. 故选：A. 【点睛】本题考查空间向量的基本定理的应用，以及空间向量的线性运算，属于基础题.9．D解析：D 【分析】利用中点坐标公式可得点B 的坐标，设(,,)C x y z ，利用||||3CO CB ==，1cos ,6EF BC <>=可解出点C 的纵坐标，最后利用数量积的坐标运算可得OC OF ⋅的值. 【详解】设(,,)C x y z ，(2,2,0)B ，(,,)OC x y z =，(2,)BC x y z =--，(EF =-，由(21cos ,6EF BC EF BC EF BC⋅-===⋅，整理可得：2x y -=-，由||||3CO CB ==化简得x y +=以上方程组联立得x y =，则()(,,)3OC OF x y z =⋅==. 故选：D.【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系下向量数量积的运算,解题关键是掌握向量数量积运算的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.10．A解析：A 【分析】求得EF 长度的两个临界位置的长度，由此求得EF 的取值范围. 【详解】由于ADE ∆与BCF ∆都是等边三角形，且边长为23，故高为3.当E AD B --和F BC A --趋向于0时，8332EF →--=，如下图所示.当E AD B --和F BC A --趋向于π时，83314EF →++=，如下图所示.所以EF 的取值范围是()2,14. 故选：A 【点睛】本小题主要考查空间线段长度范围的判断，考查空间想象能力，属于基础题.11．A解析：A 【分析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判断四个命题得结论. 【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ， ∵正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设1OC =，则()0,0,1A ，()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，()0,1,1AD =-，()1,1,0BC =，1cos 22AD BC AD BC AD BC⋅⋅===⋅， ∴异面直线AB 与CD 所成的角为60︒，故①正确：()1,0,1AC =-，()0,2,0BD =，∵0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥，故②正确： 设平面ACD 的一个法向量为(),,t x y z =， 由00t AC x z t AD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，取1z =，得()1,1,1t =，()1,1,0BC =，设BC 与面ACD 所成角为θ，则sin cos ,3BC t BC t BC tθ⋅====⋅③正确：平面BCD 的法向量()0,0,1n =，()0,1,1BA =，()1,1,0BC =， 设平面ABC 的法向量(),,m x y z =， 则00m BA y z m BC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得()1,1,1m =-，cos ,3m n m n m n ⋅<>==⋅， ∴6sin ,m n <>=∴二面角A BC D --，故④正确. 故选：A.【点睛】本题考查利用空间向量法解决立体几何中的问题，属于综合题.12．C解析：C 【分析】利用向量的基本概念逐一进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：①a =21e +32e ，1b ke =-42e ，且a b ⊥，2212121122(23)(4)2()(38)12()2120a b e e ke e k e k e e e k ∴=+-=+--=-=，解得6k =，所以①正确．②()()OA OB CA CB OA CA OA CB OB CA OB CB ++=+++11cos6011cos9011cos9011cos60001=⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒++=，所以②正确．③(1,1,3)AC =，(1,2,0)AB =-， 向量AC 在AB 上正投影22215||(1)20AC AB AB ⨯===-++③正确． ④假设向量a ，b ，c 共面，则a xb yc =+， 所以123123122(32)(37)e e e x e e e y e e -+=-+++-+， 1231232(3)(37)2e e e x y e x y e xe -+=--+++，所以13x y =--，237x y -=+，12x =， 得12x =，12y ， 所以向量a ，b ，c 共面，所以④不正确． 即正确的有3个， 故选：C ．【点睛】本题考查向量的基本概念，向量垂直，共面，正投影等，属于中档题．13．D解析：D 【分析】利用空间向量的加法和减法法则可将OE 用a 、b 、c 表示. 【详解】12CE ED =，()111111=333236CE CD CA AD CA AB CA AB ⎛⎫∴==+=++ ⎪⎝⎭，()()11113636OE OC CE OC CA AB OC OA OC OB OA∴=+=++=+-+-112112663663OA OB OC a b c =++=++. 故选：D. 【点睛】本题考查空间向量的基底分解，解题时要灵活利用空间向量加法和减法法则，考查计算能力，属于中等题.二、填空题14．【分析】先得出以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系利用向量法可求出【详解】长方体中平面面即为与底面所成角以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系则则设平面的一个法向量为则即令则即设直线与平面所成的角为则解析：5【分析】先得出1160DC D ∠=，以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法可求出. 【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面面1111D C B A ，11DC D ∴∠即为1C D 与底面1111D C B A 所成角，1160DC D ∴∠=，111AB C D ==，1DD ∴=以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则()(()((1110,0,0,3,0,1,0,3,1,3,3D C C B D ，则()((1110,1,3,3,0,3,0,3DC CB CD ===-，设平面11CB D 的一个法向量为(),,n x y z =，则1100n CB n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即33030x z y z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，则3,1y z ==-，即()1,3,1n =--，设直线1C D 与平面11CB D 所成的角为θ， 则1112315sin cos ,25DC n DC n DC nθ⋅-=<>===⨯⋅ 故答案为：155. 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.15．【分析】本题首先可结合题意绘出空间直角坐标系然后根据空间直角坐标系得出以及最后根据即可得出结果【详解】因为四棱柱使直四棱柱为直角所以可以以为坐标原点以所在直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系 317【分析】本题首先可结合题意绘出空间直角坐标系，然后根据空间直角坐标系得出()0,1,0DC =以及()12,3,2BC =--，最后根据111cos ,DC BC DC BC DC BC ⋅=⋅即可得出结果.【详解】因为四棱柱1111ABCD A B C D -使直四棱柱，A ∠为直角，//AB CD ，所以可以以D 为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,4,0B ，()0,1,0C ，()10,1,2C ， 故()0,1,0DC =，()12,3,2BC =--， 因为1DC =，222123217BC =++=，所以1113317cos ,1717DC BC DC BC D BC C ⋅-===⋅， 故异面直线DC 与1BC 317， 故答案为：31717. 【点睛】方法点睛：求空间中两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一．这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式求出两向量的夹角的大小，从而得出结果.16．【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可【详解】解：在直角坐标系中已知现沿轴将坐标平面折成的二面角后在平面上的射影为作轴交轴于点所以所以所以故答案为：【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题考 解析：17【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可【详解】解：在直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角后，()1,6A -在平面xOy 上的射影为C ，作BD x ⊥轴，交x 轴于点D ， 所以AB AC CD DB =++,所以2222222AB AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅+⋅+⋅2221648268682=++-⨯⨯⨯=， 所以217AB =, 故答案为：217【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查了数形结合的思想，属于中档题.17．【分析】建立空间直角坐标系以的方向为x 轴y 轴z 轴的正方向不妨设正方体的棱长为1则异面线与AM 所成角的余弦值转化为求向量的夹角的余弦值利用向量夹角公式即得【详解】分别以的方向为x 轴y 轴z 轴的正方向建立 3【分析】建立空间直角坐标系，以1,,DA DC DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，不妨设正方体的棱长为1，则异面线1BD 与AM 所成角的余弦值，转化为求向量1,BD AM 的夹角的余弦值，利用向量夹角公式即得. 【详解】分别以1,,DA DC DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则11(1,0,0),(1,1,0),(0,1,),(0,0,1)2A B M D ，可得11 (1,1,1),(1,1,)2BD AM=--=-，则11111132cos,9||||13114BD AMBD AMBD AM-+⋅<>===⋅++，即异面直线1BD与AM所成角的余弦值为39.故答案为：3【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线的夹角，运用了向量夹角公式.18．【分析】由题知：再给式子平方即可求出的长度【详解】如图由题意可知所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查利用向量法求线段长度解题时要认真审题注意向量法的合理应用属于中档题6【分析】由题知：11AC AB AD AA=++，再给式子平方即可求出1AC的长度【详解】如图，由题意可知，111AC AB AD CC AB AD AA=++=++，所以1221())(AC AB AD AA=++222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA+=++++1112(cos60cos60cos60)6+++++==.所以16AC=6【点睛】本题主要考查利用向量法求线段长度，解题时要认真审题，注意向量法的合理应用.属于中档题.19．【分析】根据向量投影的计算公式计算出在方向上的投影【详解】依题意在方向上的投影为【点睛】本小题主要考查向量在另一个向量上的投影的计算考查空间向量的数量积的坐标运算属于基础题解析： 【分析】根据向量投影的计算公式，计算出a 在b 方向上的投影. 【详解】依题意a 在b 方向上的投影为()22222a b b⋅===-+-.【点睛】本小题主要考查向量在另一个向量上的投影的计算，考查空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题.20．【分析】用表示从而求出即可求出从而得出答案【详解】点在上且为的中点故故答案为【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算运用向量的加法法则来求解属于基础题解析：13【分析】用,,a b c 表示,ON OM ，从而求出MN ，即可求出,,x y z ，从而得出答案 【详解】,,,OA a OB b OC c ===点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点22=33OM OA a ∴=()111222ON OB OC b c =+=+ 112=223MN ON OM b c a ∴-=+-211,,322x y z ∴=-==故21113223x y z ++=-++= 故答案为13【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，运用向量的加法法则来求解，属于基础题21．-4【解析】分析：设平面的法向量平面的法向量由∥可得因此存在实数使得再利用向量共线定理的坐标运算即可求得结果详解：设平面的法向量平面的法向量因为∥所以所以存在实数使得所以有解得故答案为点睛：该题考查解析：-4 【解析】分析：设平面α的法向量m ，平面β的法向量n ，由α∥β，可得m n ∥，因此存在实数k ，使得m kn =，再利用向量共线定理的坐标运算即可求得结果. 详解：设平面α的法向量(1,2,2)m =-，平面β的法向量(2,,4)n λ=， 因为α∥β，所以m n ∥，所以存在实数k ，使得m kn =，所以有12224k k k λ=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得4λ=-，故答案为4-.点睛：该题考查的是向量平行的条件，以及向量平行时坐标所满足的关系，在解题的过程中，首先需要利用两个平面平行的条件，得到其法向量共线的结论，之后根据坐标的关系求得结果.22．2【分析】由已知建立空间直角坐标系求出的坐标和平面的法向量由数量积公式可得与平面所成的角的正弦值再由三角函数平方关系和商数关系可得答案【详解】因为两两垂直所以以为原点分别为轴的正半轴建立如图所示空间解析：2 【分析】由已知建立空间直角坐标系，求出CD 的坐标和平面OAB 的法向量，由数量积公式可得CD 与平面OAB 所成的角的正弦值，再由三角函数平方关系和商数关系可得答案. 【详解】 因为OC OA OB 、、两两垂直， 所以以O 为原点，OA OB OC 、、分别为x y 、、z 轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，连接CD ，所以()3,0,0A ，()0,4,0B ，()0,0,5C ，3,2,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，3,2,52CD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由于CO ⊥底面OAB ，所以CO 是底面OAB 的法向量，且()0,0,5CO =-，设CD 与平面OAB 所成的角为0,2πθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以sin cos ,5CO CD CO CDCO CDθ⋅====⋅⨯所以cos θ==，所以sin tan 2cos θθθ==.即CD 与平面OAB 所成的角正切值为2.故答案为：2.【点睛】本题考查了线面角的求法，解题关键点是建立空间直角坐标系利用向量的数量积公式求解，考查了学生的空间想象力和计算能力.23．168【分析】根据向量设列出方程组求得得到再利用向量的数量积的运算公式即可求解【详解】由题意向量设又因为所以即解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算以及向量的数量积的运算其 解析：168【分析】根据向量//a b ，设λa b ，列出方程组，求得12λ=，得到(2,4,8),(4,8,16)a b ==，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，向量//a b ，设λa b ，又因为(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-，所以(2,23,2)(4,21,32)m n m n λ-+=+-，即2423(21)2(32)m m n n λλλ=⨯⎧⎪-=+⎨⎪+=-⎩，解得17,,622m n λ===， 所以(2,4,8),(4,8,16)a b ==，所以2448816168a b ⋅=⨯+⨯+⨯=.