圆与方程练习题.doc
与方程练习题
%1.圆的方程：
1 .指出下列方程所表示的曲线,并画出图形.
(1)y = J4_(x-1)2；(2)(x + y — l)7x2+y2-4 = 0.
2.求下列圆的方程
⑴过三点O (0,0),M(I,l), N(4,2);
(2)经过A(4, - 5)且与直线x - 2y + 4 = 0相切于点B(-2,l);
(3)过点A(l,l)和B(2,-2)旦圆心C在直线1: x - y +1 = 0上.
3.巳知方程x 2 + y2 — 2(t + 3)x + 2(l-4t2)y + 16t4+9 = 0
⑴t为何值时，方程所表示的曲线为I员I?
(2)是否存在t使得上述方程所表示的圆的面积最大？若存在，求此|员I的方程及面积.
4.已知一个圆的一条直径的端点分别是A(X],yJ,B(X2，y2),求证此圆的方程是：(x-x I)(x-x2) + (y-y1)(y-y2) = 0.
%1.直线与圆的位置关系：
(%1)与弦长有关的问题：
1.求直线1: 3x - y - 6 = 0被圆C :x2+y2-2x-4y = 0截得的弦AB的长.
2..已知直线1： kx-y + 6 = 0被圆x2 + y2 =25截得的弦长为8,求k的值.
3 .已知过点M(-3,-3)的直线1被圆x2 + y2+4y-21 = 0所截得的弦长为4右,求1的方程.
变式1:点M和圆方程不变，截得弦长为8,求直线1的方程；
变式2 :点M和圆方程不变，求截得的弦长最长时，直线1的方程；
变式3 :点M利圆方程不变，求截得的弦长最短时，直线1的方程；
变式4:点M和圆方程不变，当直线把圆的周氏分为1: 2两部分时,求直线1的斜率.
变式5 :点M改为(一2.5,-3),圆方程不变，当直线把圆的周长分为1: 2两部分吐求1的方程.
(%1).与直线与圆相切有关的问题：
1.已知I员l(x —1尸+3 —2尸=2,P(2,-1),过P作圆的切线,切点为A、B
(1)求直线PA,PB的方程；(2)求直线AB的方程.
(思考卜,求切点弦方程的方法)
2.求圆x2 + y2 = 4的分别过如下点的切线方程.
⑴过点而)(2)过点(2,4) (3)过点A(3V2-V2)
3.求圆(x-1)2 + (y - 2尸=25的分别过如下点的切线方程.
⑴过点(5,5) (2)过点(-4,3) (3)过点A(7,l)
4.圆J+y2=8,定点P(4,0),问过P点的直线的倾斜角在什么范围内取值时，该直线与已知圆：
(1)相切；(2)相交；(3)相离，
5.自点A(-3,3)发出的光线/射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线和
圆C: x2 + y2 _ 4尤—4)，+ 7 = 0相切,求光线/所在直线的方程.
6.已知圆C: x2 + y2 + 2x - 4y + 3 = 0.若圆C的切线在x轴和)，轴上的截距相等，求此切线方程.
7.求分别满足下列条件的圆的方程：
(1)与两平行直线l l:x-2y-l = 0和:尤一2y+ 9 = 0均相切，且圆心在直线m: 3x+2y+l=0 ±;
(2)经过A(0,5), H与直线x-2y = 0和2x + y = 0都相切；
(3)与直线2x + 3y -10 = 0.相切于点P(2,2),并且过点M(-3,1);
(4)与x轴相切，圆心在直线3x - y = 0上，且被直线x - y = 0截得的弦长为2,
有关结论：
L过圆上一点的该圆的切线方程：
⑴过圆/ +y2 =r2±一点P(x0,y0)的切线方程是x o x 4-y o y = r2;
(2)过圆(x-a)2 +(y-b)?=『上一* 点p(Xo，y。)的切线方程是:(x0 - a)(x - a) + (y0一b)(y 一b) = r2 2.切点弦方程：
(1)P(x0,y0)是圆x2 + y2 =『外一点，过p点的两切线切圆于P］、P2,直线P『2的方程为x°x + y o y = r2
(2)更一般地：(x0 -a)(x — a) + (y° -b)(y-b) = r2
(%1).与直线与圆相交有关的问题：
1.若直线or+如=1与圆J+y2=l相交，则点p(m)与圆的位置关系是 ______________ .
