2016重庆交通大学研究生数值分析期末考试试卷
2016数值分析期末试卷(B卷)
第 1 页 共 6 页西北农林科技大学本科课程考试试题（卷）2015—2016学年第二学期《 数值分析 》课程B 卷专业班级： 命题教师： 审题教师：学生姓名： 学号： 考试成绩：一、填空题（每空2分，共20分） 得分： 分1. 精确值π=3.14159265….， 则近似值1π=3.141和2π=3.1415分别有 位和 位有效数字.2. 设x i (i =0,1,2,3,4)表示5个互异节点，l i (x ) 为相应的4次Lagrange 插值基函数，则()4402()i i i x l x =+∑= .3. 在数值积分中，梯形求积公式具有 次代数精度，Simpson 公式具有 次代数精度.4. 设A =⎛⎝ ⎫⎭⎪5443, 则=∞A . 5. 假设矩阵410101114A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，根据Gerschgorin 圆盘定理，A 的特征值的取值范围分别为 , , .6. 解方程组Ax =b 的简单迭代格式(1)()k k x Bx g +=+收敛的充要条件是 .二、选择题（每小题 2分，共20分） 得分： 分1. 3.141580是π的具有 位有效数字的近似值。
A.6B.5C.4D.72. 设f (-1)=1, f (0)=3, f (2)=4, 则抛物线插值多项式中x 2的系数为 .A.-0.5B. 0.5C.2D. -2第 2 页 共 6 页 3. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=700150322A ，则)(A ρ为 ． A ．2 B ．5 C ．7 D ．34. 5个点的高斯求积公式的代数精度为 .A ．8B ．9C ．10D ．115. 用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a,b )内的根时，二分n 次后的绝对误差限为 .A ．b a n -B ．2n b a -C ．1b a n -+D ． 12+-n a b 6. 设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x 2的系数为 .A ．–0．5B ．0．5C ．2D ．-27. 用迭代法求方程f (x )=0的实根，把方程f (x )=0表示成x =ϕ(x )，则f (x )=0的根是 .A. y =ϕ(x )与x 轴交点的横坐标B. y =x 与y =ϕ(x )交点的横坐标C. y =x 与x 轴的交点的横坐标D. y =x 与y =ϕ(x )的交点8. 求解初值问题⎩⎨⎧=='00y x y y x f y )(),(的改进欧拉法的局部截断误差是 . A.O (h 2) B.O (h 3) C.O (h 4) D.O (h 5)9.Newton 迭代格式为( ) A. 132k k k x x x +=+ B. 1322k k k x x x +=+； C. 122k k k x x x +=+ D. 133k k k x x x +=+ 10. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法 .A. 都发散B. 都收敛C. Jacobi迭代法收敛，Gauss-Seidel迭代法发散.D. Jacobi迭代法发散，Gauss-Seidel迭代法收敛.三、简答题（每小题5分，共20分）得分：分1. 利用切比雪夫多项式零点做插值节点得到的插值多项式与拉格朗日插值多项式有何不同？2. 使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？第 3 页共 6 页3. 对给定函数，给出两种近似求导的方法。
研究生数值分析试卷.docx
2005-2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）科目名称：数值分析学生所在院： _______ 学号： _________ 姓名： _______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、 （15分）设求方程12-3x + 2cosx = 0根的迭代法（1） 证明对0兀0 w /?,均有lim 林，其中T 为方程的根.kT8 （2） 此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.二、 （12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的 收敛性。
x } + 2X 2 - 2X 3 = 1,v 兀］+ 兀2 +兀3 = _1，2兀］+ 2兀2 +兀3 = °・a 0、a 0 ,说明对任意实数。
工0,方程组AX=b 都是0 Q,非病态的。
（范数用||・|L ）四、（15分）已知y = f （x ）的数据如下:求/（%）的Hermite 插值多项式H 3 （%）,并给出截断误差/?（兀）=f （x ） - H 3 （x ）。
五、（10分）在某个低温过程屮，函数y 依赖丁•温度兀（°C ）的试验数据为已知经验公式的形式为『=仮+方兀2 ,试用最小二乘法求出a , b o 六、（12分）确定常数a, b 的值，使积分(2a 三、（8分）若矩阵A = 0J(a, /?) = !] [ax2取得最小值。
七、（14分）已知Legendre （勒让德）止交多项式厶（x ）有递推关系式:'L 曲（兀）=^77 心（兀）一 -—Ln-1（兀）（斤=1, 2,…）试确定两点的高斯一勒让德（G —L ）求积公式£ f （x ）djc = £ f\x ｝） + A 2 .f （兀2）的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分go ） = y （）儿+1 =儿+力（^心+-^2） k\=f （Xn ，yJ 忍=fg + h,y n +hk ｛）（1） 验证它是二阶方法； （2） 确定此单步法的绝对稳定域。
数值分析试题(卷)和答案解析
【试题__2009___年~__2010___年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
-2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解为什么说平方根法计算稳定2. 什么是不动点迭代法()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：。
i x 1 2 3i y2 4 12 <3i y '并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组： ，12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦（10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
数值方法期末考试题及答案
数值方法期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 快速傅里叶变换B. 高斯消元法C. 牛顿法D. 辛普森积分法答案：B2. 插值和逼近的主要区别是什么？A. 插值点必须在数据点上B. 逼近点可以不在数据点上C. 插值是线性的，逼近是非线性的D. 插值是多项式，逼近是函数答案：A3. 以下哪个是数值稳定性好的算法？A. 直接迭代法B. 雅可比迭代法C. 高斯-塞德尔迭代法D. 松弛法答案：C4. 牛顿-拉弗森方法用于求解什么类型的方程？A. 线性方程B. 非线性方程C. 微分方程D. 积分方程答案：B5. 以下哪个是数值积分方法？A. 欧拉方法B. 辛普森方法C. 拉格朗日插值D. 牛顿法答案：B...（此处省略其他选择题）二、简答题（每题10分，共30分）1. 解释什么是病态问题，并给出一个例子。
答案：病态问题是指那些微小的输入变化会导致输出结果产生巨大变化的问题。
例如，在数值分析中，求解线性方程组时，如果系数矩阵的条件数很大，那么该问题就被认为是病态的。
这意味着即使输入数据只有微小的误差，也会导致解的误差非常大。
2. 描述数值微分和数值积分的区别。
答案：数值微分是估计函数在某点的导数，而数值积分是估计函数在某个区间上的积分。
数值微分通常涉及到差分，例如前向差分、后向差分和中心差分等。
数值积分则涉及到数值积分方法，如梯形法则、辛普森法则等。
3. 解释什么是条件数，并说明它在数值分析中的重要性。
答案：条件数是一个量度，用来衡量问题的敏感性，即输入数据的微小变化会导致输出结果多大的变化。
在数值分析中，一个条件数较小的问题被认为是良态的，因为这意味着问题对输入数据的微小变化不敏感。
相反，条件数较大的问题被认为是病态的，需要特别小心处理，以避免数值误差的累积。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}4x + y - 2z &= 6 \\2x - y + 3z &= -1 \\-2x + 3y + z &= 4\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。
重庆大学研究生数值分析试题解析
算精度为=10-2的近似根; (3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之.
