《归纳推理》教案
广东省高中数学青年教师说课比赛评委用稿“归纳推理”教案
广东省高中数学青年教师说课比赛评委用稿“归纳推理”教案一、教学目标：1. 让学生理解归纳推理的定义和特点，能够识别和运用归纳推理解决实际问题。
2. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识，提高学生运用数学知识分析和解决问题的能力。
3. 通过对归纳推理的学习，培养学生勇于探索、合作交流的优良品质。
二、教学内容：1. 归纳推理的定义与特点2. 归纳推理的方法与步骤3. 归纳推理在实际问题中的应用三、教学重难点：1. 归纳推理的定义与特点2. 归纳推理的方法与步骤四、教学方法：1. 情境创设：通过生活实例引发学生对归纳推理的兴趣，培养学生主动探究的欲望。
2. 合作交流：组织学生进行小组讨论，共同探讨归纳推理的方法与步骤，提高学生的合作能力。
3. 实践操作：引导学生运用归纳推理解决实际问题，培养学生的动手操作能力。
4. 引导启发：教师引导学生思考，启发学生发现归纳推理的规律，提高学生的思维能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过一个生活实例，引导学生思考如何从特殊到一般进行推理，引发学生对归纳推理的兴趣。
2. 自主探究：让学生阅读教材，了解归纳推理的定义与特点，分析归纳推理的方法与步骤。
3. 合作交流：组织学生进行小组讨论，共同探讨归纳推理的方法与步骤，分享学习心得。
4. 课堂讲解：教师针对学生的讨论情况进行讲解，引导学生发现归纳推理的规律，总结归纳推理的方法与步骤。
5. 实践操作：布置一道实际问题，让学生运用归纳推理进行解决，培养学生的动手操作能力。
6. 归纳总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调归纳推理在实际问题中的应用。
7. 课后作业：布置一道有关归纳推理的课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 通过课堂讲解、小组讨论和实践操作，评价学生对归纳推理的定义、特点、方法和步骤的理解程度。
2. 观察学生在解决实际问题时运用归纳推理的能力，评价学生的逻辑思维和创新意识。
3. 通过课后作业和学生反馈，了解学生对归纳推理知识的掌握情况，为后续教学提供参考。
《归纳推理》教学设计说明
《归纳推理》教学设计说明教学设计说明：归纳推理教学目标：1.了解归纳推理的概念和基本原理；2.掌握归纳推理的一般过程和方法；3.提高学生的归纳推理能力。
教学重点：1.归纳推理的概念和基本原理；2.归纳推理的一般过程和方法。
教学难点：1.归纳推理的一般过程和方法的灵活运用；2.培养学生的归纳推理能力。
教学准备：1.教材：相关教材和归纳推理相关的例题；2.辅助工具：幻灯片、黑板、粉笔。
教学过程：一、导入（10分钟）1.教师引导学生回顾上节课的内容，复习归纳的基本概念。
2.教师出示一个例题：“红色、蓝色、黄色、绿色，接下来是什么颜色？”学生进行讨论。
3.引导学生从已有的颜色中归纳出下一个颜色是紫色，并提问归纳的依据。
二、概念讲解（15分钟）1.教师对归纳推理的概念进行讲解，包括定义、特点和应用领域等内容。
2.教师通过幻灯片或黑板展示相关知识点，帮助学生理解。
三、一般过程和方法（25分钟）1.教师介绍归纳推理的一般过程和方法，包括观察、归纳、验证等环节。
2.教师通过一个具体的例子，逐步引导学生进行归纳推理的过程和方法。
3.学生根据教师的引导，合作完成一些小组活动，锻炼归纳推理的技能。
四、练习与操练（25分钟）1.教师出示一些归纳推理的例题，并请学生进行练习。
2.学生互相交流和讨论解题思路和方法，互相提出改进意见。
3.教师对学生的练习和操练进行点评和指导，讲解解题思路和方法。
五、巩固与拓展（20分钟）1.教师出示一些较为复杂的归纳推理例题，鼓励学生主动进行思考和推理。
2.学生进行小组讨论和展示，交流不同的思路和方法。
3.教师对学生的表现进行点评，总结归纳推理的一般过程和方法。
六、课堂小结（5分钟）1.教师对本节课的内容进行总结，强调归纳推理的重要性。
2.教师对学生的表现进行肯定和鼓励。
教学反思：归纳推理是培养学生逻辑思维和分析能力的重要方法。
在教学过程中，通过引导学生观察和归纳，帮助他们掌握归纳推理的基本过程和方法。
归纳推理 精品教案
2.1 合情推理与演绎逻辑【课题】：2.1.1 合情推理(1)-------归纳推理【设计与执教者】：广州市第八十七中学袁忠民【内容分析】：归纳是重要的推理方法，在掌握一定的数学基础知识（如数列、立体几何、空间向量等等）后，对数学问题的探究方法加以总结，上升为思想方法。
【教学目标】：（1）知识与技能：1结合数学实例，了解归纳推理的含义2能利用归纳方法进行简单的推理，（2）过程与方法：通过课例，加深对归纳这种思想方法的认识。
（3）情感态度与价值观：体验并认识归纳推理在数学发现中的作用。
【教学重点】：（1）体会并实践归纳推理的探索过程（2）归纳推理的局限【教学难点】：引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：【练习与测试】：（基础题）1）数列2,5,11,20,,47,x…中的x 等于（ ）A．28B．32 C ．33 D ．272）从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。
3)定义,,,A B B C C D D A ****的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A ）、（B ）所对应的运算结果可能是（ ）.（1） （2） （3） （4） （A ） （B ）A.,B D A D **B.,B D A C **C.,B C A D **D.,C D A D **4)有10个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________．5)在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝， 第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形， 第三件首饰如图2， 第四件首饰如图3， 第五件首饰如图4， 以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六变形，依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝，第n 件首饰所用珠宝总数为_________________颗.6)已知n n a n na 11+=+（n=1.2. …）11=a 试归纳这个数列的通项公式 答案：1）B 523,1156,20119,-=-=-=推出2012,32x x -==2）2*1...212...32(21),n n n n n n n N ++++-+++-=-∈ 注意左边共有21n -项 3）B 4）（n-2）3605） 91,1+5+9+…4n+1=2n 2+3n+1 6） a 1=1,a 2=21 a 3=31… a n =n1（中等题）1）观察下列的图形中小正方形的个数，则第n 个图中有 个小正方形.2）-1 ．