最新上海市控江中学高二上学期期末数学试题(解析版)

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上海市高二上学期期末数学试题(解析版)

一、填空题1．若（），则______．22311n n n C C C --=+*n ∈N n =【答案】5【分析】结合组合数的性质即可求解.【详解】由，所以，111m m m n n n C C C ---=+23n n C C =又因为，所以，所以，即，m n m n n C C -=22n n n C C -=23n -=5n =故答案为：5.2．总体是由编号为的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法01,02,,29,30 是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________.7816157208026315021643199714019832049234493682003623486969387181【答案】19【分析】根据随机数表选取编号的方法求解即可.【详解】随机数表第1行的第5列和第6列数字为15，则选取的5个个体依次为：15，，故选出来的第5个个体的编号为19.08,02,16,19故答案为:19.3．已知所在平面外一点，且两两垂直，则点在平面内的射影应为ABC :P ,,PA PB PC P ABC 的___________心.ABC :【答案】垂【分析】设点在平面内的射影为，由已知可证明，，根据线面垂直的P ABC 1P 1PP BC ⊥PA BC ⊥判定以及性质可得.同理可得，，即可得出答案. 1BC AP ⊥1AC BP ⊥1AB CP ⊥【详解】设点在平面内的射影为，则平面. P ABC 1P 1PP ⊥ABC 又平面，所以.BC ⊂ABC 1PP BC ⊥因为，，，平面，平面， PA PB ⊥PA PC ⊥PB PC P ⋂=PB ⊂PBC PC ⊂PBC 所以平面.又平面，所以.PA ⊥PBC BC ⊂PBC PA BC ⊥因为，平面，平面，所以平面. 1PA PP P =I PA ⊂1PAP 1PP ⊂1PAP BC ⊥1PAP 又平面，所以. 1AP ⊂1PAP 1BC AP⊥同理可证，，，所以是的垂心. 1AC BP ⊥1AB CP ⊥1PABC :所以，点在平面内的射影应为的垂心. P ABC ABC :故答案为：垂.4．某校要从高一、高二、高三共2023名学生中选取50名组成志愿团，若先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，再从剩下的2000名学生中按分层随机抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性___________. 【答案】502023【分析】应用随机抽样定义,每各个体被抽到的概率相等求解即可.【详解】先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，每各个体被抽到的概率相等，再从剩下的2000名学生中按分层随机抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性为 502023故答案为:5020235．在的二项展开式中，项的系数是___________.92x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭3x 【答案】672-【分析】由二项式的通项公式即可求解.【详解】二项式的通项为，92x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭9992192((C 2C )r r r r rr r T x x x --+-==-令，得，923r -=3r =所以项的系数是.3x 339(2)C 672-=-故答案为：.672-6．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________. 2π【答案】1【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面展开后，扇形弧长公式和面积公式进行求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，则，解得：，又21π2π2l =2l =2ππ2πr l ==，解得：. 1r =故答案为：17．如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面ABC 111ABC A B C -AB BC ⊥1AB BC BB ==11A B C 所成的二面角的大小为_____.【答案】4π【分析】通过题意易得直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1即为正方体的一半，直接得出答案．【详解】根据题意，易得直三棱柱1即为正方体的一半，111ABC A B C -所求即为平面与平面所成的二面角，即为，∴11A B C 111A B C 11C B C ∠又△为等腰直角三角形，，11B C C 114C B C π∴∠=故答案为.4π【点睛】本题考查二面角的求法，发现“直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1即为正方体的一半”是解决本题的关键，属于中档题．8．有一道路网如图所示，通过这一路网从A 点出发不经过C 、D 点到达B 点的最短路径有___________种.【答案】24【分析】根据已知，要想避开C 、D 点，需分步考虑.得到每一步的方法种类，用分步计数原理乘起来即可得出答案.【详解】如图，由已知可得，应从点，先到点，再到点，最后经点到点即可.A E F GB 第一步：由点到点，最短路径为4步，最短路径方法种类为；A E 1343C C 4⋅=第二步：由点到点，最短路径为3步，最短路径方法种类为；E F 1232C C 3⋅=第三步：由点经点到点，最短路径为3步，最短路径方法种类为. F G B 111121C C C 2⋅⋅=根据分步计数原理可得，最短路径有种. 43224⨯⨯=故答案为：24.9．从本市某高中全体高二学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，并以，，，，为分组作出频率分布直方图，后来茎叶图受到了污[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100损，可见部分信息如图，则a 的值为___________.【答案】0.02【分析】根据频率分布图可得组内有2个数据.结合茎叶图和频率分布直方图可知样本容量[]90,100，即可得出组内的数据有4个，进而求出a 的值.20n =[)80,90【详解】由频率分布直方图可得，组内数据的频率等于组内数据的频率，所以[]90,100[)50,60组内有2个数据.[]90,100设样本容量为，则，所以. n 20.0110n=⨯20n =所以组内的数据有，所以组内数据的频率等于，所以[)80,902025724----=[)80,9040.220=. 0.20.0210a ==故答案为：.0.0210．如图，四边形为梯形，，，图中阴影部分绕旋转一周所形成的ABCD //AD BC 90ABC ∠=︒AB 几何体的体积为_________【答案】． 683π【分析】由题意知：旋转所得几何体为一个圆台，从上面挖去一个半球；利用球体、圆台的体积公式求几何体体积.【详解】由题意知，所求旋转体是一个圆台，从上面挖去一个半球；圆台的上底面面积，14S π=下底面面积，216S π=∴圆台的体积为，()114163283V πππ=⨯⨯=又半球的体积为， 3214162233V ππ=⨯⨯⨯=故旋转体的体积为． 1216682833V V πππ-=-=故答案为：． 683π11．斐波那契数列是由13世纪意大利斐波那契提出的，它的通项公式为：，若，则数列通项公式为*,N n nn a n ⎤⎥=-∈⎥⎦1212C C C nn n n n n S a a a =+++ {}n S ___________.*,N n nn ⎤⎥-∈⎥⎦【分析】根据已知数列的通项公式,结合二项式定理,计算可得.n S 【详解】因为, *,N n nn a n ⎤⎥=-∈⎥⎦又因为22121212C C CC C Cnn n n n nn nnn n nS a a a=+++⎤⎤⎤⎥⎥--+-⎥⎥⎥⎥⎦⎦⎦212122C C C C Cnnn n n n n⎤⎤⎤⎤⎤⎥⎥⎥=+⎥⎥-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎦⎦⎦⎦121222C C C C C Cn nn nn n n n n n⎤⎤⎥⎥=++++⎥⎥+⎦+⎦0202 012012C+C C C C+C Cnnn n n n n n n⎤⎥=+++++⎥⎦11n n⎤⎤=++⎥⎥⎥⎥⎦⎦n n⎤⎥=-⎥⎦故答案为:n n⎤⎥⎥⎦-12．在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点11111ABCD A B C D-,F P1AC1111DCBA G为线段的中点，则周长的最小值为___________.1B C PGF:【答案】##43113【分析】若取得最小值，则在线段上，将平面绕旋转到与共面的情况，PF P11A C11AAC1AC1ABC可知过作于点，结合三角形三边关系可知的最小值为，可知所求三G11GP A C'⊥P'PF FG+P G'角形周长最小值为；利用二倍角公式可求得，在可求得，由此可得2P G'11sin AC B∠1Rt GP C':P G'结果.【详解】若取得最小值，则平面，又在平面上的投影为，PF PF ⊥1111D C B A 1AC 1111D C B A 11A C 在线段上，P ∴11A C 将平面绕旋转到与共面的情况，如图所示，11AAC 1AC 1ABC过作于点，交于点，G 11GP A C '⊥P '1AC F '（当且仅当重合，重合时取等号）， PF FG PG P G '∴+≥≥,F F ',P P '，， 1AB = 1BC =1AC =1GC =在中，∴1Rt ABC :1sin AC B ∠=1cos AC B ∠=11111sin sin 22sin cos A C B AC B AC B AC B ∴∠=∠=∠∠=则在中，， 1Rt GP C ':1112sin 3P G GC A C B '=∠==的周长.PGF ∴:423PG PF FG P G '++≥=故答案为：. 43【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中到定点和到动点的距离和的最值问题的求解，解题关键是能够通过旋转平面将立体几何中距离之和的问题，转化为平面几何中的距离之和的问题，进而结合三角形三边关系确定最值取得的情况.二、单选题13．设M ，N 为两个随机事件，如果M ，N 为互斥事件，那么（） A ．是必然事件 B ．是必然事件 M N ⋃M N ⋃C ．与一定为互斥事件 D ．与一定不为互斥事件M N M N 【答案】A【分析】根据对立事件和互斥事件的定义，再借助维恩图即可求解. 【详解】因为M ，N 为互斥事件，则有以下两种情况，如图所示（第一种情况）（第二种情况）无论哪种情况，均是必然事件．故A 正确．如果是第一种情况，不是必然事件，故M N ⋃M N ⋃B 不正确，如果是第一种情况，与不一定为互斥事件，故C 不正确，如果是第二种情况，M N M 与一定为互斥事件，故D 不正确. N 故选：A.14．已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足αβγ、、a b c 、、,,a b c αβγ⊆⊆⊆a b c 、、以下哪种关系 A ．两两垂直 B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【答案】B【分析】通过假设，可得平行于的交线，由此可得与交线相交或异面，由此不可能//a b ,a b ,αβc 存在，可得正确结果.////a b c 【详解】设，且与均不重合l αβ= l ,a b假设：，由可得：， ////a b c //a b //a β//b α又，可知， l αβ= //a l //b l 又，可得：////a b c //c l 因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面 ,,αβγl γl c 若与或重合，同理可得与相交或异面 l a b l c 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行本题正确选项：B 【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.15．某种疾病可分为两种类型：第一类占70%，可由药物治疗，其每一次疗程的成功率为70%，A 且每一次疗程的成功与否相互独立；其余为第二类，药物治疗方式完全无效.在不知道患者所患A 此疾病的类型，且用药物第一次疗程失败的情况下，进行第二次疗程成功的概率最接近下列哪一A 个选项（） A ．0.25 B ．0.3 C ．0.35 D ．0.4【答案】B【分析】分别写出两次疗程概率,再应用独立事件概率是概率的积, 计算即可. 【详解】用药物A 第一次疗程失败的概率为0.70.3+0.3=0.51⨯用药物A 第一次疗程失败第二次疗程成功的概率为 0.70.30.7=0.3×0.49⨯⨯所以药物A 第一次疗程失败的情况下，进行第二次疗程成功的概率为，0.30.49490.30.290.5151⨯=⨯≈ 故选:B .16．已知随机变量，，，，记，其中，()2,B n p ξ:*n ∈N 2n ≥01p <<()()f t P t ξ==t ∈N 2t n ≤，现有如下命题：①；②若，则，下列判断正确的是011(2)(21)2nnt t f t f t ==<<-∑∑6np =()()12f t f ≤（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题【答案】D【分析】根据已知得出.取，根据二项式定理求出奇数项和偶数项()()22C 1n tt t n f t p p -=⋅⋅-12p =和，即可判断命题①真假；先利用分布列的表达式得出，判断()()()()()()1211111f t n p t f t t p ++-+=++-()f t的增减性.讨论是否为整数，得出最大项.最后根据已知，即可判断命题②真假. ()21n p +【详解】由已知可得，.()()()22C 1n tt t n f t P t p p ξ-===⋅⋅-对于命题①，当时，. 12p =()()2222111C 1C 222tn tnt t n n f t P t ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅⋅-=⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为， ()()0221321222222C C C C C C n n n n n n n n -+++++++L L ()2012212222222C C C C C 112nn nn n n n n n -=+++++=+=L ()()221321222222CC C C C C n n nn n n n n -+++-+++L L ，所以()()()()()()0122122012212222221C 1C 1C 1C 1C 110n n nn nn n n n n --=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯+-⨯=-=L . 022132121222222C C C C C C 2n n n n n n n n n--+++=+++=L L 所以，所以，所以()222222221111(2)2222C C Cn nnnnn t nnf t -=+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++⋅⋅∑ 101(21)(2)2n nt t f t f t ==-==∑∑①为假命题；对于命题②，若.()~2,B n p ξ()()()()21112221C 1C 1n t t t n n tt t n f t p p f t p p --++-+⋅⋅⋅⋅-=-()()()211n t p t p -=+-()()()()()()2111111n p t t p t p +-+++-=+-.()()()()211111n p t t p +-+=++-当时，，随着的增加而增加；当时，()121t n p +<+()()1f t f t +>()f t t ()121t n p +>+，随着的增加而减小.()()1f t f t +<()f t t 当为整数时，或时，有最大值；当不为整数()21n p +()21t n p =+()211t n p =+-()f t ()21n p +时，为的整数部分时，有最大值.因为，，所以当t ()21n p +()f t ()2112n p p +=+01p <<12t =时，最大，所以有，所以②为真命题. ()f t ()()12f t f ≤故选：D.三、解答题17．如图，在直三棱柱中，，，，交于点111ABC A B C -2AB AC ==14AA =AB AC ⊥1BE AB ⊥1AA E ，D 为的中点.1CC(1)求证：平面；BE ⊥1AB C (2)求直线与平面所成角的大小. 1B D 1AB C 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明，从而可得平面，进而可得，再由线面垂直1AA AC ⊥AC ⊥11AA B B AC BE ⊥的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求解即可 1AB C 【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱， 111ABC A B C -所以平面， 1AA ⊥ABC 又平面， AC ⊂ABC 所以.1AA AC ⊥因为，，，平面，平面， AC AB ⊥1AA AC ⊥1AB AA A ⋂=AB ⊂11AA B B 1AA ⊂11AA B B 所以平面. AC ⊥11AA B B 因为平面， BE ⊂11AA B B 所以.AC BE ⊥因为，，，平面，平面， 1BE AB ⊥AC BE ⊥1AC AB A ⋂=AC ⊂1AB C 1AB ⊂1AB C 所以平面.BE ⊥1AB C （2）由（1）知，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系. AB AC 1AA A xyz -则，，，，，()0,0,0A ()12,0,4B ()0,2,0C ()2,0,0B ()0,2,2D 设，，，，()0,0,E a ()12,0,4AB = ()2,0,BE a =-()0,2,0AC =因为，所以，即，则， 1AB BE ⊥440a -=1a =()2,0,1BE =- 由（1）平面的一个法向量为.1AB C ()2,0,1BE =-又()12,2,2B D =--设直线与平面所成角的大小为，则1B D 1AB C π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭11πsin cos 2BE B DBE B D θθ⋅⎛⎫=-== ⎪⎝⎭因此，直线与平面所成角的大小为. 1B D 1ABC18．兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一，面条的宽度有细面、二细、毛细、韭叶、二宽、大宽等.现将体积为1000的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸3cm 成长为的面条，……，小徐同学喜欢吃的面条的截面直径不超过0.5cm ，求至少经过多少2100cm ⨯次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求？（单位：cm.每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）【答案】至少经过次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求7【分析】拉伸之后面条数列为等比数列，可得拉伸后面条的数量；由圆柱的体积公式，结合等体积法即可求得拉伸后面条的截面半径，进而得解.【详解】经过次对折拉伸之后面条的数量成等比数列， n 因而可知经过次对折拉伸之后面条的长度为， n 12100n -⨯设拉伸次后面条的截面半径为，由面团体积为可得 n r 31000cm ，121002π1000n r -⨯⨯⨯=又因为直径， 122d r =≤即得,,是单调递增的 2121012π4n r -=≤⨯5102πn -≤52n y -=且当时,,当时, , 6n =102π>7n =104π≤所以至少经过次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求719．一个随机变量的概率分布为：，其中A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个ζ()12cos2sin x x A B C ⎛⎫⎪+⎝⎭内角.(1)求A 的值；(2)若，求数学期望的取值范围. 12cos sin x B x C ==，E ζ【答案】(1)π6(2)34⎫⎪⎪⎭【分析】(1)根据概率分布的概率性质计算即可;(2)把转化为三角函数,根据角的范围确定三角函数的值域可解. E ζ【详解】（1）由已知可知: cos2sin 1A A +=,,212sin sin 1A A -+=()sin 12sin 0A A -=又因为为锐角, ,所以,即得. A sin 0A >1sin 2A =π6A =（2）因为 12cos sin xB xC ==，所以cos cos2sin sin 11cos sin 22E B A C A B C ζ=+=+ 11πcos sin 226B B ⎛⎫=++⎪⎝⎭111cos sin cos 22213sin cos 22B B B B B ⎛⎫=++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭1sin cos 2π3B B B =⨯+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又因为是锐角三角形,且,所以ABC :π6A =ππ32B <<, 2ππ5π336B <+<π1sin 32B ⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝π334B ⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭34E ζ⎫∈⎪⎪⎭20．《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形n n n n A B C D ，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点1,2,3n =,n n P Q ，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如（图3）.埃11,P Q 2222A B C D m E m F 1,2,3,4m =舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与11122A PE P E -22131A P E P F -(1)求异面直线与成角余弦值； 12P A 12Q B (2)求平面与平面的夹角正弦值； 111P A E 122A E P (3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）. 【答案】(1)；13；(3)表面积为，体积为. 2【分析】（1）以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角O 221,,OP OQ OP u u u r u u u u r u u u r,,x y z 坐标系.写出点的坐标，求出，，根据向量即可结果；()121,1,1P A =--u u u r ()121,1,1Q B =u u u u r（2）根据坐标，求出平面与平面的法向量，根据向量法可以求出法向量夹角的余弦111P A E 122A E P 值，进而得出结果；（3）由已知可得，四边形为菱形.根据向量法求出四棱锥的体积以及表面积即1122PE P E 11122A PE P E -可得出结果.【详解】（1）解：由题意可知，两两垂直，且.以点为坐标原221,,OP OQ OP 2211OP OQ OP ===O 点，分别以的方向为轴的正方向，如图5，建立空间直角坐标系. 221,,OP OQ OP u u u r u u u u r u u u r,,x y z则由题意可得，，，，，，，()0,0,0O ()21,0,0P ()20,1,0Q ()10,0,1P ()21,1,0B ()11,0,1A ()21,1,0A -，.()10,0,1Q -又分别是的中点，所以，. 12,E E 1212,P A PB 1111,,222E ⎛⎫- ⎪⎝⎭2111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，()121,1,1P A =--u u u r ()121,1,1Q B =u u u u r 则，12121cos ,3P A Q B <=-u u u r u u u u ru u u r u u u u r 所以异面直线与成角余弦值为. 12P A 12Q B 13（2）解：由（1）可得，，，，.()111,0,0P A =u u u r11111,,222PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ()210,0,1P A =u u u r 22111,,222P E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 设是平面的一个法向量，()1111,,n x y z =111P A E 则， 1111110n P A n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即， 111101110222x x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩令，可得是平面的一个法向量. 11y =()10,1,1n =-111P A E 设是平面的一个法向量，()2222,,n x y z =122A E P 则， 22122200n P A n P E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即，取，可得是平面的一个法向量. 222201110222z x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩21x =()21,1,0n = 122A E P 则，1212121cos ,2n n n n n n ⋅<>===u r u u ru r u u r u r u u r所以平面与平面. 111P A E 122A E P =（3）解：由（1）（2）可得，，，，()121,0,1PP =-u u u r()120,1,0E E =u u u u r 11111,,222PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，，. 22111,,222P E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ()111,0,0A P =-u u u r12111,,222PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 所以，2211P E PE =-u u u u r u u u r 所以∥且，所以四边形为平行四边形. 22P E 11PE 2211=P E PE 1122PE P E 又，()()12121,0,10,1,00PP E E ⋅=-⋅=u u u r u u u u r所以，即， 1212PP E E ⊥u u u r u u u u r1212PP E E ⊥所以四边形为菱形.1122PE P E ，， 121E E =u u u u r 所以. 112212112P E P E S PP E =⨯⨯u u u r u u u 设是平面的一个法向量，则，()3333,,n x y z = 1122PE P E 31231100n PP n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，取， 3333301110222x z x y z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩31x =则是平面的一个法向量.()31,0,1n =u r1122PE P E 又，所以点到平面的距离()111,0,0A P =-u u u r 1A 1122PE P Ed 所以四棱锥的体积. 11122A PE P E -11221111336P E P E V S d =⨯⨯==因为，，. ()111,0,0A P =-u u u r12111,,222PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 11111,,222PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r 所以在方向上的投影为 11A P u u u r 12PE u u u u r 111212AP PE PE ⋅==u u u r u u u u r u u u u r 所以点到直线的距离. 1A 12PE 1h 同理可得点到直线的距离1A 11PE 2h =所以四棱锥的侧面积11122A PE P E -1121114422S PE h =⨯⨯⨯==u u u u r 所以埃舍尔体的表面积为，体积为.112S =1122V =21．随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标—询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为，两个等级（见表），且视，等级客服的询单转A B A B 化率分别为对应区间的中点值.等级A B询单转化率70%%[90，） 50%%[70，）人数6 4(1)求该网店询单转化率的平均值；(2)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于的概70%率；(3)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A 等级客服接待的概率为a ，被任一位B 等级客服接待的概率为b ，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a 应该控制在什么范围？【答案】(1)； 72%(2)； 3742(3). 113,8100⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由已知分别求出、等级客服的询单转化率，根据平均数公式求出即可； A B （2）设A 等级客服的人数为，则的可能取值为，对应的询单转化率中位数分别为X X 0,1,2,3,4，进而利用超几何分布求出对应的概率，求出答案；60%,60%,70%,80%,80%（3）根据二项分布的期望公式计算出改革前的日均成交人数为7200，然后表示出改革后的日均成交人数，结合每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，列出不等式组，即可求出120006000a +a 的取值范围.【详解】（1）解：由已知可得，等级客服的询单转化率为，等级客服的询单转化率为A 80%B 60%，所以该网店询单转化率的平均值为.80%660%472%10⨯+⨯=（2）解：由（1）知：、等级客服的询单转化率分别为. A B 80%,60%设抽取4位客服中，等级客服的人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3,4. A 由题意可得，服从超几何分布.X 当时，4人转化率为，中位数为； X 0=60%,60%,60%,60%60%当时，4人转化率为，中位数为； 1X =60%,60%,60%,80%60%当时，4人转化率为，中位数为； 2X =60%,60%,80%,80%70%当时，4人转化率为，中位数为； 3X =60%,80%,80%,80%80%当时，4人转化率为，中位数为. 4X =80%,80%,80%,80%80%所以，当时，这4人的询单转化率的中位数不低于.2X ≥70%因为，服从超几何分布，所以的分布列为，. X X ()464410C C C k k P X k -⋅==0,1,2,3,4k =所以. ()()()2101P X P X P X ≥=-=-=04136464441010C C C C 371C C 42⋅⋅=--=（3）解：设改革前后等级客服的接待顾客人数分别为. A ,Y Z 则改革前，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为， A 163105P ==所以，则.310000,5Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()31000060005E Y =⨯=因为，等级客服的询单转化率分别为，A B 80%,60%所以改革前日均成交人数为； ()600080%10000600060%7200⨯+-⨯=改革后，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为， A 26P a =所以，则，()10000,6Z B a ~()10000660000E Z a a =⨯=故改革后日均成交人数为. ()6000080%100006000060%120006000a a a ⨯+-⨯=+由得：，①1200060007200300a +≥+18a ≥因为每位顾客被一位等级客服接待的概率为，又，所以每位顾客被一位等级客服A a 641a b +=B 接待的概率为. 164ab -=又每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，所以， 100001300161000013004a a≤⎧⎪⎨-⋅≤⎪⎩解得：，②13100225a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩由①②得：，所以应该控制在. 1138100a ≤≤a 113,8100⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