故答案为：168.【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的共线条件，熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.24．【分析】根据两边平方化简得到得到答案【详解】故故故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的运算意在考查学生的计算能力【分析】根据11AC AB AD AA =++，两边平方化简得到182AC =.【详解】11AC AB AD AA =++ 故2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅ 222113452432458222=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故182AC =【点睛】 本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力.25．【分析】推导出由得到从而由此能求出的取值范围【详解】在空间直角坐标系中整理得：的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查代数式的取值范围的求法考查空间向量坐标运算法则椭圆的参数方程等基础知识考查运算求解解析：⎡⎣【分析】推导出2(a b x +=，2y ，3)，由|2|13a b +=2214x y +=，从而2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(02)θπ≤<，由此能求出2m x y =+的取值范围． 【详解】在空间直角坐标系中，(2,0,1)a x =--，(1,,2)b y =，∴2(,2,3)a b x y +=，|2|13a b +=，∴=2244x y +=，∴2214x y +=， ∴2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(02)θπ≤<，2sin 4cos )m x y θθθα∴=+=+=+，tan 4α=．2m x y ∴=+的取值范围是[．故答案为：[．【点睛】本题考查代数式的取值范围的求法，考查空间向量坐标运算法则、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，求解时注意三角函数中辅助角公式及有界性的应用．26．【解析】【分析】由α∥β可得∥利用向量共线定理即可得出【详解】因为α∥β所以u∥v则即故x+y=【点睛】本题考查了空间面面平行与法向量的关系向量共线定理考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：15 4【解析】【分析】由α∥β，可得u∥v．利用向量共线定理即可得出．【详解】因为α∥β,所以u∥v.则1-21 -12 xy==,即4,1-,4xy=⎧⎪⎨=⎪⎩故x+y=154.【点睛】本题考查了空间面面平行与法向量的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
人教版高中数学选修2-1第一章检测题
绝密★启用前高中数学选修2-1第一章检测题试卷副标题考试范围：XXX ；考试时间：100分钟；命题人：XXX学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 得分注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上评卷人 得分一、单项选择（注释）1、条件x x p =|:|，条件x x q -≥2:，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件充要条件 D ．既不充分又不必要条件2、命题“21,11x x <<<若则-”的逆否命题是（ ）A.21,1,1x x x ≥≥≤-若则或 B.若11<<-x ，则12<x C.若1x >或1x <-，则12>x D.若1x ≥或1x ≤-，则12≥x 3、下列命题中是全称命题的是（ ）A ．圆有内接四边形B ．23>C ．23<D ．若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形为直角三角形 4、在ABC ∆中，“A B =”是“sin sin A B =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5、命题“对任意的2,310x R x x ∈-+≤”的否定是（ ） 2000,310x R x x ∈-+≤2000,310x R x x ∈-+≤2000,310x R x x ∈-+>2,310x R x x ∈-+> 6、已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q ：存在实数x 0，使2x 0<0.下列选项中为真命题的是( )A ．⌝pB ．qC ．⌝p ∨qD ．⌝q ∧p 7、）下列说法错误的是（ ）A ．如果命题“⌝p ”与命题“p ∨q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：∃x 0∈R ，x 02＋2x 0－3<0，则？p ：∀x ∈R ，x 2＋2x －3≥0D ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件 8、“1k =-”是“两直线320kx y +-=和(2)70k x y -+-=互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件9、在∆ABC 中，a B sin <bAsin 是A ＞B 成立的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 10、有下列四个命题：①“若xy=1，则x 、y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题； ③“若022=+-m x x 有实根则1≤m ”； ④“若B A B B A ⊆=则, ”的逆否命题．其中真命题个数为（ ）．3 D ．4评卷人 得分二、填空题（注释）11、已知x y R ∈、，那么命题“若x y 、中至少有一个不为0，则220x y +≠.”的逆否命题是 .12、已知命题p ：220R x x ax a ∃∈++≤，，则命题p 的否定是_________；若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是___________．13、已知命题p ：？x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：？x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若“p 且q ” 为真命题，则实数a 的取值范围是______________．14、给出下列命题：(1)命题：“若b 2－4ac<0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根”的否命题； (2)命题“△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题； (3)命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；(4)“若m>1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ”的逆命题． 其中真命题的个数为____________．评卷人 得分三、解答题（注释）15、写出下列命题的否定，并判断真假. (1)q:∀x ∈R ，x 不是5x-12=0的根； (2)r:有些质数是奇数； (3)s:∃x ∈R ，|x|＞0.16、设命题p ：“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”． （1）试写出命题p 的逆否命题；（2）判断命题p 的逆否命题的真假，并写出判断过程． 17、已知全集U=R ，非空集合{23x A x x -=-＜}0，{()()22B x x a x a =---＜}0. （1）当12a =时，求()U C B A ⋂； （2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.18、已知命题p:(x+1)(x-5)≤0，命题q:m x m +≤≤-11（1）若p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围；（2）若m=5，“p q ∨ ”为真命题，“p q ∧ ”为假命题，求实数x 的取值范围。
最新人教版高中数学选修二第一单元《数列》检测题(有答案解析)
一、选择题1．已知数列{}n a 中，12a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2021a 等于（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．22．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =3．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36B ．48C ．56D ．725．设等差数列{}n a 的前n 项和为*,n S n ∈N ．若12130,0S S ><，则数列{}n a 的最小项是（ ） A ．第6项B ．第7项C ．第12项D ．第13项6．已知数列{}n a 满足2122111,16,2n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为（ ） A ．92B ．102C ．8182D ．1127．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*21n n n S a a n =+∈N ，且0n S >，记数列{}2nn a ⋅的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．118．两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b ++的值为（ ） A ．14924B ．7914C ．165D ．51109．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，若1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，则3948tan1b b a a +-⋅的值是（ ）A．B ．1-C．-D10．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072B ．2073C ．2074D ．207511．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则129SS =（ ） A ．43B ．53C ．2D ．312．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．174B ．184C ．188D ．160二、填空题13．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯，三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解，当(),,p q p q p N q N **⨯≤∈∈是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如(12)431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为______．14．天干地支纪看法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2020年为庚子年，那么到建国100年时，即2049年以天干地支纪年法为__________.15．已知数列{}n a 与2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列（n *∈N ），且12a =，则{}n a 的公差为______．16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足212n n n a a S +=，且0n a >，则64S =____．17．已知正项数列{}n a 和{}n b 满足：①11a =，23a =；②12n n n a a b ++=，211n n n b b a ++=.则数列{}n a 的通项公式为n a =___________.18．设数列{}n a 满足11a =，且()*11n n a a n n N +-=+∈，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前2020项的和为________．19．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则789a a a ++=________.20．数列{}n a 满足()211122,3,1n n nn n a a a a n a -+--+==+，21a =，33a =，则7a =________.三、解答题21．设数列{}n a 前n 项和为n S ，满足()*3142n n a S n N =+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .22．在①1，n a ，n S 成等差数列；②递增等比数列{}n a 中的项2a ，4a 是方程21090x x -+=的两根；这二个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由.已知数列{}n a 和等差数列{}n b 满足__________，且14b a =，223b a a =-，是否存在()320,k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项？（n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n b 的前n 项和）23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ，*n N ∈时，112n n S a -=-，且112a =. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设n n b na =，数列{}n b 的前n 项和n T ，求使得158n T <成立的n 的最大值. 24．在①{}n a 是等比数列，且11a =，其中1a ，21a +，31a +成等差数列；②数列{}n a 中，12a =，且()13212n n S S n n n --=-；③11a =，120n n a a ++=.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由. 已知数列{}n a 和等差数列{}n b 满足___________，且14b a =，223b a a =-，是否存在(320,)k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项？（n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n b 的前n 项和）注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，从条件①()11n n na n a +=+，②()12n n n a S +=，③22n n n a a S +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，____. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 和nT.26．已知数列}{n a 满足11a =，)(121n n a a n N *+=+∈.（1）求数列}{na 的通项公式.（2）设n b n =，求数列1n n b a ⎧⎫⎪⎨⎬+⎪⎭⎩的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先计算出{}n a 的前几项，然后分析{}n a 的周期性，根据周期可将2021a 转化为2a ，结合12a =求解出结果.