3 ．-7 ．15 ．( ) ，63 ， ， ， 括号中的数字应为（ ） A.33 B.-31 C.-27 D.-573)设平面内有n 条直线（n ≥ 3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示 n 条直线交点的个数，则 f （4 ）=( ) A.3 B.4 C.5 D.64)顺次计算数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,的前4项,由此猜测123...)1()1(...321++++-++-++++=n n n a n 的结果.答案：1）1+2+3+4+…+(n+1)=)2)(1(21++n n 2）B 正负相间，3＝1+2，7＝3+22，15＝7+23，15+24＝31，31+25＝63 3）C4）依次为，1，22，32，42，所以a n =n 2（难题）1)．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。
《归纳推理》参考教案2-PDF
教学目标 一、知识与技能：了解合情推理的含义，能利用归纳的方法进行简单的推理，结 合实例说明归纳推理的实质、正确性和结构形式 二、过程与方法：从实例中说明合情推理中的归纳推理 三、情感态度和价值观：体会合情推理在数学发现中的作用 教学重点：归纳推理 教学难点：归纳推理的正确性 教学过程 一、引入：对于 n N ， f (n) n2 n 11 是否为质数？ （ f (0) f (1) 11、 f (2) 13 、 f (3) 17 、 f (4) 23 、 f (5) 31 都是质数，由此猜测，
f (n) 为质数）
在这一过程中，由一个判断推导出另外一个判断，称推理；以上是有一些特殊结 论导出一般结论的推理过程，称归纳推理．引入主题：归纳推理 二、新课推进 定义：由特殊到一般的推理称归纳推理 例 1、三角形的内角和是 180 ，凸四边形的内角和是 360 ，凸五边形的内角和 是 540 ，凸六边形的内角和是 720 ，……，由此归纳：凸 n 边形的内角和是 _______________（ (n 2) 180 ） 说明 1：归纳推理的过程是：实验观察→概括推广→猜测一般结论 说明 2：归纳推理的基本模式是：
n
1 nx 2
3、是归纳推理，结论不正确 4、 n 2 ，
n2 n 2 2
四、作业：教材 [补充习题] 1、观察下列式子 1+ 出结论___________ 2、 f ( x)
x 1 x2
1 3 1 1 5 1 1 1 7 < ，1+ 2 + 2 < ，1+ 2 + 2 + 2 < ，…，由此可以得 2 2 2 2 3 2 3 4 4 3
“归纳推理”教学设计.doc
“归纳推理”教学设计吴江市高级中学陈瑛一、教学内容的分析本节课是学生在初中对演绎推理、数学证明、公理化思想、合情推理等已有初步的认识和体会的基础上，系统的学习推理与证明思想的第一课时。
本节课通过已学过的数学和生活中的实例创设问题情境，使学生认识到归纳推理的必要性和重要性，从而提高学生的数学思维能力，帮助学生体会数学与其它学科以及实际生活的联系。
从教材编写的顺序来看，“合情推理-一归纳推理”是苏教版《普通高中课程标准实验教科书•数学•选修2-2中的推理与证明一章中第一节的内容。
推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。
本章要求通过学生结合已学过的数学实例和生活中的实例对合情推理，演绎推理以及数学证明的方法进行概括与总结，体会合情推理，演绎推理以及数学证明在数学结论发现、证明与数学体系建构中的作用。
作为本章的第一节内容合情推理中的归纳推理起到了抛砖石的作用。
从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用和关注人文内涵是新教材的显著特点。
丰富的生活实例以及其它学科中的例子，让学生体会数学和生活的联系，从而用数学的眼光看待生活，体验生活。
体验用归纳推理的思想解决问题，感受归纳推理在数学以及日常生活中的作用，有助于发展学生的数学思维能力，形成理性思维和科学精神。
二、教学方法和教学手段的选择本节课通过创设情境，设置疑问，引导学生探究，师生交流，最终形成概念。
本节课使用多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。
三、教学目标的解析(1)知识目标：结合已经学过的数学实例与生活实例，了解归纳推理在数学发现中的作用，理解归纳推理的含义，掌握归纳推理的思维过程与特点，以及归纳推理的一般模式。
(2)能力目标：培养学生能利用归纳推理的方法进行简单的推理，能够运用归纳推理的方法解决一些数学问题。
(3)情感目标：通过运用归纳推理探索与发现数学结论和思路，培养与发展学生的创新意识与创新能力，感受归纳推理在数学以及日常生活中的作用，有助于发展学生的数学思维能力，形成理性思维和科学精神。
归纳推理教案设计方案模板
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解归纳推理的概念，掌握归纳推理的基本方法。
（2）能够运用归纳推理的方法解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、比较等活动，培养学生的观察能力和分析能力。
（2）通过小组合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对归纳推理的兴趣，培养他们的逻辑思维能力。
（2）引导学生树立科学的态度，提高他们的综合素质。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）理解归纳推理的概念。
（2）掌握归纳推理的基本方法。
2. 教学难点：（1）运用归纳推理的方法解决实际问题。
（2）培养学生的逻辑思维能力。
三、教学过程1. 导入新课（1）通过生活中的实例，引导学生思考归纳推理的概念。
（2）提出问题：什么是归纳推理？归纳推理有什么特点？2. 理解归纳推理的概念（1）讲解归纳推理的定义、基本方法。
（2）通过实例分析，让学生理解归纳推理的运用。
3. 掌握归纳推理的基本方法（1）引导学生分析归纳推理的步骤，包括观察、分析、比较等。
