二次函数的最大值与最小值[优质ppt]
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二次函数的最大值和最小值
2
4
对称轴为x a
2
xa 2
y
(1) 当 a 1即a 2时
2
1
y x2 ax 3在[1，1]上单调递增 -1 0
x
当x 1时 ymin 4 a 当x 1时 ymax 4 a
(2)当 1 a 2
1
即
2a2
当 x a 时 2
a2 ymin 3 4
0
a 2
1
即
2
y - 01 x 1
例4: 求函数 y x2 2 x 3 在 [t , t 1] 上的最大值
和最小值
解: y x2 2x 3 ( x 1)2 2
对称轴 x 1
(1) 当 t 1 1 即 t 0 时
y
01
t t+1 x
y x2 2x 3 在 [t , t 1] 上单调递减
1 3a
-1
1
0
x
二
次
x=a x=a x=a
函
2. 1 a 1 ymin f ( a ) a a 2
数
3. a 1 ymin f ( 1 ) 1 a
的
y
y
y
最
-1
1
-1
1
-1
1
值
0
x
0
x
0
x
x=a
x=a
x=a
例4：已知函数 y x2 2x 2 x [t,t 1]
当x t 时 ymax t 2 2t 3
当x=t+1时 ymin=t2+2
(2)当t 1 即0 t 1时 t 1 1
1[t , t 1]
当x 1时 ymin 2
当t 1 1即t 1 时
二次函数在给定区间的最值ppt课件
(3)当
a 2
≥2,
即 a≥4 时,
函数 f(x) 在[0, 2]上是减函数.
∴ f(x)min=f(2)=a2-10a+18. 由 a2-10a+18=3 得: a=5 10.
∵a≥4, ∴a=5+ 10.
综上所述, a=1- 2 或 a=精5选+pp1t课0件.
29
回顾小结：
1、数学结合在求闭区间上二次
y的最小值为f(0)=1-a
01
x
X=a
精选ppt课件
22
変题1 求函数y =-x2+2ax+1-a在区间
[0,1]上的最值.
解：∵函数的对称轴为直线x=a
⑴当a ≤ 0 时
y
y的最大值为f(0) =1-a
X=a 0O1 x y
0XO1=a x y
y的最小值为f(1) =4+a
(2)当 0＜ a＜1 时
函数 f(x) 在[0, 2]上是增函数.
∴ f(x)min=f(0)=a2-2a+2. 由 a2-2a+2=3 得: a=1 2 .
∵a≤0, ∴a=1- 2.
(2)当
0<
a 2
<2,
由 -2a+2=3
即 得:
0<a<4 时,
a=-
1 2
(0,
f(x)min=f( 4), 舍去.
a 2
)=-2a+2.
y
y
y
O 01 x
X=a
O 01
X=a
精选ppt课件
x 01
x
X=a
18
思考2：求函数y =-x2+2ax+1-a在区间 [0,1]上的最小值.
二次函数的最值公式最大值和最小值二次函数图像平移规律
二次函数的最大值和最小值
•二次函数的最值：
1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，
那么函数在处取得最小值y最小值=；
当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y最大
值=。
也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，，那么，首先要看是否在
自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；
若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2时，，当x=x1时
；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，
，当x=x2时。
二次函数的最大值与最小值
当 x=1时，ymin 2
y x=1
1
0
x
-2
例2、求下列函数的最大值与最小值
(1) y x2 3x 2 (3 x 1)
解： y ( x 3)2 2 9
2
4
x3 2
y
( x 3)2 4 1
2
4
-3
1
3 3 ,1
0x
2
设每个涨价x元， 那么 （1）销售价可以表示为 （50+x）元（x≥ 0，且
为整数）
（2）一个商品所获利润可以表示为 （50+x-40）元
（3）销售量可以表示为 (500-10x) 个
（4）共获利润可以表示为 (50+x-40)(500-1 y=(50+x-40)(500-10x) =-10 x2 +400x+5000 =-10[ （x-20）2 -900] =- 10（x-20）2 +9000 (0 ≤ x≤50 ,且为整数 )
答：定价为70元/个，利润最高为9000元.
