平面向量(A卷 基础过关检测)1——新高考数学复习专题测试附答案解析

第五单元 平面向量

A 卷 基础过关检测

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1．（2020·安徽马鞍山高三三模（文））在ABC 中，D 为BC 上一点，且2BD DC =，AE ED =，若EB xAB y AC =+，则（ ）

A ．13x =，23y =

B ．56x =

，13y = C ．56x =，13y =- D ．23x =，13y = 2．（2020·衡水中学高三月考（文））已知()()1,2,2,a b t ==，若a b a b +=-，则t 为（ ） A ． B ．1 C ．1- D ．

3．（2020·绥德中学高三其他（文））在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =

A ．3144

AB AC - B ．

1344AB AC - C ．3144+AB AC D ．1344+AB AC 4．（2020·河北路南唐山一中高三期中（文））已知向量1

,tan 3a α??= ???，()cos ,1b α=，,2παπ??∈ ???

，且//a b ，则sin 2πα??-= ??

?（ ） A ．1

3- B ．13 C 22 D ．22 5．（2020·四川省泸县第四中学高三月考（文））已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =

A ．12

AB AD -+ B ．

12AB AD - C ．12AB AD + D ．12AB AD - 6．（2020·陕西新城西安中学高三其他（文））设向量,a b 满足10a b +=， 6a b -=

，则a b ?= ( ) A ．1

B ．2

C ．3

D ．5

7．（2020·安徽黄山高三二模（文））如图，在等腰直角ABC 中，斜边||6BC =，且2DC BD =，点P 是线段AD 上任一点，则AP CP ?的取值范围是（ ）

A ．[0,4]

B ．9,410??-????

C ．90,10??????

D ．9,10??-+∞????

8．（2020·甘肃城关兰州一中高三二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M 满足

2MA MO =，则·OM ON 的取值范围是（ ） A ．[]0,2 B ．0,22?? C ．[]22-, D ．22,22-??

9．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高三其他（文））已知1F 、2F 是椭圆22

143

x y +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以1PF 为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则

12QF QF ?=( )

A ．3

B ．4

C ．3

D ．1

10．（2020·黑龙江南哈师大附中高三其他（文））已知向量()2,a m =-，()1,2b =-，

()1,5c m =+，若a b ⊥，则a 与b c +的夹角为( )

A ．4π

B ．3π

C ．23π

D ．34

π 11．（2020·湖北荆门高三期末（文））已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ???

，且1||||2AB AC AB AC =，则ABC ?的形状是( )

A ．三边均不相等的三角形

B ．直角三角形

C ．等腰（非等边）三角形

D ．等边三角形

12．（2020·广东东莞?高三其他（文））已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足161230--=OA OB OC 则（ ）

A ．123OA A

B A

C =+

B ．123OA AB AO =-+

C ．123OA AB AC =-

D ．123OA AB AO =--

二、填空题：本大题共4小题，共20分。

13．（2020·云南高三一模（文））设向量()1,1a =，()1,3b =-，()2,1c =，且()λ-⊥a b c ，则λ=____________．

14．（2020·湖南怀化高三二模（文））已知单位向量12,e e 的夹角为3π，若向量122e e +与向量122e ke +的夹角为2

π，则实数k =________. 15．（2020·天津高考真题）如图，在四边形ABCD 中，60,

3B AB ?∠==，6BC =，且3,2

AD BC AD AB λ=?=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ?的最小值为_________．

16．（2020·四川青羊石室中学高三月考（文））已知在平面直角坐标系中，()2,0A -，()1,3B ，O 为原点，且OM OA OB αβ=+，（其中1αβ+=，α，β均为实数），若()1,0N ，则MN 的最小值是_____.