（2）通过小组合作，让学生尝试运用归纳推理的方法解决实际问题。
4. 运用归纳推理解决实际问题（1）提出问题：如何运用归纳推理的方法解决实际问题？（2）让学生结合所学知识，运用归纳推理的方法解决实际问题。
5. 总结与反思（1）引导学生总结归纳推理的概念、基本方法。
（2）让学生反思自己在学习过程中的收获和不足。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、合作能力、表达能力等。
2. 作业完成情况：检查学生对归纳推理概念、基本方法的掌握程度。
3. 实际问题解决能力：评估学生运用归纳推理解决实际问题的能力。
五、教学资源1. 教学课件2. 归纳推理实例3. 小组合作学习资料六、教学反思1. 教师在教学过程中，要注意引导学生积极参与、思考，培养学生的逻辑思维能力。
2. 注重培养学生的团队合作能力，提高他们的沟通能力。
3. 根据学生的学习情况，及时调整教学策略，提高教学质量。
人教课标版高中数学选修1-2：《归纳推理》教案-新版
第二章推理与证明2.1.1 归纳推理一、教学目标1.核心素养通过对归纳推理的学习，使学生能够进行简单的归纳推理，培养学生的逻辑思维能力.2.学习目标(1)通过生活与数学实例使学生初步理解什么是归纳推理.(2)通过例题的讲解与练习的训练，使学生初步掌握归纳推理的方法与技巧，加强学生对归纳推理的理性认识.(3)通过本节课的学习，使学生能在今后的学习及日常生活中有意识地使用它们，以培养言之有理，论证有据的习惯.3.学习重点了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理.4.学习难点用归纳进行推理并作出猜想.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1预习教材P22—P29思考：什么是推理？任务2什么是归纳推理？归纳推理有何特点？以前遇到过这类推理吗？2.预习自测1.下列关于归纳推理的说法中错误的是（）A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有偶然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能解：A2.下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排列起来，那么第36颗珠子的颜色是（）○○○●●○○○●●○○○●●○○……A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大解：A3.由数列1,10,100,1000，…猜测该数列的第n项可能是（）A.10nB.10n－1C.10n＋1D.11n解：B4.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（）解：A观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形.答案为A.5.在平面直角坐标系内，方程xa＋yb＝1表示在x轴，y轴上的截距分别为a和b的直线，拓展到空间，在x轴，y轴，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为（）A.xa＋yb＋zc＝1B.xab＋ybc＋zca＝1C.xyab＋yzbc＋zxca＝1D.ax＋by＋cz＝1 答案：A解析：从方程xa＋yb＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是xa＋yb＋zc＝1.答案为A （二）课堂设计 1.知识回顾(1) 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.(2) 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数n ，任何形如221nn F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，推翻费马猜想.(3) 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明. 2.问题探究问题探究一 什么是推理？推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.（1）由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ 所有的金属都能导电.（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？ 所有的三角形内角和180度.（3）观察等式：2221342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样的结论？ 问题探究二 归纳推理的含义 ●活动一 什么是归纳推理？由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概栝出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10●活动二 归纳推理的特点 由部分到整体，由特殊到一般 ●活动三 归纳推理的作用①发现新事实,获得新结论;②提供解决问题的思路和方向. ●活动四 如何进行归纳推理一般步骤：首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；最后，对所得出的一般性的命题进行检验.问题探究三 利用归纳推理可以解决哪些问题？ ● 活动一 运用归纳推理解决数列的问题例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝23 ，且S n ＋1S n ＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 详解 当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43，所以S 2＝－34；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，所以S 3＝－45；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，所以S 4＝－56.猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N *.点拔：归纳推理的一般步骤：归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想). ●活动二 运用归纳推理解决图表的问题例2.