【最新文档题库】上海市杨浦区控江中学高二(上)期末数学试卷和答案

2015-2016学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（每题3分，共36分）1．（3分）已知直线x+ay=1﹣a与直线（a﹣2）x+3y+2=0垂直，则实数a=．2．（3分）直线与直线的夹角的大小为．3．（3分）过点（1，6）与点（2，4）的直线的倾斜角为．4．（3分）直线x﹣2y+1=0与圆x2+y2=2相交于A，B两点，则|AB|=．5．（3分）过点作圆x2+y2﹣2x﹣2=0的切线，则切线方程为．（写成一般式）6．（3分）已知点P（1，3），点Q（﹣1，2），点M为直线x﹣y+1=0上一动点，则|PM|+|QM|的最小值为．7．（3分）已知椭圆，过点P（1，1）的直线l与椭圆Γ相交于A，B两点，若弦AB恰好以点P为中点，则直线l的方程为．（写成一般式）8．（3分）已知F1、F2分别是双曲线x2﹣4y2=4的左、右焦点，点P在该双曲线的右支上，且|PF1|+|PF2|=6，则cos∠F1PF2=．9．（3分）已知双曲线C与椭圆x2+4y2=64有相同的焦点，且直线为双曲线C的一条渐近线，则双曲线C的方程是．10．（3分）经过抛物线y=4x2的焦点作直线l交该抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若y1+y2=2，则线段AB的长等于．11．（3分）椭圆，点，点P为椭圆上一动点，则|PA|的最大值为．12．（3分）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4分）以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x﹣4y﹣11=0上，则此抛物线的方程是（）A．y2=11x B．y2=﹣11x C．y2=22x D．y2=﹣22x14．（4分）若方程mx2+（3﹣m）y2=1表示双曲线，则实数m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞3 C．0＜m＜3 D．m＜0或m＞315．（4分）已知直线y=x+a与曲线的两个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（0，2） C．D．16．（4分）对于方程为的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）；三、解答题（10+10+12+16=48分）17．（10分）已知圆C：x2+y2=4，直线l：x﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，点O 为坐标原点，求△AOB的面积S．18．（10分）已知定点A（2，4），抛物线y2=2x上有一动点B，点P为线段AB 的中点，求点P的轨迹方程．19．（12分）已知直线y=kx+2与椭圆相交于A，B两点，O为坐标原点，若∠AOB=90°．求该直线的方程．（写成斜截式）20．（16分）已知F1（﹣2，0），F2（2，0），点P满足|PF1|﹣|PF2|=2，记点P 的轨迹为Γ．斜率为k的直线l过点F2，且与轨迹Γ相交于A，B两点．（1）求轨迹Γ的方程；（2）求斜率k的取值范围；（3）在x轴上是否存在定点M，使得无论直线l绕点F2怎样转动，总有MA⊥MB成立？如果存在，求出定点M；如果不存在，请说明理由．2015-2016学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共36分）1．（3分）已知直线x+ay=1﹣a与直线（a﹣2）x+3y+2=0垂直，则实数a=．【解答】解：当a=0时，两条直线方程分别化为：x=1，﹣2x+5=0，此时两条直线不垂直．当a≠0时，两条直线相互垂直，可得：﹣=﹣1，解得a=．综上可得：a=．故答案为：．2．（3分）直线与直线的夹角的大小为30°．【解答】解：设直线与直线的夹角为θ，由于直线与直线的斜率分别为﹣和﹣，这两条直线的倾斜角分别为150°，120°，故θ=30°．故答案为：30°．3．（3分）过点（1，6）与点（2，4）的直线的倾斜角为π﹣arctan2．【解答】解：∵直线经过点（1，6）与点（2，4），∴k AB==﹣2，设直线AB的倾斜角为θ，∴tanθ＝﹣2，∵0≤0＜π，∴θ=π﹣arctan2，故答案为π﹣arctan2．4．（3分）直线x﹣2y+1=0与圆x2+y2=2相交于A，B两点，则|AB|=．【解答】解：因为x﹣2y+1=0与圆x2+y2=2相交于A，B两点，圆的圆心（0，0），半径为，所以圆心到直线的距离d==所以线段AB的长度为2=．故答案为：．5．（3分）过点作圆x2+y2﹣2x﹣2=0的切线，则切线方程为x+y ﹣4=0．（写成一般式）【解答】解：由圆的一般方程可得圆的圆心与半径分别为：（1，0）；．由图象可得切线的斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为：kx﹣y﹣2k+=0，由点到直线的距离公式可得：=，解得：k=﹣所以切线方程为x+y﹣4=0．故答案为x+y﹣4=0．6．（3分）已知点P（1，3），点Q（﹣1，2），点M为直线x﹣y+1=0上一动点，则|PM|+|QM|的最小值为3．【解答】解：设P（1，3）关于直线的对称点的坐标为P′（a，b），则，∴a=2，b=2，∴|PM|+|QM|的最小值为|P′Ｑ|=2+1=3，故答案为3．7．（3分）已知椭圆，过点P（1，1）的直线l与椭圆Γ相交于A，B两点，若弦AB恰好以点P为中点，则直线l的方程为4y+3x﹣7=0．（写成一般式）【解答】解：设A，B点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由A，B在椭圆上，则①，②，①﹣②得：+=0，由AB的中点坐标为P（1，1），即=1，=1，∴=﹣，由直线AB的斜率k==﹣，由直线的点斜式方程可知：y﹣1=﹣（x﹣1），整理得：4y+3x﹣7=0，故答案为：4y+3x﹣7=0．8．（3分）已知F1、F2分别是双曲线x2﹣4y2=4的左、右焦点，点P在该双曲线的右支上，且|PF1|+|PF2|=6，则cos∠F1PF2=．【解答】解：由双曲线x2﹣4y2=4，即=1得c2=5，∴4c2=20设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1﹣d2=4…①由已知条件：d1+d2=6…②由①、②得，d12+d22=26，d1d2=5在△F1PF2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2==故答案为：．9．（3分）已知双曲线C与椭圆x2+4y2=64有相同的焦点，且直线为双曲线C的一条渐近线，则双曲线C的方程是．【解答】解：双曲线C与椭圆x2+4y2=64有相同的焦点（±4，0），直线为双曲线C的一条渐近线，可得，又a2+b2=48，可知a2=36，b2=12．则双曲线C的方程是：．故答案为：．10．（3分）经过抛物线y=4x2的焦点作直线l交该抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若y1+y2=2，则线段AB的长等于．【解答】解：y=4x2的焦点为（0，），设过焦点（0，）的直线为y=kx+，则令kx+=4x2，即64x2﹣16kx﹣1=0，由韦达定理得x1+x2=k，x1x2=﹣y1=kx1+，y2=kx2+，所以y1+y2=k（x1+x2）+=k2+=2，所以k2=，所以|AB|=|x1﹣x2|=?=．故答案为：．11．（3分）椭圆，点，点P为椭圆上一动点，则|PA|的最大值为．【解答】解：由椭圆，设P（2cosθ，3sinθ），则|PA|===，当且仅当sin时取等号．因此其最大值为．故答案为：12．（3分）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=．【解答】解：圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，﹣4），半径为，圆心到直线y=x的距离为=2，∴曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2﹣=．则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于，令y′=2x=1解得x=，故切点为（，+a），切线方程为y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0，由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为，即解得a=或﹣．当a=﹣时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去．故答案为：．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4分）以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x﹣4y﹣11=0上，则此抛物线的方程是（）A．y2=11x B．y2=﹣11x C．y2=22x D．y2=﹣22x【解答】解：以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x﹣4y﹣11=0上，可得y=0时，x=，抛物线的焦点坐标（，0），所以抛物线的方程为：y2=22x．故选：C．14．（4分）若方程mx2+（3﹣m）y2=1表示双曲线，则实数m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞3 C．0＜m＜3 D．m＜0或m＞3【解答】解：方程mx2+（3﹣m）y2=1表示双曲线，可得m（3﹣m）＜0，解得m＞3或m＜0．故选：D．15．（4分）已知直线y=x+a与曲线的两个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（0，2） C．D．【解答】解：曲线线是以（0，0）为圆心，为半径位于x轴上方的半圆．当直线l过点A（﹣，0）时，直线l与曲线有两个不同的交点，此时0=﹣+a，解得a=．当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，圆心（0，0）到直线x﹣y+a=0的距离d==解得a=2或﹣2（舍去），若曲线C和直线l有且仅有两个不同的交点，则直线l夹在两条直线之间，因此≤a＜2，故选：D．16．（4分）对于方程为的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）；【解答】解：∵，∴当x＞0，y＞0时，?+=1，解得y==1+；同理可得，当x＜0，y＞0时，?﹣+=1，整理得：y=1﹣；当x＜0，y＜0时，?﹣﹣=1，整理得：y=﹣1+；x＞0，y＜0时，?﹣=1，整理得：y=﹣1﹣；作出图象如下：由图可知，曲线C关于原点成中心对称，故（1）正确；曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，也关于直线y=x与y=﹣x对称，故（2）错误；由于在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，由图可知，四边形MNPQ每一条边的边长都大于2，故（3）正确；综上所述，（1）（3）正确．故选：B．三、解答题（10+10+12+16=48分）17．（10分）已知圆C：x2+y2=4，直线l：x﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，点O 为坐标原点，求△AOB的面积S．【解答】解：由圆C：x2+y2=4的圆心O（0，0）到直线l：x﹣y+1=0的距离为d==，圆C的半径为r=2；所以弦长|AB|=2=2×=，所以△AOB的面积为S=|AB|d=××=．18．（10分）已知定点A（2，4），抛物线y2=2x上有一动点B，点P为线段AB 的中点，求点P的轨迹方程．【解答】解：设B（m，n），即有n2=2m，AB的中点P为（x，y），即有2x=2+m，2y=4+n，即m=2x﹣2，n=2y﹣4，即有（2y﹣4）2=4x﹣4，即（y﹣2）2=x﹣1．故答案为：（y﹣2）2=x﹣1．19．（12分）已知直线y=kx+2与椭圆相交于A，B两点，O为坐标原点，若∠AOB=90°．求该直线的方程．（写成斜截式）【解答】解：直线l的方程为y=kx+2，与椭圆C方程+y2=1．联立可得：（1+4k2）x2+16kx+12=0．∵直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，∴△=（16k）2﹣48（1+4k2）＞0，解得k2．①设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=﹣，x1?x2=，∵⊥，∴?=x1?x2+y1y2=0，∴x1?x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，即（1+k2）x1?x2+2k（x1+x2）+4=0，∴﹣+4=0，整理得k2=4，解得k=±2，满足①．∴直线l的方程为y=±2x+2．20．（16分）已知F1（﹣2，0），F2（2，0），点P满足|PF1|﹣|PF2|=2，记点P 的轨迹为Γ．斜率为k的直线l过点F2，且与轨迹Γ相交于A，B两点．（1）求轨迹Γ的方程；（2）求斜率k的取值范围；（3）在x轴上是否存在定点M，使得无论直线l绕点F2怎样转动，总有MA⊥MB成立？如果存在，求出定点M；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由|PF1|﹣|PF2|=2＜|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由c=2，2a=2，得b2=3，故轨迹E的方程为，（x≥1）．…（3分）（2）双曲线渐近线的斜率为，∵斜率为k的直线l过点F2，且与轨迹Γ相交于A，B两点，∴k或k；（3）由（1）得点F2为（2，0）当直线l的斜率存在时，设直线方程y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）将方程y=k（x﹣2）与双曲线方程联立消去y得：（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3=0，∴x1+x2=，x1x2=假设双曲线C上存在定点M，使MA⊥MB恒成立，设为M（m，n）则=（x1﹣m）（x2﹣m）+[k（x1﹣2）﹣n][k（x2﹣2）﹣n]=（k2+1）x1x2﹣（2k2+kn+m）（x1+x2）+m2+4k2+4kn+n2==0，故得：（m2+n2﹣4m﹣5）k2﹣12nk﹣3（m2+n2﹣1）=0对任意的k2＞3恒成立，∴，解得m=﹣1，n=0∴当点M为（﹣1，0）时，MA⊥MB恒成立；当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，﹣3）知点M（﹣1，0）使得MA⊥MB也成立．又因为点（﹣1，0）是双曲线C的左顶点，所以双曲线C上存在定点M（﹣1，0），使MA⊥MB恒成立．。

