力学 第三章刚体的转动
第3章刚体力学基础
描述质点系转动的动力学方程
z
取惯性坐标系
dt
oxyz
刚体所受的对
转轴的力矩
x
o
M r F
定义：在垂直于转轴的平 面轴内的,距外离力dF的与乘力积线到转
y z轴为固定转轴
z
M
F
F F
r
垂直转轴的外力分量产生沿
d
转轴方向的力矩, 平行于转
轴的外力分量产生的力矩被
轴承支承力的力矩所抵消
一 、作用于定轴刚体的合外力矩
相对于定轴的合外力矩
（力对转轴的力矩）
M z M iz ri Fi sin i
i
i
即作用在各质元的 力矩的 z 分量之和
二、刚体定轴转动定理
由于刚体只能绕 z 轴转动, 引起转动的力矩只有z方向,
因此转动动力学方程
Mz
dLz dt
dL M
dt
Li
Ri
m
i
v
i
oo ri
mi vi
解：
z
J z mi ri2
i
m i
x
2 i
y
2 i
i
Jy Jx
x
o
yi
ri
m
x
i
i
y
例 均质圆盘：m, R . 求以直径为轴的转动惯量 解：
J 1 mR2 4
例3-6（P181） 挂钟摆锤的转动惯量
解：
o
m1 l
J
1 3
m1l 2
1 2
m2 R2
m2 l
R2
m2 R
例 计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半 径为r，摆杆质量也为m，长度为2r）
大学物理.第三章.刚体的转动
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
3.刚体的定轴转动
2 3 2
2
6.16 10
3
2
3.14 m / s
2
2
6.16 10 m / s
例3-2：一飞轮在时间t 内转过角度 at bt 3 ct 4式中a、b、c都 是常量。求它的角加速度。 解:飞轮上某点的角位置可用θ 表示为： at bt 3 ct 4 将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为:
O
刚体定轴转动的描述
（1） 定轴转动的角量描述
角位置： (t )
角位移： (t ) (t 0 ) 角速度：
d dt d
dt d
2
角加速度：
dt
2
角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的
方向并满足右手螺旋定则。
说明：在刚体的定轴转动中加速度、角加速度和角位移通常用 代数量表示。通常规定：当刚体作逆时针转动时，这些角量均 取正值；反之，取负值。
观察圆盘O和圆盘上一点P的运动：
O点的运动：沿着直线向前移动 圆盘上其他点的运动：除向前移动外，还绕圆盘中心O且垂直于盘面的轴转动。
1.刚体的平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时 刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特点：刚体内所有点具有相同的位移、速度和加速度。 －－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
2
2
则整个刚体的转动动能为：
Ek
1 2
m i vi
2
1 2
m i ri
2
2
1 2
J
2
二、 力矩的功和功率
1.力矩的功
刚体力学基础第三章
二、转动惯量J
对分立的质点系： J miri2
i
对刚体： 质量是连续分布
J r2dm
r 2dl 线分布，为线密度
J r 2ds 面分布，为面密度 r 2 dV 体分布，为体密度
z
dm
r
讨论
J r2dm
（1）转动惯量的物理意义：J表示刚体转动时惯性的大小
（2）转动惯量J的大小决定于
r 3dr
1 2
mR2
m
R 2
J
常 见 刚 体 的 转 动 惯 量
§3 刚体定轴转动定律
一、 力矩
使物体转动，必须给定一 个作用力，另外考虑转动与力 的作用点以及作用力的方向有 关，因此在研究物体转动中引
入力矩这一物理量。 （1）若刚体所受力 F在转动平面内
z
Od r
F
F
P
力臂：rsin = d 表示转轴到力作用线的垂直距离。
m
2(2
m
1
+
m
2
m 1+m 2
+
m
2
)g
T1
a m1 m1g T2 a m2 m2g
§4 力矩的功 动能定理
一、力矩的功
刚体在合外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时
d，A则力F矩 d对r刚体F作d了r功co。s F cos(900 )ds
F sin rd
Md
z
O d
dr
F
r P
元功：力矩对质点(或刚体)所作的 元功等于力矩和角位移的乘积
盘）。如A下降，B与水平桌面间的滑动摩擦系数为μ，