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，求第n 行(n ≥3)从左向右数第3个数.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 详解：前(n －1)行共有正整数[1＋2＋…＋(n －1)]个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62. 例3.(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A.26B.31C.32D.36(2)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明】 详解： (1)选B 法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 1 2 3 … 个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 答案为：(1)B (2)28点拔：解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手： (1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系.(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化.●活动二 运用归纳推理解决函数与数列相结合的问题 例4 设2()41,f n n n n N +=++∈，(1),(2),(3),(4),...,(10)f f f f f 计算的值，同时作出归纳推理，并用n =40验证猜想是否正确.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，数列的函数概念及表示法，猜想与证明】 详解：2(1)114143,f =++= 2(2)224147,f =++= 2(3)334153,f =++= 2(4)414161,f =++= 2(5)554171,f =++= 2(6)664183,f =++= 2(7)774197,f =++= 2(8)8841113,f =++= 2(9)9941131,f =++= 2(10)101041151,f =++= 43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都是质数. 当n 取任何正整数时，2()41f n n n =++的值都是质数.因为当n =40时，2(40)4040414141,f =++=⨯所以f (40)是合数.因此，上面由归纳推理的得到的猜想不正确.点拔：1.①统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ ②归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段） ③归纳推理的结果是否正确？（不一定）2.所谓归纳推理，就是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）.归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理.3.课堂总结 【知识梳理】归纳法是对观察、实验和调查所得的个别事实，概括出一般原理的一种思维方式和推理形式，其主要环节是归纳推理.归纳推理可以分为三种方式：完全归纳法，简单枚举法，判明因果联系的归纳法. 【难点突破】归纳法的主要作用在于：1、科学试验的指导方法：为了寻找因果关系而利用归纳法安排可重复性的试验.2、整理经验材料的方法：归纳法从材料中找出普遍性或共性，从而总结出定律和公式.归纳法的优点在于判明因果联系，然后以因果规律作为逻辑推理的客观依据，并且以观察、试验和调查为手段，所以结论一般是可靠的.归纳法也有其局限性，它只涉及线性的，简单的和确定性的因果联系，而对非线性因果联系，双向因果联系以及随机性因果联系等复杂的问题，归纳法就显得无能为力了.归纳法是一种或然性推理方法，不可能做到完全归纳，总有许多对象没有包含在内，因此，结论不一定可靠.4.随堂检测1.n个连续自然数按规律排列如下：根据规律，从2010到2012，箭头的方向依次是（）A.↓→B.→↑C.↑→D.→↓【知识点：归纳推理，猜想与证明】解:C观察特例的规律知：位置相同的数字是以4为公差的等差数列，由11到1012可知从2010到2012为↑→.故答案为C.2.已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式为（）A.n2－1B.n2－2n＋2C.2n－1D.2n－1＋1【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】解：C∵a1＝1，a n＝2a n－1＋1，∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，归纳猜想知a n＝2n－1，即答案为C.3.观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（ ） 【知识点：归纳推理，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 A.n n －4＋8－n (8－n)－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2C.n n －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2解：A 观察等式知，左边分子之和等于8，分母之和等于0，右边都是2，只有选项A 适合.答案为A4.顺次计算数列：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…的前4项的值，由此猜测：n a ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1的结果为________. 【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：2n a 1＝1＝12，a 2＝1＋2＋1＝4＝22， a 3＝1＋2＋3＋2＋1＝9＝32， a 4＝1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…………………………………………………………， 由此可以猜想a n ＝n 2. 答案：n 25.