全等三角形培优专题训练

探索三角形全等

1、一长方形纸片沿对角线剪开，得到两三角形纸片，再将这两纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上.

⑴求证：AB ⊥ED ；

⑵若PB ＝BC ，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明

2、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ，E 为垂足，则结论：①AD ＝BF ；②CF ＝CD ；③AC ＋CD ＝AB ；④BE ＝CF ；⑤BF ＝2BE.其中正确的是（ ）

3、如图，点C在线段AB上，DA ⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，求∠DFC的度数.

4、如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，O 为对角线AC 的中点，

过点O 作一条直线分别与AB 、CD 交于点M 、N ，点E 、F 在直线M 、N 上，且OE ＝OF.

⑴图中共有几对全等三角形，请把它们都写下来； ⑵求证：∠MAE ＝∠NCF

全等三角形的应用

全等三角形常用来转移线段和角，用它来证明：

①线段和角的等量关系 ②线段和角的和差倍分关系

③直线与直线的平行或垂直等位置关系

1、如图，已知BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB.试判断AP 与AQ 的关系，并证明.

E

2、如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD ， 求证：BE ⊥AC

3、如图,在△ABC 中,AB ＝AC,AD ＝AE,∠BAC ＝∠DAC ＝90°.

⑴当点D 在AC 上时,如图①,线段BD,CE 有怎样的数量和位置关系?证明你猜想的结论.

⑵将图①中的△ADE 绕点A 顺时针旋转α角(0°＜α＜90°) ，如图②，线段BD 、CE 有怎样的数量关系和位置关系？问明理由.

①

4、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C 重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE ＝∠BAC，连接CE.

⑴如图①，当点D在线段BC上时，若∠BAC＝90°，则∠BCE ＝_______度.

⑵设∠BAC＝α，∠BCE＝β

a、如图②，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有

怎样的数量关系？请说明理由.

b、当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数

量关系？请直接写出你的结论.

①

②

辅助线作法之连接法

在几何证明中，常通过添加辅助线来构造全等三角形.常见的添加辅助线方法有：连接法、截长补短法、倍长中线法、翻折法、旋转法以及利用特殊条件构造全等三角形等等.

1、如图，△ABC的两条高BD，CE相交于点P，且PD＝PE.

证明∶AC＝AB

2、已知AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，AF＝CD 求证：AC∥DF

A

B

C

3、如图，AB交CD于点O，AD、CB的延长线相交于点E，且OA＝OC，EA＝EC.∠A＝∠C吗？点O在∠AEC的平分线上吗？

E

辅助线作法之倍长中线法

在题目条件中含有中线的问题，我们常用的辅助线就是将中线延长一倍，其目的是为了得一对全等三角形，将分散的条件集中到一个三角形中去.

1、△ABC中，AB＝5，AC＝3，求中线AD的取值围.

2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，又是BC 上的中线

求证：AB＝AC

B

B

3、在△ABC中，D是边BC上的一点，且CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线.

求证∶AC＝2AE

B

4、△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB，AC

于点E，F.

求证：BE＋CF＞EF

辅助线作法之截长补短法

截长法：在第三条线段上截下一段使其等于两条线段中的一条，再证明剩余部分与另一条相等.

补短法：把两条线段中的一条补到另一条线段上去，证明所得新线段与第三条线段相等.

1、已知AC∥BD，EA，EB分别平分∠CAB和∠DBA，

点E在CD上.

求证：AB＝AC＋BD

A

A

2、在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE＝½（AB＋AD）.

求证∶∠B＋∠D＝180°

3、如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为

AC的中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F.

求证：∠ADB＝∠CDF

B

D B

4、如图，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的角平分线. 求证∶AC ＋CD ＝AB

12、如图，已知AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，∠ABC ＝∠AED ＝90°，求五边形ABCDE 的面积.

B

辅助线作法之利用特殊条件构造全等三角形

2、如图，在△ABC 中，AC ＝½AB ，AD 平分∠BAC ，且AD ＝BD

求证：CD ⊥AC

全等三角形在动态几何中的运用

1、如图，△ABC 的边BC 在直线l 上，AC ⊥BC ，且AC ＝BC.△EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF ＝FP.

⑴在图①中,请你通过观察、测量、猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系; ⑵将△EFP 沿直线l 向左平移到图②的位置时,EP 交AC 于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系,并证明你的猜想;

⑶将△EFP 沿直线l 向左平移到图③的位置时,EP 的延长线交AC 的延长线于点Q,连接AP,BQ.你认为⑵中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.

B