【详解】因为12a =，所以23412311111,11,12,......2a a a a a a =-==-=-=-= 所以3211111111111111111111n n nn n n n na a a a a a a a +++-=-=-=-=-=-=------， 所以{}n a 是周期为3的周期数列，所以20213673+2212a a a ⨯===， 故选：C. 【点睛】思路点睛：根据递推公式证明数列{}n a 为周期数列的步骤：（1）先根据已知条件写出数列{}n a 的前几项，直至出现数列中项循环，判断循环的项包含的项数A ；（2）证明()*n A n a a A N+=∈，则可说明数列{}na 是周期为A 的数列.2．D解析：D把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n n x x+-＝33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ． 【点睛】 方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.3．B解析：B 【分析】 由题意可得221114n n a a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n na a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，所以2114(1)43nn n a =+-=-，因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==，所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14n b ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题4．A解析：A 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=， 所以5312a =，即54a =， 所以()1999983622a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键.5．B解析：B 【分析】可利用等差数列的前n 项和的性质，等差数列下标的性质进行判断即可 【详解】由题意12130,0S S ><及()()()12112671311371366,132S a a a a S a a a =+=+=+=，得6770,0a a a +><，所以6670,a a a >>，且公差0d <，所以7a ，最小.故选B .【点睛】等差数列的前n 项和n S 具有以下性质()2121n n S n a -=-，()21n n n S n a a +=+.6．B解析：B 【分析】本题先根据递推公式进行转化得到21112n n n n a a a a +++=．然后令1n n na b a +=，可得出数列{}n b 是等比数列．即11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭．然后用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列{}n a 的最大项． 【详解】解：由题意，可知： 21112n n n na a a a +++=． 令1n n n ab a +=，则112n n b b +=． 21116a b a ==， ∴数列{}n b 是以16为首项，12为公比的等比数列． 111163222n nn b -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．∴11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∴1211322a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2321322a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111322n n n a a --⎛⎫= ⎪⎝⎭．各项相乘，可得： 12111111(32)222n n na a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)2511()22n n n --⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2115(1)221122n n n ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211552212n n n --+⎛⎫= ⎪⎝⎭21(1110)212n n -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．令2()1110f n n n =-+，则，根据二次函数的知识，可知：当5n =或6n =时，()f n 取得最小值． ()2551151020f =-⨯+=-，()2661161020f =-⨯+=-，()f n ∴的最小值为20-．∴211(1110)(20)1022101112222n n -+⨯--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴数列{}n a 的最大项为102．故选：B ． 【点睛】本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值；7．B解析：B 【分析】由数列n a 与n S 的关系转化条件可得11n n a a -=+，结合等差数列的性质可得n a n =，再由错位相减法可得()1122n n T n +=-⋅+，即可得解.【详解】由题意，()()*21n n n S a a n N=+∈，当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，所以()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+， 整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为数列{}n a 单调递增且0n S >，所以110,10n n n n a a a a --+≠--=，即11n n a a -=+， 当1n =时，()11121S a a =+，所以11a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以n a n =，所以1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()()234111212222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅--，所以()1122n n T n +=-⋅+，所以876221538T =⨯+=，987223586T =⨯+=，所以2020n T >成立的n 的最小值为8. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是数列n a 与n S 关系的应用及错位相减法的应用.8．A解析：A 【分析】在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以结合此性质可得：2202171521a a Sb b T +=+，再根据题意得到答案．【详解】解：在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯， 又因为723n n S n T n +=+， 所以22071514924a ab b +=+．故选：A ． 【点睛】本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题．9．A解析：A 【分析】由等比数列和等差数的性质先求出39b b +和48a a ⋅的值，从而可求出3948tan 1b b a a +-⋅的值【详解】解：因为数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，所以36a =-，637b π=，所以6a =673b π=， 所以3961423b b b π+==，24863a a a ⋅==，所以39481473tan tan tan()tan(2)tan 113333b b a a πππππ+==-=-+=-=-⋅-，故选：A 【点睛】此题考查等差数列和等比数列的性质的应用，考查三角函数求值，属于中档题10．C解析：C 【分析】由于数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯共有2025项，其中有45个平方数，12个立方数，有3个既是平方数，又是立方数的数，所以还剩余20254512+31971--=项，所以去掉平方数和立方数后，第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数，从而求得结果. 【详解】∵2452025=，2462116=，20202025<，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉45个平方数，因为331217282025132197=<<=，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉12个立方数，又66320254<<，所以在从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中有3个数即是平方数， 又是立方数的数，重复去掉了3个即是平方数，又是立方数的数， 所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉平方数和立方数后还有20254512+31971--=项，此时距2020项还差2020197149-=项， 所以这个数列的第2020项是2025492074+=， 故选：C. 【点睛】本题考查学生的实践创新能力，解决该题的关键是找出第2020项的大概位置，所以只要弄明白在数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解，属于中档题.11．B解析：B 【分析】由已知条件利用等差数列前n 项和公式推导出a 1＝2d ，由此能求出129S S 的值【详解】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，63S S =3， ∴1165623232a d a d⨯+=⨯+3，整理，得a 1＝2d ， ∴112191112111212665298936392a dS a d S a d a d ⨯++===⨯++． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和比值的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的前n 项和公式的合理运用．12．A解析：A 【分析】根据已知条件求得11n n n a a -=--，利用累加法求得19a . 【详解】 依题意：3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以11n n n a a -=--（2n ≥），且13a =， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()12213n n =-+-++++()()()11113322n n n n -+--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查累加法，属于中档题.二、填空题13．【分析】先通过归纳得再利用等比数列求和得解【详解】由题意得归纳得则故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出归纳出这个结论之后后面利用等比数列求和就迎刃而解了 解析：101031-【分析】 先通过归纳得()()2111233323,3330k kk k k k k f f ---=-=⨯=-=，再利用等比数列求和得解. 【详解】由题意得()()232(3)312,3330,333236f f f =-==-==-=⨯=，()4223330f =-=，归纳得()()2111233323,3330k kk k kkkf f ---=-=⨯=-=，则()()()()()()232020352019(3)333(3)333f f f f f f f f ++++=++++012100923232323=⨯+⨯+⨯++⨯()10101210091010132333323113-=⨯++++=⨯=--．故答案为：101031- 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出()()2111233323,3330k k k k k k k f f ---=-=⨯=-=，归纳出这个结论之后，后面利用等比数列求和就迎刃而解了.14．已巳【分析】本题由题意可得数列天干是10个为一个循环的循环数列地支是以12个一个循环的循环数列以2020年的天干和地支分别为首项即可求解【详解】由题意可知数列天干是10个为一个循环的循环数列地支是以解析：已巳 【分析】本题由题意可得数列天干是10个为一个循环的循环数列，地支是以12个一个循环的循环数列，以2020年的天干和地支分别为首项，即可求解． 【详解】由题意可知数列天干是10个为一个循环的循环数列，地支是以12个一个循环的循环数列，从2020年到2049年一共有30年，且2020年为庚子年， 则30103÷=，2049年的天干为已，30122÷=余6，2049年的地支为巳， 故2049年为已巳年， 故答案为：已巳. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了循环数列的实际应用，能否根据题意得出天干是10个为一个循环的循环数列以及地支是以12个一个循环的循环数列是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，是中档题．15．【分析】本题首先可设数列的公差为则然后根据题意得出最后通过计算即可得出结果【详解】设数列的公差为因为所以因为数列是等差数列所以即解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的公差的求法主要考查 解析：2【分析】本题首先可设数列{}n a 的公差为d ，则22a d =+、322a d =+，然后根据题意得出2123221322a a a +=⨯，最后通过计算即可得出结果. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，因为12a =，所以22a d =+，322a d =+，因为数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，所以2123221322a a a +=⨯，即()()2222342d d +=++，解得2d =， 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的公差的求法，主要考查等差中项的应用，若数列{}n a 是等差数列且2n mk ，则2n m k a a a ，考查计算能力，是中档题.16．8【分析】由与的关系化简结合等差数列的定义得出数列是等差数列进而求出【详解】当时当时由题意可知整理得所以数列是以为首项为公差的等差数列则故答案为：【点睛】解决本题的关键是由与的关系对化简结合等差数列解析：8【分析】由n S 与n a 的关系化简212n n n a a S +=，结合等差数列的定义得出数列{}2n S 是等差数列，进而求出2n S n =，【详解】当1n =时，111S a ==当2n ≥时，由题意可知()()21112n n n n n S S S S S ---+=-，整理得2211n n S S --=所以数列{}2n S 是以1为首项，1为公差的等差数列，则2n S n =64264S ∴=，0n a >，648S ∴=故答案为：8 【点睛】解决本题的关键是由n S 与n a 的关系对212n n n a a S +=化简，结合等差数列的定义进行求解.17．【分析】根据条件②联立化简得数列是等差数列再根据条件①可得的通项再代入②即可得数列的通项公式【详解】则时时即数列是等差数列又首项公差其中适合此式故答案为：【点睛】本题考查数列的通项公式考查对数列相关解析：()112n n +【分析】根据条件②12n n n a a b ++=，211n n n b b a ++=联立化简得数列是等差数列，再根据条件①可得的通项，再代入②即可得数列{}na 的通项公式.【详解】0n a >，0n b >，211n n n b b a ++=，1n a +∴=则2n ≥2n b =，2n ∴≥==∴数列是等差数列.又1212a a b +=，12b ∴=，222192a b b ==，=2d ==，))11n n =-=+. ()2112n b n ∴=+，()()11122n a n n +∴==++. ()112n a n n ∴=+，其中11a =适合此式， ()112n a n n ∴=+. 故答案为：()112n n +. 