由三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内角和是540°＝3×180°，归纳出结论：______________________________________________________. 【知识点：归纳推理，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解 凸n 边形的内角和是(n －2)×180°(n ≥3) （三）课后作业 基础型 自主突破 1.观察下列等式：231111222⨯=-⨯； 2231411112223232⨯+⨯=-⨯⨯⨯； 2333141511112223234242⨯+⨯+⨯=-⨯⨯⨯⨯；……………………………………………由以上等式推测到一个一般结论为________________________________. 【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：233141512111122232342(1)242n nn n n +⨯+⨯+⨯+⋯+⨯=-⨯⨯⨯⨯+⨯ 2.观察①223sin 6cos 36sin 6cos364︒+︒+︒︒=； ②223sin 10cos 40sin10cos 404︒+︒+︒︒=；③223sin 43cos 73sin 43cos 734︒+︒+︒︒=；以上等式的结构特点可提出一个猜想的等式为_________________________. 【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：223sin cos (30)sin cos(30)4αααα+︒++︒+=3.观察下列等式：1a b +=；223a b +=；334a b +=；447a b +=；5511a b +=；…；则88a b += .【知识点：归纳推理】解：47 1+3=4，3+4=7，4+7=11，7+11=18，11+18=29，18+29=474.图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在如图所示的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，请猜想着色三角形的个数的通项公式_______.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：13n - 前4个数依次为01233,3,3,3，猜想即可 能力型 师生共研 5. 观察下列等式：22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯；2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯；2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；………………………………………………… 照此规律：2222π2π3π2π(sin)(sin )(sin )(sin )21212121n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++ . 【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：4(1)3n n +6.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种“多边形数”.如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+.记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥.以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数：()211,322N n n n =+； 正方形数：()2,4N n n =； 五边形数：()231,522N n n n =-； 六边形数：()2,62N n n n =-； ……………………………………可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N =_________.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，数列的函数概念及表示法，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：1000()22113243,32222N n n n n n --=+=+， ()224244,422N n n n n --==+，()22315245,52222N n n n n n --=-=+()226246,6222N n n n n n --=-=+由此归纳推理可得()224,22k kN n k n n --=+()224242410,241010100022N --=⨯+⨯= 7.埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其它分数都可以写成若干个单分数和的形式.例如2115315=+，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12不够，每人13，余13，再将这分成5份，每人得115，这样每人分得11315+.形如2(5,7,9,11n n =⋯）的分数的分解：2115315=+，2117428=+，. 2119545=+，… 按此规律，211= ； 2n= (5,7,9,11n =⋯） . 【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：()11111166622n n n ++++；（1）假定有两个面包，要平均分给11个人，每人15不够，每人16，则余16，再将这16分成11份，每人得166，这样每人分得11666+，故21111666=+；（2）假定有两个面包，要平均分给n 个人，每人112n -不够，每人分112n +，则余112n +，再将这112n +分成n 份，则每人得1(1)2n n +，这样每人分得()111122n n n +++，因此本题的答案是：()11111166622n n n ++++；8.如图：点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ，*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N .(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则 A.