2.过点P(l,2)的直线/把圆X2+/-4%-5=0分成两个弓形，当其中较小弓形面积最小时，
直线I的方程是.
3.直线V3x + y-2V3=0?圆x2+y2=4得到的劣弧所对的圆心角为.
4.圆必+ y2 + 2x + 4y - 3 = 0上到直线x+y+l=。的距离为41的点共有多少个？
5.(04南京一模)能使圆必+), 2 _ 2工+ 4y +1 = 0上恰有两个点到直线2x+y + c = 0的距离等于1
的c的范围是.
6.已知^x2 + y2 +x-6y + m = Q与直线x + 2y-3 = 0相交于P、Q两点,O为原点，若O P_LOQ, 求
实数tn的值.
7.已知圆C:x2+y2-2x + 4y-4 = 0,问是否存在斜率为1的直线1,使以1被圆C截得
的弦AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线1的方程.
8.若直线y=x+b与曲线y = Ji?有公共点，试求。的取值范围.
9.过点M(0,l)的直线1与圆心在原点的圆相交于A、B两点，若弦长|AB| = V14,
V7
△AOB的面积为重,求宜线1与圆的方程.
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%1.与圆有关的最值问题：
(%1).点到圆上的点、直线上的点到圆上的点的距离的最值问题.
1.求直线y = x-l上的点到圆x2 + y2+4x-2y + 4 = 0上的点的最近距离，并求出取得
最近距离时，圆上的点的坐标.
2.求圆x2 + y2-4x-4y-i0 = 0上的点到直线x + y-14 = 0的最大距离与最小距离的差.
3.点M在圆G :x? + y2+6x —2y + l = 0.上，点N在圆C? : x? + y? + 2x + 4y +1 = 0上，求|MN|
的最大值.
（二） .利用几何意义求与圆有关的最值问题.
1.已知实数x,y满足方程x? + y2 -4x + 1 = 0,求下列各式的最大值与最小值：
y y — 1 7x
（1），；（2） J；⑶一；（4）y — x；
x x -4 3y+ 6
（5）2x + 3y; （6）x2 + y2；（7）x2 -lOx + y2 -14y.
2（选做）.求函数y = 3finx的值域
2 + cos x
3（选做）.求函数）=x + 2-Vl-x2的值域.
4（选做）.求使方程3 cos 0-4ksinO-2 + 3k = 0有解时,k的取值范围.
（三） .可利用函数知识解决的有关圆的最值问题.
1.U知点A（-2-2）,B（-2,6）,C（4,-2）,点P在圆x2 + y2 =4.上运动，求 | PA |2 + | PB |2 + | PC
|2 的最大值和最小值.
2.在直线2x + y + 3 = 0上求一点P,使P向圆x2 + y2-4x =。所引得的切线长为最短.
3.从圆C： x2+y2-4x-6y + 12 = 0外一点P（x°,y。）向圆引切线,切点为M,0为坐标原点，旦有
|PM| = |PO|,求使|PM|最小的P点坐标（若求最小值，是否有更简单的方法）.
4.已知△ AOB中,|OB| = 3,|OA| = 4,|AB| = 5,点？是左AOB内切圆上一点，求
以|PA|、|PB|、|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值.
%1.与圆有关的轨迹问题：
（求轨迹方程的常见方法有：直译法；定义法；代入法（相关点法）；点差法；参数法等等）
1.已知点A（-2,3）, B（4,7）,求线段AB的中垂线的方程.
2.已知动圆M与y轴相切旦与定圆A : （x -3尸+ y2 = 9外切,求动圆的圆心M的轨迹方程.
3.［课本122页例5］.已知线段AB的端点B（4,3）,端点A在圆（x +1）2 + y2 = 4上运动，
求线段AB的中点M的轨迹方程.
［变式1］上例改为B为AM的中点（其它条件不变），求M的轨迹方程；
［变式2］若M为AB的三等分点（靠近A的一个），求M的轨迹方程；
［变式3］过B作圆的割线交圆于P,Q两点M为PQ的中点，求M的轨迹方程.
4」课本124页B1］等腰三角形的顶点A（4,2）,底边一个端点B（3,5）,求另一个端点C的轨迹方程，并说明轨迹足什么图形.