【点睛】本题考查数列的通项公式，考查对数列相关知识的理解与运用，解题关键是对题目条件的转化，属于中等题.18．【分析】由得到用累加法求得从而得到然后利用裂项相消法求解【详解】因为所以左右分别相加得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查累加法求通项裂项相消法求和还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：40402021【分析】由()*11n n a a n n N+-=+∈得到1122321,1,2,...,2------=-=--=--=n n n n n n a a n a a n a a n a a ，用累加法求得22n n na +=，从而得到2121121n a n nnn ，然后利用裂项相消法求解.【详解】因为()*11n n a a n n N+-=+∈,所以1122321,1,2,...,2------=-=--=--=n n n n n n a a n a a n a a n a a ， 左右分别相加得()()112234 (2)-+=++++=-n n n n a a ，所以22n n na +=，所以2121121na n nnn ，所以20201111111140402...2122320202021120212021⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭S ， 故答案为：40402021【点睛】本题主要考查累加法求通项，裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】可得出并计算出利用等比数列片断和的性质得出成等比数列可得出的值【详解】且成等比数列即因此故答案为：【点睛】本题考查利用等比数列片断和性质求值考查计算能力属于中等题 解析：448【分析】可得出78996a a a S S ++=-，并计算出6356S S -=，利用等比数列片断和的性质得出3S 、63S S -、96S S -成等比数列，可得出789a a a ++的值.【详解】6363756S S -=-=，且78996a a a S S ++=-，3S 、63S S -、96S S -成等比数列，即()()263396S S S S S -=-，因此，()2263789963564487S S a a a S S S -++=-===. 故答案为：448. 【点睛】本题考查利用等比数列片断和性质求值，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】由等式变形可得出利用等比中项法可判断出数列为等比数列求出该等比数列的公比利用等比数列的通项公式即可求出的值【详解】即由等比中项法可知数列为等比数列且公比为解得故答案为：【点睛】本题考查了数列 解析：63【分析】由等式211121n n n n n a a a a a -+--+=+变形可得出()()()211111n n n a a a +-++=+，利用等比中项法可判断出数列{}1n a +为等比数列，求出该等比数列的公比，利用等比数列的通项公式即可求出7a 的值. 【详解】()()()22211111111121111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --+---+-++-+===-+++，即()211111nn n a a a +-++=+， ()()()211111n n n a a a +-∴++=+，由等比中项法可知，数列{}1n a +为等比数列，且公比为32121a a +=+， ()55721122264a a ∴+=+⨯=⨯=，解得763a =.故答案为：63. 【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）212n n a -=；（2）211(31)229n n T n +⎡⎤=-⋅+⎣⎦.【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的递推关系，结合1a ，得数列为等比数列，从而易得通项公式；（2）用错位相减法求得和n T ． 【详解】 （1）31()42n n a S n N *=+∈ 1131(2)42n n a S n --=+≥ 两式相减，得()113344n n n n n a a S S a ---=-=. 所以，114n n a a -=，14(2)n n a n a -=≥ 又113142a S =+，即113142a a =+∴12a = ∴{}n a 是首项为2，公比是4的等比数列.1222124222n n n n a ---=⋅=⋅=.（2）212n n n b n a n -=⋅=⋅. 35211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ①35212141222(1)22n n n T n n -+=⋅+⋅++-⋅+⋅ ②①-②，得()352121322222n n n T n -+-=++++-⋅212(14)214n n n --=-⋅-，故211(31)229n n T n +⎡⎤=-⋅+⎣⎦. 【点睛】本题考查求等经数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 22．任选①②，结论都是：不存在()320,k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项． 【分析】选①，由1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 是系数，求得其通项公式后，可得12,b b ，公差为21d b b =-，从而得n T ，n T 根据的表达式知3n ≥时，0n T <，结合n a 表达式可得结论．选②，由方程的根，及数列的性质得出24,a a ，从而可得n a ，求出12,b b ，得公差d 后可得n T ，在2n ≥时，0n T <，结合n a 可得结论． 【详解】若选①，∵1，n a ，n S 成等差数列，∴21n n a S =+， 即21n n S a =-，显然11121a S a ==-，11a =，2n ≥时，11(21)(21)n n n n n a S S a a --=-=---，化简得12n n a a -=，∴{}n a 是等比数列，公比为2，∴12n na ，∴148b a ==，223242b a a =-=-=-，{}n b 是等差数列，则2110d b b =-=-，21(1)(1)8(10)51322n n n n n T nb d n n n --=+=+⨯-=-+， 18T =，26T =，36T =-，3n ≥时都有0n T <，而120n n a -=>，∴不存在()320,k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项．若选②，∵递增等比数列{}n a 中的项2a ，4a 是方程21090x x -+=的两根，∴241,9a a ==，则2429a q a ==，3q =，2223n n n a a q --==， 149b a ==，223132b a a =-=-=-，2111d b b =-=-，1(1)1(1)(11)232n n n n n T nb d n --=+=⨯+⨯-2113526n n =-+， 易知19T =，2n ≥时，0n T <，而0n a >，∴不存在()320,k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项． 【点睛】关键点点睛：本题考查注等比数列的通项公式，求等差数列的前n 项和，解题关键是由基本量法法求得n a 和n T ，然后分析n T 与n a 的性质，确定结论．23．(1) 12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）5 【分析】（1）由n S 与n a 的关系求数列的通项公式； （2）由错位相减法求和，作差判断单调性，即可求解. 【详解】（1）当2n ≥，N n *∈时，112n n S a -=-，所以()1121n n S a n +=-≥ 相减整理可得：()1122n n a a n +=≥，（*） 当2n =时，1121122S a a ===-，解得214a =. 所以2112a a =，即1n =时，（*）式也成立. 所以()1112n n a a n +=≥， 所以数列{}n a 是等比数列，首项与公比都为12. 所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）因为2n nn b =， 所以231232222n nn T =++++， 所以2311122222n n n T +=+++， 所以2311111111122222222n n n n n n n T ++=++++-=-- 所以222n nn T +=-因为111321220222n n n n n n n n T T ++++++⎛⎫⎛⎫-=---=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以n T 单调递增. 因为6158n T T <=，所以6n <，所以n 的最大值是5. 【点睛】关键性点睛：对于形如等差数列与等比数列相乘的形式，求和可用错位相减法，判断数列和的单调性可采用作差法，本题考查了运算能力，属于中档题.24．若选①或②则不存在(320,)k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项，选③存在8k ，使得k T 是数列{}n a 中的项.【分析】若选①解方程可得等差数列{}n a 的通项公式，求出n T ，根据通项公式验证即可；若选②， 由()13212n n S S n n n --=≥-，得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以32为公差的等差数列，利用1n n n a S S -=-求出即可求解；若选③由120n n a a ++=可得12nn a a -=-，数列为等比数列，求出()12n n a -=-即可求解. 【详解】选①，设数列{}n a 是公比为q 的等比数列， 且11a =，其中1a ，21a +，31a +成等差数列， 可得()213211a a a +=++，即()2212q q +=+，解得2q（0舍去），则1112n n n a a q --==；故148b a ==，2232b a a =-=-， 则等差数列{}n b 的公差10d =-，()()218101352n n n T n n n -=+-=-， 当3n ≥时，0n T <，0n a >，故不存在()320,N k k n <<∈使得使得k T 是数列{}n a 中的项； 选②由()13212n n S S n n n --=≥-，得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以32为公差的等差数列， 又11211S a ==，所以()33121222n S n n n =+-=+， 则23122n S n n =+；所以()1312n n n a S S n n -=-=-≥ 验证12a =适合上式，所以31n a n =-；1411b a ==，2235830b a a =-=-=-<，则等差数列{}n b 的公差14d =-，()()2111147182n n n T n n n -=+-=-+， 当3n ≥时，0n T <，0n a >，故不存在()320,N k k n <<∈使得使得k T 是数列{}n a 中的项；选③由11a =，120n n a a ++=可得，12nn a a -=-， 以数列{}n a 是以2-为公比以1为首项的等比数列，所以()12n n a -=-，148b a ==-，2236b a a =-=-，则等差数列{}n b 的公差2d =，29n T n n =-，()38482T a ==-=，故存在8k ，使得k T 是数列{}n a 中的项；【点睛】关键点点睛：本题主要根据所选的条件，去求数列{}n a 的通项公式，求出通项公式后，利用公式判断项是否在数列中即可，属于中档题. 25．（1）()*n a n n N =∈；（2）()1122n nT n +=-⋅-.【分析】 （1）若选①可得n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数数列，即可求出n a ；若选②利用1n n n a S S -=-可得()11n n n a na --=，即可得n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数数列，即可求出n a ；若选③利用1n n n a S S -=-可得11n n a a --=，即可得到数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，从而得解；（2）利用错位相减法求和； 【详解】 选条件①时，（1）()11n n na n a +=+时，整理得11111n n a a a n n +===+，所以n a n =. （2）由（1）得：2nn b n =-⋅， 设2nn c n =⋅，其前n 项和为n C ，所以1212222n n C n =⨯+⨯++⋅ ①，231212222n n C n +=⨯+⨯++⋅ ②，①-②得：()()12112212222221n n n n nC n n ++⨯--=+++-⋅=-⋅-，故()1122n n C n +=-⋅+， 所以()1122n n T n +=-⋅-.选条件②时， （1）由于()12n n n a S +=，所以()21nn Sn a =+①，当2n ≥时，112n n S na --=②，①-②得：()121n n n a n a na -=+-，()11n n n a na --=，整理得1111n n na a a n n -===-，所以n a n =. （2）由（1）得：2nn b n =-⋅， 设2nn c n =⋅，其前n 项和为n C ，所以1212222n n C n =⨯+⨯++⋅ ①， 231212222n n C n +=⨯+⨯++⋅ ②，①-②得：()()12112212222221n n n n nC n n ++⨯--=+++-⋅=-⋅-，故()1122n n C n +=-⋅+， 所以()1122n n T n +=-⋅-.选条件③时，由于22n n n a a S +=， ①21112n n n a a S ---+= ②①-②时，2211n n n n a a a a ---=+，整理得11n n a a --=（常数），所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列. 所以n a n =.（2）由（1）得：2nn b n =-⋅， 设2nn c n =⋅，其前n 项和为n C ，所以1212222n n C n =⨯+⨯++⋅①， 231212222n n C n +=⨯+⨯++⋅②，①-②得：()()12112212222221n nn n nC n n ++⨯--=+++-⋅=-⋅-，故()1122n n C n +=-⋅+， 所以()1122n n T n +=-⋅-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．26．（1）21nn a =-；（2）)(1222nn S n ⎛⎫=-+⋅⎪ ⎭⎝.【分析】（ 1）先化简已知)(1121n n a a ++=+，构造等比数列}{1n a +，求出数列{}n a 的通项公式；（2）先求出1122nn n n b nn a ⎛⎫==⋅⎪ +⎭⎝，再利用错位相减求出前n 项和n S .【详解】（1）∵)(121n n a a n N*+=+∈，∴)(1121n n aa ++=+，由已知10n a +≠，∴1121n n a a ++=+，∴}{1n a +是以112a +=为首项，以2为公比的等比数列，∴11222n nn a -+=⨯=，∴21n n a =-.（2）1122n n n n b nn a ⎛⎫==⋅⎪ +⎭⎝，12311111232222nn S n ⎛⎛⎛⎛⎫⎫⎫⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅⎪⎪⎪⎪ ⎭⎭⎭⎭⎝⎝⎝⎝，)(2211111112122222n n n S n n +⎛⎛⎛⎛⎫⎫⎫⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅⎪⎪⎪⎪ ⎭⎭⎭⎭⎝⎝⎝⎝，∴1231111111222222n n n S n +⎛⎛⎛⎛⎛⎫⎫⎫⎫⎫=+++⋅⋅⋅+-⋅⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭⎭⎭⎭⎭⎝⎝⎝⎝⎝，)(1111122111212212nn n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪ ⎭⎝⎢⎥⎛⎛⎫⎫⎣⎦=-⋅=-+⋅⎪⎪ ⎭⎭⎝⎝-，∴)(1222n n S n ⎛⎫=-+⋅⎪ ⎭⎝.【点睛】本题主要考查由递推数列求通项，若数列{}·n n b c ，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，则采用错位相减法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.。