2022-2023学年上海中学高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年上海中学高二（上）期末数学试卷1. 小陈掷两次骰子都出现6的概率为______.2. 从{1,2,3,4,5}中随机取两个元素(可相同)，则这两个元素的积不是6的倍数的概率为______.3. 若等比数列的前n 项和S n =4n−1+a ，则a =______.4. 若数列{a n }满足a n+1={2a n 0≤a n ≤122a n −112≤a n <1，若a 1=67，则a 2023=______. 5. 为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下(按从小到大的顺序排列，单位：kg) 56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 68 69 70 73 74 83据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______kg.6. 已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是______.7. 已知某社区的家庭年收入的频率分布如表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为______万元．8. 第14届国际数学教育大会(ICME −14)于2021年7月12日至18日在上海举办，已知张老师和李老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为______.9. S 1=1+2+⋯+n ，S 2=12+22+⋯+n 2，S 3=13+23+⋯+n 3，使S 1，S 2，S 3成等差数列的自然数n 的所有可能的值为______.10. 已知a n ={2n +3,n 为奇数4n,n 为偶数(n ∈N ∗)，则数列{a n }前2m 项之和为______.11. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=18(a n )2+m(n ∈N ∗)，若对任意的正整数n 均有a n <4，则实数m 的最大值是______.12. 设数列{a n }满足a 1=12，a n+1=a n +(a n )22023(n∈N ∗)，记T n =(1−a 1)(1−a 2)⋯(1−a n )，则使得T n <0成立的最小正整数n 是______.13. 某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3名调查学习负担情况，记作②．那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是( )A. ①用简单随机抽样法；②用系统抽样法B. ①用分层抽样法；②用简单随机抽样法C. ①用系统抽样法；②用分层抽样法D. ①用分层抽样法；②用系统抽样法14. 已知数据x 1，x 2，⋯，x n (n ≥3,n ∈N ∗)是上海普通职工n 个人的年收入，这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果加上世界首富的年收入x n+1，则这n +1个数据中，下列说法正确的是( )A. 年收入平均数增加，中位数一定变大，方差可能不变B. 年收入平均数增加，中位数可能不变，方差变大C. 年收入平均数增加，中位数可能不变，方差可能不变D. 年收入平均数增加，中位数可能变大，方差不变 15. 对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A. a 1，a 3，a 9成等比数列 B. a 2，a 3，a 6成等比数列 C. a 2，a 4，a 8成等比数列D. a 3，a 6，a 9成等比数列16. 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=2，b 1=12，{a n+1=b n +1a nb n+1=a n +1bn，n ∈N ∗，则下列选项错误的是( )A. a 50b 50=14B. a 50b 50<112C. a 50+b 50=52√a 50b 50D. |a 50−b 50|≤1517. 某超市从一家食品有限公司购进一批茶叶，每罐茶叶的标准质量是125g ，为了解该批茶叶的质量情况，从中随机抽取20罐，称得各罐质量(单位：g)如下：124.9、124.7、126.2、124.9、124.2、124.9、123.7、121.4、126.4、127.7、121.9、124.4、125.2、123.7、122.7、124.2、126.2、125.2、122.2、125.4；求：20罐茶叶的平均质量x 和标准差s.(精确到0.01)18. 俞女士每次投篮的命中率只有0.2，她在某次投篮练习中决定只要连续两次命中就结束投篮练习，求她至多四次投篮就能结束的概率．19. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4=10.(1)若S 20=590，求{a n }的公差；(2)若a 1∈Z ，且S 7是数列{S n }中最大的项，求a 1所有可能的值．20. 已知等差数列{a n }的公差为d ，且关于x 的不等式a 1x 2−dx −3<0的解集为(−1,3).(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n =2a n +12a n ，求数列{b n }前n 项和S n .21. 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+1，a n(1)写出数列{a n}的前四项；(2)判断数列{(a n)2}的单调性；(3)求证：2n+1<(a n+1)2<(√2n+1)2.答案和解析1.【答案】1136【解析】解：第一次不出现6的概率为56，第二次不出现6的概率也为56，则掷两次骰子都不出现6的概率为56×56=2536，故掷两次骰子都出现6的概率为1−2536=1136，故答案为：1136.根据古典概型求解即可．本题主要考查古典概型，属于基础题．2.【答案】1315【解析】解：从{1,2,3,4,5}中随机取两个元素，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,4)，(4,5)，(5,5)，共15种取法，则两个元素的积不是6的倍数有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,5)，(3,3)，(3,5)，(4,4)，(4,5)，(5,5)，共13种，则这两个元素的积不是6的倍数的概率为1315 根据古典概型定义可解．本题考查古典概型概率计算，属于基础题．3.【答案】−14【解析】解：等比数列的前n 项和S n =4n−1+a =14⋅4n +a ，因为S n =a 11−q −a11−q ⋅q n ，所以a =−14. 故答案为：−14.由已知结合等比数列的求和公式的特点即可直接求解a. 本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．4.【答案】67【解析】解：∵数列{a n }满足a n+1={2a n 0≤a n ≤122a n −112≤a n <1，a 1=67， ∴a 2=2a 1−1=2×67−1=57，a 3=2a 2−1=37，a 4=2a 3=67， ……， ∴a n+3=a n ，则a 2023=a 3×674+1=a 1=67，故答案为：67. 由数列{a n }满足a n+1={2a n 0≤a n ≤122a n −112≤a n <1，a 1=67，经过计算a 2，a 3，a 4，即可得出数列的周期性，即可得出结论．本题考查了数列的递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】69【解析】解：17×0.75=12.75，数据从小到大第13个数是69，所以第75百分位数为69. 故答案为：69.根据百分位数的求法求得正确答案．本题考查百分位数的计算，是基础题．6.【答案】20【解析】解：设等差数列公差为d ，则有{3a 1+6d =1053a 1+9d =99解得a 1=39，d =−2∴a 20=39−2×19=1>0，a 21=39−2×20=−1<0 ∴数列的前20项为正， ∴使得S n 达到最大值的是20 故答案为20利用等差数列的通项公式表示出特设中的等式，联立求得a 1和d ，进而求得a 20>0，a 21<0，判断数列的前20项为正，故可知数列的前20项的和最大．本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是判断从数列的哪一项开始为负．7.【答案】6.51【解析】解：由题意可知，估计该社区内家庭的平均年收入为：0.2×4.5+0.2×5.5+0.2×6.5+0.26×7.5+0.07×8.5+0.07×9.5=6.51(万元). 故答案为：6.51.由题中给出的数据，利用平均数的计算公式求解即可．本题考查了平均数的求解，解题的关键是确定区间中点以及对应的频率，考查了化简运算能力，属于基础题．8.【答案】625【解析】解：设7天的编号依次为1，2，3，4，5，6，7，则连续的三天分别为：123，234，345，456，567，共5种情况，所以张老师与李老师随机选择的总数为C 51C 51=25种情况，两人选择的日期恰好都不相同的分别为(123,456)，(123,567)，(234,567)，(456,123)，(567,123)，(567,234)共6种情况，所以所求事件的概率为625，故答案为：625.设7天的编号依次为1，2，3，4，5，6，7，则连续的三天分别为：123，234，345，456，567，共5种情况，分别求出两人总的选择的个数以及所求事件的个数，然后根据古典概型的概率计算公式即可求解．本题考查了古典概型的概率计算公式的应用，考查了学生的理解运算能力，属于基础题．9.【答案】1【解析】解：因为S 1=1+2+⋯+n =12n(n +1)， S 2=12+22+⋯+n 2=16n(n +1)(2n +1)，S 3=13+23+⋯+n 3=(1+2+3+...+n)2=14n 2(n +1)2，若S 1，S 2，S 3成等差数列，可得2S 2=S 1+S 3，即为13n(n +1)(2n +1)=12n(n +1)+14n 2(n +1)2，化为3n 2−5n +2=0，即(3n −2)(n −1)=0，解得n =1(23舍去)，故答案为：1.由连续自然数的前n 项的和、平方的和与立方的和的公式，结合等差数列的中项性质，解方程可得所求值．本题考查连续自然数的前n 项的和、平方的和与立方的和，以及等差数列中项性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．10.【答案】2m 2+3m +1615(16m −1)【解析】解：由a n ={2n +3,n 为奇数4n ,n 为偶数(n ∈N ∗)，可得数列{a n }前2m 项之和S 2m =[5+9+...+2(2m −1)+3]+(42+44+...+42m )=12m(5+4m +1)+16(1−16m )1−16=2m 2+3m +1615(16m−1).故答案为：2m 2+3m +1615(16m −1).由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．11.【答案】2【解析】解：因为a n+1−a n =18a n 2−a n +m =18(a n −4)2+m −2≥m −2，累加可得a n =a 1+∑(n−1k=1a k+1−a k )≥1+(m −2)(n −1)，若m >2，注意到当n →+∞时，(m −2)(n −1)→+∞，不满足对任意的正整数n 均有a n <4，所以m ≤2；当m =2时，证明对任意的正整数n 都有0<a n <4，当n =1时，a 1=1<4成立，假设当n =k ，(k ≥1)时结论成立，即0<a k <4，则0<a k+1=2+18a k 2<2+18×42=4，即结论对n =k +1也成立，由数学归纳法可知，对任意的正整数n 都有0<a n <4，综上可知，所求实数m 的最大值是2. 故答案为：2.根据递推公式可考虑分析a n+1−a n ，再累加求出关于a n 关于参数m ，n 的关系，根据表达式的取值分析出m ≤2，再用数学归纳法证明m =2满足条件即可．本题主要考査了根据数列的递推公式求解参数最值的问题，需要根据递推公式累加求解，同时注意结合参数的范围问题进行分析，属于难题．12.【答案】2025【解析】解：因为a n+1=a n +(a n)22023(n ∈N ∗)，所以a n+1=a n (a n +2023)2023，所以1a n+1=1a n−1a n +2023，即1a n−1a n+1=1a n +2023，所以1a 1−1a n+1=1a 1+2023+1a 2+2023+...+1a n +2023，又a n+1=a n +(a n)22023(n ∈N ∗)，所以数列{a n }为递增数列，所以1a 1−1a 2024<2023a 1+2023<1，所以2−1a 2024<1，所以a 2024<1，所以2−1a2025>2024a2024+2023>20241+2023=1，所以a 2025>1，当1≤n ≤2024时，1−a n >0，当n ≥2025时，1−a n <0，故使T n <0成立的最小正整数n 是2025，故答案为：2025. 由数列的递推式推得1a n −1a n+1=1a n +2023，由数列的裂项相消求和可得1a 1−1a n+1=1a 1+2023+1a 2+2023+...+1a n +2023，利用数列{a n }为递增数列，可得a 2024<1，a 2025>1，即可得到所求值．本题考查数列的递推式，以及数列的裂项求和、放缩法，考查运算能力和推理能力，属于难题．13.【答案】B【解析】解：对于①，因为社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以要从中抽一个样本容量是100的样本应该用分层抽样法；对于②，由于样本容量不大，且抽取的人数较少，故可采用简单随机抽样法抽取样本．故选：B.调查社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以分层抽样最佳；由于②样本容量不大，且抽取的人数较少，故可用随机抽样法．本题考查收集数据的方法，当总体中的个体较少时，一般用简单随机抽样；当总体中的个体较多时，一般用系统抽样；当总体由差异明显的几部分组成时，一般用分层抽样，属于基础题．14.【答案】B【解析】解：因为数据x 1，x 2，⋯，x n (n ≥3,n ∈N ∗)是上海普通职工n 个人的年收入，而x n+1是世界首富的年收入，则x n+1会远大于x 1，x 2，⋯，x n ，故这n +1个数据的平均值增加，但中位数可能不变，有可能稍微变大．但由于数据的集中程度也受到x n+1比较大的影响，数据更加离散，则方差变大．故选：B.根据题意，结合平均数，中位数，方差的定义，即可判断出结果．本题主要考査平均数、中位数、以及方差，熟记概念及其意义即可，属于常考题型．15.【答案】D【解析】解：A 项中a 3=a 1⋅q 2，a 1⋅a 9=a 12⋅q 8，(a 3)2≠a 1⋅a 9，故A 项说法错误， B 项中(a 3)2=(a 1⋅q 2)2≠a 2⋅a 6=a 12⋅q 6，故B 项说法错误， C 项中(a 4)2=(a 1⋅q 3)2≠a 2⋅a 8=a 12⋅q 8，故C 项说法错误， D 项中(a 6)2=(a 1⋅q 5)2=a 3⋅a 9=a 12⋅q 10，故D 项说法正确，故选：D.利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可．本题主要考查了是等比数列的性质．主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断．16.【答案】D【解析】解：A.∵{a n+1=b n +1a nb n+1=a n +1b n，n ∈N ∗，∴a n+1b n+1=b n +1a n a n +1b n=b n a n ，∴a 50b 50=…=a 1b 1=122=14，故A 正确；B .由题意可得a n+1b n+1=(b n +1a n)(a n +1b n)=2+a n b n +1a n b n≥4，当且仅当a n b n =1a nb n取等号，∵a n b n ≥4，∴1a nb n≤14，∴a 50b 50=2+a 49b 49+1a 49b 49=2×2+a 48b 48+1a 49b 49+1a 48b 48=…=2×49+a 1b 1+1a 1b 1+1a 2b 2+…+1a 49b 49，又a 1=2，b 1=12，∴a 50b 50<2×49+1+1+14×48=112，因此B 正确；C .a n+1+b n+1=b n +1a n +a n +1b n =(b n +a n )(1+1a nb n)，∴(a n+1+b n+1)2=(b n +a n )2(1+1a n b n)2=(b n +a n )2⋅a n+1b n+1a n b n ，∴(a n+1+b n+1)2a n+1b n+1=(a n +b n )2a nb n=…=(a 1+b 1)2a 1b 1，∴a 50+b 50=52√a 50b 50，因此C 正确； D .a n+1−b n+1=b n +1a n−a n −1b n=(b n −a n )(1+1a nb n)，∴(a n+1−b n+1)2=(b n −a n )2(1+1a n b n)2=(b n −a n )2⋅a n+1b n+1a n b n ，∴(a n+1−b n+1)2a n+1b n+1=(a n −b n )2a nb n=…=(a 1−b 1)2a 1b 1=94，而a 50b 50=2+a 49b 49+1a 49b 49=2×2+a 48b 48+1a 49b 49+1a 48b 48=…=2×49+a 1b 1+1a 1b 1+1a 2b 2+…+1a 49b 49>2+2×49=100，∴|a 50−b 50|=32√a 50b 50>15，因此D 不正确．故选：D.A .由{a n+1=b n +1a nb n+1=a n +1bn，n ∈N ∗，相除可得a n+1b n+1=b n a n ，进而得出a50b 50，即可判断出正误； B .由题意可得a n+1b n+1=(b n +1a n )(a n +1b n )=2+a n b n +1a n b n ≥4，a n b n ≤14，利用递推关系可得a 50b 50=2+a 49b 49+1a 49b 49=2×2+a 48b 48+1a 49b 49+1a 48b 48=…=2×49+a 1b 1+1a 1b 1+1a 2b 2+…+1a 49b 49，即可判断出正误； C .a n+1+b n+1=b n +1a n+a n +1b n=(b n +a n )(1+1a nb n)，可得(a n+1+b n+1)2=(b n +a n )2(1+1a n b n)2=(b n +a n )2⋅a n+1b n+1a n b n ，即可得出(a n+1+b n+1)2a n+1b n+1=(a n +b n )2a nb n=…=(a 1+b 1)2a 1b 1，即可判断出正误；D .a n+1−b n+1=b n +1an−a n −1bn=(b n −a n )(1+1a n b n)，平方可得(a n+1−b n+1)2a n+1b n+1=(a n −b n )2a nb n=…=(a 1−b 1)2a 1b 1=94，由B 可得a 50b 50>2+2×49=100，即可判断出正误．本题考查了数列的递推关系、不等式的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17.【答案】解：∵20罐茶叶的平均质量x =120×(124.9+124.7+126.2+124.9+124.2+124.9+123.7+121.4+126.4+127.7+121.9+124.4+125.2+123.7+122.7+124.2+126.2+125.2+122.2+125.4)≈124.51(g)； ∴20罐茶叶的方差s 2=120×[(124.9−124.51)2+(124.7−124.51)2+(126.2−124.51)2+(124.9−124.51)2+(124.2−124.51)2+(124.9−124.51)2+(123.7−124.51)2+(121.4−124.51)2+(126.4−124.51)2+(127.7−124.51)2+(121.9−124.51)2+(124.4−124.51)2+(125.2−124.51)2+(123.7−124.51)2+(122.7−124.51)2+(124.2−124.51)2+(126.2−124.51)2+(125.2−124.51)2+(122.2−124.51)2+(125.4−124.51)2]=2.4155， ∴20罐茶叶的标准差s =√2.4155≈1.55.【解析】根据平均数与标准差的概念，计算即可得解．本题考查平均数与标准差的概念，属基础题．18.【答案】解：由题知俞女士每次投篮互不影响，俞女士每次投篮的命中率只有0.2，记俞女士每次投篮命中为事件A i ，i =1，2，3，4，则P(A i )=15， ∵只要连续两次命中就结束投篮练习，∴投篮2次结束的概率为P =P(A 1A 2)=15×15=125，投篮3次结束的概率为P =P(A 1−A 2A 3)=45×15×15=4125，投篮4次结束的概率为P =P(A 1−A 2−A 3A 4)+P(A 1A 2−A 3A 4)=45×45×15×15+15×45×15×15=4125， ∴她至多四次投篮就能结束的概率P =125+4125+4125=13125. 【解析】由题知俞女士每次投篮互不影响，记俞女士每次投篮命中为事件A i ，则P(A i )=15，她至多四次投篮就能结束分投篮次数为2次，3次，4次，由此求出结果．本题考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 4=a 1+3d =10S 20=20a 1+190d =590，解得d =3. (2)由(1)得a 4=a 1+3d =10，d =10−a 13，由于S 7是数列{S n }中最大的项，d =10−a 13<0，a 1>10，所以{a 7≥0a 8≤0，即{a 1+6d ≥0a 1+7d ≤0，即{a 1+6×10−a13=20−a 1≥0a 1+7×10−a 13=70−4a 13≤0，解得352≤a 1≤20，由于a 1是整数，所以a 1的可能取值是18，19，20. 【解析】(1)根据已知条件列方程，化简求得{a n }的公差；(2)根据数列{S n }中的最大项列不等式，从而求得a 1的所有可能取值．本题主要考查了等差数列的通项公式，前n 项和公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)关于x 的不等式a 1x 2−dx −3<0的解集为(−1,3)，可得−1，3是方程a 1x 2−dx −3=0的两根，则−1+3=d a 1，−1×3=−3a 1，解得a 1=1，d =2，则a n =1+2(n −1)=2n −1； (2)b n =2a n +12a n=(2n −1)⋅2n ，数列{b n }前n 项和S n =1⋅2+3⋅22+5⋅23+...+(2n −3)⋅2n−1+(2n −1)⋅2n ， 2S n =1⋅22+3⋅23+5⋅24+...+(2n −3)⋅2n +(2n −1)⋅2n+1，上面两式相减可得−S n =2+2(22+23+...+2n−1+2n )−(2n −1)⋅2n+1=2+2⋅4(1−2n−1)1−2−(2n −1)⋅2n+1，化简可得S n =6+(2n −3)⋅2n+1.【解析】(1)由题意可得−1，3是方程a 1x 2−dx −3=0的两根，运用韦达定理可得数列{a n }的首项和公差，进而得到所求通项公式；(2)求得b n ，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．本题等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由a 1=1，a n+1=a n +1a n，可得a 2=1+1=2，a 3=2+12=52，a 4=52+25=2910；(2)由a 1=1，a n+1=a n +1a n，可得a n >0，a n+12=(a n +1a n)2=a n 2+2+1a n2，即有a n+12−a n 2=2+1a n2>0，所以{(a n )2}为递增数列；(3)证明：因为a n+12−a n 2=2+1a n2>2，所以(a 22−a 12)+(a 32−a 22)+...+(a n+12−a n 2)>2n ，即为a n+12−a 12>2n ，所以a n+12>2n +1；再运用数学归纳法证明：(a n+1)2<(√2n +1)2，等价为a n+1<1+√2n. 当n =1时，a 2=2<1+√2；假设n =k 时，a k+1<1+√2k.当n =k +1时，只需证明，a k+2<1+√2k +2，即证a k+1+1a k+1<1+√2k +2.因为a k ≥1，a k+1+1a k+1随着k 的增大而增大，所以a k+1+1ak+1<√2k +11+√2k，只需证明1+√2k +1+√2k<1+√2k +2，即为(1+√2k)2+1<(1+√2k)(1+√2k +2)，即为2k +2+2√2k <1+√2k +√2k +2+√2k ⋅√2k +2，即(2k +1)+√2k <√2k +2+√2k ⋅√2k +2，上式两边平方可得左边=4k 2+6k +1+2(2k +1)√2k ，右边=4k 2+6k +2+2(2k +2)√2k ，显然右边大于左边，则原命题成立，即2n +1<(a n+1)2<(√2n +1)2. 【解析】(1)由数列的递推式直接写出前四项； (2)将数列的递推式两边平方，移项判断，可得单调性；(3)先证明不等式的左边，由a n+12−a n 2=2+1a n2>2，累加可得证明；再运用数学归纳法证明不等式的右边．本题考查数列的递推式，以及不等式的证明，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。

