《分式方程》教学设计-03

《分式方程》教学设计
教学目标：
（一）教学知识点
1.解分式方程的一般步骤.
2.了解解分式方程验根的必要性.
（二）能力训练要求
1.通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤.
2.使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径.
（三）情感与价值观要求
1.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度.
2.运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信.
教学重点：
1.解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决.
2.明确解分式方程验根的必要性.
教学难点：
明确分式方程验根的必要性.
教学方法：
探索发现法
学生在教师的引导下，探索分式方程是如何转化为整式方程，并发现解分式方程验根的必要性.
教具准备：
投影片四张
第一张：例1、例2，（记作§3.4.2 A）
第二张：议一议，（记作§3.4.2 B）
第三张：想一想，（记作§3.4.2 C ）
第四张：补充练习，（记作§3.4.2 D ）.
教学过程：
Ⅰ.提出问题，引入新课
［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程.但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程.
这节课，我们就来学习分式方程的解法.我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法. 解方程2
13-x +325+x =2－624-x ［师生共解］（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得
3（3x －1）+2（5x +2）=6×2－（4x －2）.
（2）去括号，得9x －3+10x +4=12－4x +2,
（3）移项，得9x +10x +4x =12+2+3－4,
（4）合并同类项，得23x =13,
（5）使x 的系数化为1，两边同除以23，x =
2313. Ⅱ.讲解新课，探索分式方程的解法
［师］刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤.下面我们来看一个分式方程.（出示投影片§
［生］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？
［师］同学们说他的想法可取吗？
［生］可取.
［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？
［生］乘以分式方程中所有分母的公分母.
［生］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘以分母的最小公倍数，比较简单.解分式方程时，我认为方程两边同乘以分母的最简公分母，去分母也比较简单.
［师］我觉得这两位同学的想法都非常好.那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？
［生］x （x －2）.
［师生共析］方程两边同乘以x （x －2）,得x （x －2）·
21-x =x （x －2）·x 3, 化简，得x =3（x －2）. （2）
我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程，而且是我们曾学过的一元一次方程. ［生］再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出x .即x =3x －6（去括号）
2x =6（移项，合并同类项）.
x =3（x 的系数化为1）.
［师］x =3是方程（2）的解吗？是方程（1）的解吗？为什么？同学们可以在小组内讨论. （教师可参与到学生的讨论中，倾听学生的说法）
［生］x =3是由一元一次方程x =3（x －2） （2）解出来的，x =3一定是方程（2）的解.但是不是原分式方程（1）的解，需要检验.把x =3代入方程（1）的左边=
231-=1，右边=33=1，左边=右边，所以x =3是方程（1）的解.
［师］同学们表现得都很棒！相信同学们也能用同样的方法解出例2.
［例2］解方程：x 300－x
2480=4 （由学生在练习本上试着完成，然后再共同解答）
解：方程两边同乘以2x ，得
600－480=8x
解这个方程，得x =15
检验：将x =15代入原方程，得
左边=4，右边=4，左边=右边,所以x =15是原方程的根.
［师］很好！同学们现在不仅解出了分式方程的解，还有了检验结果的好习惯.
（可让学生在练习本上完成，发现有和小亮同样解法的同学，可用实物投影仪显示他的解法，并一块分析）
［师］我们来看小亮同学的解法：32--x x =x
-31－2 解：方程两边同乘以x －3,得2－x =－1－2（x －3）
解这个方程，得x =3.
［生］小亮解完没检验x =3是不是原方程的解.
［师］检验的结果如何呢？
［生］把x =3代入原方程中，使方程的分母x －3和3－x 都为零，即x =3时，方程中的分式无意义，因此x =3不是原方程的根.
［师］它是去分母后得到的整式方程的根吗？
［生］x =3是去分母后的整式方程的根. ［师］为什么x =3是整式方程的根，它使得最简公分母为零，而不是原分式方程的根呢？同学们可在小组内讨论.
（教师可参与到学生的讨论中，倾听同学们的想法）
［生］在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程.如果整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘以零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了.
［师］很好！分析得很透彻，我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根. 在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根.那么，是不是就不要这样解？或采用什么方法补救？
［生］还是要把分式方程转化成整式方程来解.解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解.
［师］怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗？
［生］不用，产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的.因此最简单的检验方法是：把整式方程的根代入最简公分母.若使最简公分母为零，则是原方程的增根；若使最简公分母不为零，则是原方程的根.是增根，必舍去.
［师］在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质，解出的根都应是原方程的根.但在解分式方程时，解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验.小亮就犯了没有检验的错误.
Ⅲ.应用，升华 1.解方程：
（1）13-x =x 4;（2）1210-x +x
215-=2. ［分析］先总结解分式方程的几个步骤，然后解题. 解：（1）
13-x =x 4 去分母，方程两边同乘以x （x －1），得
3x =4（x －1）
解这个方程，得x =4
检验：把x =4代入x （x －1）=4×3=12≠0，
所以原方程的根为x =4.
（2）1210-x +x
215-=2 去分母，方程两边同乘以（2x －1），得
10－5=2（2x －1）
解这个方程，得x =
4
7 检验：把x =47代入原方程分母2x －1=2×47－1=25≠0. 所以原方程的根为x =4
7. 2.回顾，总结
［师］同学们可根据例题和练习题的步骤，讨论总结.
［生］解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去.使最简公分母不为零的根才是原方程的根.
3.补充练习
出示投影片（§3.4.2 D ）
［分析］强调解分式方程的三个步骤：一去分母；二解整式方程；三验根.
解：（1）去分母，方程两边同时乘以x （x +3000）,得9000（x +3000）=15000x
解这个整式方程，得x =4500
检验：把x =4500代入x （x +3000）≠0.
所以原方程的根为4500
（2）x h 2=x
a a -（a ,h 是常数且都大于零） 去分母，方程两边同乘以2x （a －x ），得
h （a －x ）=2ax
解整式方程，得x =
h
a ah +2（2a +h ≠0） 检验：把x =
h a ah +2代入原方程中，最简公分母2x （a －x ）≠0，所以原方程的根为 x =h a ah +2. Ⅳ.课时小结
［师］同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小.
［生］我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可. ［生］我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根.
［生］我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”，必须经过检验，反思“转化”过程. ……
Ⅴ.课后作业
习题3.7
Ⅵ.活动与探究
若关于x 的方程31--x x =9
32-x m 有增根，则m 的值是____________. ［过程］首先增根是分式方程转化为整式方程时整式方程的根，但却使最简公分母为零.
［结果］关于x 的方程31--x x =9
32-x m 有增根，则此增根必使3x －9=3（x －3）=0，所以增根为x =3.去分母，方程两边同乘以3（x －3），得3（x －1）=m 2.
根据题意，得x =3是上面整式方程的根，
所以3（3－1）=m 2,则m =±6.。