新人教A版选修1-2高中数学第一、二章测试题及答案
数学选修1-2第一、二章测试题参考公式：22()K ()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++，回归直线方程：1221ni ii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑,一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分。
） 1、下列两个量之间的关系是相关关系的为( )A ．匀速直线运动的物体时间与位移的关系B ．学生的成绩和体重C ．路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少D ．水的体积和重量2、两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2R 如下 ，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1的相关指数2R 为0.98 B. 模型2的相关指数2R 为0.80 C. 模型3的相关指数2R 为0.50 D. 模型4的相关指数2R 为0.253. 一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y = 7.19 x +73.93. 用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是(A) 身高一定是145.83 cm ； (B) 身高在145.83 cm 以上； (C) 身高在145.83 cm 以下； (D) 身高在145.83 cm 左右 4、下列说法正确的是（ ）Ａ．由归纳推理得到的结论一定正确 Ｂ．由类比推理得到的结论一定正确 Ｃ．由合情推理得到的结论一定正确Ｄ．演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。
5、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 ( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误 6、下表为某班5位同学身高x (单位：cm)与体重y (单位kg)的数据,若两个量间的回归直线方程为1.16y x a =+,则a 的值为( ) A ．-121.04 B ．123.2 C ．21 D ．-45.127、用反证法证明命题：“,,,a b c d R ∈,1a b +=,1c d +=,且1ac bd +>,则,,,a b c d 中至少有一个负数”时的假设为( )A ．,,,a b c d 中至少有一个正数B ．,,,a b c d 全为正数C ．,,,a b c d 全都大于等于0D ．,,,a b c d 中至多有一个负数8、设,)cos 21,31(),43,(sin x b x a ==→-→-且→-→-b a //，则锐角x 为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．π1259、在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2.则它们的面积之比为1:4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1:2，则它们的体积比为（ ）A ．1:2 B. 1:4 C. 1:8 D. 1:610、设函数()y f x =定义在R 上，满足(2)4f =，且对任意12,x x R ∈，恒12()f x x +=12()()f x f x +，则满足()f x 的表达式为（ ）(A)2()log f x x = (B)()2x f x = (C)()2f x x = (D)1()2f x x =二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）11、回归直线方程为0.57514.9y x =-，则100x =时，y 的估计值为12、黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖________________块.13、若()()()(,),f a b f a f b a b N +=⋅∈且(1)2f =，则=+++)2011()2012()3()4()1()2(f f f f f f 14、当n=1时，有（a-b ）（a+b ）=a 2-b2当n=2时，有（a-b ）（a 2+ab+b 2）=a 3-b 3当n=3时，有（a-b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=a 4-b 4当n *∈N 时，你能得到的结论是三、解答题（共6小题，共80分） 15、(本题满分12分)在数列{a n }中，1121,()2n n na a a n N a ++==∈+，试写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式。
最新人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试题(含答案解析)
一、选择题1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为111,BD B C 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP CN ⊥，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 可以是棱1BB 的中点 B ．线段MP 的最大值为32C ．点P 的轨迹是正方形D ．点P 轨迹的长度为2+52．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）A ．1122a b c -+ B ．a b c +- C ．a b c -+D ．1122a b c -+- 3．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法判定4．如图，在四面体O ABC -中，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且12OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则(,,)x y z 为（ ）A ．111(,, )222B ．222(, , )333C ．111(, , )333D ．222(,, )9995．已知(),(3,0,1),(131,2,3,1),55a b c =-==--给出下列等式：①a b c a b c ++=--；②()()a b c a b c +⋅=⋅+；③2222()a b c b c a =++++ ④()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.其中正确的个数是 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D 与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ） A ．2123,θθθθ<<B ．2123 ,θθθθ><C ．2123 ,θθθθD ．2123 ,θθθθ>>7．已知1e ，2e 是夹角为60的两个单位向量，则12a e e =+与122b e e =-的夹角是（ ） A ．60B ．120C ．30D ．908．如图，平行六面体中1111ABCD A B C D -中，各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，则对角线1BD 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．29．在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),(22,0,0),(0,22,0)O E F ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足||||3CO CB ==，若1cos ,6EF BC <>=，，则OC OF ⋅=（ ） A ．9B ．7C ．5D ．310．棱长为1的正四面体ABCD 中，点E ，F 分别是线段BC ，AD 上的点，且满足13BE BC =，14AF AD =，则AE CF ⋅=（ ）A ．1324-B ．12-C ．12D ．132411．如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为3，底面边长11111A C B C ==，且11190A C B ∠=，D 点在棱1AA 上且12AD DA =，P 点在棱1C C 上，则1PD PB ⋅的最小值为（ ）A ．52B ．14-C ．14D ．52-12．已知在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且3BM MC =，点N 是棱AD 的中点，若MN x AB y AC z AD =++其中,,x y z 为实数，则x y z ++的值是（ ）A ．12B ．12-C ．－2D ．213．以下四个命题中正确的是（ ）A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B ．若{},,a b c 为空间向量的一组基底，则{},,a b b c c a +++构成空间向量的另一组基底 C ．ABC ∆为直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅= D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底二、填空题14．三棱锥O ABC -中，OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA OB OC ==.给出下列四个命题：①()()223OA OB OCOA ++=；②()0BC CA CO ⋅-=；③()OA OB +和CA 的夹角为60；④三棱锥O ABC -的体积为()16AB AC BC ⋅. 其中所有正确命题的序号为______________.15．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC AA ==，则11D C 与平面11A BC 所成角的正弦值为______________．16．在空间直角坐标系中， ()()()2,1,1,3,4,,2,7,1,A B C AB CB 若λ-⊥,则λ=____ 17．ABC ∆的三个顶点分别是(1,1,2)A -，(5,6,2)B -，(1,3,1)C -，则AC 边上的高BD 长为__________．18．在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,0,2)A -，(0,1,1)B -，点,C D 分别在x 轴，y 轴上，且AD BC ⊥，那么CD →的最小值是______.19．已知向量()2,1,3a =-，31,,2b k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若向量a 、b 的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是__________．20．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.21．若平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u =，(1,1,0)v =-，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________.22．已知(2,1,3)a →=-，(4,2,)b x →=-，(1,,2)c x →=-，若a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，是x =________.23．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为顶点的三条棱的长均为2，且两两所成角均为60°，则1||AC =__________.24．如图，在正四棱锥V ABCD -中，二面角V BC D --为60°，E 为BC 的中点.已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为60°，则VFVA=_____________.25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，122AA AB AC ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为3π，当1B M 最小时，AMB ∠=__________.26．已知四棱柱111ABCD A BC D -的底面ABCD 是矩形，5AB =，3AD =，14AA =，1160BAA DAA ∠=∠=︒，则1AC =________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，根据MP CN ⊥，确定点P 的轨迹，在逐项判断，即可得出结果. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为1，,M N 分别为111,BD B C 的中点， 则()0,0,0D ，111,,222M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,12N ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0C ， 所以1,0,12CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设(),,P x y z ，则111,,222MP x y z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，因为MP CN ⊥， 所以1110222x z ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，2430x z +-=，当1x =时，14z =；当0x =时，34z =； 取11,0,4E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,1,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,1,4G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,0,4H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接EF ，FG ，GH ，HE ，则()0,1,0EF GH ==，11,0,2EH FG ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以四边形EFGH 为矩形，则0EF CN ⋅=，0EH CN ⋅=，即EF CN ⊥，EH CN ⊥， 又EFEH E =，且EF ⊂平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH ，所以CN ⊥平面EFGH ， 又111,,224EM ⎛⎫=-⎪⎝⎭，111,,224MG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以M 为EG 中点，则M ∈平面EFGH ，所以，为使MP CN ⊥，必有点P ∈平面EFGH ，又点P 在正方体的表面上运动， 所以点P 的轨迹为四边形EFGH ， 因此点P 不可能是棱1BB 的中点，即A 错； 又1EF GH ==，5EH FG ==，所以EF EH ≠，则点P 的轨迹不是正方形；且矩形EFGH 的周长为2222+⨯=+C 错，D 正确； 因为点M 为EG 中点，则点M 为矩形EFGH 的对角线交点，所以点M 到点E 和点G的距离相等，且最大，所以线段MP ，故B 错. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由MP CN ⊥，求出动点轨迹图形，即可求解.2．A解析：A 【分析】利用空间向量的加法和减法法则可得出BD 关于a 、b 、c 的表达式. 【详解】()11112222OD OA AD OA AC OA OC OA OA OC =+=+=+-=+， 因此，11112222BD OD OB OA OB OC a b c =-=-+=-+. 故选：A. 【点睛】本题考查利用基底表示空间向量，考查计算能力，属于中等题.3．