上海市2021-2021年高二上期末数学试卷含答案解析

高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．椭圆x2+4y2=100的长轴长为______．2．已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为______．3．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是______．4．行列式中﹣3的代数余子式的值为______．5．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM 所在直线的方程为______．6．已知直线l1的方程为3x﹣y+1=0，直线l2的方程为2x+y﹣3=0，则两直线l1与l2的夹角是______．7．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是______．8．执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是______．9．若圆C的方程为x2+y2﹣2ax﹣1=0，且A（﹣1，2），B（2，1）两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是______．10．若，且存在，则实数a的取值范围是______．11．已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，﹣1）且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且，则点M的轨迹方程为______．12．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是______．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.13．点（a ，b ）关于直线x +y=1的对称点的坐标是（）A ．（1﹣b ，1﹣a ）B ．（1﹣a ，1﹣b ）C ．（﹣a ，﹣b ）D ．（﹣b ，﹣a ） 14．若位于x 轴上方、且到点A （﹣2，0）和B （2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C ，点P 的坐标为（a ，b ），则“”是“点P 在曲线C 上”的（） A ．.充分不必要条件 B ．.必要不充分条件C ．.充要条件D ．既非充分又非必要条件15．在圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y=15内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则|AC |•|BD |的值为（）A ．B ．C ．D ．16．对数列{a n }，{b n }，若对任意的正整数n ，都有[a n +1，b n +1]⊊[a n ，b n ]且，则称[a 1，b 1]，[a 2，b 2]，…为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（） A ． B ．C ．D ．三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17．已知两直线l 1：x +（m +1）y +m ﹣2=0，l 2：mx +2y +8=0．（1）当m 为何值时，直线l 1与l 2垂直；（2）当m为何值时，直线l1与l2平行．18．在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），圆E 是△ABC的外接圆．（1）求圆E的方程；（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程．19．已知是不平行的两个向量，k是实数，且．（1）用表示；（2）若，记，求f（k）及其最小值．20．在数列{a n}中，，且对任意n∈N*，都有．（1）计算a2，a3，a4，由此推测{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，求无穷数列{b n}的各项之和与最大项．21．已知点P是曲线上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程；（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围；（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．椭圆x2+4y2=100的长轴长为20．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的简单性质求解．【解答】解：椭圆x2+4y2=100化为标准形式，得：=1，∴a=10，b=5，∴椭圆x2+4y2=100的长轴长为2a=20．故答案为：20．2．已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ=﹣，即可得出．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ=﹣，∴θ=．故答案为：．3．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组．【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得．【解答】解：由题意，方程组解之得故答案为4．行列式中﹣3的代数余子式的值为﹣5．【考点】三阶矩阵．【分析】写出行列式的﹣3的代数余子式，再计算，即可得到结论．【解答】解：由题意，行列式中﹣3的代数余子式为﹣=﹣（3+2）=﹣5故答案为：﹣55．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM 所在直线的方程为3x﹣2y+2=0．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】由AC的中点M（2，4），利用两点式方程能求出AC边上的中线所在的直线方程．【解答】解：∵AC的中点M（2，4），∴AC边上的中线BM所在的直线方程为：=，整理，得3x﹣2y+2=0，故答案为：3x﹣2y+2=0．6．已知直线l1的方程为3x﹣y+1=0，直线l2的方程为2x+y﹣3=0，则两直线l1与l2的夹角是．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】设直线l1与l2的夹角的大小为θ，求出直线的斜率，则由题意可得tanθ=||=1，由此求得θ的值．【解答】解：设直线l1与l2的夹角的大小为θ，则θ∈[0，π），由题意可得直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为﹣2，tanθ=||=1，解得θ=，故答案为：．7．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是2k．【考点】数学归纳法．【分析】观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k．故答案为2k．8．执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知中p输入6，可得：进入循环的条件为n＜6，即n=1，2，…，5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当n=1时，S=0+2﹣1=；当n=2时，S=+2﹣2=；当n=3时，S=+2﹣3=；当n=4时，S=+2﹣4=；当n=5时，S=+2﹣5=；当n=6时，退出循环，则输出的S为：．故答案为：．9．若圆C的方程为x2+y2﹣2ax﹣1=0，且A（﹣1，2），B（2，1）两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据A，B与圆的位置关系讨论列出不等式解出a．【解答】解：（1）若A在圆内部，B在圆外部，则，解得a＜﹣2．（2）若B在圆内部，A在圆外部，则，解得a＞1．综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．故答案为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．10．若，且存在，则实数a的取值范围是﹣1≤a ＜2．【考点】极限及其运算．【分析】根据得出﹣1＜＜1，再根据存在得出﹣1＜≤1，由此求出实数a的取值范围．【解答】解：∵，∴=，∴﹣1＜＜1，解得﹣4＜a＜2；又存在，∴﹣1＜≤1，解得﹣1≤a＜3；综上，实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．故答案为：﹣1≤a＜2．11．已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，﹣1）且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且，则点M的轨迹方程为9x+6y+1=0．【考点】轨迹方程；向量数乘的运算及其几何意义．【分析】先设M（x，y），可讨论l1是否存在斜率：（1）不存在斜率时，可求出A（1，0），B（0，﹣1），从而由可以求出x=，即点M（），（2）存在斜率时，可设斜率为k，从而可以分别写出直线l1，l2的方程，从而可以求出，这样根据便可用k分别表示出x，y，这样消去k便可得出关于x，y的方程，并验证点是否满足该方程，从而便得出点M的轨迹方程．【解答】解：设M（x，y），（1）若l1不存在斜率，则：l1垂直x轴，l2垂直y轴；∴A（1，0），B（0，﹣1）；∴由得，（x﹣1，y）=2（﹣x，﹣1﹣y）；∴；∴；即；（2）若l1斜率为k，l2斜率为，则：l1：y﹣4=k（x﹣1），令y=0，x=；∴；l2：，令x=0，y=；∴；∴由得，；∴；∴消去k并整理得：9x+6y+1=0；点满足方程9x+6y+1=0；综（1）（2）知，点M的轨迹方程为9x+6y+1=0．故答案为：9x+6y+1=0．12．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是[﹣20，4]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先建立平面直角坐标系：以C为原点，平行于AB的直线为x轴，这样便可建立坐标系，然后便可根据条件确定出A，B点的坐标，并根据题意设P（3cosθ，3sinθ），从而可求出的坐标，进行数量积的坐标运算便得出，这样根据﹣1≤cosθ≤1便可求出的取值范围．【解答】解：如图，以C为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴，垂直于AB的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则：；点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点；∴设P（3cosθ，3sinθ）；∴；∴；∵﹣1≤cosθ≤1；∴﹣20≤﹣12cosθ﹣8≤4；∴的取值范围为[﹣20，4]．故答案为：[﹣20，4]．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.13．点（a，b）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（）A．（1﹣b，1﹣a）B．（1﹣a，1﹣b）C．（﹣a，﹣b）D．（﹣b，﹣a）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设出对称点的坐标列出方程组求解即可．【解答】解：点（a，b）关于直线x+y=1对称的点为（x，y），则，解得：，故选：A．14．若位于x轴上方、且到点A（﹣2，0）和B（2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C，点P的坐标为（a，b），则“”是“点P在曲线C上”的（）A．.充分不必要条件B．.必要不充分条件C．.充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意可得：（a+2）2+b2+（a﹣2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b＞0）．即可判断出结论．【解答】解：由题意可得：（a+2）2+b2+（a﹣2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b＞0）．∴“点P在曲线C上”⇒“”，反之也成立．∴“”是“点P在曲线C上”的充要条件．故选：C．15．在圆x2+y2﹣2x﹣6y=15内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则|AC|•|BD|的值为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，即可求出AC与BD的乘积．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=25，则圆心坐标为（1，3），半径为5，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=10，MB=5，ME=，所以BD=2BE=2=4，所以|AC|•|BD|=10•4=40．故选：C．16．对数列{a n }，{b n }，若对任意的正整数n ，都有[a n +1，b n +1]⊊[a n ，b n ]且，则称[a 1，b 1]，[a 2，b 2]，…为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（） A ． B ．C ．D ．【考点】数列的极限．【分析】对于A ，运用数列的极限，即可判断；对于B ，运用n=1时，两区间的关系，即可判断；对于C ，运用n=1时，判断两区间的关系，即可得到结论；对于D ，运用指数函数的单调性和数列的极限的公式，计算即可得到结论．【解答】解：对于A ，（b n ﹣a n ）=﹣=2﹣1=1≠0，故不构成区间套；对于B ，当n=1时，[a 1，b 1]=[，]，[a 2，b 2]=[，]，显然不满足[a 2，b 2]⊊[a 1，b 1]，故不构成区间套；对于C ，当n=1时，[a 1，b 1]=[，]，[a 2，b 2]=[，]，显然不满足[a 2，b 2]⊊[a 1，b 1]，故不构成区间套对于D ，由1﹣（）n ＜1﹣（）n +1＜1+（）n +1＜1+（）n ，满足[a n +1，b n +1]⊊[a n ，b n ]；又（b n ﹣a n ） =[1﹣（）n ]﹣[1+（）n ]=1﹣1=0，故构成区间套．故选：D ．三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17．已知两直线l 1：x +（m +1）y +m ﹣2=0，l 2：mx +2y +8=0．（1）当m 为何值时，直线l 1与l 2垂直；（2）当m 为何值时，直线l 1与l 2平行．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）利用两直线垂直的充要条是 A 1A 2+B 1B 2=0，可得 1×m +（1+m ）•2=0，由此求得解得m 的值．（2）由两直线平行的充要条件是=≠，由此求得解得m 的值．【解答】解：（1）∵两条直线l 1：x +（1+m ）y +m ﹣2=0，l 2：mx +2y +8=0，由两直线垂直的充要条件可得 A 1A 2+B 1B 2=0，即1×m+（1+m）•2=0，解得m=﹣．（2）由两直线平行的充要条件可得=≠，即=≠，解得：m=1．18．在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），圆E 是△ABC的外接圆．（1）求圆E的方程；（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出圆心坐标和半径即可得到结论．（2）根据直线和圆相切的性质，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）∵在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），∴AB是直径，则AB的中点（﹣1，0），即圆心E（﹣1，0），半径R=|BE|====5，则圆E的方程为（x+1）2+y2=25．（2）∵（4+1）2+102=125＞25，∴点M在圆外，当切线斜率不存在时，此时切线方程为x=4，到圆心的距离d=4﹣（﹣1）=5．此时满足直线和圆相切，当直线斜率存在时，设为k，则切线方程为y﹣10=k（x﹣4），即kx﹣y+10﹣4k=0，则圆心到直线的距离d===5，即|2﹣k|=，平方得4﹣4k+k2=1+k2，即4k=3，则k=，此时切线方程为3x﹣4y+28=0，综上求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程为3x﹣4y+28=0或x=4．19．已知是不平行的两个向量，k是实数，且．（1）用表示；（2）若，记，求f（k）及其最小值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）==k+=k（）+，（2）利用（1）的结论，对取平方，转化为二次函数求最值．【解答】解：（1）==k+=k（）+=（1﹣k）+k．（2）=2×=﹣1．∴||2=[（1﹣k）+k]2=4（1﹣k）2+k2﹣2k（1﹣k）=7k2﹣10k+4=7（k﹣）2+．∴f（k）=．f（k）的最小值为=．20．在数列{a n}中，，且对任意n∈N*，都有．（1）计算a2，a3，a4，由此推测{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，求无穷数列{b n}的各项之和与最大项．【考点】数学归纳法；数列的函数特性．【分析】（1）由，且对任意n∈N*，都有．可得a2==，a3=，a4=．由此推测{a n}的通项公式，a n=．再利用数学归纳法证明即可得出．（2），可得b n=+9，利用等比数列的前n项和公式可得：无穷数列{b n}的各项之和T n．【解答】解：（1）∵，且对任意n∈N*，都有．∴a2==，a3==，a4==．由此推测{a n}的通项公式，a n=．下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1==成立；②假设当n=k∈N*时，a k=．===，则n=k+1时，a k+1因此当n=k+1时也成立，综上：∀n∈N*，a n=成立．（2），∴b n=（﹣2）n=+9，∴无穷数列{b n}的各项之和T n=+=﹣=+﹣．当n=2k（k∈N*）时，T n=+﹣，T n单调递减，因此当n=2时，取得最大值T2=．当n=2k﹣1（k∈N*）时，T n=×﹣﹣，T n单调递增，且T n＜0．综上可得：T n的最大项为T2=．21．已知点P是曲线上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程；（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围；（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）设Q（x，y），P（x′，y′），由=2，可得（x，y）=﹣2（x′，y′），可得，代入曲线C1的方程可得曲线C2的方程．（2）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．利用数量积运算性质可得：=﹣6﹣，利用二次函数与三角函数的值域即可得出．（3）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．设经过点P的直线方程为：y﹣sinθ=k （x﹣2cosθ），M（x1，y1），N（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2﹣8k（sinθ﹣2kcosθ）x+4（sinθ﹣2kcosθ）2﹣16=0，可得|MN|=，点Q到直=d|MN|，通过三角函数代换，利用二次函数的单调性即可得线l的距离d．可得S△QMN出．【解答】解：（1）设Q（x，y），P（x′，y′），∵=2，∴（x，y）=﹣2（x′，y′），可得，代入+（y′）2=1，可得+=1，∴曲线C2的方程为+=1．（2）F1（﹣，0），F2（，0）．设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．则=（2cosθ+，sinθ）•（﹣4cosθ﹣，﹣2sinθ）=（2cosθ+）（﹣4cosθ﹣）+sinθ（﹣2sinθ）=﹣6﹣，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴∈．（3）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．设经过点P的直线方程为：y﹣sinθ=k（x﹣2cosθ），M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为：（1+4k2）x2﹣8k（sinθ﹣2kcosθ）x+4（sinθ﹣2kcosθ）2﹣16=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴|MN|==，点Q到直线l的距离d==．=d|MN|=6|sinθ﹣2kcosθ|．∴S△QMN令|sinθ﹣2kcosθ|=|sinα|，=6|sinα|，令|sinα|=t∈[﹣1，1]，则S△QMN=6t=f（t），令|sinα|=t∈[﹣1，1]，∴S△QMN则f2（t）=﹣36t4+144t2=﹣36（t2﹣2）2+144，当且仅当t2=1时，f（t）取得最大值6．。

2023-2024学年上海市高二上学期期末数学试题(含解析)