例1、求下列二次函数的最大值或最小值
(1) y x 2 2x 3
解： y ( x 1)2 4
xR
y x=1 4
01
x
当 x=1时，ymax 4
(2) y 2x 2 4x
解：y 2( x1)2 2
xR
二次函数: y ax2 bx c ( a0 )
a( x
b 2a
)
2
4ac 4a
b2
a>0
a<0
y x b
2a
y
b 2a
y x=1
1
0
x
-2
例2、求下列函数的最大值与最小值
(1) y x2 3x 2 (3 x 1)
解： y ( x 3)2 2 9
2
4
x3 2
y
( x 3)2 4 1
2
4
-3
1
3 3 ,1
0x
2
设每个涨价x元， 那么 （1）销售价可以表示为 （50+x）元（x≥ 0，且
为整数）
（2）一个商品所获利润可以表示为 （50+x-40）元
（3）销售量可以表示为 (500-10x) 个
（4）共获利润可以表示为 (50+x-40)(500-1 y=(50+x-40)(500-10x) =-10 x2 +400x+5000 =-10[ （x-20）2 -900] =- 10（x-20）2 +9000 (0 ≤ x≤50 ,且为整数 )
答：定价为70元/个，利润最高为9000元.
例1、求下列二次函数的最大值或最小值
(1) y x 2 2x 3
解： y ( x 1)2 4
xR
y x=1 4
01
x
当 x=1时，ymax 4
(2) y 2x 2 4x
解：y 2( x1)2 2
xR
二次函数: y ax2 bx c ( a0 )
a( x
b 2a
)
2
4ac 4a
b2
a>0
a<0
y x b
2a
y
b 2a
九下数学课件利用二次函数解决实际问题中的最值问题(课件)
【归纳总结】
最大值问题的一般步骤：
（1）利用应用题中已知条件和学过有关数学公式列出关系数；
（2）把关系式转化为二次函数的关系式；
（3）求二次函数的最大值或最小值.
知识点一 根据文字语言解决问题
【变式1】某工厂2019年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长
率为x(x＞0)，设2021年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数表达式为
解：设药店每天获得的利润为W元，由题意得
W＝(x－50)(－2x＋220)＝－2(x－80)2＋1 800.
∵－2＜0，
∴当x＝80时，W有最大值，最大值是1 800.
答：每桶消毒液的销售价定为80元时，药店每天获得的利润最大，最
大利润是1 800元．
知识点二 根据函数的图像解决问题
【变式2】一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场
k＝－500，
解得
5k＋b＝9 500，
b＝12 000.
∴y＝－500x＋12 000.
知识点二 根据函数的图像解决问题
(2)在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销
售量不少于6 000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价
分别为多少？
解：根据“在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于 15 元/
随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售
策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销
售量y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x≤70，且x为整
数)．
(1)写出y与x的函数表达式；
知识点二 根据函数的图像解决问题
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
二次函数的最大值和最小值
二次函数的最大值和最小值
二次函数: yax2 bxc ( a0 )
a(x
b 2a
)2
4ac 4a
b2
a>0
a<0
y x b
2a
y
b 2a
0
x
4ac b 2
4a
0
x
二次函数的最大值和最小值
函数的最大值和最小值的概念
设函数f(x)在x0处的函数值是f(x0)，如果不等式f(x) f(x0 )
对于定义域内任意x都成立，那么f(x0 )叫做函数y=f(x0 )的最小值。 记作ymin=f(x0 )
当x1时 ymax132 2
二次函数的最大值和最小值
(2 ) y1x22x1x [ 3,1 ]
5
x5
解：y1(x5)2 6
y
5
5 [ 3 ,1 ]
1
-3 0
x
函数 y = f(x) 在[-3，1]上为减函数
26 当x3时 ymax 5
当x1时
6
ymin
5
二次函数的最大值和最小值