B解析：B 【分析】根据题意，求得向量AD 和BC 的坐标，再结合空间向量的数量积的运算，即可得到两直线的位置关系，得到答案. 【详解】由题意，点()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -， 可得()3,1,6AD =--，()2,0,1BC =， 又由()()2310610AD BC ⋅=⨯+-⨯+-⨯=， 所以AD BC ⊥，所以直线AD 与BC 垂直. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及空间向量的数量积的运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．D解析：D 【分析】根据空间向量线性运算进行计算，用,,OA OB OC 表示出OG ． 【详解】因为E 是BC 中点，所以1()2OE OB OC =+， 1G 是ABC 的重心，则123AG AE =， 所以122()33AG AE OE OA ==-， 因为12OG GG = 所以112224()()3339OG OG OA AG OA OE OA ==+=+-2422222()9999999OA OE OA OB OC OA OB OC =+=++=++， 若OG xOA yOB zOC =++，则29x y z ===． 故选：D ． 【点睛】本题考查空间的向量的线性运算，掌握向量线性运算的运算法则是解题关键．5．D解析：D 【详解】由题设可得197(,3,)55a b c ++=，则63525a b c ++== 923(,1,)55a b c --=-，63525a b c --=，则①正确；因1346()(4,2,2)(,1,)205555a b c +⋅=⋅--=-+-=， 1481424()(1,2,3)(,1,)205555a b c ⋅+=⋅-=+-=，故②正确；又因2635127()255a b c ++==，而22235714,10,255a b c ====， 所以22271272455a b c ++=+=，即③正确； 又3030a b ⋅=+-=，则()0a b c ⋅⋅=，而330055b c ⋅=-++=，故()0a b c ⋅⋅=，也即④正确. 故选：D ．6．A解析：A 【分析】以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，分别求出直线的方向向量以及平面的法向量，通过向量法即可求得各个角度的余弦值，再结合余弦函数的单调性即可判断. 【详解】由题可知，直三棱柱111ABC A B C -的底面为锐角三角形，D 是棱BC 的中点， 设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0,0,2)A ，1(3,1,2)B ，(0,2,0)C ，33,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,0,0)A ， (0,2,0)AC =，131,22B D ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，11(3,1,0)A B =，因为直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，10,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，111||cos ||||25θ⋅∴==⋅B D AC B D AC ，因为直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，20,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 平面111A B C 的法向量()0,0,1n =，121||sin ||5∣θ⋅∴==⋅B D n B D n ，222cos 155θ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，设平面11A B D 的法向量(,,)m a b c =，则11130312022m A Ba b m B D a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩， 取a =33,3,2m ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 因为二面角111C A B D --的平面角为3θ， 由图可知，其为锐角，33||2cos ||57m n m n θ⋅∴===⋅∣，231cos cos cos θθθ>>， 由于cos y θ=在区间(0,)π上单调递减，故231θθθ<<， 则2123,θθθθ<<. 故选：A . 【点睛】本题考查利用向量法研究空间中的线面角以及二面角，属综合基础题.7．B解析：B 【分析】利用平面向量的数量积公式先求解a b ⋅，再计算a 与b ，根据数量积夹角公式，即可求解. 【详解】由题意得：()()12122a b e e e e ⋅=+⋅-221122132111222e e e e =-⋅-=-⨯⨯-=-，2222121122()21a e e e e e e a ==+=++==⋅2222112122(2)4?41b b e e e e e e ==-=+-=-=设,a b 夹角为312,cos ,018032a b a bθθθ-⋅===-︒≤≤︒⋅，∴120θ=.故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的夹角问题，难度一般，准确运用向量的数量积公式即可.8．B解析：B 【分析】在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，利用空间向量的加法运算得到11BD BA BB BC =++，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，由()()2211BD BA BB BC=++222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅求解.【详解】在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，因为各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，所以111111cos120,11cos6022BA BB BA BC BC BB ⋅=⋅=⨯⨯=-⋅=⨯⨯=， 所以11BD BA BB BC =++， 所以()()2211BD BA BB BC =++，222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅，113+22+2222⎛⎫=⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以12BD =故选：B 【点睛】本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．D解析：D 【分析】利用中点坐标公式可得点B 的坐标，设(,,)C x y z ，利用||||3CO CB ==，1cos ,6EF BC <>=可解出点C 的纵坐标，最后利用数量积的坐标运算可得OC OF ⋅的值. 【详解】设(,,)C x y z ，(2,2,0)B ，(,,)OC x y z =，()BC x y z =，(EF =-，由(()1cos ,436EF BC x y z EF BC EF BC⋅-⋅-===⋅⋅，整理可得：2x y -=-，由||||3CO CB ==化简得x y +=以上方程组联立得x y =，则()(,,)3OC OF x y z =⋅==. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系下向量数量积的运算,解题关键是掌握向量数量积运算的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.10．A解析：A 【分析】设AB a =，AC b =，AD c =，以这3个向量为空间中的基底，将AE CF ⋅转化为基底的数量积运算，即可得答案. 【详解】设AB a =，AC b =，AD c =， 由题意可得121()333AE AB BE a b a a b =+=+-=+，14CF c b =-， 则211334AE CF a b c b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2121163123a c a b b c b =⋅-⋅+⋅- 11211111316232122324=⨯-⨯+⨯-⨯=-. 故选：A. 【点睛】本题考查空间向量基本定理的运用、数量积运算，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意基底思想的运用.11．B解析：B 【分析】由题易知1,,AC BC CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设()03PC a a =≤≤，可知()0,0,P a ，进而可得1,PD PB 的坐标，然后求得1PD PB ⋅的表达式，求出最小值即可.由题意可知，1,,AC BC CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,1,3B ，()1,0,2D ，设()03PC a a =≤≤，则()0,0,P a ， 所以()1,0,2P a D =-，()10,1,3a PB =-，则()()2151002324a a a PD PB ⎛⎫=++--=-- ⎪⎝⋅⎭， 当52a =时，1PD PB ⋅取得最小值14-. 故选：B.【点睛】本题考查两个向量的数量积的应用，考查向量的坐标运算，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12．B解析：B 【分析】利用向量运算得到131442MN AB AC AD =--+得到答案. 【详解】()3113142442MN MB BA AN AB AC AB AD AB AC AD =++=--+=--+ 故12x y z ++=- 故选：B 【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力.13．B解析：B根据空间向量基底的定义：任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，逐一分析A ，B ，D 可判断这三个结论的正误；根据向量垂直的充要条件，及直角三角形的几何特征，可判断C 的真假. 【详解】对A ，空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，A 中忽略三个基底不共面的限制，故A 错误；对B ，若{},,a b c 为空间向量的一组基底，则,,a b c 三个向量互不共面；则,,a b b c c a +++，也互不共面，故{,,}a b b c c a +++可又构成空间向量的一组基底，故B 正确；对C ，0AB AC ABC ⋅=⇔∆的A ∠为直角ABC ⇒∆为直角三角形，但ABC ∆为直角三角形时，A ∠可能为锐角，此时0AB AC ⋅>，故C 错误；对D ，任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，故D 错误； 故选：B ． 【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查空间向量的基底概念、向量垂直的充要条件，考查对概念的理解与应用，属基础题．二、填空题14．①②③【分析】设以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量数量积的坐标运算可判断①②③④的正误【详解】设由于两两垂直以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如下图所示：则对解析：①②③ 【分析】设OA OB OC a ===，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可判断①②③④的正误.【详解】设OA OB OC a ===，由于OA 、OB 、OC 两两垂直，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 如下图所示：则()0,0,0O、(),0,0A a 、()0,,0B a 、()0,0,C a .对于①，(),,OA OB OC a a a ++=，所以，()()22233OA OB OC a OA ++==，①正确；对于②，(),0,0CA CO OA a -==，()0,,BC a a =-，则()0BC CA CO ⋅-=，②正确；对于③，(),,0OA OB a a +=，(),0,CA a a =-，()()221cos ,22OA OB CA a OA OB CA OA OB CAa+⋅<+>===+⋅， 0,180OA OB CA ≤<+>≤，所以，()OA OB +和CA 的夹角为60，③正确；对于④，(),,0AB a a =-，(),0,AC a a =-，()0,,BC a a =-，则2AB AC a ⋅=，所以，()223122666a a AB AC BC BC a ⋅===，而三棱锥O ABC -的体积为3111326V OA OB OC a =⨯⋅⋅=，④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】关键点点睛：在立体几何中计算空间向量的相关问题，可以选择合适的点与直线建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可.15．【详解】如图建立空间直角坐标系则所以设平面的一个法向量为由题可得令可得设与平面所成角为则故直线与平面所成角的正弦值为故答案为：解析：13【详解】如图，建立空间直角坐标系D xyz -，则1(0,0,1)D ，1(0,2,1)C ，1(1,0,1)A ，(1,2,0)B ，所以11(0,2,0)DC =，设平面11A BC 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由题可得111(,,)(1,2,0)20(,,)(0,2,1)20n AC x y z x y n A B x y z y z ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩，令1y =，可得(2,1,2)n =， 设11D C 与平面11A BC 所成角为θ， 则11111121sin cos ,233D C n D C n D C nθ⋅====⨯⋅， 故直线11D C 与平面11A BC 所成角的正弦值为13． 故答案为：13．16．【分析】利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题然后利用向量的数量积坐标运算计算的值即可【详解】又即解得故答案为【点睛】本题主要考查空间向量的应用向量垂直的充分必要条件等知识意在考 解析：3±【分析】利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题，然后利用向量的数量积坐标运算计算λ的值即可. 【详解】()()()2,1,1,3,4,,2,7,1A B C λ-， ∴AB ()1,3,1,λ=+CB ()1,3,1λ=--，又,AB CB ⊥0AB CB ∴⋅=，即()()()1133110λλ⨯+⨯-++-=，解得3λ=±， 故答案为3±. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．5【解析】分析：设则的坐标利用求得即可得到即可求解的长度详解：设则所以因为所以解得所以所以点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减或数乘运算(2)解析：5 【解析】分析：设AD AC λ=，则,OD BD 的坐标，利用BD AC ⊥，求得45λ=-，即可得到 912(4,,)55BD =-，即可求解BD 的长度. 详解：设AD λAC =，则()()()OD OA λAC 1,1,2λ0,4,31,14λ,23λ=+=-+-=-+-，所以()BD OD OB 4,54λ,3λ=-=-+-，因为BD AC ⊥， 所以()BD AC 0454λ9λ0⋅=+++=，解得4λ5=-， 所以912BD 4,,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以(22912BD 5⎫⎛⎫=-=.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.18．【分析】设0则由知所以由此能求出其最小值【详解】设001-即（当时取最小值）故答案为：【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法要根据已知【分析】设(C x ，0，0)，(0D ，y ，0)，则(1,,2)AD y →=-，(,1,1)BC x →=-，由20AD BC x y →→=--=，知2x y =+．