三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分共70分）

17．（2020·白银市第一中学高三其他（文））在ABC ?中，设a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，记ABC ?的面积为S ，且2S AB AC =?．

（1）求角A 的大小；

（2）若7c =，cos 45

B =，求a 的值． 18．（2020·江苏广陵扬州中学高三月考）已知O 为坐标原点，

()2

2sin ,1,OA x =(1,cos 1),OB x x =-+1()12

f x OA OB =-?+. （1）求()y f x =的最小正周期；

（2）将()f x 图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移6

π个单位后，所得图象对应的函数为()g x ，且2,63ππα??∈????，5,6

3ππβ??∈-- ???，3()5g α=，4()5g β=-，求cos 2()1αβ--的值.

19．（2019·盐城市伍佑中学高三月考）在ABC ?中，设a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量(,sin sin )m a C B =-，(,sin sin )n b c A B =++，且//m n

（1）求角C 的大小

（2）若3c =，求ABC ?的周长的取值范围．

20．（2020·河北丛台邯郸一中高三月考）在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(cos ,cos )m B C =，(2,)n a c b =+，且m n ⊥.

（1）求角B 的大小；

（2）若b =4a c +=，求ABC 的面积.

21．（2020·北京西城北师大实验中学高三月考）已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈. （1）若a b ∥，求x 的值；

（2）记()f x a b =?，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.

22．（2019·河南郑州高三期中（文））已知点()2,0A ，()0,2B -，()2,0F -，设AOC α∠=，

[)0,2απ∈，其中O 为坐标原点.

（1）设点C 在x 轴上方，到线段AF ，且3AFC π∠=

，求α和线段AC 的大小；

（2）设点D 为线段OA 的中点，若2OC =，且点C 在第二象限内,求)

cos y OB BC OA α=

?+?的取值范围.

如何学好数学

做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。填空题也是，比较简单的会的就正常做，复杂的题如果答案是一个确定的值时，看能否用特殊值代入法以及特例求解法。选择填空题的答题时间要自己掌握好，遇到不会的先放下往后答，我们的目标是把卷子上所有会的题都答上了、都答对了，审题要仔细（一个字一个字读题），计算要准确（一步一步计算），千万不要有马虎的地方。

大题文科第一题一般是三角函数题，第一步一般都是需要将三角函数化简成标准形式Asin（wx+fai）+c，接下来按题做就行了，注意二倍角的降幂作用以及辅助角（合一）公式，周期公式，对称轴、对称中心、单调区间、最大值、最小值都是用整体法求解。求最值时通过自变量的范围推到里面整体u=wx+fai的范围，然后可以直接画sinu的图像，避免画平移的图像。这部分题还有一种就是解三角形的问题，运用正弦定理、余弦定理、面积公式，通常有两个方向，即角化成边和边化成角，得根据具体问题具体分析哪个方便一些，遇到复杂的题就把未知量列成未知数，根据定理列方程组，然后解方程组即可。

理科如果考数列题的话，注意等差、等比数列通项公式、前n项和公式；证明数列是等差或等比直接用定义法（后项减前项为常数/后项比前项为常数），求数列通项公式，如为等差或等比直接代公式即可，其它的一般注意类型采用不同的

方法（已知Sn求an、已知Sn与an关系求an（前两种都是利用an=Sn-Sn-1，注意讨论n=1、n>1）、累加法、累乘法、构造法（所求数列本身不是等差或等比，需要将所求数列适当变形构造成新数列lamt，通过构造一个新数列使其为等差或等比，便可求其通项，再间接求出所求数列通项）；数列的求和第一步要注意通项公式的形式，然后选择合适的方法（直接法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等）进行求解。如有其它问题，注意放缩法证明，还有就是数列可以看成一个以n为自变量的函数。

第二题是立体几何题，证明题注意各种证明类型的方法（判定定理、性质定理），注意引辅助线，一般都是对角线、中点、成比例的点、等腰等边三角形中点等等，理科其实证明不出来直接用向量法也是可以的。计算题主要是体积，注意将字母换位(等体积法)；线面距离用等体积法。理科还有求二面角、线面角等，用建立空间坐标系的方法（向量法）比较简单，注意各个点的坐标的计算，不要算错。第三题是概率与统计题，主要有频率分布直方图，注意纵坐标（频率/组距）。求概率的问题，文科列举，然后数数，别数错、数少了啊，概率=满足条件的个数/所有可能的个数；理科用排列组合算数。独立性检验根据公式算K方值，别算错数了，会查表，用1减查完的概率。回归分析，根据数据代入公式（公式中各项的意义）即可求出直线方程，注意（x平均，y平均）点满足直线方程。理科还有随机变量分布列问题，注意列表时把可能取到的所有值都列出，别少了，然后分别算概率，最后检查所有概率和是否是1，不是1说明要不你概率算错了，要不随机变量数少了。