绳与滑轮之间无相对滑动，试求系统的加速度及绳中的
张力FT1和FT2。 受力分析 FT1
刚体的转动
第三章 刚体的转动出发点：牛顿质点运动定律刚体的运动分为：平动，定轴转动，定点转动，平面平行运动，一般运动。
§3-1 刚体的平动，转动和定轴转动一 刚体的定义：在无论多大力作用下物体形状和大小均保持不变。
（理想模型）二 平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特征：1 平动时刚体中各质点的位移，速度，加速度相等。
2 动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距离保持不变的质点组。
受力：内力和外力对每一个质元：满足牛顿运动定律+=Mi i 对刚体而言：∑(+fi )=∑Mi i⇒∑+∑=∑Mi i显然∑=0 ⇒∑=∑Mi I=∑Mi故：∑F ==M a即：刚体做平动时，其运动规律和一质点相当，该质点的质量与刚体的质量相等，所受的力等于刚体所受外力的矢量和。
三 转动和定轴转动定轴转动的运动学特征：用角位移、角速度、角加速度加以描述，且刚体中各质点的角位移 、角速度、角加速度相等。
ω=dt d θ, α=dtd ω对匀速、匀变速转动可参阅P210表4-2 角量与线量的关系：v=R ωa t=R αa n=ω2R更一般的形式：角速度矢量的定义：=ωγ⨯ ， =dtd 显然，定轴转动的运动学问题与质点的圆周运动相同。
例：一飞轮在时间t 内转过角度θ=t b at 3+-c t 4,式中abc 都是常量。
求它的角加速度。
解： 飞轮上某点的角位置可用θ表示为θ=t b at 3+-c t 4,将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为ω＝(dtdt b at 3+-c t 4）＝a+3b t 2-4c t 3角加速度是角速度对t 导数，因此得α =dt d ω=d td ( a+3b t 2-4c t 3)=6bt-12c t 2由此可见，飞轮作的是变加速转动。
§3-2 力距 刚体定轴转动定律一 力矩：设在转动平面内，=⨯是矢量，对绕固定轴转动，只有两种可能的方向，用正负即可表示，按代数求和（对多个力）。
力学讲义-3刚体的定轴转动
物体（包括子弹）在 B 点的速度大小和θ 角的大小。
【思路分析】 此题可分两个过程，第一阶段，子弹射入木块前后，水平方向动量守恒；
第二阶段，含子弹的木块由 A 点沿曲线运动到 B 点，由于作用在木块上的弹簧拉力为有心
力，所以角动量守恒。同时，机械能也守恒，可解之。
解 子弹与木块作完全非弹性碰撞，水平方向动量守恒。设碰后的速度为 uK ，其大小为
（1）
T2 − m2 g sin α = m2a
（2）
另根据转动定律，对滑轮有
还有辅助方程
T1′R − T2′R = J β
T1′ = T1 T2′ = T2 a = Rβ
联立求解上述六个方程，解得 m1 的加速度大小为
a
=
(
m1 − m2 sinα (m1 + m2 )R2
) gR2
+J
（3）
（4） （5） （6）
与质点直线运动相对应的定理和定律，为便于记忆和理解，此处给出了质点一维运动与刚体
定轴转动的相应公式：
2
质点一维运动
刚体定轴转动
位移 Δx 速度 υ = dx
dt
加速度 a = dυ = d2 x dt dt2
质量 m
K 力F
运动定律
K F
=
maK
动量
K P
=
mυK
动量定理
JK dp
=
JK F
dt
∫K Fdt
向弹回，碰撞时间极短，如图 3-4 所示。已知滑块与棒碰撞
前后的速率分别为υ 和 u ，桌面与细棒间的滑动摩擦系数为 μ 。求从碰撞后到细棒停止运动所需的时间。
【思路分析】 首先由碰撞过程角动量守恒求出碰后细棒的角速度，再求得细棒受到的
第三章 刚体定轴转动
第三章 刚体定轴转动前面几章主要介绍了质点力学的基本概念和原理，以牛顿定律为基础，建立了质点和质点系的动量定理、动能定理和相应的守恒定律。
对于机械运动的研究，只限于质点和质点系的情况是非常不够的。
质点的运动规律事实上仅代表物体的平动。
当我们考虑了物体的形状、大小后，物体可以作平动、转动，甚至更复杂的运动，而且在运动过程中物体的形状也可能发生改变。
一般固体在外力的作用下，形状、大小都要发生变化，但变化并不显著。
所以，研究物体运动的初步方法是把物体看成在外力的作用下保持其大小和形状都不变，这样的物体叫刚体。
刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑形变，仍是一个理想模型。
本章主要在质点力学的基础上讨论刚体的定轴的转动及其运动规律，为进一步研究更复杂的机械运动奠定基础。