2023-2024学年上海市高二上学期期末数学试题一、填空题1．空间两点()1,1,2A 和()2,0,2B -间的距离为__．【分析】直接由空间中两点的距离公式得出.【详解】AB =故答案为2y 10-+=的倾斜角为______．【正确答案】3π【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．10y -+=的倾斜角为θ．10y -+=化为1y +，故tan θ=，又(]0,θπ∈，故3πθ=，故答案为3π．一般地，如果直线方程的一般式为()00Ax By C B ++=≠，那么直线的斜率为A k B =-，且tan θk =，其中θ为直线的倾斜角，注意它的范围是(]0,π．3．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为__________．【正确答案】1:8【详解】试题分析：由求得表面积公式24S R π=得半径比为1:2，由体积公式343V R π=可知体积比为1:8球体的表面积体积4．经过点(3,2)A -且斜率为2的直线l 的一般式方程为__．【正确答案】280x y --=【分析】根据点斜式公式直接求解即可.【详解】解：因为直线l 过点(3,2)A -且斜率为2，所以，直线l 的方程为22(3)y x +=-，即280x y --=．故280x y --=5．空间向量(1,0,),(2,,4)a m b n =-=- ，若//a b ，则m n +=__．【正确答案】2【分析】由向量平行的坐标运算求得,m n 即可求得m n +的值.【详解】若//a b ，则(2,,4)2(1,0,)n m -=--，则0,2n m ==，所以2m n +=．故26．某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取_________名学生．【正确答案】40【详解】试题分析：该学院的C 专业共有1200-380-420=400，所以，在该学院的C 专业应抽取学生数为400×1201200=40.本题主要考查分层抽样．点评：简单题，分层抽样应满足：各层样本数÷该层样本容量=抽样比．7．若向量()()1,0,1,0,1,1a b ==- ，则向量,a b 的夹角为_____．【正确答案】23π【分析】直接利用空间向量的夹角公式求解.【详解】根据题意，设向量,a b 的夹角为θ，向量()()1,0,1,0,1,1a b ==-则向量1a b a b =⋅=- 则1cos2θ=-又由0θπ≤≤，则23πθ=故23π．8．棱长为2的正方体的外接球的表面积为______．【正确答案】12π【分析】求出正方体的体对角线的长度，就是它的外接球的直径，求出半径，进而求出球的表面积.【详解】棱长为2的正方体的外接球的直径等于其体对角线长度，所以外接球的直径=24122S ππ⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭故12π9．已知圆锥的底面半径为1θ的大小为_________．【正确答案】π圆锥的底面半径为12π，即展开图的弧长，根据勾股定理可知圆锥母线即展开图的半径，再利用弧长公式计算.【详解】圆锥的底面半径为12=，即展开后所得扇形的半径为2，圆锥底面圆的周长2l π=即为展开后所得扇形的弧长，所以根据弧长公式可知22πθ=，解得θπ=故π10．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10，则xy =________.【正确答案】96【详解】9101150,20x y x y ++++=+=，2211(10)(10)10x y ++-+-=，22220()192,()220()192,96x y x y x y xy x y xy +-+=-+--+=-=11．已知异面直线,a b 所成角为3π，过空间一点P 有且仅有2条直线与,a b 所成角都是θ，则θ的取值范围是___________.【正确答案】,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将直线,a b 平移交于点P ，并作a Pb ''∠及其外角的角平分线；根据过空间一点P 有且仅有2条直线与,a b 所成角都是θ，可知1l 方向上有两条，2l 方向上不存在，由此可得范围.【详解】将直线,a b 平移交于点P ，设平移后的直线为,a b ''，过点P 作a Pb ''∠及其外角的角平分线12,l l ，则3a Pb π''∠=；在1l 方向，要使过空间一点P 的直线，且与,a b 所成角都是θ的直线有两条，则6πθ>；在2l 方向，要使过空间一点P 的直线，且与,a b 所成角都是θ的直线不存在，则3πθ<；综上所述.,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为.,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的中点C ，则小虫爬行的最短距离为________．【正确答案】5【分析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．详解：由题意知底面圆的直径AB ＝2，故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n °，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝4π180n ，解得n ＝90，所以展开图中∠PSC ＝90°，根据勾股定理求得PC ＝所以小虫爬行的最短距离为故答案为点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点12,P P 分别是线段1,AB BD （不包括端点）上的动点，且线段12PP 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是___________.【正确答案】124【分析】由线面平行的性质定理知121//PP AD ，12PP B ∴ ∽1AD B ，112211PB PP P B AB AD BD ==，设1,(0,1)PB x x =∈，则12PP =，2P 到平面11AA B B 的距离为h ，则2111P B h A D BD =,所以h x =，所以四面体121PP AB 的体积为22111111(1)1()()3266224V x x x x x =⨯⨯-⨯⨯=-=--+，当12x =时，四面体121PP AB 的体积取得最大值：124．所以答案应填：124．1、柱、锥、台体体积；2、点、线、面的位置关系．【思路点睛】本题考查正方形中几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．由线面平行的性质定理知121//PP AD ，12PP B ∴∽1AD B ，设出1,(0,1)PB x x =∈，则122PP ，2P 到平面11AA B B 的距离为x ，表示出四面体121PP AB 的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．14．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+ ，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号）①当1λ=时，1AB P △的周长为定值②当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值③当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥④当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 【正确答案】②④【分析】①结合1λ=得到P 在线段1CC 上，结合图形可知不同位置下周长不同；②由线面平行得到点到平面距离不变，故体积为定值；③结合图形得到不同位置下有1A P BP ⊥，判断出③错误；④结合图形得到有唯一的点P ，使得线面垂直.【详解】由题意得：1BP BC BB λμ=+ ，[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，所以P 为正方形11BCC B 内一点，①，当1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，即1CP BB μ=，[0,1]μ∈，所以P 在线段1CC 上，所以1AB P △周长为11AB AP B P ++，如图1所示，当点P 在12,P P 处时，111122B P AP B P AP +≠+，故①错误；②，如图2，当1μ=时，即1BP BC BB λ=+ ，即1B P BC λ=，[0,1]λ∈，所以P 在11B C 上，1113P A BC A BC V S h -=⋅ ，因为11B C ∥BC ，11B C ⊄平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以点P 到平面1A BC 距离不变，即h 不变，故②正确；③，当12λ=时，即112BP BC BB μ=+ ，如图3，M 为11B C 中点，N 为BC 的中点，P 是MN 上一动点，易知当0μ=时，点P 与点N 重合时，由于△ABC 为等边三角形，N 为BC 中点，所以AN ⊥BC ，又1AA ⊥BC ，1AA AN A = ，所以BN ⊥平面1ANMA ，因为1A P ⊂平面1ANMA ，则1BP A P ⊥，当1μ=时，点P 与点M 重合时，可证明出1A M ⊥平面11BCC B ，而BM ⊂平面11BCC B ，则1A M BM ⊥，即1A P BP ⊥，故③错误；④，当12μ=时，即112BP BC BB λ=+ ，如图4所示，D 为1BB 的中点，E 为1CC 的中点，则P 为DE 上一动点，易知11A B AB ⊥，若1A B ⊥平面1AB P ，只需11A B B P ⊥即可，取11B C 的中点F ，连接1,A F BF ，又因为1A F ⊥平面11BCC B ，所以11A F B P ⊥，若11A B B P ⊥，只需1B P ⊥平面1A FB ，即1B P BF ⊥即可，如图5，易知当且仅当点P 与点E 重合时，1B P BF ⊥故只有一个点P 符合要求，使得1A B ⊥平面1AB P ，故④正确.故选：②④立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决.二、单选题15．下列几何体中，多面体是（）【正确答案】B【分析】判断各选项中几何体的形状，从而可得出多面体的选项.【详解】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.本题考查多面体的判断，要熟悉多面体与旋转体的基本概念，考查对简单几何体概念的理解，属于基础题.16．类比平面内“垂直于同条一直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【正确答案】B【分析】垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、或异面，判断①；由直线与平面平行的性质判断②；由平面平行的判定定理判断③；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，判断④．【详解】垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、或异面，①错误；垂直于同一个平面的两条直线互相平行，由直线与平面平行的性质知②正确；垂直于同一条直线的两个平面互相平行，由平面平行的判定定理知③正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，④错误；故选：B本题考查命题的真假判断，考查空间点线面的位置关系，属于基础题．17．“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件【正确答案】C【分析】根据直线与平面平行的性质及判定定理可得．【详解】直线l 的方向向量与平面的法向量垂直，不一定得到直线与平面平行，例如直线在平面内的时候就不满足，当直线l 与平面α平行时，可以得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，∴前者不能推出后者，后者可以推出前者，∴前者是后者的必要不充分条件，即“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的必要不充分条件.故选：C18．已知集合A 是集合B 的真子集，则下列关于非空集合A ，B 的四个命题：①若任取x A ∈，则x B ∈是必然事件；②若任取x A ∉，则x B ∈是不可能事件；③若任取x B ∈，则x A ∈是随机事件；④若任取x B ∉，则x A ∉是必然事件．其中正确的命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【正确答案】C【分析】、由题意作出韦恩图，结合必然事件、不可能事件和随机事件的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为集合A 是集合B 的真子集，所以集合A 中的元素都在集合B 中，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，作出其韦恩图如图：对于①：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x A ∈，则x B ∈是必然事件，故①正确；对于②：任取x A ∉，则x B ∈是随机事件，故②不正确；对于③：因为集合A 是集合B 的真子集，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，集合B 中也存在集合A 中的元素，所以任取x B ∈，则x A ∈是随机事件，故③正确；对于④：因为集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x B ∉，则x A ∉是必然事件，故④正确；所以①③④正确，正确的命题有3个．故选：C ．19．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是A ．若侧棱的长小于底面的变长，则hd的取值范围为(0,1)B ．若侧棱的长小于底面的变长，则h d的取值范围为(,23C ．若侧棱的长大于底面的变长，则h d的取值范围为(3D ．若侧棱的长大于底面的变长，则h d的取值范围为)+∞【正确答案】C【详解】设侧棱长是b ，底面的变长是a ，点1B 到对角线1BD 的距离h 即为直角三角形11B BD 斜边1BD上的高，111,,B D B B b h ===1B 到平面11A BCD 的距离分别d 即为直角三角形1B BA 斜边1B A上的高，111,,B A a B B b h h d ==∴=若侧棱的长小于底面的边长，即b a <22222142,111231a a b b ><+<⇒<+A,B 错误；若侧棱的长大于底面的边长，即b a >222221402,21231a a b b <<>+>+选C20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段11B C 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（）A．B．[3C．D．3【正确答案】C【分析】设出正方体棱长，表达出sin α=判断出sin y α=在[0,2]a ∈是严格减函数，从而求出最值，得到取值范围.【详解】设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,2),(2,2,0),(0,0,0),(1,1,0),(,2,2)A B D O P a ，02a ≤≤，1(2,0,2),(2,2,0),(1,1,2)DA DB OP a ===-，设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z = ，则1220220n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，得(1,1,1)n =--，所以3sin cos ,3||||OP n n OP n α⋅===⋅⋅=3=因为02a≤≤，所以14ya=-在[0,2]a∈上单调递减，且1113,,42414a⎡⎤⎛⎫∈--⊆-∞-⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭，由复合函数单调性可知21351441414ya⎛⎫=++⎪-⎝⎭单调递增，所以sinyα=在[0,2]a∈是严格减函数，所以2a=时，sinα取最小值min(sin)α==，a=时，sinα取最大值max(sin)33α==．所以sinα的取值范围是．故选：C．方法点睛：线面角最值求解，常常用到以下方法：一是向量法，建立空间直角坐标系，需要引入变量，转化为函数的最值问题进行求解；二是定义法，常常需要作出辅助线，找到线面角，求出最值，常用知识点有正弦定理，余弦定理，基本不等式等；三、解答题21．甲、乙两位同学上课后独自完成自我检测题，甲及格概率为45，乙及格概率为35，求：(1)求甲、乙两人都及格的概率；(2)求至少有一人及格的概率；(3)求恰有一人及格的概率．【正确答案】(1)1225(2)2325(3)1125【分析】（1）根据独立事件的乘法公式求解即可；（2）先求出两人都不及格的概率，再根据对立事件概率求解即可；（3）根据独立事件的乘法公式求解即可；【详解】（1）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，甲、乙两人都及格的概率143125525P =⨯=.（2）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，两人都不及格的概率为432(15525--=，所以，至少有一人及格的概率222312525P =-=；（3）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，恰有一人及格的概率3434311(1)(1)555525P =⨯-+-⨯=．22．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，L ，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)求该企业50名职工对该部门评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值表示）；(3)从评分在[40,60)的职工的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50,60)的概率．【正确答案】(1)0.006a =(2)80(3)310【分析】（1）根据频率和为1求解即可；（2）直接根据频率分布直方图计算平均数即可；（3）先计算各组的频数，再结合古典概型公式计算即可；【详解】（1）解：因为(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，解得0.006a =；所以0.006a =（2）解：可估算样本平均数为450.04550.06650.22750.28850.22950.1880x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）解：由题知，500.004102⨯⨯=人，500.006103⨯⨯=，所以，评分在[40,50)的职工有2人，记为,A B ，评分在[50,60)的职工有3人，记为,,a b c ，所以，从中随机抽取2人，所有的情况为：()()()(),,,,,,,A B A a A b A c ，()()(),,,,,B a B b B c ，()()(),,,,,a b a c b c ，共10种，其中，此2人评分都在[50,60)的有()()(),,,,,a b a c b c ，3种，所以，此2人评分都在[50,60)的概率310P =．23．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,E F 分别为1BB CD 、的中点，求：(1)异面直线AF 与1D E 所成的角；(2)求点F 到平面11A D E 的距离．【正确答案】(1)(2)5【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；（2）根据空间距离的向量方法求解即可.【详解】（1）以1D 为原点，11111,,D A D C D D 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,1,2),(0,0,0),(2,0,(20),0,2),(2,,2,1)A A F D E ，1(2,1,0),(2,2,1)AF D E =-=，11111cos ,15||||A F D E AF D E A F D E ⋅==-，所以异面直线AF 与1D E所成的角为arccos15；（2）111(2,0,0),(2,2,1)D A D E ==，设(,,)n x y z =是平面11A D E 的法向量，则11120220n D A x n D E x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1y =-，得(0,1,2)n =- ，又1(0,1,2)D F =，所以点F 到平面11A D E 的距离1||355||n D F d n ⋅==．24．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面圆周上（点E 异于A 、B 两点），点F 在DE 上，且AF D E ⊥，若圆柱的底面积与ABE 的面积之比等于π．(1)求证：AF BD ⊥；(2)求直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值．【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，结合圆的性质，可得答案；（2）根据线面角的定义，结合面面垂直性质，利用几何法，可得答案.【详解】（1）根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ．因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥．因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，又AE AD A ⋂=，故EB ⊥平面DAE ．因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥．又AF D E ⊥，且EB DE E =I ，故AF ⊥平面DEB ．因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．（2）因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以过E 作EH AB ⊥，由平面ABCD ⋂平面ABE AB =，则EH ⊥平面ABCD ，即EDH ∠为DE 与平面ABCD 所成角，设圆柱的底半径为r ，因为圆柱的轴截面ABCD 是正方形，ABE 的面积为12S AB EH r EH =⋅⋅=⋅．圆柱的底面积2S r π=，因为圆柱的底面积与ABE 的面积之比等于π，所以2r EH r ππ⋅⋅=，解得EH r =，所以点H 为圆柱底面圆的圆心，则tan EH EDH DH ∠====即直线DE 与平面ABCD 25．如图，正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，侧棱长是P 为侧棱SD 上的点．(1)求正四棱锥S ABCD -的体积；(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P AC D --的大小；(3)在（2）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ．若存在，求:SE EC 的值；若不存在，试说明理由．【正确答案】(1)463(2)30︒(3)当:2:1SE EC =时，//BE 平面PAC ．【分析】（1）作出辅助线，找到正四棱锥的高，并求出长度，利用锥体体积公式求出答案；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小；（3）在第二问的基础上，设CE tCS = ，通过BE BC tCS =+ 得到BE的坐标，结合0BE DS ⋅= 求出t 的值，求出答案.【详解】（1）连接BD 与AC 相交于点O ，连接SO ，因为正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，侧棱长是22所以SO ⊥平面ABCD ，2AO BO CO DO ====即SO 为正四棱锥的高，故正四棱锥的高22(22)(2)6h -正方形ABCD 的面积为224=，所以正四棱锥S ABCD -的体积143V =⨯（2）以O 为坐标原点，,,O OC O B S分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图．由（1）知高SO =于是(S D C ，(OC SD ==，0OC SD ⋅=，故OC SD ⊥，从而AC SD ⊥，所以平面PAC 的一个法向量DS =，平面DAC 的一个法向量OS =．由图可知二面角P AC D --为锐角，设所求二面角为θ，则cos ||||OS DS OS DS θ⋅== 所求二面角的大小为30︒；（3）在棱SC 上存在一点E 使//BE 平面PAC ．由（2）得DS是平面PAC 的一个法向量，且(0,DS CS == ，设CE tCS = ，则()BE BC CE BC tCS =+=+=，而103BE DS t ⋅=⇔= ，即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥ ，而BE 不在平面PAC 内，故//BE 平面PAC ．。

上海市杨浦区控江中学19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)

上海市杨浦区控江中学19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.方程x2+y2−x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是()A. m≤2B. m<2C. m<12D. m≤122.若直线l1：x+3y+m=0(m>0)与直线l2：2x+6y−3=0的距离为√10，则m=()A. 7B. 172C. 14D. 173.设P是椭圆上的一点，F1、F2是焦点，若，则的面积为()A. B. C. D. 164.如图，两个椭圆x225+y29=1，y225+x29=1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上任意一点，给出下列三个判断：①P到F1(−4,0)、F2(4,0)、E1(0,−4)、E2(0,4)四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y=x、y=−x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36．上述判断中正确命题的个数为()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知直线l的方程为3x+4y−12=0，则与l平行且过点(−1,3)的直线方程是_________．6.过点(−2,5)，且与圆x2+y2+2x−2y+1=0相切的直线方程为：______ ．7.等轴双曲线的一个焦点是F1(−6,0)，则其标准方程为__________。