{}n S 是等差数列 B.{}2n S 是等差数列 C.{}n d 是等差数列 D.{}2n d 是等差数列【知识点：归纳推理，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：An S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度一半，即112n n n n S h B B +=，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，过1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么11tan n n n h h A A θ+=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(tan )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅，111111(tan )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅，作差后：1111(tan )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，都为定值，所以1n n S S +-为定值.故选A.9.平面内两条直线最多有1个交点，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，…，n 条直线两两相交最多有_________个交点.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：(1)2n n + 两条直线最多有1212⨯=个交点，3条直线两两相交最多有2332⨯=个交点，4条直线两两相交最多有3462⨯=个交点，…，n 条直线两两相交最多有(1)2n n +个交点 10.设数列{}n a 的前项n 和是n S ,数列{}n S 的前n 项之积是n T ,且1n n S T +=,则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最接近2019的项是（ ）【知识点：归纳推理，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 A.第43项 B.第44项 C.第45项D.第46项解：B 当1n =时，111S T +=，即112S =；当2n =时，222121S T S S S +=+=，即223S =；当3n =时，3331231S T S S S S +=+=，即334S =；…………………………猜想1n nS n =+.所以1111(1)n n n n n a S S n n n n --=-=-=++，1(1)nn n a =+，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最接近2019的项是 44144451980a =⨯= 探究型 多维突破11.设a n 是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ≥1，n ∈N )，试归纳出这个数列的一个通项公式.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，数列的函数概念及表示法；数学思想：推理论证】解：当n ＝1时，a 1＝1，且2a 22－a 21＋a 2·a 1＝0， 即2a 22＋a 2－1＝0解得a 2＝12；当n ＝2时，由3a 23－2(12)2＋12a 3＝0，即6a 23＋a 3－1＝0，解得a 3＝13，…由此猜想：a n ＝1n .12.已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32，通过观察上述等式的规律，请写出一般性的命题：________________＝32(*)，并给出(*)式的证明. 【知识点：归纳推理，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：一般式为：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明如下：左边＝1－cos2α2＋1－cos(2α＋120°)2＋1－cos(2α＋240°)2＝32－12[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]＝32－12(cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°) ＝32－12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos2α－12cos2α－32sin2α－12cos2α＋32sin2α＝32＝右边，所以sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32成立.13.已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1，2，…)，试归纳出这个数列的通项公式.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，数列的函数概念及表示法，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：当n ＝1时，a 1＝1 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12；当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13；当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14.观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为：a n ＝1n (n ＝1，2，…). （四）自助餐1.数列23716，，，，57x ⋯，，中的x 等于( ) A.28 B.27 C.33 D.32【知识点：归纳推理，猜想与证明】解：D 2223211,7342,16793-==-==-==，∴2164x -=，32x =2.黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第五个图案中有白色地面砖（ ）块.A.21B.21C.22D.23【知识点：归纳推理，猜想与证明】解：C 白色地面砖的数量依次为6，10，14，18，223.