解 (1)因为0<x1时,(x)<0,x2时,(x)>0,所以(x)仅在(1,2)内有零点,而当1<x<2 时,(x)>0,故(x)单调.因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内.
(3)因为0<</2,所以() 故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1).
0
cos / 2 1 sin
三、(14分)设线性方程组
4x1 x2 2x3 1 x1 5x2 x3 2 2x1 x2 6x3 3
(1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式); (2)讨论这两种迭代法的收敛性. (3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法计算时, 预估误差x*-x(10) (取三位有效数字).
R(பைடு நூலகம்) f (4) ( x ) x(x 1)2 (x 2)
4!
五、(12分)试确定参数A,B,C及,使数值积分公式
2
2
f
(x)dx
Af
( )
Bf
(0)
Cf
( )
有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?它是否是Gauss公式?
解 令公式对(x)=1,x,x2,x3,x4都精确成立,则有 4=A+B+C, 0=A-C, 16/3=A2+C2, 0=A3-C3 64/5=A4+C4 ,解得:A=C=10/9,B=16/9,=(12/5)1/2
考试题解析
研究生数值分析期末考试试题A答案
2010年秋研究生数值分析期末考试试题答案一、单选题（4*5=20分）1、D; 2、B ； 3、D ； 4、B ； 5、D 。
二、填空题（4*5=20）1、4； 2、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323203*⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛320323； 3、)]23()0()23([3f f f ++-∏；4、kk k k x x x x 2221--=+；5、9.605。
三、（10分）由两点三次Hermite 插值多项式公式秋得：)2()(23x x x H -=，设所求多项式223)1()()(-+=x Ax x H x P ，。
（4分） 由P(2)=1,得A=1/4,。
（4分） 故22)3(41)(-=x x x P 。
.。
（2分） 四、（10分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1001001*10010021321u u l l l A ，由追赶法公式求得， 15/56,15/4,4/15,4/1,432211=-==-==l u l u l ，。
（4分） 由Ly=d,求得T y )77.0,87.0,25.0(=,（3分） 由Ux=y,求得，T x )5179.0,0714.1,7679.0(=（3分）五、（10分）Jacobi 迭代计算格式：⎪⎩⎪⎨⎧++-=--=--=+++3/)221(5/)327(24)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 。
（2分） G-S 迭代计算格式： ⎪⎩⎪⎨⎧++-=--=--=++++++3/)221(5/)327(24)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 。
（2分） 由于016415)(3=-+=-λλλJ B I del ,,11516)(>=J B ρ即Jacobi 迭代发散；。
(完整)数值分析学期期末考试试题与答案(A),推荐文档
期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。
（ ）2. 为了减少误差,进行计算。
（ ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
（ ）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
（ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
（ ）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+=K 产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。
【学期】数值分析学期期末考试试题与答案A
【关键字】学期期末考试试卷（A卷）2007学年第二学期考试科目：数值分析考试时间：120 分钟学号姓名年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求时，应按照从小到大的顺序相加。
（）2. 为了减少误差,应将表达式改写为进行计算。
（）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
（）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
（）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
（）2、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设则_____，______，_____.3. 已知则, .4. 为使求积公式的代数精度尽量高，应使，，，此时公式具有次的代数精度。
5. 阶方阵A的谱半径与它的任意一种范数的关系是.6. 用迭代法解线性方程组时，使迭代公式产生的向量序列收敛的充分必要条件是.7. 使用消元法解线性方程组时，系数矩阵可以分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积，即若采用高斯消元法解，其中，则_______________，______________；若使用克劳特消元法解，则____；若使用平方根方法解，则与的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。
8. 以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题的数值解，其迭代公式为___________________________.三、计算题（第1～3、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分）1.以为初值用牛顿迭代法求方程在区间内的根，要求（1）证明用牛顿法解此方程是收敛的；（2）给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算计算结果取到小数点后4位）。
2.给定线性方程组（1）分别写出用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式；（2）试分析以上两种迭代方法的敛散性。