8.已知动点M到定点F1(−4,0)，F2(4,0)的距离之和不小于8的常数，则动点M的轨迹是________．9.已知直线l1的倾斜角为α，直线l2与l1关于x轴对称，则直线l2的倾斜角为_________．10. 已知向量a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(6,−4).若a⃗ ⊥(t a ⃗ +b ⃗ )，则实数t 的值为________． 11. 若直线x +√3y −2=0与圆x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于______． 12. 已知点P(10,0)，Q 为圆x 2+y 2=16上一动点，当点Q 在圆上运动时，PQ 的中点M 的轨迹方程是________． 13. 设椭圆x 225+y 2b =1(0<b <5)的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则b 值为______．14. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，直线y =43x 与双曲线相交于A 、B 两点.若AF ⊥BF ，则双曲线的渐近线方程为______．15. 在ΔABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设CD ⃗⃗⃗⃗⃗ //AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，则λ的值为__________．16. 已知两定点A(−2,0)，B(1,0)，若动点P 满足|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所围成的图形的面积为．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 已知向量a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =3e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，其中e 1⃗⃗⃗ =(1,0)，e 2⃗⃗⃗ =(0,1)，求： (1)a ⃗ ⋅b ⃗ ；(2)a ⃗ 与b ⃗ 夹角的余弦值．18. 若方程x +y −6√x +y +3m =0表示两条直线，求m 的取值范围．19.已知双曲线的渐近线的方程为y=±√2x，并经过点P(2,√2).(1)求双曲线的标准方程；(2)经过双曲线的右焦点F2且倾斜角为30°的直线l交双曲线于A、B两点，求|AB|．20.设抛物线C：y2=2x，点A(2,0)，B(−2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM=∠ABN．21.已知动圆C过定点F(2,0)，且与直线x=−2相切，圆心C的轨迹为E，(Ⅰ)求E的轨迹方程；(Ⅱ)若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标(1,1)，求|PQ|-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查二元二次方程表示圆的条件，属基础题．由二元二次方程表示圆的条件得到m 的不等式，解不等式即可．解：若二元二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0表示圆则D 2+E 2−4F >0，所以方程x 2+y 2−x +y +m =0表示一个圆，则1+1−4m >0，所以m <12，故选C ．2.答案：B解析：本题考查两平行直线间的距离，属于基础题．根据题意，利用两平行线间的距离公式即可求得结果．解：由x +3y +m =0，得2x +6y +2m =0，因此直线l 1与l 2的距离为d =√22+62=√10，解得m =172或m =−232(舍去)．故选B ．3.答案：B解析：解答：由椭圆焦点三角形面积公式得，又，所以4.答案：C解析：本题考查了椭圆的定义及对称性，属于基础题．根据椭圆的定义可知①错误；根据椭圆的对称性可知②正确；根据椭圆的短轴长确定曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，故③正确．解：对于①，若点P在椭圆x225+y29=1上，P到F1(−4,0)、F2(4,0)两点的距离之和为定值、到E1(0,−4)、E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故错；对于②，根据椭圆的对称性，曲线C关于直线y=x、y=−x均对称，故正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确．故选C．5.答案：3x+4y−9=0解析：本题考查了直线方程的点斜式，一般式，属于基础题．根据直线平行先求出其斜率，再利用点斜式就可求得该直线方程．解：由已知得，所求直线的斜率与直线l的相同，均为−34，由点斜式得所求直线的方程为y−3=−34(x+1)，即3x+4y−9=0，故答案为3x+4y−9=0．6.答案：x=−2或15x+8y−10=0解析：解：将圆的方程化为标准方程得：(x+1)2+(y−1)2=1，∴圆心坐标为(−1,1)，半径r=1，若直线l斜率不存在，此时直线l为x=−2与圆相切；若直线l斜率存在，设为k，得到直线l方程为y−5=k(x+2)，即kx−y+2k+5=0，∵直线l与圆相切，∴圆心到直线l的距离d=r，即√k2+1=1，解得：k=−158，此时直线l的方程为15x+8y−10=0，综上，直线l的方程为x=−2或15x+8y−10=0．故答案为：x=−2或15x+8y−10=0．将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r，分两种考虑：当直线l斜率不存在时，直线l方程为x=−3满足题意；当直线l斜率存在时，设为k，由P坐标与k表示出直线l方程，由直线l与圆相切，得到圆心到直线l的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时直线l的方程，综上，得到所求满足题意直线l的方程．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线的一般式方程，利用了分类讨论的思想，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．7.答案：x218−y218=1解析：本题考查双曲线的简单性质，属基础题.由题意可设等轴双曲线方程为x2a2−y2a2=1(a>0)，由焦点坐标可得c=6，即有2a2=36，解出a，即可得到双曲线的方程和渐近线方程．解：由题意可设等轴双曲线方程为x2a2−y2a2=1(a>0)，由焦点坐标可得c=6，即有2a2=36，解得a2=18，所以等轴双曲线的标准方程为x218−y218=1．故答案为x218−y218=1．8.答案：以F1、F2为焦点的椭圆或线段F1F2解析：本题考查动点的轨迹方程，根据条件结合椭圆的定义即可得出答案，属于基础题．解：当动点M到定点F1(−4,0)，F2(4,0)的距离之和为大于8的常数时，动点M的轨迹为以F1、F2为焦点的椭圆；当动点M到定点F1(−4,0)，F2(4,0)的距离之和等于8时，动点M的轨迹为线段F1、F2．故答案为：以F1、F2为焦点的椭圆或线段F1F2．9.答案：π−α解析：此题考查直线的倾斜角．根据直线l1的倾斜角与直线l2的倾斜角互补即可求．解：直线l1的倾斜角为α，直线l1的倾斜角与直线l2的倾斜角互补，直线l2的倾斜角为π−α．故答案为π−α．10.答案：−5解析：根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可．本题考查了向量的数量积的运算以及向量垂直的条件，属于基础题．解：∵向量a⃗=(1,−1)，b⃗ =(6,−4)，∴t a⃗+b⃗ =(t+6,−t−4)，∵a⃗⊥(t a⃗+b⃗ )，∴a⃗⋅(t a⃗+b⃗ )=t+6+t+4=0，解得t=−5，故答案为−5．11.答案：2√3解析：本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．易得圆的圆心和半径，由距离公式可得圆心到直线的距离d，由勾股定理可得|AB|．解析：解：∵圆x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径r=2，∴圆心到直线x+√3y−2=0的距离d=|−2|=1，2∴弦长|AB|=2√4−1=2√3．故答案为：2√3．12.答案：(x−5)2+y2=4解析：本题的考点是轨迹方程，本题宜用代入法求轨迹方程，设M(x,y)，Q(a,b)由于PQ的中点是M，点P(10,0)，故可由中点坐标公式得到a=2x−10，b=2y，又Q(a,b)为圆x2+y2=16上一点动点，将a=2x−10，b=2y代入x2+y2=16得到M(x,y)点的坐标所满足的方程，整理即得点M的轨迹方程．解：设M(x,y)，Q(a,b)由P(10,0)，M是PQ的中点故有a=2x−10，b=2y又Q为圆x2+y2=16上一动点，∴(2x−10)2+(2y)2=16整理得(x−5)2+y2=4故PQ的中点M的轨迹方程是(x−5)2+y2=4．故答案为(x−5)2+y2=4．13.答案：4解析：本题考查椭圆的简单性质，考查等差数列性质的应用，是基础的计算题．设椭圆焦距为2c ，由已知可得5+c =2b ，结合隐含条件求得b 可求．解析：解：设焦距为2c ，则有{25−b 2=c 25+c =2b，解得b 2=16，可得b =4．故答案为：4．14.答案：y =±2x解析：【分析】本题考查双曲线的几何性质以及直线与双曲线的位置关系，其中用到向量的数量积的坐标运算，属一般题．首先求得双曲线的右焦点，将直线代入双曲线方程，求得参数关系，再根据向量数量积的坐标表示，求得参数关系式，最后求得双曲线的渐近线方程．解：由题意可知：双曲线焦点在x 轴上，右焦点F (c,0)，则{y =43x x 2a 2+y 2b 2=1，整理得(9b 2−16a 2)x 2=9a 2b 2，即x 2=9a 2b 29b 2−16a 2，所以点A 与点B 关于原点对称，设A (x,43x),B (−x,−43x)，所以FA →=(x −c,43x),FB →=(−x −c,−43x)，因为AF ⊥BF ，所以FA →·FB →=0即(x −c )×(−x −c )+43x ×(−43x)=0,∴c 2=259x 2，所以a 2+b 2=259×9a 2b 29b 2−16a 2，整理得9b 4−32a 2b 2−16a 4=0,∴(b 2−4a 2)(9b 2+4a 2)=0，∵a >0,b >0∴b 2=4a 2，故b =2a ，双曲线的渐近线方程y =±2x ，故答案为y =±2x ．15.答案：65解析：本题考查用已知向量去表示未知向量，属于基础题．利用向量的三角形法则和四边形法即可求解．解：由题意知G 是ΔABC 的重心，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，设CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +x AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +x 3(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1+x 3)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +x 3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，于是x 3=15，即x =35，所以λ=1+x 3=65. 故答案为65． 16.答案：4π解析：【分析】本题本题考查直接法求轨迹方程.考查了两点间的距离公式、圆的标准方程、圆的面积公式，属于中档题．设P 点的坐标为(x,y)，利用两点间的距离公式代入等式|PA|=2|PB|，化简整理得(x −2)2+y 2=4，所以点P 的轨迹是一个圆，求出圆的半径利用圆面积公式，即可算出所求图形的面积．【解答】解：设P(x,y).由|PA|=2|PB|，得√(x +2)2+y 2=2√(x −1)2+y 2，∴3x 2+3y 2−12x =0，即x 2+y 2−4x =0．∴点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为2的圆，即点P 的轨迹所围成的图形的面积等于4π．17.答案：解：(1)∵向量a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =3e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，其中e 1⃗⃗⃗ =(1,0)，e 2⃗⃗⃗ =(0,1)，∴a ⃗ =(1,−2)，b ⃗ =(3,1)，a ⃗ ⋅b ⃗ =1×3−2×1=1(2)∵|a ⃗ |=√5，|b ⃗ |=√10，∴cos <a ⃗ ，b ⃗ >=√5√10=√210；解析：(1)运算得出a ⃗ =(1,−2)，b ⃗ =(3,1)，根据数量积的运算公式求解即可．(2)根据cos <a ⃗ ，b ⃗ >=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |求解即可．本题考查了平面向量的坐标运算，数量积，夹角问题，计算简单，属于基础题．18.答案：[0,3)解析：分析：本题考查直线方程的综合应用，属于基础题。

上海市控江中学高二上学期期末数学试卷及答案

8. 已知椭圆 x2 y2 1 的右焦点为 F ，过原点 O 作直线交椭圆于 A 、B 两点，点 A 在 x 轴
16 7 的上方，若三角形 ABF 的面积为 2，则点 A( p,q) 的纵坐标 q
9. 若实数 x 、 y 满足 y 1 x2 ，则 y 2x 的取值范围为 2
10.
已知双曲线 :
．
（2） l1 ∥l2 ，则 n1 ∥n2 ，解得 m 3 或 m 1 （此时 l1 、 l2 重合，舍）．
18．（1）由题意，得 A P 2PB ，由定比分点公式，得 x x A x B 1 2 1 1 ，
1
1 2 3
类似，
y
0
，∴
P
1 3
,
0
．
（2）设 P x , y ，由 PA 2 PB 可得 x 12 y2 2 x 12 y2 ，
并将这两个圆的圆内部分均涂满红色，过原点画一条斜率为 k 的直线 l ，沿着 l 将该纸剪成两张纸，若两张纸上红色部分的面积相等，则 k 的值的集合为
二. 选择题
13. 已知常数 D 、E 、F 是实数，则“ D2 E2 4F 0 ”是“方程 x2 y2 Dx Ey F 0
是圆方程”的（）条件
| PB | （1）若 P 在线段 AB 上，求 P 的坐标；（2）证明 P 总落在一个定圆上，并给出该定圆的方程.
19. 已知过点 P(2,0) 的直线 l 与抛物线 C : y2 4x 交于 A 、 B 两点. （1）若直线 l 的倾斜角为 30°，求 l 与抛物线 C 的准线的交点坐标；（2）求弦长| AB | 的最小值，并给出相应的直线 l 的方程.
2, 4 7
2
，
即直线 A M 斜率的取值范围是 4 3 2, 2

上海高二上学期期末数学试题(解析版)