已知21111()12f n n n n n=+++⋯+++则( ) A.()f n 中共有n 项，当2n =时，11(2)23f =+B.()f n 中共有1n +项，当2n =时，111(2)234f =++C.()f n 中共有2n n -项，当2n =时，11(2)23f =+D.()f n 中共有21n n -+项，当2n =时，111(2)234f =++【知识点：归纳推理，数列的通项公式，数列的函数概念及表示法，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：D4.观察下列几个三角恒等式：①tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101︒︒+︒︒+︒︒=； ②()()tan5tan100tan100tan 15tan 15tan51︒︒+︒-︒+-︒︒=； ③tan13tan 35tan 35tan 42tan 42tan131︒︒+︒︒+︒︒=一般地，若tan ,tan ,tan αβγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为____________________________________ .【知识点：归纳推理，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：90tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=︒++=当时，5.已知数列：12132143211121231234⋯，，，，，，，，，，，依它的前10项的规律推出这个数列的第2019项是________. 解：623根据前10 项的规律可以知道，分子按1；2，1；3，2，1；4，3，2，1，…，的规律排列.分母按1；1，2；1，2，3；1，2，3，4；…，的规律排列，出这个数列的第2019项出现在第64组中第3个数，即为623. 【知识点：归纳推理，猜想与证明】6.若凸k 边形的内角和为()f k ，则凸1k +边形的内角和(1)f k +*(3,)k k N ≥∈等于( )A.()2f k π+B.()f k π+C.3()2f k π+D.()2f k π+【知识点：归纳推理，递推数列，数列的函数概念及表示法，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】解：B 凸1k +边形的内角和比凸k 边形的内角和多出一个三角形的内角和，又三角形的内角和为π，故(1)()f k f k π+=+.7.已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3，猜想a n ＝________. 解：n 2 计算得a 2＝4，a 3＝9，所以猜想a n ＝n 2.答案为n 2 8. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴的根数为（ ） A.6n －2 B.8n －2 C.6n ＋2 D.8n ＋2【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】解：C 从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n ＋2.答案为C9.观察下列各式：1＝12 ，2＋3＋4＝32,，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论 ( )A.n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝n 2B.n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2C.n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝n 2D.n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)2【知识点：归纳推理，数列的通项公式；数学思想：特殊到一般】解：B 观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n －1(n ∈N *)项的和，其首项为n ，右边是项数的平方，故第n 个等式首项为n ，共有2n －1项，右边是(2n －1)2， 即n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2. 答案为B10.在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形中不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形中1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中有不等式：________成立. 【知识点：归纳推理，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】解：1A 1＋1A 2＋1A 3＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π 不等式的左边是n 个内角倒数的和，右边分子是n 2，分母是(n －2)π，故在n 边形A 1A 2…A n 中有不等式1A 1＋1A 2＋1A 3＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π成立.答案为1A 1＋1A2＋1A 3＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π11.在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·B C.拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为________. 【知识点：归纳推理，猜想与证明】解：S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DB C .答案为S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC12.把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是（ ）A.27B.28C.29D.30【知识点：归纳推理，猜想与证明】解：B 后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上2,3,4,5，…，故第七个三角形数为21＋7＝28.