2017年全国大学生数学建模竞赛A题一等奖

针对问题四，首先用 Matlab 软件画出附件三中 2066 个任务的位置分布图， 由此初步判断这些任务的可能执行情况。对于 APP 开发商而言，希望在给出最少 总定价的同时满足最多的任务被会员领取，故问题四属于双目标优化问题，可用 最优策略解决，建立双优化定价模型对新项目给出任务定价计划。对建立的模型 进行模拟仿真，从而评价该计划的实施效果。
“拍照赚钱”的任务定价
摘要
“拍照赚钱”作为移动互联网下的一种自助式服务模式，用户在 APP 上领取 拍照任务并执行，从而获得相应报酬。本文针对任务定价问题，用统计特性分析 定价规律，得到距离价格比等模型，并进一步得到新项目的定价计划。
针对问题一，探究任务定价规律和任务执行情况，采用描述性统计量对已分 成完成任务和未完成任务这两类的数据进行分析，同时对分类后数据做显著性差 异分析，得到定价低的任务对应的任务完成率也低。用 SPSS 软件绘制两类位置 与标价的三维立体图，用 Matlab 软件绘制标价与位置范围图，最终定价规律按 位置范围可分为四类：北纬约 23°至 23.08°，东经约 113.1°至 113.2°；北 纬约 23.1°至 23.2°，东经约 113.21°至 113.5°；北纬约 113.8°至 114.1°， 东经约 22.5°至 22.8°；北纬约 22.8°至 23.9°，东经约 113.5°至 113.8°。 这四个范围分别对应佛山市、清远市、深圳市和东莞市。用二元 Logistic 回归 模型得出任务未完成主要与位置有关，纬度越高，任务未完成可能性比完成可能 性越大。此外，店铺拒访等原因也会造成任务未完成。
针对问题二，考虑到任务定价与位置和执行情况有关，故采用聚类分析，按 任务与领取该任务的会员间距离将任务位置主要分为四类，建立距离价格比模型 （DPP 模型），求得 835 个任务的具体定价；按任务完成率和定价之间关系，利 用 0-1 整数线性规划，建立最小总定价模型（TRM 模型），同样得到每一个任务 的具体定价。最后得到原计划、按距离制定的计划和按完成率制定的计划三者对 应的 APP 开发商需支付的最小总定价分别为 36446 元、60225 元和 33650 元。最 后，结合具体内容分析可得两个计划均比原计划合理。
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在原计划和两组新的定价计划下，该平台一组项目需支付的总定价，比较其值大 小。三者中总定价少且任务完成率高的计划为最优定价计划。
针对问题三，只需考虑任务位置与定价之间的关系，故在问题二按距离关系 所建立的定价计划的基础上做出改进即可。先将原来的 835 个任务按距离进行聚 类分析，利用可打包任务间的距离范围确定聚类个数。对于仍是未打包的任务（单 个任务）而言，定价不变；对于打包在一起的多个任务，可整体看成一个任务， 聚类的中心即这个新任务的位置，即从问题二中的点与点之间距离变成点与集合 之间的距离。题目中提到会员之间对任务有竞争关系，则此时的距离不再是任务 与最近会员间的距离，此距离还与时间有关，可以基于序贯算法（优先级的先后 次序）来改进定价模型。首先，对打包后的任务集合以会员能接受的最远距离为 半径画圆，得到可能会竞争这个任务集合的会员集合。其次，每个会员都有其任 务预定限额，若该任务集中任务个数超过某个会员的限额数，则该会员失去竞争 力，从而缩小会员集合。每个会员的任务开始预定时间也不相同，挑选预定时间 最早的会员得到进一步缩小的会员集。最后，在上述会员集中按问题二的定价模 型，找到与该任务集距离最短的会员，则这个任务集就被这个会员所领取了。按 上述算法思想来修改问题三种按距离关系建立的定价计划。另一方面，打包后会 员可选择的总任务数减少，之前由于距离太远未被选择的任务可能会因此被没有 抢到任务的会员选择，导致任务完成率增大；而打包被领取的任务的完成情况不 受打包的影响。因此，整体任务完成率增大。
0.2071
66.282a 3.6647 13 1.965 4.4 201 可得，已完成的任务标价均值、中位数均高于未完成任务的，说明标 价高的任务其完成率也相对较高。
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图 1 完成和未完成任务的频率直方图
由图 1 可看出两组数据均存在极端值，而 M 估计稳定性高，故用 M 估计值代 替均值可得更精确的结果，表 2 为 M 估计量结果表。
首先，描述性统计分析可得出最直观的数据规律。均值、中位数和总和可描 述任务定价的数据集中趋势，方差、标准差、极差可描述定价的离散程度，而偏 度和峰度则可用来描述完成任务和未完成任务的总体分布形态，从而直观的观察 其是否服从正态分布。利用 SPSS 软件，我们得到两类任务标价所对应的各统计 量结果（见表 1），两者的频率直方图（见图 1），以及两类任务标价频率分布表 （见附录 3.2）。