(3) y1x22x1x [ 1,2]
ymin=t2-2t+3
当x=t+1 时 ymaxt2 2
y
1
x
0 t t+1
二次函数的最大值和最小值
小结
1、定义域为R的二次函数的最大值和最小值 2、定义域为某一闭区间上的最大值和最小值 3、关于带有字母参数的二次函数最值的讨论
二次函数的最大值和最小值
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢你的支持，我们会努力做得更好！
解： y2(x1)22
xR
当 x=1时，ym i n2
二次函数: yax2 bxc ( a0 )
a(x
b 2a
)2
4ac 4a
b2
a>0
a<0
y x b
2a
y
b 2a
0
x
4ac b 2
4a
0
x
二次函数的最大值和最小值
函数的最大值和最小值的概念
设函数f(x)在x0处的函数值是f(x0)，如果不等式f(x) f(x0 )
对于定义域内任意x都成立，那么f(x0 )叫做函数y=f(x0 )的最小值。 记作ymin=f(x0 )
当x1时 ymax132 2
二次函数的最大值和最小值
(2 ) y1x22x1x [ 3,1 ]
5
x5
解：y1(x5)2 6
y
5
5 [ 3 ,1 ]
1
-3 0
x
函数 y = f(x) 在[-3，1]上为减函数
26 当x3时 ymax 5
当x1时
6
ymin
5
二次函数的最大值和最小值
(3) y1x22x1x [ 1,2]
ymin=t2-2t+3
当x=t+1 时 ymaxt2 2
y
1
x
0 t t+1
二次函数的最大值和最小值
小结
1、定义域为R的二次函数的最大值和最小值 2、定义域为某一闭区间上的最大值和最小值 3、关于带有字母参数的二次函数最值的讨论
二次函数的最大值和最小值
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解： y2(x1)22
xR
当 x=1时，ym i n2
二次函数的极值问题. ppt课件
26
做一做
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线 的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最 多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
解: 1.由4y 7x x 15. 得, y 15 7x x .
由(1)知6 x<15
当垂直于墙的边长为7.5米是，花圃
的面积最大为112.5平方米。
（3）由图象知：当6≤X ≤11时，面积 不小于88平方米.
PPT课件
25
如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道 篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
y（件） 70 50 35
若销售量y是销售价格x的一次函数. (2)若要获得最大的销售利润,每件产品的销售价 格定为多少元？此时每日的销售利润是多少？
设销售利润为W,则 当x 320 160时,
W=(x-120)·y
2
=(x-120)·(-x+200) W=1600
=-x2+320x-2400 PPT课件 则:……
=-2x2+440x+158400
…… =-2(x-110)2+182600
所以,当x…=1…10时,yP有PT课件最大值182600
15
3.某旅社有客房120间,每间房间的日租金为50元, 每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查, 如果一间客房的日租金每增加5元,则客房每天出 租会减少6间,不考虑其它因素,旅社将每间客房的 日租金提高到多少元时,客房日租金总收入最高？ 比装修前的日租金的总收入增加多少元？
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(2 ) y1x22x1x [ 3,1 ]
5
x5
解：y1(x5)2 6
y
5
5[3,1]
1
-3 0
x
函数 y = f(x) 在[-3，1]上为减函数
当x3时
ymax
26 5
当x1时
ymin
6 5
(3) y1x22x1x [ 1,2]
2
y x2
∴ y＝x（6－x）＝－x2＋6x （0< x<6） ＝－(x－3) 2＋9
∵ a＝－1<0, ∴ y有最大值 当x＝3cm时，y最大值＝9 cm2，此时矩形的另一边也为3cm 答：矩形的两边都是3cm，即为正方形时，矩形的面积最大。
next
当a>0时,二次函数有最小值 当a<0时,二次函数有最大值
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 ∴ 花圃宽为（24－4x）米
A
D
∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0<x<6） B
C
(2)当x＝
b 2a
3
时，S最大值＝
4
ac 4a
b
2
＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米
例1、如图，一边靠学校院墙，其他三边用12 m长 的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边 AB=x m，面积为S㎡。 （1）写出S与x之间的函数关系式； （2）当x取何值时，面积S最大，最大值是多少？
(1) S=x(12-2x)即S=-2x²+12x
(2) S=-2x²+12x
A
D
=-2(x-3)²+18
利用公式:y最大或最小=
• 4.已知二次函数y=2(x-h)2+k,经过 • 点(3,5)(7,5),则对称轴为—X=—5 , • 最小值为—-3—；
利用对称轴和对称点坐标
1.利用公式:y最大或最小=
在顶点处
2.利用配方配成顶点式:y最大或最小=k 直接取得
3.利用对称轴和对称点坐标
例2：某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个 售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元， 销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最 大利润是多少？ 分析：利润=（每件商品所获利润）× （销售件数）
设每个涨价x元， 那么 （1）销售价可以表示为 （50+x）元（x≥ 0，且
为整数）
（2）一个商品所获利润可以表示为 （50+x-40）元
（3）销售量可以表示为 (500-10x) 个
（4）共获利润可以表示为 (50+x-40)(500-10x)元
解： 设每个商品涨价x元， 那么 y=(50+x-40)(500-10x) =-10 x2 +400x+5000 =-10[ （x-20）2 -900] =- 10（x-20）2 +9000 (0 ≤ x≤50 ,且为整数 )
B
C
利用配方法配成顶点式:y最大或最小=k
如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道
篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
答：定价为70元/个，利润最高为9000元.
例1、求下列二次函数 y(x 1 ) 2 4
y x=1 4
xR
01
x
当 x=1时，ymax 4
(2)y2x2 4x
解： y2(x1)22
xR
当 x=1时，ym i n2
二次函数: yax2 bxc ( a0 )
a(x
b 2a
)
2
4ac 4a
b2
a>0
a<0
y x b
2a
y
b 2a
0
x
4ac b 2
4a
0
x
• 1.抛物线y=2x2-5x+6有最—小—值;
•
•
y=-3x2-5x+8有最—大—值;
当a>0时,二次函数有最小值
当a<0时,二次函数有最大值
1、如图，在△ABC中∠B=90º，AB=12cm，BC=24cm，
动点P从A开始沿AB边以2cm/s的速度向B运动，动
点Q从B开始沿BC边以4cm/s的速度向C运动，如果P、
Q分别从A、B同时出发。
（1）写出△PBQ的面积S与运动时间t之间的函数
关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当t为何值时，△PBQ的面积S最大，最大值
解： y1(x2)2 3 2
-1
02 x
2[1,2]
函数 y = f(x)在[-1，2]上为增函数
当x1时
ymin
5 2
当x2时 ymax 5
1、 配方，求二次函数的顶点坐标。 2、判断取得最值时的自变量是否在闭区间内。 3、计算闭区间端点的函数值，并比较大小。
课时训练
y x=1
1
0
x
-2
例2、求下列函数的最大值与最小值
(1 )y x 2 3 x 2( 3 x 1 )
解： y(x3)229
2
4
x3 2
y
(x3)2 41 24
33,1
2
当x 3时 2
1
ymin
4 4
-3
1
0x
当x1时 ymax132 2
在顶点处直接取得 不能在顶点处取得
1.利用公式:y最大或最小= 2.利用配方法配成顶点式:y最大或最小=k 3.利用对称轴和对称点坐标
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是多少？
A
BP=12-2t，BQ=4t
P
△PBQ的面积:
S=1/2(12-2t) •4t
即S=- 4t²+24t=- 4(t-3)²+36 B
Q
C
练习1、已知：用长为12cm的铁丝围成一个矩形，一边长为xcm.,面 积为ycm2,问何时矩形的面积最大？ 解： ∵周长为12cm, 一边长为xcm , ∴ 另一边为（6－x）cm