所以||CD →【详解】设(C x ，0，0)，(0D ，y ，0)， (1A -，0，2)，(0B ，1，-1)，∴(1,,2)AD y →=-，(,1,1)BC x →=-，AD BC ⊥，∴20AD BC x y →→=--=，即2x y =+．(,,0)CD x y →=-，∴||CD →=2．（当1y =-时取最小值）【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解.19．【分析】根据向量夹角为钝角可知且解不等式可求得结果【详解】由题意可知：且解得：且即本题正确结果：【点睛】本题考查向量夹角的相关问题的求解易错点是忽略夹角为的情况造成出现增根解析：1311,,222⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】根据向量夹角为钝角，可知cos ,0a b <><且cos ,1a b <>≠-，解不等式可求得结果. 【详解】 由题意可知：132cos ,014k a b a b a b--⋅<>==<⋅且13cos ,1ka b --<>=≠-解得：132k >-且12k ≠，即1311,,222k ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确结果：1311,,222⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查向量夹角的相关问题的求解，易错点是忽略夹角为π的情况，造成出现增根.20．【分析】利用向量的加法公式得出再由得出的值即可得出的和【详解】即故答案为：【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量属于中档题解析：78【分析】利用向量的加法公式得出111222MN OA OB OC =-++，再由1324OG OM MG OA MN =+=+，得出,,x y z 的值，即可得出,,x y z 的和.【详解】MN MA AB BN =++11111()22222OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-++ 13131112424222OG OM MG OA MN OA OA OB OC ⎛⎫∴=+=+=+-++ ⎪⎝⎭813388OA OB OC =++ 133,,888x y z ∴===即78x y z ++= 故答案为：78【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量，属于中档题.21．【分析】直接利用空间向量的数量积求解两个平面的二面角的大小即可【详解】解：两个平面的法向量分别为则这两个平面所成的锐二面角的大小是这两个平面所成的锐二面角的余弦值为故答案为：【点睛】本题考查空间二面【分析】直接利用空间向量的数量积求解两个平面的二面角的大小即可． 【详解】解：两个平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u →=，(1,1,0)v →=-， 则这两个平面所成的锐二面角的大小是θ，2cos a ba bθ→→→→===这两个平面所成的锐二面角的余弦值为5.故答案为：5. 【点睛】本题考查空间二面角的求法，空间向量的数量积的应用，考查计算能力．22．-4【分析】由题可知可得运用向量数量积的坐标运算即可求出【详解】解：根据题意得解得：故答案为：【点睛】本题考查空间向量垂直的数量积关系运用空间向量数量积的坐标运算考查计算能力解析：-4【分析】由题可知，a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，可得0a b c →→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭，运用向量数量积的坐标运算，即可求出x ． 【详解】解：根据题意得， ()2,1,3a b x →→+=-+ a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭， ∴22(3)0a b c x x →→→⎛⎫+=--++= ⎪⎝⎭， 解得：4x =-．故答案为：4-．【点睛】本题考查空间向量垂直的数量积关系，运用空间向量数量积的坐标运算，考查计算能力． 23．【分析】设且利用数量积运算即得解【详解】设故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的模长数量积运算考查了学生空间想象数学运算能力属于中档题 解析：【分析】设1,,AB a AD b AA c===,且1|||++|AC a b c =，利用数量积运算即得解. 【详解】设1,,||||||2,,,60o AB a AD b AA c a b c a b a c c b ===∴===<>=<>=<>=， 222221|||++|||||||22224AC a b c a b c a b a c c b ==+++⋅+⋅+⋅=||26AC ∴=故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的模长，数量积运算，考查了学生空间想象，数学运算能力，属于中档题.24．11【分析】由题意建立空间直角坐标系由二面角的定义得出从而写出的坐标由向量共线的性质设利用向量的加法得出由异面直线与所成角利用向量法得出的值从而得出的值【详解】取的中点G 与的交点为以O 为坐标原点分别 解析：11【分析】由题意建立空间直角坐标系，由二面角的定义得出60OEV ∠=︒，从而写出,,,V E B A 的坐标，由向量共线的性质设(1)VF VA λλ=≠，利用向量的加法得出BF ，由异面直线BF 与VE 所成角，利用向量法得出λ的值，从而得出VF VA 的值. 【详解】 取AB 的中点G ，AC 与DB 的交点为O ，以O 为坐标原点，分别以,,OG OE OV 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =因为二面角V BC D --为60°，所以60OEV ∠=︒则()()()()0,0,3,0,1,0,1,1,0,1,1,0V E B A -()()()1,1,3,1,1,3,0,1,3VA VB VE =--=-=-.设(1)VF VA λλ=≠，则()1,1,33BF VF VB λλλ=-=----+从而22||cos ,cos 60||||24(1)(1)BF VE BF VE BF VE λλ⋅===︒-++ 整理得210110λλ+-=，解得1λ=(舍)，11λ=-故11VF VA=. 故答案为：11【点睛】本题主要考查了已知面面角，线线角求参数，属于中档题.25．【分析】根据题意建立空间直角坐标系设出的长写出各个点的坐标求得平面与平面的法向量利用法向量及二面角大小求得的等量关系即可判断当取最小时各自的长即可求得的正切值进而求得的大小【详解】因为三棱柱中两两互 解析：6π【分析】根据题意,建立空间直角坐标系,设出,CN BM 的长,写出各个点的坐标,求得平面AMN 与平面ABC 的法向量,利用法向量及二面角大小,求得,CN BM 的等量关系.即可判断当1B M 取最小时,CN BM 各自的长.即可求得AMB ∠的正切值,进而求得AMB ∠的大小.【详解】因为三棱柱111ABC A B C -中,AB ,AC ,1AA 两两互相垂直,建立如下图所示的空间直角坐标系:122AA AB AC ==,M ,N 是线段1BB ,1CC 上的点可设,,1BM a CN b AB ===,则12,1AA AB ==所以()()0,0,0,1,0,0A B ,()()1,0,,0,1,M a N b则()()1,0,,0,1,AM a AN b ==设平面AMN 的法向量为(),,m x y z =则00AM m AN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩,代入可得00x az y bz +=⎧⎨+=⎩,令1z =代入解得x a y b =-⎧⎨=-⎩ 所以(),,1m a b =--平面ABC 的法向量()0,0,1n =由题意可知平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为3π 则由平面向量数量积定义可知22cos31m n m n a b π⋅==⋅++ 化简可得223a b += 1B M 最小值,即a 取得最大值,当0b =时,a 取得最大值为3a = 所以3tan 3AB AMB MB ∠=== 所以6AMB π∠=故答案为:6π 【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用,由法向量法结合二面角求值,属于中档题. 26．【分析】根据两边平方化简得到得到答案【详解】故故故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的运算意在考查学生的计算能力【分析】根据11AC AB AD AA =++，两边平方化简得到182AC =.【详解】11AC AB AD AA =++ 故2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅ 222113452432458222=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故182AC =【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力.。
(好题)高中数学选修1-2第一章《统计案例》检测(答案解析)(3)
一、选择题1．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为37和27，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（ ） A ．2949B ．649C ．2349D ．43492．在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为（ ） A ．14 B ．89 C ．116D ．5323．下列命题不正确的是（ ）A ．研究两个变量相关关系时，相关系数r 为负数，说明两个变量线性负相关B ．研究两个变量相关关系时，相关指数R 2越大，说明回归方程拟合效果越好．C ．命题“∀x ∈R ，cos x ≤1”的否定命题为“∃x 0∈R ，cos x 0＞1”D ．实数a ，b ，a ＞b 成立的一个充分不必要条件是a 3＞b 3 4．“人机大战，柯洁哭了，机器赢了”，2017年5月27日，岁的世界围棋第一人柯洁不敌人工智能系统AlphaGo ，落泪离席.许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查.在参与调查的男性中，有人持反对意见，名女性中，有人持反对意见.再运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是（ ）A ．分层抽样B ．回归分析C ．独立性检验D ．频率分布直方图5．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（ ）A ．25 B ．310 C ．15D ．1106．从345678910,1112，，，，，，，，中不放回地依次取2个数，事件A = “第一次取到的数可以被3整除”,B = “第二次取到的数可以被3整除”，则()P B|?A =( ) A ．59B ．23C ．13 D ．297．下列说法中正确的是（ ）A ．设随机变量~(10,0.01)X N ，则1(10)2P X >=B ．线性回归直线不一定过样本中心点(,)x yC ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1D ．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为50m +，100m +，150m +，……的学生，这样的抽样方法是分层抽样 8．随机变量a 服从正态分布()21,N σ，且()010.3000P a <<=.已知0,1a a >≠，则函数1xy a a =+-图象不经过第二象限的概率为( ) A ．0.3750B ．0.3000C ．0.2500D ．0.20009．下列关于回归分析的说法中错误的是（ ） A ．回归直线一定过样本中心(,)x yB ．残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适C ．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好D ．甲、乙两个模型的2R 分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好10．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果一次性抽取 2道题，已知有一道是理科题的条件下，则另一道也是理科题的概率为 A ．13B ．14C ．12D ．3511．某商品的售价x （元）和销售量y （件）之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是3.ˆ2yx a =-+，则实数a =( ) A ．30B ．35C ．38D ．4012．2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为（ ）参考公式附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：A．130 B．190C．240 D．250二、填空题13．掷三个骰子,出现的三个点数的乘积为偶数的概率是________.14．一盒子中装有6只产品，其中4只一等品，2只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样.则在第一次取到的是一等品的条件下，第二次取到的是二等品的概率为__________．15．已知x、y之间的一组数据如下：=+所表示的直线必经过点________.则线性回归方程ˆy a bx16．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为______________17．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需要至少布置___________门高炮？（用数字作答，已知=）=，lg30.4771lg20.301018．体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p=_____．19．某质检员检验一件产品时，把正品误判为次品的概率是0.1，把次品误判为正品的概率是0.05．如果一箱产品中含有8件正品，2件次品，现从中任取1件让该质检员检验，那么出现误判的概率为___________．20．一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________三、解答题21．一个口袋中有4个红球和3个黑球．（1）从口袋中随机地连续取出三个球，取出后不放回，求：（i）三个球中有两个红球一个黑球的概率；（ii）第二次取出的是红球且第三次取出的也是红球的概率．（2）从口袋中随机地连续取出三个球，取出后放回，求至少有两个是红球且第三个是红球的概率22．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查结果如下面22⨯列联表.22⨯与性别有关”？（2）现在从这100名学生中按性别采取分层抽样的方法抽取5名学生，如果再从中随机选取2人进行有关“嫦娥五号”情况的宣讲，求选取的2名学生中恰有1名女生的概率.若将频率视为概率. 附：()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++ 23．某小区停车场的收费标准为:每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时，设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示：（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望()E ξ. 24．随着运动App 和手环的普及和应用，在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象，“日行一万步，健康一辈子”的观念广泛流传.“健康达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友（共400人）的走路步数，并整理成下表：间中点值作代表）；（2）若用A 表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件A 发生的概率；（3）若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”，小王朋友圈中岁数在40岁以上的中老年人有200人，其中健步达人恰有150人，请填写下面22⨯列联表.