答案：B13.(2015·陕西文)观察下列等式 1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 …………………………………… 据此规律，第n 个等式可为________.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 等式左侧规律明显，右侧是后几个自然数的倒数和，再注意到左右两侧项数关系求得. 答案：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 14.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1、S 2、S 3、S 4，并猜想S n 的表达式.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53；∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N *).15.若a 1、a 2∈R ＋，则有不等式a 21＋a 222≥⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋a 222成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广.【知识点：归纳推理，猜想与证明】解：本例可以从a 1、a 2的个数以及指数上进行推广.第一类型：a 21＋a 22＋a 233≥(a 1＋a 2＋a 33)2，a 21＋a 22＋a 23＋a 244≥(a 1＋a 2＋a 3＋a 44)2，…，a 21＋a 22＋…＋a 2n n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)2；第二类型：a 31＋a 322≥(a 1＋a 22)3，a 41＋a 422≥(a 1＋a 22)4，…，a n1＋a n 22≥(a 1＋a 22)n ；第三类型：a 31＋a 32＋a 333≥(a 1＋a 2＋a 33)3，…，a m 1＋a m 2＋……＋a mnn ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)m .上述a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，m 、n ∈N *.16.(1)如图所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面分成了多少个区域？顶点数边数 区域数 a b c d(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？(3)现已知某个平面图形有1006个顶点，且围成了1006个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明】 解：(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为：顶点数 边数 区域数 a 3 3 2 b 8 12 6 c 6 9 5 d10157(2)观察：3＋2－3＝2；8＋6－12＝2；6＋5－9＝2；10＋7－15＝2.通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.(3)由已知V＝1006，F＝1006，代入(2)中关系式，得E＝2010.故这个平面图形有2010条边.。
归纳推理教案
归纳推理的教案一．教学内容归纳推理本节课选自人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书A版数学选修1-2，第二章第一节。
归纳推理是“推理与证明”一章中的重要组成部分，作为新课标的新增内容，其目的在于使学生进一步学会数学的学习和思考方式。
归纳推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法的作用，对其系统的学习有利于培养和发展学生的逻辑思维能力和创新意识，体会归纳推理在数学发现中的作用，养成言之有理、论之有据的习惯。
二．教学目标1.知识与技能引导学生理解归纳推理的含义和方法，并能运用归纳推理解决实际问题。
2.过程与方法案例分析和自主探究式学习是本节教学的主要方法，以具体实例分析作为教学的出发点，通过探究式学习，启发学生自主学习和探究的意识，让学生通过对数学活动本身的考察，体验归纳推理被抽象出来的过程，并灵活的运用到数学活动中去。
3.情感、态度与价值观通过对归纳推理的自主探究学习，使学生认识到数学不单是现成结论的体系，更重要的是结论的发现过程，使学生体会到数学的人文价值和数学学习的美感。
三．教学重点与难点1.教学重点了解归纳推理的含义，以及方法的总结。
2.教学难点归纳推理的具体应用。
四．教学方法与教学手段1.教学方法：探究式教学，案例分析教学，启发式讲解2.教学手段：多媒体辅助教学五．教学设计说明归纳推理的教学设计主要考虑到为学生考察和理解数学活动的过程提供条件，因此在教学过程中充分的利用了案例教学的形式，启发学生自主探究学习，具体设计思路如下：六．教学过程（一）创设情境——提出问题 1.引入有一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。
印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地创设情境 提出问题解释内涵 理解概念例题解析 巩固新知作业设置 实践掌握归纳小结 反思提高设计意图：基于学生对归纳推理的审视和体验，教师引进集合的形式对归纳推理这一方法加以解释，使学生体验这一推理方法的特征和作用，为灵活运用归纳推理做铺垫。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题：归纳推理
教学目标：
1.了解合情推理的含义；理解归纳推理的概念，能利用归纳的方法进行一些简单的推理.
2.培养学生的归纳探索能力，提高学生的创新意识.
3.培养学生勇于创新而又不失严谨的思维习惯和在探索真理时锲而不舍的钻研精神.
重点与难点：
本节课的教学重点是归纳推理的概念理解和应用；教学难点是提高学生从特殊到一般的归纳能力. 教学方式：
本节课采用的是启发式教学，综合使用了讲授、问答、活动等多种教学方式.
教学工具：
多媒体、圆纸片、硬币.
教学过程：
222
2333
3n n =个2
个3
.
*41,N n n ++∈，计算
)10(,),f 的值，并归纳一般性结论。