一、填空题1．从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的概率是______． {}1,2,3,4a {}1,2,3b b a >【答案】##0.25 14【分析】首先根据题意用列举法写出全部基本事件，再利用古典概型公式求解即可. 【详解】从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为， {}1,2,3,4a {}1,2,3b 共有：，，，，，，，，，()1,1()1,2()1,3()2,1()2,2()2,3()3,1()3,2()3,3，，，共12个基本事件，()4,1()4,2()4,3则有，，，共有3个基本事件， b a >()1,2()1,3()2,3所以的概率为. b a >31124=故答案为：142．正方体中，分别为的中点，则与面所成的角是：_____ 1111ABCD A B C D -,E F 1,AA AB EF 11A C CA 【答案】30°【分析】作出线面角，根据等比三角形的性质求出线面角的大小.【详解】由于分别是的中点，所以，直线和平面所成的角的大小,E F 1,AA AB 1//EF A B EF 11A C CA 等于直线和平面所成的角.根据正方体的几何性质可知平面，所以1A B 11A C CA BD ⊥11A C CA 1OA B∠即直线和平面所成的角.在等边三角形中，是的中点，故，所以1A B 11A C CA 1A BD O BD 1AO BD ⊥.1160302OA B ∠=⨯=【点睛】本小题主要考查线面角的大小的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.3．已知三角棱O -ABC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MN ＝2GN ，设OA＝，＝，＝，则＝__________________（用基底（，，）表示）a OBb OC cOG a b c 【答案】1()4a b c ++【分析】画出几何体图形，根据条件知G 为MN 的中点，连接ON ，从而可得，1()2OG OM ON =+根据M ，N 是OA ，BC 的中点即可用表示出．,,a b c OG【详解】∵如上图，点G 在MN 上，且MN ＝2GN ，∴G 为MN 的中点，连接ON ，且M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，则：.1()2OG OM ON =+ 1()4OA OB OC =++1()4a b c =++ 故答案为：.1()4a b c ++4．如图,在正方体中,M 是的中点,O 是底面ABCD 的中心,P 是上的任意点,1111ABCD A B C D -1C C 11A B 则直线BM 与OP 所成的角为__________ .【答案】90︒【分析】本题考查异面直线所成的角,涉及线面垂直的判定与性质,关键是找到OP 所在的某个平面,利用正方体的结构特征和线面垂直的判定定理证明直线BM 与此平面垂直. 【详解】如图,取AD ,BC 的中点分别为E ,F ,连接EF ,FB 1,EA 1, 易得,∴BM ⊥B 1F ,1Rt BFB Rt CMB ≅A A 又∵AB ‖EF ,AB ⊥平面BCC 1B 1,∴EF ⊥平面BCC 1B 1, ∵BM ⊂平面BCC 1B 1,∴EF ⊥BM , 又∵EF ∩B 1F =F ,∴BM ⊥平面A 1B 1FE , 又∵OP ⊂平面A 1B 1FE , ∴BM ⊥OP ,∴BM 与OP 所成的角为90°, 故答案为：90°.5．已知一组数据4，，，5，7的平均数为4，则这组数的方差是________． 2a 3a -【答案】3.6【分析】先根据这组数据的平均数为4，求得a ，再利用方差公式求解.【详解】因为一组数据4，，，5，7的平均数为4， 2a 3a -所以， ()14235745a a ++-++=解得，1a =所以这组数据为，4,2,2,5,7所以这组数据的方差为 ()()()()()22222214424245474 3.65S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦故答案为：3.66．已知数列中，，则__．{}n a 111,n n a a a n +==+n a =【答案】222n n -+【分析】利用累加法求解即可．【详解】当时，，2n ≥11n n n a a -=--所以，121321()()()112(1)n n n a a a a a a a a n -=+-+-++-=++++- 222n n -+=又，符合，所以．11a =222n n n a -+=7．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中使三条直线共面的充分条件有．【答案】①④【分析】利用三棱柱与三棱锥，可得判定②、③错误，利用平面的基本性质与推理证明正确结论①、④正确，即可求解.【详解】由三棱柱的三条侧棱两两平行，可得②错误；由三棱锥的三条侧棱，两两相交于一点，可得③错误；选项①中，如图①所示，由题意可设直线m 与点A 所确定的平面为， α则再由平面的基本性质，可得直线、也在内．l n α选项④中，如图④所示，由题意可设直线m 与直线n 所确定的平面为， α则点A 与点B 均在平面内，则再由平面基本性质，可得直线也在平面内， αl α综合可得，①④正确；故答案为：①④．8．某单位制作了一个热气球用于广告宣传．已知热气球在第一分钟内能上升米，以后每分钟上30升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到米至少要经过__分钟． 2370【答案】4【分析】设热气球在第分钟上升的高度为米，分析可知数列为等比数列，确定该()n n *∈N n a {}n a 数列的首项和公比，求出数列的前项和，利用数列的单调性可得出，由此可{}n a n {}n S 3470S S <<得出结果.【详解】设热气球在第分钟上升的高度为米，()n n *∈N n a 则数列是首项为，公比为的等比数列，{}n a 3023经过分钟，热气球上升的总高度米，n 2301329012313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯- ⎪⎢⎥⎡⎤⎝⎭⎛⎫⎣⎦==⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-则数列单调递增，{}n S 因为，， 3321909017033S ⎡⎤⎛⎫=⨯-=<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦4426509017039S ⎡⎤⎛⎫=⨯-=>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以该气球至少要经过分钟才能上升到米． 470故答案为：.49．棱长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，，分别是棱，a 1111ABCD A B C D -O E F 1AA 1DD 的中点，则直线被球截得的线段长为__．EF O【分析】先求正方体外接球的半径R ，再根据过球心和点,的大圆的截面图，可得直线被O E F EF 球截得的线段为，进而可求解．QR 【详解】因为正方体内接于球，所以， 2R=R =过球心和点,的大圆的截面图如图所示，O E F则直线被球截得的线段为，过点作于点， QR O OP QR ⊥P 所以在中，． QPOA 2QR QP ===10．某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为___________. 【答案】0.21##21100【分析】设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为，利用互斥事件加法列出方程组即可,,A B C 求解.【详解】设抽到一等品，二等品，三等品分别为事件A ，B ，C则，则 ()()0.86()()0.35()()()1P A P B P B P C P A P B P C +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩()0.21P B =故答案为：0.2111．设数列的前n 项之积为，且．则数列的前n 项和{}n a n T *2(1)log ,2n n n T n N -=∈{}n a n S =_______．【答案】21n -【分析】由的定义求得，然后由等比数列的前项和公式计算． n T n a n 【详解】因为，所以，2(1)log 2n n n T -=(1)22n n n T -=则，1121a T ===时，，也适合． 2n ≥()()()1212112222n n n n n n n n T a T -----===11a =所以，为等比数列，．12n n a -=122112nn n S -==--故答案为：．21n -12．已知数列满足，若不等式恒成立，则实{}n a *111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++2410n ta n n ++≥数的取值范围是__________ t 【答案】[9,)-+∞【分析】根据题意化简得到，利用等差数列的通项公式化简得，把1111(1)n n n a na +-=+1(1)n a n n =+不等式，转化恒成立，结合基本不等式，即可求解. 2410nta n n++≥(4)(1)n n t n ++≥-【详解】由数列满足， {}n a *111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++可得，且，1111(1)n n n a na +-=+112a =所以数列表示首项为，公差为的等差数列，1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭21所以，所以， 111=+(1)1n n n na a -=+1(1)n a n n =+又由恒成立，即对恒成立，2410n ta n n++≥(4)(1)n n t n ++≥-n N *∈因为，(4)(1)4(5)5)9n n n n n ++-=-++≤-=-当且仅当时取等号，所以， 2n =9t ≥-即实数的取值范围是.t [9,)-+∞二、单选题13．已知、是两条不同直线，、是两个不同平面，给出下列说法： m l αβ①若垂直于内两条相交直线，则； l αl α⊥②若且，则； ,m l αβ⊂⊂l m ⊥αβ⊥③若，则； ,l l βα⊂⊥αβ⊥④若且，则． ,m l αβ⊂⊂//αβ//l m 其中正确的序号是（） A ．①③ B ．①②③ C ．①③④ D ．②④【答案】A【分析】根据线面垂直的判定定理，面面的位置关系，面面垂直的判定定理及面面平行的性质逐项分析即得.【详解】①若垂直于内两条相交直线，根据线面垂直的判定易知，正确；l αl α⊥②若且，则可能相交或平行，错误 ,m l αβ⊂⊂l m ⊥,αβ③由，，根据面面垂直的判定有，正确； l β⊂l α⊥αβ⊥④若且，则或异面都有可能，错误； ,m l αβ⊂⊂//αβ//l m ,l m 因此正确命题的序号为①③. 故选：A ．14．已知正数数列为等比数列，公比为，又为任意正整数，且数列严格递{}n a q 2log ,n n b a n ={}n b 减，则的取值范围是（） q A ． B ． (0,1)(0,2)C ． D ．(0,1)(1,2) (1,)+∞【答案】A【分析】利用数列的单调性及等比数列的定义，结合对数的运算及对数不等式的解法即可求解. 【详解】因为数列严格递减，所以，即，即， {}n b 1n n b b +<212log log n n a a +<12log 0n na a +<即，解得, 22log 0log 1q <=01q <<所以的取值范围为. q (0,1)故选: A.15．在无穷等比数列中，，则的取值范围是（） {}n a 121lim()2n n a a a →∞+++=1a A ．B ．1(0,)211(0,)(,1)22C ．D ．(1,1)-(1,0)(0,1)- 【答案】B【分析】根据无穷等比数列的极限存在条件及不等式的性质即可求解. 【详解】在无穷等比数列中，，得，，且， {}n a 121lim()2n n a a a →∞+++=1112a q =-||1q <0q ≠即，，且， ()1112a q =-11q -<<0q ≠因为，且，所以，且， 11q -<<0q ≠101a <<112a ≠所以的取值范围是.1a 11(0,(,1)22故选：B.16．已知正方体的棱长为M ，N 为体对角线的三等分点，动点P 在三角1111ABCD A B CD -1BD 形内，且三角形的面积P 的轨迹长度为（） 1ACB PMN PMN S =△A B C D 【答案】B【分析】先通过位置关系的证明说明在平面内，然后根据已知条件求解出的长度，根据N 1ACB PN 的长度确定出在平面内的轨迹形状，由此求解出对应的轨迹长度.PN P 1ACB 【详解】如图所示：连接，因为四边形是正方形，所以， 11BC B C O = 11BCC B 11BC B C ⊥因为平面，平面，所以， 11D C ⊥11BCC B 1B C ⊂11BCC B 11D C ⊥1B C 又平面，平面， 11111,BC D C C BC =⊂ 11BC D 11D C ⊂11BC D 所以平面，所以， 1B C ⊥11BC D 11B C D B ⊥同理可知：，11B A D B ⊥又因为平面，平面，， 1B C ⊂1ACB 1B A ⊂1ACB 111B C B A B = 所以平面，1D B ⊥1ACB根据题意可知：为正三角形，所以1116,D B AB B C AC =====1ACB A ，160∠=︒B AC所以，设到平面的距离为，112ACB S =⨯=A B 1ACB h 因为，所以，所以，11B ACB B ABC V V --=111133ACB ACB S h S BB ⋅⋅=⋅⋅A A 11ACB ACB S h S BB ⋅=⋅A A，所以，(2h ⨯=1123h D B ==h BN =所以即为与平面的交点，由题意可知：平面，所以， N 1D B 1ACB 1D B ⊥1ACB MN PN ⊥所以 11222PMN S MN PN PN PN =⋅=⋅⋅==A在正三角形中，高 1ACB sin 60AO AC =︒==所以内切圆的半径，13r AO ==<AN <=取的两个三等分点，连接，所以，1B C ,E F ,EN FN 1//,//NE AB NF AC所以是以长度为边长的正三角形，所以的轨迹是以的圆，圆NEF A PN P N，在内部的轨迹是三段圆弧，每一段圆弧的圆心角为，所以对应的轨迹长度是圆周长的一1ACB A 60︒，故选：B.【点睛】思路点睛：空间中轨迹问题的解答思路：（1）根据已知条件确定和待求点相关的平行、垂直关系；（2）通过数量关系定量分析待求点的轨迹的形状；（3）根据轨迹形状即可求解出轨迹的长度等其他量.三、解答题17．如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，分别为P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD M N ，的中点．AB PD(1)求证：平面；MN ∥PBC (2)若，求直线与平面所成角． PA AD =MN PCD 【答案】(1)证明过程见详解(2)【分析】（1）取中点，构造平行四边形，根据线面平行的判定定理证明即可； PC （2）根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值，进而可求得线面角．【详解】（1）取中点为，连接，， PC E BE NE 因为，分别为，的中点， E N PC PD 所以，．EN CD ∥12EN CD =又四边形为正方形，所以，， ABCD CD AB ∥CD AB =又因为为的中点，所以，， M AB EN BM ∥EN BM =所以四边形为平行四边形，所以，BMNE MN BE ∥又平面，平面，所以平面．BE ⊂PBC MN ⊂PBC MN ∥PBC （2）以点A 为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．AB AD AP x y z设，则，||||2PA AD ==(0,2,0),(2,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(0,1,1)D C P M N ，，，(1,1,1)MN =- (2,2,2)PC =- (0,2,2)PD =-u u u r设平面的法向量为，PCD (,,)m x y z =则，即，令，则，00m PC m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩1y =(0,1,1)m = 设直线与平面所成角为， MN PCD θ则||sin ||||MN m MN m θ⋅===⋅所以直线与平面所成角为． MNPCD 18．在某市高三教学质量检测中，全市共有名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考5000试学生人数为人，非示范性高中参加考试学生人数为人.现从所有参加考试的学生中随机20003000抽取人，作检测成绩数据分析.100（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；（2）依据人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成100绩的平均分；【答案】（1）见解析；（2）92.4【分析】（1）根据总体的差异性选择分层抽样，再结合抽样比计算出非示范性高中和示范性高中所抽取的人数；（2）将每个矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积所得结果，再全部相加可得出本次测验全市学生数学成绩的平均分．【详解】（1）由于总体有明显差异的两部分构成，故采用分层抽样，由题意，从示范性高中抽取人， 2000100405000⨯=从非师范性高中抽取人； 3000100605000⨯=（2）由频率分布直方图估算样本平均分为(600.005800.0181000.021200.0051400.002)2092.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=推测估计本次检测全市学生数学平均分为92.4【点睛】本题考查分层抽样以及计算频率分布直方图中的平均数，着重考查学生对几种抽样方法的理解，以及频率分布直方图中几个样本数字的计算方法，属于基础题．19．2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇､蓄势待发的一年.突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底企业上缴资金后的剩(2500)t t …n 余资金为万元n a （1）判断是否为等比数列？并说明理由； {}2n a t -（2）若企业每年年底上缴资金，第年年底企业的剩余资金超过万元，求1500t =()m m N*∈21000的最小值.m (lg 20.3010;lg 30.4771)≈≈【答案】（1）答案见解析；（2）6.【解析】（1）由题意得，从而得15000(150%)7500,a t t =+-=-13(150%)2n n n a a t a t +=+-=-，而当，即时，所以不是等比数列；133232222n n n n a t a t a t a t +--==--2500t =120a t -={}2n a t -（2）由（1）可知，，由可得，13300030002n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭133000()3000210002m m a -=+>1362m -⎛⎫> ⎪⎝⎭然后利用单调递增，可得答案32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】解：（1）由题意得， 15000(150%)7500,a t t =+-=-. 13(150%)2n n n a a t a t +=+-=-当时，即时，2500t <12750030a t t -=->133232222n n n n a ta t a t a t +--∴==--是以为首项，为公比的等比数列.{}2n a t ∴-1275003a t t -=-32当，即时，不是等比数列2500t =120a t -={}2n a t -（2）当时，由（1）知，1500t =13300030002n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，即，133000()3000210002m m a -∴=+>1362m -⎛⎫> ⎪⎝⎭法一：易知单调递增，32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭又，， 4381()6216=< 53243()6232=>，，15m ∴-≥6m ≥的最小值为6 m ∴法二：， 32lg 6lg 2lg 30.30100.47710.77811log 6 4.423lg 3lg 20.47710.30100.1761lg 2m ++∴->==≈=≈--，的最小值为6.6m ≥m ∴【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合应用问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.20.解：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体11ACB D .11111111111133B ACB A AB DC B CD D ACD ACB D V V V V V V V ----=----==四面体正方体正方体（1）类似此解法，如图2，求此四面体的体积；（2）对棱分别相等的四面体中，，，.求证：这个四面体的四个ABCD AB CD =AC BD =AD BC =面都是锐角三角形；（3）有4条长为2的线段和2条长为的线段，用这6条线段作为棱且长度为的线段不相邻，m m 构成一个三棱锥，问为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？m [及变形，当且仅(),,03a b c a b c ++≤>()3,,03a b c abc a b c ++⎛⎫≤> ⎪⎝⎭当时取得等号]a b c ==【答案】（1）2；（2）证明见解析；（3）时,. m =【分析】（1）类比已知条件中的解法，构造一个长方体，求出长方体的棱长，在由长方体的体积减去四个三棱锥体积即可得到答案；（2）在四面体ABCD 中，由已知可得四面体ABCD 的四个面为全等三角形，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，证明△ABC 为锐角三角形，即可证明这个四面体的四个面都是锐角三角形；（3）当2条长为m的线段不在同一个三角形中，写出三棱锥体积的表达式，利用基本不等式求最值.【详解】（1）类似地，构造一个长方体，1111-ABCD A B C D设从同一个顶点出发的三条棱的棱长分别为，则有：1AB x AD y AA z ===、、，解得： 22222251013x y x z y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以1111111111B ACB A AB D C B CD D ACD ACB D V V V V V V ----=----四面体长方体11111111123123123123123232323232=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=即此四面体的体积为2. （2）证明：在四面体中，因为，，，ABCD AB CD =AC BD =AD BC =所以四面体的四个面都是全等的三角形，只需证明一个面为锐角三角形即可. ABCD 设长方体的长、宽、高分别为abc ，则，，， 222AB a c =+222BC b c =+222AC a b =+所以， 222222222AB BC b c a c AC a b +=+++>=+即，所以B 为锐角；222AB BC AC +>同理可证：A 为锐角，C 为锐角，所以△ABC 为锐角三角形. 所以这个四面体的四个面都是锐角三角形.（3）因为长度为的线段不相邻，所以2条长为m 的线段不在同一个三角形中，如图，m不妨设AD = BC = m ，AB =BD =CD =AC =2，取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，而AE ∩DE =E ，∴BC ⊥平面AED ，则三棱锥的体积，1·3AED V S BC =A 在△AED 中,AD =m ，AE DE==所以1122AEDS m m ==A所以11·36AED V S BC m m ====A， ≤当且仅当，即时等号成立. 22=162m m-m 即时,. m 【点睛】（1）求几何体体积的常用的方法有：①直接法；②等体积法；③补形法；④向量法；（2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”① “一正”就是各项必须为正数；②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．21．设数列的前n 项和为，已知，（）． {}n a n S 11a =121n n S S +-=*n ∈N （1）求证：数列为等比数列； {}n a （2）若数列满足：，． {}n b 11b =1112n n n b b a ++=+① 求数列的通项公式；{}n b ② 是否存在正整数n ，使得成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理14ni i b n ==-∑由．【答案】（1）数列为等比数列，首项为1，公比为2．（2）， {}n a 12n n nb -=2n =【分析】（1）由题设的递推关系式，得到（），即可证得数列为等比数列． 12n na a +=2n ≥{}n a （2）① 由（1）知，，化简得，则数列是首项为1，公差为1的12n n a -=11221n n n n b b -+-={}12n n b -等差数列，即可求得． 12n n nb -=②利用乘公比错位相减法，求得，进而得到，显然当 14(24)(2nn T n =-+⨯122n n n-+=2n =时，上式成立，设，由，所以数列单调递减，进而得到结12()2n n f n n-+=-(1)()0f n f n +-<{}()f n 论.【详解】（1）解：由，得（）， 121n n S S +-=121n n S S --=2n ≥两式相减，得，即（）． 120n n a a +-=12n na a +=2n ≥因为，由，得，所以， 11a =()12121a a a +-=22a =212a a =所以对任意都成立， 12n na a +=*n N ∈所以数列为等比数列，首项为1，公比为2．{}n a （2）① 由（1）知，，12n n a -=由，得， 1112n n n b b a ++=+1122n n n b b +=+即，即， 11221n n n n b b -+=+11221n n n n b b -+-=因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．11b ={}12n n b -所以，()12111n n b n n -=+-⨯=所以． 12n n nb -=② 设，1n n i i T b ==∑则，12111111232222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，1231111112322222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减，得，0121111111222222n n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11121212nnn ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⨯ ⎪⎝⎭-()1222n n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭所以．()14242nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭由，得，即． 14ni i b n ==-∑()142442nn n ⎛⎫-+⨯=- ⎪⎝⎭122n n n -+=显然当时，上式成立， 2n =设（），即． ()122n n f n n-+=-*n N ∈()20f =因为， ()()()113221222011n n n n n f n f n n n n n --⎡⎤++⎛⎫⎛⎫+-=---=-+<⎢⎥⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以数列单调递减， (){}f n 所以只有唯一解，()0f n =2n =所以存在唯一正整数，使得成立．2n =14ni i b n ==-∑【点睛】点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.。