3.1 刚体的定轴转动的描述3.1.1 刚体的基本运动形式刚体是一种特殊的质点系统，它可以看成是由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点就在于无论它在多大外力的作用下，系统内任意两质元之间的相对位置始终保持不变。
既然是一个质点系，所以以前讲过的关于质点系的基本定理就都可以应用。
刚体的这个特点使刚体力学和一般质点系的力学相比，大为简化。
因此，对于一般质点系的力学问题，求解往往很困难，而对于刚体的力学问题却有不少是能够求解的。
刚体的运动可分为两种基本形式：平动和转动。
刚体的运动一般来说是比较复杂的，一般可分解为平动和绕瞬时轴的转动，比如行进中的自行车轮子，可以分解为车轮随着转轴的平动和整个车轮绕转轴的转动。
因此，研究刚体的平动和定轴转动是研究刚体复杂运动的基础。
下面分别介绍刚体的平动和刚体的定轴转动。
当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动就(b)(a)图3-1 刚体的平动和定轴转动是平动，如图3-1(a)所示。
在日常生活中，我们常见的升降机的运动就是平动。
平动的特点是，在任意一段时间内，刚体内所有质点的位移都是相同的，而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同的。
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★ 正确解法是： 选容器为参照系，小球相对容器作圆周 运动，在小球落至A处这一时刻，容器 无竖直方向（法向）加速度，竖直方向 惯性力等于零。因此
N mg mV / R
'2 1
V V1 V2
' 1
mV 1 MV2 0
1 1 2 2 MV 2 mV1 mgR 2 2
练习（5268）如图所示，一个质量为M=4kg 静止放在光滑的水平地面上。槽的A端
一、基本概念
1．刚体(Rigid Body)
（理想模型）
2．刚体的平动(Translation)
动画 动画 刚体上任意两点间的联线在整个运动过程中， 保持原方向不变。
3．刚体的转动(Rotation)
刚体上各质点都绕同一轴作圆周运动
4．刚体定轴转动
动画
角坐标 :
角速度: 角加速度:
d dt
四、转动惯量
★ 质点 ★ 质点系 ★ 刚体
J
J mr
n 1
2
★常见均匀刚 体的转动惯量 见书P261
2
J mi ri
J r dm
2
转动惯量与（a）刚体的质量m有关； （b）与m的分布有关； （c）与转轴的位置有关
几种常见刚体的转动惯量： 细棒 细棒
L
L
m
1 J mL2 12
T1
a1
T2
a2
T1 T1' , T2 T2'
m1 g
m2 g
联立求得：
问：如何求角加速度？
a
( m2 m1 ) g
Mr
根据
at R
可求得
1 m1 m2 m 2
R
注意：当不计滑轮的质量 及摩擦阻力时：
m 0, Mr 0
1 Mr m1[(2m2 m ) g ] R 2 T1 1 m1 m2 m 2 1 Mr m2 [(2m1 m ) g ] R 2 T2 1 m1 m2 m 2
t
0
kdt
1 0 3
0
J
d
2
2J t k0
例4（0115）有一半径为R的圆形平板平放 在水平桌面上，平板与水平桌面的 摩擦系数为 ，若平板绕通过其中 心且垂直板面的固定轴以角速度 0 开始旋转，它将在旋转几圈后停止？
解： M 摩擦 J
M 摩擦
OO
2 1 2 d mgR mR 3 2 d
B
A
m(
vx
2
vx
1
v x dv x
v y2
v y1
v y dv y
v z2
v z1
v z dv z )
1 1 2 2 mv2 mv1 2 2
物理意义：合外力对质点所做的功等于质点 动能的增量
作业讲解（P109 2.3）
对m1
m1 g T1 m1a1对地
a1对地
（课后练习）试就质点受变力作用而且做一般 曲线运动的情况推导质点的动能定理。并 说明定理的物理意义。
推导： 方法一：书 P181~182
方法二：
AAB
B dv F dr m v dt A A dt
B
AAB
B mv dv m(v x dv x v y dv y v z dv z ) A
例7（0196）一质量为m的小球从内壁为半球形的 容器边缘无摩擦地滑下，容器质量为M，内 壁半径为R，放在光滑的水平面上，如图所 示。开始小球与容器都处于静止状态，有人 为了求出小球自容器边缘B滑至底部A处时， 容器对小球的作用力，列出了如下方程
N mg mV / R
2 1
B
m
A
o
M
mV 1 MV2 0
2 ri Fi ( m i ) ri
0
ri 同时叉乘方程两边
★ 方程两边同时求和 2 ri Fi [ ( m i ) ri ]
J : 转动惯量 M 合外力矩 J
M 合外力矩