根据列联表判断有多大把握认为，健步达人与年龄有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++25．在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图：（Ⅰ）是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”；（Ⅱ）将频率视为概率，从全校高三学生这次数学成绩超过120分的学生中随机抽取10人，求抽取的10人中每天在线学习时长超过1小时的人数的数学期望和方差.()20P K k ≥ 0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++26．2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．（1）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为x ，若每次抽取的结果是相互独立的，求x 的分布列，期望和方差． 附表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】考虑都没有获得扶持资金的情况，再计算对立事件概率得到答案. 【详解】根据题意：32291117749p ⎛⎫⎛⎫=---=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.2．D解析：D 【分析】首先确定是条件概率，在出现数字乘积为偶数的前提下，乘积为非零偶数的概率， 首先求两次数字乘积为偶数的概率， 然后两次为非零偶数的概率，再按照条件概率的公式求解. 【详解】两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，概率是22169⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以两次数字乘积为偶数的概率P =228169⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ； 若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为(1,2)或(2,1)或(2,2)，P =111152366636⨯⨯+⨯=,.故所求条件概率为55368329P ==.故选：D 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算和独立事件，考查了学生的计算能力，属于基础题.3．D解析：D 【分析】根据相关系数、相关指数的知识、全称命题的否定的知识，充分、必要条件的知识对四个选项逐一分析，由此得出命题不正确的选项. 【详解】相关系数r 为负数，说明两个变量线性负相关，A 选项正确. 相关指数2R 越大，回归方程拟合效果越好，B 选项正确.根据全称命题的否定是特称命题的知识可知C 选项正确.对于D 选项，由于33a b a b >⇔>，所以33a b >是a b >的充分必要条件，故D 选项错误.所以选D. 【点睛】本小题主要考查相关系数、相关指数的知识，考查全称命题的否定是特称命题，考查充要条件的判断，属于基础题.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据“性别”以及“反对与支持”这两种要素，符合，从而可得出统计方法。
人教版高中数学选修2-1第一章单元测试(一)- Word版含答案
2018-2019学年选修2-1第一章训练卷常用逻辑用语（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题："若0x ≥，0y ≥，则0xy ≥"，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．命题“若A B ⊆，则A B =”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中， 真命题的个数是（ ） A ．0B ．2C ．3D ．43．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．已知p ：若a A ∈，则b B ∈，那么命题p ⌝是（ ） A ．若a A ∈，则b B ∉ B ．若a A ∉，则b B ∉ C ．若b B ∉，则a A ∉D ．若b B ∈，则a A ∈5．命题“p 且q ”与命题“p 或q ”都是假命题，则下列判断正确的是（ ）A ．命题“非p ”与“非q ”真假不同B ．命题“非p ”与“非q ”至多有一个是假命题C ．命题“非p ”与“q ”真假相同D ．命题“非p 且非q ”是真命题6．已知a ，b 为任意非零向量，有下列命题：①|a |＝|b |；②()()22=a b ；③()2⋅=a a b ，其中可以作为=a b 的必要非充分条件的命题是（ ） A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③7．已知A 和B 两个命题，如果A 是B 的充分不必要条件，那么“A ⌝”是“B ⌝”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若向量()(),3x x =∈R a ，则“4x =”是“5=a ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列全称命题中，正确的是（ ） A ．{},x y ∀∈锐角，sin sin s )n (i x y x y +>+ B ．{},x y ∀∈锐角，sin cos c )s (o x y x y +>+ C ．{},x y ∀∈锐角，cos sin c )s (o x y x y +<+ D ．{},x y ∀∈锐角，cos cos s )n (i x y x y -<+10．以下判断正确的是（ ）A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“x ∀∈Z ，32x x >”的否定是“x ∃∈Z ，32x x >”C ．“=2ϕπ”是“函数()sin y x ϕ=+为偶函数”的充要条件D ．“0b =”是“关于x 的二次函数()2f x ax bx c ++=是偶函数”的充要条件此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号11．已知命题p ：函数()log 05()3f x x =-．的定义域为(－∞，3)；命题q ：若k <0，则函数()kh x x=在(0,)+∞上是减函数，对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）A ．命题“p 且q ”为真B ．命题“p 或q ⌝”为假C ．命题“p 或q ”为假D ．命题“p ⌝”且“q ⌝”为假12．已知向量),(x y =a ，co ()s ,sin αα=b ，其中x y α∈R ，，，若4=a b ， 则2λ⋅<a b 成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．λ>3或λ<－3 B ．λ>1或λ<－1 C ．－3<λ<3D ．－1<λ<1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．14．令()221:0p x ax x ++>，如果对x ∀∈R ，()p x 是真命题，则a 的取值范围是________．15．试写出一个能成为2()(0)21a a -->的必要不充分条件________． 16．给定下列结论：①已知命题p ：∃x ∈R ，t a n x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，210x x -+>．则命题“p q ⌝∧”是假命题；②已知直线1l ：ax ＋3y －1＝0，2l ：x ＋b y ＋1＝0，则12l l ⊥的充要条件是3ab =-；③若()1sin 2αβ+=，()1sin 3αβ-=，则t a nα＝5t a nβ；④圆224210x y x y ++-+=与直线12y x =，所得弦长为2． 其中正确命题的序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：∀非零向量a 、b 、c ，若()0⋅-=a b c ，则=b c ．写出其否定和否命题，并说明真假．18．(12分)给定两个命题P ：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；Q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根．如果P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，求实数a 的取值范围．19．(12分)求证：一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是a <－1．20．(12分)已知p ：2290x x a -+<，q ：22430680x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩，且p ⌝是q ⌝的充分条件，求实数a 的取值范围．21．(12分)给出命题p：“在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2cos x＋1，2cos2x ＋2)和Q(cos x，－1)，∀x∈[0，π]，向量OP与OQ不垂直．”试判断该命题的真假并证明．22．(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是33220a b ab a b++--=．2018-2019学年选修2-1第一章训练卷常用逻辑用语（一）答 案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】B【解析】由题得原命题“若0x ≥，0y ≥，则0xy ≥”是真命题，所以其逆否命题也是真命题．逆命题为：“若0xy ≥，则0x ≥，0y ≥”，是假命题，所以否命题也是假命题， 所以四个命题中，真命题的个数为2．故答案为B ． 2．【答案】B【解析】可设{}1,2A =，{}1,2,3B =，满足A B ⊆，但A B ≠，故原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．易知否命题、逆命题为真． 3．【答案】C【解析】直线l 与平面α内两相交直线垂直⇔直线l 与平面α垂直，故选C ． 4．【答案】A【解析】命题“若p ，则q ”的否定形式是“若p ，则q ⌝”．故选A ． 5．【答案】D【解析】p 且q 是假命题⇒p 和q 中至少有一个为假，则非p 和非q 至少有一个是真命题．p 或q 是假命题⇒p 和q 都是假命题，则非p 和非q 都是真命题．故选D ． 6．【答案】D【解析】由向量的运算即可判断． 7．【答案】B【解析】由于“A ⇒B ，A /⇐B ”等价于“A B ⌝⌝⇐，A ⌝/⇒B ⌝”，故“A ⌝”是“B ⌝”的必要不充分条件．故选B ． 8．【答案】A【解析】由“4x =”，得)3(4,=a ，故5=a ；反之，由5=a ，得4x =±．所以“4x =”是“5=a ”的充分而不必要条件．故选A ． 9．【答案】D【解析】由于cos cos c (os sin sin )x y x y x y -+=，而当{},x y ∈锐角时，0cos 1y <<，0sin 1x <<，所以cos cos cos sin sin cos s (in )x y x y x y x y -<+=+，故选项D 正确． 10．【答案】D【解析】A 为全称命题；B 中否定应为0x ∃∈Z ，3200x x ≤；C 中应为充分不必要条件．D 选项正确． 11．【答案】D【解析】由题意知p 真，q 假．再进行判断． 12．【答案】B【解析】由已知1=b ，∴44==a b，4．又∵()()cos sin 4sin 4x y αααϕαϕ⋅=++=+≤a b ，由于2λ⋅<a b 成立，则24λ>，解得λ>2或λ<－2，这是2λ⋅<a b 成立的充要条件，因此2λ⋅<a b 成立的一个必要不充分的条件是λ>1或λ<－1．故选B ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等【解析】“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”． 14．【答案】1a >【解析】由已知x ∀∈R ，2210ax x ++>恒成立．显然0a =不合题意， 所以0440a a ∆>⎧⎨=-<⎩⇒1a >．15．【答案】1a > (不惟一)【解析】2()(0)21a a -->的解集记为B ＝{1|a a >且a ≠2}，所找的记为集合{}1A a a =>，则B ⇒A ，B /⇐A ．16．【答案】①③【解析】对于①易知p 真，q 真，故命题p q ⌝∧假，①正确； 对于②1l 与2l 垂直的充要条件应为a ＋3b ＝0； 对于③利用两角和与差的正弦公式展开整理即得；，④错．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】见解析．【解析】p ⌝：∃非零向量a 、b 、c ，若()0⋅-=a b c ，使≠b c ．p ⌝为真命题． 否命题：∀非零向量a 、b 、c ，若()0⋅-≠a b c ，则≠b c ．否命题为真命题． 18．【答案】()1,0,44⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． 【解析】命题P ：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立，则“a ＝0”，或“a >0且240a a -<”．解得0≤a <4．命题Q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根，则140a ∆=-≥，得14a ≤． 因为P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，则P ，Q 有且仅有一个为真命题， 故P Q ⌝∧为真命题，或P Q ⌝∧为真命题，则0414a a a <≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或或0414a a ≤<⎧⎪⎨>⎪⎩， 解得a <0或144a <<．所以实数a 的取值范围是()1,0,44⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．19．【答案】见解析．【解析】一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充要条件是：4401a a ∆=->⇔<，并且10a<，从而a <0．有一个正根和一个负根的充分不必要条件应该是{a |a <0}的真子集，a <－1符合题意．所以结论得证． 20．【答案】a ≤9．【解析】由22430680x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩，得1324x x <<⎧⎨<<⎩，即2<x <3．∴q ：2<x <3．设{}290|2A x x x a =-+<，B ＝{x |2<x <3}，∵p q ⌝⌝⇒，∴q ⇒p ．∴B ⊆A ．∴2<x <3包含于集合A ，即2<x <3满足不等式2290x x a -+<．∴2<x <3满足不等式292a x x <-．∵当2<x <3时，222981819818192229,21616488x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎤-=--+-=--+∈ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦，即2819928x x <-≤，∴a ≤9． 21．【答案】见解析．【解析】命题p 是假命题，证明如下：由OP 和OQ 不垂直， 得cos x (2cos x ＋1)－(2cos2x ＋2)≠0，变形得：22cos cos 0x x -≠， 所以cos x ≠0或1cos 2x ≠． 而当[]0,x ∈π时，cos2π=0，1cos 32π=， 故存在2x π=或3x π=，使向量OP OQ ⊥成立，因而p 是假命题． 22．【答案】见解析．【解析】必要性：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴()()()32332232111a b ab a b a a a a a a ++--=+--+--- 323222133120a a a a a a a a a =+-+-+---+-=．充分性：∵33220a b ab a b ++--=，即()()()22220a b a ab b a ab b --+-+=+， ∴()()2210a ab b a b -+-=+，又ab≠0，即a≠0且b≠0，∴2222324b ba ab b a⎛⎫-+=-+≠⎪⎝⎭，只有1a b+=．综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是33220a b ab a b++--=．。