5.［课本124页B2的变式］长为2a的线段AB的两个端点A,B分别在x,y轴上滑动,M是线段
AB上的点，且满足|AM| = 2|MB|,M点的轨迹方程.
6.当a取不同的非零实数时，方程x2+y2-2ax-2V3ay + 3a2=0表示的曲线是不同的圆.
⑴求圆心的轨迹方程；（2）这些圆是否有公切线？
7.求圆(X -1 )2 + (y — 2)2 = 9关于直线y = -X + 5对称的曲线的方程.
8.求抛物线y = x2 +3x关于直线y = 3x对称的曲线的方程.
【与方程练习题参考答案：
一.1(1).表示圆(X-1)2+)，2 =4的上半部分(上半圆)；
(2)圆/ +)= =4及直线x + y-1 = 0位于该圆外的部分(两条射线).
2.(l)(x — 4)2+(y + 3)2 =25;(2)^2+(y + 3)2 =20; (3)(x + 3)2+(y+ 2)2 =25.
3.(l)-- 7 7 7 7 497 二(一)i.VT5 2.±V3 3.x + 2y + 9 = 0,或2x - y + 3 = 0;变式1: 4x + 3y + 21 =(),或x = -3;变式2: x - 3y - 6 = 0; 变式3:3x + y + 12 = 0;变式4:t = I。士:而;变式5：工=—2.5,或42x + 40y + 225 = 0. 二(二)1. (l)7x - y -15 = 0,或x + y -1 = 0; (2).尤一3y + 3 = 0. 2.(1)面+y —4 = 0; (2)尤=2,或3x —4y + 10 = 0; (3)x —7y —10 扼=0,或x + y —2 扼=0. 3.(l)4x + 3y -35 = 0; (2)x = -4,或2x - 5y + 23 = 0; (3)( 10V3 - 6)x -11 + 53 - 70V3 = 0,或(107^ + 6)工 + 11)，一53-70占=0. 4.(1)45°或135°; (2)[0°,45°)U(135°,180°) (3)(45°,135°). 5.4x + 3y + 3 = 0,或3x + 4y - 3 = 0. 6. y = (2土把)工，或x + y-3 = 0,或x + y +1 = 0. 7.(l)(x + ；)2+(.v —g)2 =5; (2)(x—l)2+(y —3尸=5,或(x —5)2+(y —15)2 =125; 4 8 ⑶ 乂2+3 + 1)2 =13；(4)(工一1)2+3一3)2 =9,或(x+i)2+(y + 3)2 =9 二(三)1.在圆外 2.x — 2y + 3 = 0 3.60° 4.3个 5.-3V5 6.m = 3 7.x-y-4 = 0,或x-y + l = 0 8.-2 9./:x- y + 1 = 0,或x + y -1 = 0; @1: x2 + y2 =4. 二(一)1.最近距松!1: 2V2 — 1;点:(—2 H -------- , 1 ) 2. 6A/2 3.5 + V13 2 2 三(二)1.⑴①,一心；(2)2 + V6,2-V6; (3)：(4 +应)，；(4一而)；(4)76 -2,- V6 - 2; (5)4 + 739,4-739; (6)7 + 4必,7-4占；(7)27174-13,-27174-13. 2.[2-^,2 + —] 3J2-V2,3] 4.k<-l,ngk>--. 三(三)1 .最大值:88;最小值:72 2.(--,--) 3.(—,—) 4.最大值:虫;最小值:竺. 55 13 13 2 2 四.1.3x + 2y -13 = 0 2.扩=12x(x > 0),或y = 0(x < 0) 3.(x-|)2+(y-|)2=l;变式l:(x-9)2+(y-6)2=4; ?2:(x-|)2+(y-l)2 变式3：(x —；)2 +(y _；)2 =￥. / 4.(x-4)2 +(y — 2)2 =10 5.36x2 +9y2 -16a2 =0 6.(l)V3x一y = 0(x 工0); (2)有公切线：x = 0,^y = —x 7.(x-3)2+(y-4)2 =9. c 3x+4y ,—4x + 3y、2 o一4x + 3y niNx 2 c 2 ?. * 8. ------- =( ----------- y +3 ------------- ，即16x~ +9y2一24xy — 75x+ 25y = 0?