三、转动定律
★第一转动定律：
由牛顿第一定律： 类比有:
关闭电源后， 经过 t 2 时间
M电磁 M 摩擦 J 1
M 摩擦 J 2
0 0 1t1
0 0 2 t2
★ 结果：
1 1 M电磁 J0 ( ) t1 t 2
例3（5031）转动着的飞轮的转动惯量为J， 在 t 0时角速度为 。此后飞轮经 0 历制动过程。阻力矩的大小与角速度 的平方成正比，比例系数为 k （ k 为 1 大于零的常数）。当 3 0时， 飞轮的角加速度 ? 。从开始制 1 动到 所经历的时间 t ? 0 3
2 d mgR J 3 dt
2
1
0 4 gd Rd 0 3
2 n
3 R n 16 g
2 0
复习：P251 ~ 266
作业：P286 ~ 287
预习：P266 ~ 276
5.11 5.12 5.13
补充作业（写在作业本上，交上来） （0164）如图所示的大圆盘，质量为M，半径为R，对于 2 过圆心o点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为 1 。如 MR 2 果在大圆盘中挖去图示的一个小圆盘，其质量为m，半径 为 r，且 2r R。已知挖去的小圆盘相对于过o点且垂直 2 3 mr 于盘面的转轴的转动惯量为 2 ，则挖去小圆盘后剩余 部分对于过o点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为多少？
用求导的方法
积分加初始条件
例1. 一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮 视为圆盘），绳的两端分别 悬有质量 为 m1 和 m2 的物体，m1 < m2 ，滑轮的 质量为 m ，半径为 R，所受的摩擦阻 力矩为 Mr ，绳与滑轮间无相对滑动。 试求：物体的加速度和绳的张力。
已知： m1，m2 ，m， R ，Mr 求： a , T1 , T2
R
答案：
o
r
1 2 J (4 M 3m )r 2
六、刚体转动的功和能
1．力矩做功 当刚体在力矩
M
作用下从 1 转到 2
2
时，力矩所做的功为：A Md
d
dr
o
r
ds
F
合外力 F 对 刚体所作的元功：
1
dA F dr Fds cos
L
L
m
c
m
*垂直轴定理
1 J c mL2 12 1 L2 1 2 2 J ( mL ) m( ) mL 12 2 3
c
z
Jz J x J y
x
y
五、 转动定律的应用
刚体定轴转动的两类问题：
d MJ J dt
J (t ) (t ) (t ) M J M (t ) (t ) (t )
1 2 1
2
)
解： ★ 注意：
0
题中滑轮不是轻质滑轮， 是有质量的刚体。 所以，两边所受张力不同。
. m
m1 g m1a1
m2
T2r T1r J 滑轮
1 2 J 滑轮 I mr 2 a2 a1 a r
' T1
m
1 1 2 2 MV 2 mV1 mgR 2 2
式中 V1和 V2 分别为小球到达A处时小球和 容器对地的速度。试指出上述方程中哪个是 错的，错在何处？说明原因并改正之。
★ 第一式错。 因为小球沿球形内壁滑下时，它相对于容 器作圆周运动，由于小球下滑，容器同时 在桌面上滑动，小球相对桌面作曲线运动， 轨迹不是圆周。此人列的第一式中的R应是 小球的轨迹在A点时的曲率半径，而不是圆 的半径R，此式错了。
d dt
v r
at r an r
2
二、刚体定轴转动
★ 在A点取质量元 mi
Fi ( mi ) ai ( mi ) (ait ti ain ni )
★
★ mi 的运动遵循牛顿第二定律
oo
,
Fi i ri
A
ri Fi ( m i ) [ait ( ri ti ) ain (ri ni )]
F ( rd) sin （与互余）
而 Fr sin M 合外力矩
dA M d
2. 刚体转动动能 ★考虑刚体上第 i 个质元，质量为 mi
速度为 v i Ri
M 合外 0 时
F
i
0
v 恒量
a 0
恒量
0
绕定轴转动的刚体所受的合外力矩为零时，将保 持原有的运动状态不变。
★第二转动定律：
牛顿第二定律： F ma
类比有:
d M J J dt
刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩的作用下所 获得的角加速度的乘积。
m
.
R
m1
动画
m2
0
m
.
解: 研究对象 m1 ，m2 ，m
R
建立坐标，受力分析
如图
对各隔离体写出运动方程： 对m1 ： T1 m1 g m1a1
m1
m2
对m2：
m2 g T2 m2a2
Mr
' T1
m
T2'
y
对m： T ' R T ' R M J 2 1 r
2 又： a1 a2 R , J 1 mR , 2