针对问题二，需制定新的任务定价计划，属于优化问题，解决该问题需找到 每个任务的最优定价。由附件一可知任务标价与位置和执行情况都有关，故可按 距离关系和任务完成率分别制定一组定价计划。按距离制定的计划，关键在于距 离会员近的任务定价低些，而距离会员远的任务定价则按一定比例高些。由问题 一得到定价按位置大致分为几类，将任务按这几类划分区域，分别算出各区域内 每个任务的最优定价。按任务完成率制定的计划，关键在于新计划定价与任务执 行情况之间的关系，可用 0-1 整数线性规划建立相应模型求解。最后，分别计算
附件一是一组已结束项目的任务数据，包括各项任务的位置、定价和完成情 况（“0”为未完成，“1”为完成）；附件二是会员信息数据，包括其位置、信誉 值、根据其信誉给定预订任务限额及其开始时间，原则上信誉越高，会员越优先 选择任务，配额越高（任务按照预订限额所占比例分配）；附件三是一组新的项 目任务检验数据，仅包含任务的位置信息。请根据以上信息解决下述问题： 1. 根据附件一所给的项目任务定价，探究其规律性，分析任务未完成原因。 2. 针对附件一的项目制定新的任务定价计划，并与原计划进行对比。 3. 多个任务可能由于位置较集中，在实际情况下会使得会员之间产生竞争。考
四、符号说明
符号
说明
P
未完成概率
p
每单位距离应增加的价格比例
d
任务位置与领取该任务的会员之间的距离
3
di ,i 1, 2, ,835 bi ,i 1, 2, ,835 xi ,i 1, 2, ,835
z yi*,i 1, 2, , 2066 x*,i 1, 2, , 2066
i
虑将这些任务联合在一起打包发布时，该如何修改之前的定价模型，又会对 最终的任务完成情况有何影响？ 4. 针对附件三所给新项目建立任务定价计划，并对该计划的实施效果做出评价。
二、问题分析
针对问题一，探究项目任务定价规律，属于寻找数据统计特性问题，一般选 择用 SPSS 软件对所给数据进行一系列具体分析来解决此类问题。首先，按照附 件一中任务执行情况一栏将任务标价分为两类，得到完成任务和未完成任务所对 应的两组任务标价。分别求解两组任务标价所对应的描述性统计量。利用 M 估计 和 K-S 检验对两组任务标价分别做探索性分析，判断其是否服从正态分布。其次， 由于问题一还需考虑任务完成情况，故需比较两类任务标价数据对任务完成情况 有无显著性差异，则利用方差分析和独立样本 T 检验对分类后两组数据进行显著 性差异分析。最后，通过对附件一中任务位置和任务标价进行对比分析，分别画 出两类任务位置与标价的三维立体图来初步观察其关系，再进行聚类分析，得到 任务位置与标价之间的具体对应几种分类关系。对于任务未完成的原因，执行情 况取值只有 0 和 1，故利用回归分析，建立任务位置与执行情况间的二元 Logistic 回归模型，判断任务位置是否会造成任务未完成，还可借此模型预测其他位置的 任务执行情况。此外，查询一些具体的 “拍照赚钱”APP，研究他们对完成任务 的具体要求，得出附件一无法给出的其他造成任务未完成的原因。
三、基本假设
1. 假设一个任务只能由一个会员领取，即不能被不同会员重复领取。 2. 假设按一定周期发布一组新的项目任务。 3. 假设会员完全完成任务才能拿到标定的定价，否则得不到任何定价。 4. 假设不考虑任务的难易程度对任务定价的影响。 5. 假设任务与任务之间、任务与会员之间的距离都为直线距离。 6. 假设打包发布的同一任务集合中的每个任务的定价相同。 7. 假设不同项目的任务定价范围相同。
针对问题四，由新项目任务的位置分布图可得，新项目任务主要分布在已结 束项目中未完成任务所在区域。为使 APP 开发商可以用最少的成本（任务总定价） 得到最多的商检和信息数据（最高的任务完成率），建立双优化定价模型（DOP 模型）。用 Matlab 软件编程求解得任务完成率为 80.1%，APP 开发商应给出的最 低总定价为 75827 元，同时得到 2066 个任务的具体定价。最后对该模型进行 10 次模拟仿真，每次模拟仿真所得值与实际值的误差都小于 5%，说明该定价计划 的实施效果很好。
关键词：显著性差异分析；K-均值聚类；0-1 整数规划；序贯算法；双优化
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一、问题重述
当前盛行一种基于移动互联网自助式劳务众包平台的赚钱方法——“拍照赚 钱”。用户下载相应的 APP 并注册成为 APP 会员后，即可在 APP 上通过拍照获得 标有具体定价的拍照任务，从而取得报酬。上述平台与传统市场调查方式相比， 在为公司提供各类商务考察和信息搜索时，可大幅度减少调查成本。此外，该平 台有效保证调查数据的真实性，缩短调查周期。故 APP 变成该平台运行关键，且 APP 的任务定价是其核心元素。若价格不合理，一些任务将被忽略，导致商品检 查失败。
表2 M 估计量
任务执行情况
休伯 M 估计量a
Tukey 双权b
汉佩尔 M 估计量c
安德鲁波d
任务标价
0
66.19
65.87
65.93
65.87
1
68.91
68.75
69.02
68.75
通过 K-S 检验得到常态性检验表（如表 3 所示）来检验两类任务标价的正态 性，从中看出两类任务的显著性水平均为 0.000，小于 0.05，故认为两类任务的 数据均不服从正态分布，不满足方差分析的基本假设[1]，则不能用方差分析来比 较两类任务标价数据对任务完成情况有无显著性差异。