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2019-2020学年上海市控江中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（） A ．(),20-∞ B ．(),5-∞ C ．()5,+∞ D ．()20,+∞【答案】B【解析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数m 的不等式，解出即可. 【详解】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +->，解得5m <. 因此，实数m 的取值范围是(),5-∞. 故选：B. 【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.2．设直线l 的方程为2430x y +-=，直线m 的方程为260x y +-=，则直线l 与m 的距离为（）A ．10B ．5C ．10D ．5【答案】C【解析】将直线m 的方程化为24120x y +-=，利用平行线间的距离公式可求出直线l 与m 的距离.【详解】直线m 的方程可化为24120x y +-=，因此，直线l 与m 的距离为10d ==. 故选：C. 【点睛】本题考查平行线间距离的计算，考查计算能力，属于基础题.3．开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等”，如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点F 处.从行星位于长轴端点P 这一位置开始计算，它再次运行到点P 所经过的时间为T .根据开普勒第二定律，从P 开始经过4T时间，行星的位置可能在（）A ．A 点处B ．B 点处C ．C 点处D ．D 点处【答案】B【解析】由椭圆的对称性可得，椭圆与坐标轴的交点将椭圆分为相等的4部分，所以按逆时针转动到达点B 处. 【详解】由于椭圆的对称性可得转一周为一个周期T ，一周被坐标轴平均分为相等的4部分，所以，从点P 开始经过4T时间，按逆时针转时转到点B . 故选：B.【点睛】本题考查椭圆对称性的应用，属于基础题.4．设P 、Q 是椭圆2214x y +=上相异的两点.设()2,0A 、()0,1B .命题甲：若AP AQ =，则P 与Q 关于x 轴对称；命题乙：若BP BQ =，则P 与Q 关于y 轴对称.关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（） A ．甲和乙都是真命题 B ．甲是真命题，乙是假命题 C ．甲是假命题，乙是真命题D ．甲和乙都是假命题【解析】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则12x x ≠或12y y ≠，利用两点间的距离公式结合命题中的等式，化简计算可判断出两个命题的真假. 【详解】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则2214i i x y +=，可得2244i i x y =-，()2211,24i i x y i =-=.对于命题甲：AP ===同理可得AQ =AP AQ =Q ，则22121233454544x x x x -+=-+，整理得()()12123160x x x x ⎡⎤-+-=⎣⎦，122x -≤≤Q ，222x -≤≤，所以，1244x x -≤+≤，则()123160x x +-≠，必有12x x =，所以，则P 与Q 关于x 轴对称，命题甲正确；同理可知命题乙也正确. 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的对称性的应用，考查椭圆方程的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.二、填空题5．经过点()1,0，且以()2,5d =u r为一个方向向量的直线l 的方程为_____.【答案】5250x y --=【解析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】直线l 的斜率为52k =，所以，直线l 的方程为()512y x =-，即5250x y --=. 故答案为：5250x y --=.本题考查直线的方程，考查直线的方向向量与斜率的关系，考查计算能力，属于基础题. 6．过点()4,3，且与圆2225x y +=相切的直线l 的方程为_____.【答案】43250x y +-=【解析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】点()4,3与圆心连线的斜率为34，由于点()4,3在圆2225x y +=上，则直线l 的斜率为43k =-，所以，直线l 的方程为()4343y x -=--，即43250x y +-=.故答案为：43250x y +-=. 【点睛】本题考查过点的圆的切线方程的求解，解题时要判断点与圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题.7．焦点为()-与()的等轴双曲线的方程为_____.【答案】22144x y -=【解析】设所求双曲线的方程为()222210x y a a a-=>，根据该双曲线的焦点坐标求出a的值，即可得出所求双曲线的标准方程. 【详解】由于所求等轴双曲线的焦点在x 轴上，可设所求双曲线的方程为()222210x ya a a -=>，==解得2a =，因此，所求等轴双曲线的方程为22144x y-=.故答案为：22144x y -=.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，解题的时要注意焦点位置，考查计算能力，属于基础题. 8．平面上到两定点()4,0与()4,0-的距离之和为8的动点的轨迹方程为_____.【答案】()044y x =-≤≤【解析】记点()4,0A 、()4,0B -，设所求点为P ，由PA PB AB +=可得知点P 的轨迹，进而可得出点P 的轨迹方程. 【详解】记点()4,0A 、()4,0B -，设所求点为P ，则PA PB AB +=，则点P 的轨迹为线段AB ，即所求动点的轨迹方程为()044y x =-≤≤. 故答案为：()044y x =-≤≤. 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，注意区别椭圆的定义，考查计算能力，属于基础题. 9．若不垂直于x 轴的直线10kx y -+=与直线20x y -=所成的角的大小为，则实数k 的值为_____. 【答案】34【解析】设直线20x y -=的倾斜角为α，记arccos 5β=，利用两角差的正切公式可得出关于k 的方程，进而可求得实数k 的值. 【详解】设直线20x y -=的倾斜角为α，记β=，则tan 2α=，cos β=sin β=，1tan 2β=，由题意可得tan 21tan 1tan 122k k k k αβα--===++，解得34k =.故答案为：34. 【点睛】本题主要考查直线夹角公式的应用，涉及两角差的正切公式的应用，考查计算能力，属于基础题.10．已知t 是实数，设向量()3,4a =r ，向量()2,1b =r，若()a a tb ⊥-r r r ，则t 的值为_____.【答案】52【解析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出2a r 和a b ⋅r r的值，由()a a tb ⊥-r r r 得()0a a tb ⋅-=r r r，由此可计算出实数t 的值.【详解】()3,4a =r Q ，()2,1b =r ，则2223425a =+=r ，324110a b ⋅=⨯+⨯=r r ， ()a a tb ⊥-r r r Q ，则()225100a a tb a ta b t ⋅-=-⋅=-=r r r r r r ，解得52t =.故答案为：52. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查利用向量垂直求参数，考查运算求解能力，属于基础题.11．直线25y x =+被圆()()221214x y -+-=所截得的弦AB 的长度为_____. 【答案】6【解析】求出圆心到直线的距离，然后利用勾股定理可求出弦长AB . 【详解】圆()()221214x y -+-=的圆心坐标为()1,2，圆心到直线的距离为d ==6AB ==.故答案为：6. 【点睛】本题考查直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.12．设动点A 的轨迹为抛物线24y x =，点()2,0B 为定点.若线段AB 的中点为点P ，则点P 的轨迹方程为_____. 【答案】222y x =-【解析】设点(),P x y ，可得出点()24,2A x y -，再将点A 的坐标代入抛物线的方程，化简即可得出点P 的轨迹方程. 【详解】设点()00,A x y 、(),P x y ，由中点坐标公式得00222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得00222x x y y =-⎧⎨=⎩，由于点A 在抛物线24y x =上，即2004y x =，所以，()24422y x =-，化简得222y x =-.因此，点P 的轨迹方程为222y x =-. 故答案为：222y x =-. 【点睛】本题考查利用相关点法求轨迹方程，考查计算能力，属于中等题.13．椭圆()22210416x y b b+=<<的左焦点为F ，以F 为一端点、该椭圆上的动点为另一端点的所有线段的长度中，最大值记为M ，最小值记为m .若7=M m ，则b =_____.【解析】由椭圆的几何性质得M a c =+，m a c =-，结合条件7=M m 可求得实数b 的值. 【详解】由题意可知，4a =，c由椭圆的几何性质知M a c =+，m a c =-，7M m =Q ，即()7a c a c +=-，可得334c a ==3=，解得b =. 【点睛】本题考查椭圆方程中参数的计算，考查椭圆上一点到焦点距离最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.14．设P 是双曲线2236x y -=1上的一点，1F 、2F 是该双曲线的左、右焦点.若()()121272F P F P F P F P +⋅-=u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则1F P =u u u r_____.【答案】【解析】根据双曲线的定义以及已知条件可得出关于1F P u u u r 和2F P u u u u r的方程组，即可解出1F P u u u r的值.【详解】()()22221212121272F P F P F P F P F P F P F P F P +⋅-=-=-=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r Q ，则120F P F P ->u u u r u u u u r，由双曲线的定义可得12F P F P -=u u u r u u u u r又()()2212121272F P F P F P F PF P F P -=-+=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r，则12F P F P +=u u u r u u u u r ，所以，1212F P F P F P F P ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩u u u v u u u u vu u u vu u u u v1F P =u u u r.故答案为：【点睛】本题考查双曲线焦半径的求解，考查双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题. 15．设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点1A 、1B 、1C 满足：()1AA AB AC λ=+u u u u u u u r u ur r ，()1BB BC BA λ=+u u u u u u u r u ur r ，()1CC CA CB λ=+u u u r u u u u u r ru u ，若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为_____. 【答案】23【解析】设ABC ∆的重心为点G ，可知ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，利用重心的向量性质可求得实数λ的值. 【详解】设ABC ∆的重心为点G ，则3AB AC AG +=u u u r u u u r u u u r，()13AA AB AC AG λλ∴=+=u u u r u u u r u u u r u u u r ，由于ABC ∆和111A B C ∆的面积相等，则ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，则12AA AG =u u u r u u u r ，32λ∴=，解得23λ=. 故答案为：23.【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算，涉及三角形重心向量性质的应用，考查计算能力，属于中等题.16．在平面直角坐标系中，已知点1F 、2F 、3F 的坐标分别为()0,2-、()2,2、()5,2-.该平面上的动点P 满足1232019PF PF PF ++=.已知动点P 的轨迹是轴对称图形，该图形的一条对称轴的方程为_____（只需写出满足题意的一个方程）. 【答案】210x y +-=【解析】推导出1323F F F F =，则123F F F ∆是等腰三角形，12F F 的中点坐标为()1,0，123F F F ∆的对称轴方程为210x y +-=，由此可得出该图形的一条对称轴方程.【详解】Q 点1F 、2F 、3F 的坐标分别为()0,2-、()2,2、()5,2-，135F F ∴=，235F F =，则1323F F F F =，123F F F ∴∆是等腰三角形，Q 线段12F F 的中点坐标为()1,0，123F F F ∆的对称轴方程为210x y +-=.123F F F ∆Q 所在平面上的动点P 满足1232019PF PF PF ++=，且动点P 的轨迹为轴对称图形，设点P 关于直线210x y +-=的对称点为点Q ，则12PF QF =，21PF QF =，33PF QF =，所以，1232132019QF QF QF PF PF PF ++=++=，则动点Q 在点P 的轨迹上，因此，该图形的一条对称轴方程为210x y +-=. 故答案为：210x y +-=. 【点睛】本题考查对称轴方程的求解，考查两点间距离公式的应用、直线方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、化归与转化思想的应用，属于中等题.三、解答题17．已知向量()11,2e =u r 与()24,2e =u u r是平面上的一组基向量. （1）设向量()1,4v =-r ，试用向量1e u r 与2e u u r 表示v r ；（2）设t 是实数，向量()6,b t =r ，设b r 与1e u r 的夹角为α，b r 与2e uu r 的夹角为β.若αβ=，求t 的值.【答案】（1）123v e e =-r u r u u r ；（2）6t =.【解析】（1）设12v e e λμ=+r u r u u r，根据平面向量的坐标运算建立λ和μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出结果；（2）由cos cos αβ=结合平面向量夹角余弦值的坐标运算可得出关于t 的等式，即可解出实数t 的值. 【详解】（1）设12v e e λμ=+r u r u u r ，则()()1,44,22λμλμ-=++，即41224λμλμ+=-⎧⎨+=⎩，解得31λμ=⎧⎨=-⎩，因此，123v e e =-r u r u u r ；（2）根据题意，11cos b e b e α⋅==⋅r u r r u r22cos b e b e β⋅==⋅r u u r r u u rαβ=Q，=，可得2612t t +=+，解得6t =.【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查了利用平面向量的夹角相等求参数，考查运算求解能力，属于基础题.18．已知m 为实数，设直线1l 的方程为21x my +=，直线2l 的方程为82mx y m +=-. （1）若1l 与2l 平行，求m 的值；（2）当1l 与2l 相交时，用m 表示交点A 的坐标，并说明点A 一定在某一条定直线上.【答案】（1）4m =-；（2）()21,444m A m m m +⎛⎫-≠- ⎪++⎝⎭，证明见解析. 【解析】（1）由两直线平行的等价条件可得出关于实数m 的方程，即可解出实数m 的值；（2）将两直线方程联立可求得交点A 的坐标()21,444m m m m +⎛⎫-≠-⎪++⎝⎭，然后令24m x m +=+，14y m =-+，消去参数m 得出关于x 、y 的二元一次方程，即可证得结论. 【详解】（1）1l Q 与2l 平行，则()216022m m m ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得4m =-；（2）联立2182x my mx y m +=⎧⎨+=-⎩，解得24m x m +=+，14y m =-+，所以点21,44m A m m +⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ()4222112444m m x y m m m +-+===-=++++Q ，即()2100x y y --=≠. 因此，点A 在直线210x y --=上. 【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，同时也考查了直线交点坐标的计算，考查计算能力，属于中等题.19．设双曲线Γ的方程为2214y x -=.（1）设l 是经过点()1,1M 的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l 的方程；（2）设1l 是Γ的一条渐近线，A 、B 是1l 上相异的两点.若点P 是Γ上的一点，P 关于点A 的对称点记为Q ，Q 关于点B 的对称点记为R .试判断点R 是否可能在Γ上，并说明理由.【答案】（1）1x =或210x y --=或230x y +-=或5230x y --=；（2）点R 不可能在双曲线Γ上，理由详见解析.【解析】（1）对所求直线分三种情况讨论：①l x ⊥轴，验证即可；②直线l 与双曲线相切，设出直线方程，与双曲线的方程联立，由0∆=求出直线的斜率，可得出直线l 的方程；③直线l 与双曲线的渐近线平行，可得出直线l 的方程.综合可得出所求直线l 的方程；（2）假设点R 在双曲线Γ上，设直线1l 的方程为2y x =，设点()11,A x y 、()22,B x y ，()00,P x y ，求出点Q 、R 的坐标，再将点R 的坐标代入双曲线Γ的方程验证即可得出结论. 【详解】（1）①当直线l 的斜率不存在时，方程为1x =，显然与双曲线Γ相切，只有一个交点，符合题意，②当直线l 的斜率存在且与双曲线Γ相切时，设斜率为k ，则直线l 的方程为()11y k x -=-，即1y kx k =-+，联立方程22114y kx k y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得()()()222421140k x k k x k ⎡⎤-----+=⎣⎦，Q 直线l 和双曲线Γ有且仅有一个公共点，()()()22224144140k k k k ⎡⎤∴∆=-+--+=⎣⎦，化简得520k -=，解得52k =，此时，直线l 的方程为5322y x =-，即5230x y --=；③当直线l 与双曲线Γ的渐近线平行时，也与双曲线Γ有且仅有一个公共点，Q 双曲线Γ的渐近线方程为2y x =±，∴直线l 的斜率为2x ±，所以，直线l 的方程为()121y x -=-或()121y x -=--，即210x y --=或230x y +-=.综上所述，直线l 的方程为1x =或5230x y --=或210x y --=或230x y +-=；（2）假设点R 在双曲线Γ上，不妨设直线1l 方程为2y x =，设点()11,2A x x 、()22,2B x x 、()00,P x y ，P Q 关于点A 的对称点记为Q ，∴点()10102,4Q x x x y --，Q Q 关于点B 的对称点记为R ，∴点()21021022,44R x x x x x y -+-+， Q 点R 在双曲线Γ上，()()22210210442214x x y x x x -+∴-+-=，()()()()22221210022121001684414x x x x y y x x x x x x -+-⋅+∴-+-⋅+-=，∴()()22021002104214y x x x x x x y -⋅+--⋅-=，又Q 点()00,P x y 在双曲线22:14y x Γ-=上，220014y x ∴-=，上式化为()()210210420x x x x x y -⋅--⋅=，12x x ≠Q ，0042x y ∴=，即002y x =，22014y x -=Q ，则01=，此式显然不成立，故假设不成立，所以点R 不可能在双曲线Γ上.【点睛】本题考查利用直线与双曲线的公共点个数求直线方程，同时也考查了点与双曲线的位置关系的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知抛物线P 的焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.若三角形ABC 的三个顶点都在抛物线P 上，且0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r，则称该三角形为“向心三角形”.（1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2？说明理由；（2）设“向心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程；（3）已知三角形ABC 是“向心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2. 【答案】（1）不存在，理由详见解析；（2）450x y --=；（3）证明见解析. 【解析】（1）由题意可知，点F 为ABC ∆的重心，假设存在一点使得“向心三角形”存在，求得该点的坐标，代入抛物线的方程，进行判断即可；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，利用点差法求得121y y +=，根据重心的坐标公式，求出线段AB 的中点坐标，然后利用点斜式方程可得出直线AB 的方程；（3）由()123y y y =-+，等式两边平方，利用基本不等式可得出()1232x x x <+，结合等式2313x x x +=-可求出12x <，进而证明结论成立. 【详解】（1）由题意可知，抛物线的标准方程为24y x =，由0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r，可知，F 为ABC ∆重心，设存在点“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2，另外的顶点为()00,x y ，由0001130203x y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，解得：0022x y =⎧⎨=-⎩，显然2004y x ≠，故不存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2；（2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减，得()()()1212124y y y y x x -+=-，所以12121244y y x x y y -==-+，所以121y y +=，由题意可知，1230y y y ++=，所以31y =-，则314x =，由1233x x x ++=，所以12114x x +=，所以，线段AB 的中点111,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此，直线AB 的方程为111428y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得450x y --=. 因此，直线AB 的方程450x y --=；（3）由（2）可知1233x x x ++=，则2313x x x +=-，① 由1230y y y ++=，()123y y y =-+，平方可得()22222122332322y y y y y y y =++≤+，当且仅当23y y =时取等号，显然23y y ≠，所以2223122444y y y ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，即()1232x x x <+，将①代入可得()1123x x <-，解得12x <，所以点A 的横坐标小于2. 【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查三角形重心坐标公式的应用、点差法以及基本不等式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.21．设椭圆E 的方程为2212x y +=，斜率为1的动直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，以线段AB 的中点C 为圆心，AB 为直径作圆S . （1）求圆心C 的轨迹方程，并描述轨迹的图形；（2）若圆S 经过原点，求直线l 的方程；（3）证明：圆S 内含或内切于圆223x y +=. 【答案】（1）圆心C的轨迹方程为12y x x ⎛=-<< ⎝⎭，轨迹为线段；（2）y x =；（3）证明见解析.【解析】（1）设直线l 的方程为y x t =+，与椭圆方程联立，利用判别式大于零，以及韦达定理和中点坐标公式，可得圆心C 的轨迹方程，并确定轨迹图形；（2）利用弦长公式求得AB ，以及圆S 的方程，代入原点，可求t 的值，进而可求得直线l 的方程；（3）利用两圆内切和内含的条件，结合两点间的距离公式，计算可得出结论成立. 【详解】（1）设斜率为1的动直线l 的方程为y x t =+，联立椭圆方程2222x y +=，可得2234220x tx t ++-=，设()11,A x y 、()22,B x y ，则()2221612222480t t t ∆=--=->，即t <<由韦达定理得1243t x x +=-，212223t x x -=，则中点2,33t t C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得圆心C 的轨迹方程为1233y x x ⎛=--<< ⎝⎭，即轨迹为线段；（2）由（1）可得3AB ===，可得圆S 的方程为2222124339t t t x y -⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若圆S 经过原点，可得()2243599t t -=，解得t =，因此，直线l 的方程为3y x =±；（3）圆223x y +=的圆心设为()0,0O圆S 的圆心2,33t t S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由222225124133393933t t OS t ⎛⎫--=--+=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()03m m =<<，则2293m t -=，可得()2222941312033333m m OS m --=+-=--≤⎪⎝⎭，可得圆S 内含或内切于圆223x y +=. 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线与椭圆的综合问题，圆与圆位置的关系的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。