第四题是函数题，第一步别忘了先看下定义域，一般都得求导，求单调区间时注意与定义域取交。看看题型，将题型转化一下，转化到你学过的内容（利用导数

判断单调性（含参数时要利用分类讨论思想，一般求导完通分完分子是二次函数的比较多，讨论开口a=0、a<0、a>0和后两种情况下delt<=0、delt>0）、求极值（根据单调区间列表或画图像简图）、求最值（所有的极值点与两端点值比较）等），典型的有恒成立问题、存在问题（注意与恒成立问题的区别），不管是什么都要求函数的最大值或最小值，注意方法以及比较定义域端点值，注意函数图象（数形结合思想：求方程的根或解、曲线的交点个数）的运用。证明有关的问题可以利用证明的各种方法（综合法、分析法、反证法、理科的数学归纳法）。多问的时候注意后面的问题一般需要用到前面小问的结论。抽象的证明问题别光用眼睛在那看，得设出里面的未知量，通过设而不求思想证明问题。

第五题是圆锥曲线题，第一问求曲线方程，注意方法（定义法、待定系数法、直接求轨迹法、反求法、参数方程法等等）。一定检查下第一问算的数对不，要不如果算错了第二问做出来了也白算了。第二问有直线与圆锥曲线相交时，记住我说的“联立完事用联立”，第一步联立，根据韦达定理得出两根之和、两根之差、因一般都是交于两点，注意验证判别式>0，设直线时注意讨论斜率是否存在。第二步也是最关键的就是用联立，关键是怎么用联立，即如何将题里的条件转化成你刚才联立完的x1+x2和x1x2，然后将结果代入即可，通常涉及的题型有弦长问题（代入弦长公式）、定比分点问题（根据比例关系建立三点坐标之间的一个关系式（横坐标或纵坐标），再根据根与系数的关系建立圆锥曲线上的两点坐标的两个关系式，从这三个关系式入手解决）、点对称问题（利用两点关于直线对称的两个条件，即这两点的连线与对称轴垂直和这两点的中点在对称轴上）、定点问题（直线y=kx+b过定点即找出k与b的关系，如b=5k+7，然后将b 代入到直线方程y=kx+5k+7=k（x+5）+7即可找出定点（-5,7））、定值问

题（基本思想是函数思想，将要证明或要求解的量表示为某个合适变量（斜率、截距或坐标）的函数，通过适当化简，消去变量即得定值。）、最值或范围问题（基本思想还是函数思想，将要求解的量表示为某个合适变量（斜率、截距或坐标）的函数，利用函数求值域的方法（首先要求变量的范围即定义域—别忘了delt>0，然后运用求值域的各种方法—直接法、换元法、图像法、导数法、均值不等式法（注意验证“=”）等）求出最值（最大、最小），即范围也求出来了）。抽象的证明问题别光用眼睛在那看，得设出里面的未知量，通过设而不求思想证明问题。

选修题说下参数方程与极坐标，各种曲线的参数方程的标准形式要记准，里面谁是参数，以及各量的意义以及参数的几何意义，一般都是先画成直角坐标，变成直角坐标题意就简单了，有的题要用到参数方程里参数的几何意义来解题（注意直线参数方程只有是标准的参数方程才能用t的几何意义，要不会差一个倍数，弦长|AB|=|t1-t2|，|PA||PB|=|t1t2|（注意P点得是你参数方程里前面的（a，b），只有这样联立后的参数t才表示PA、PB）），这时会简单许多。极坐标也是，先化成直角坐标再解题，这样就简单了。