2021-2022年高二下学期期初考试数学(理)试题 含答案

2021年高二下学期期初考试数学（理）试题 含答案
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)
1.下列命题是真命题的是（ ）
A.a ＞b 是ac 2＞bc 2的充要条件
B.a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件
C.∃∈R，e ≤0
D.若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真
2.设，其中x ，y 是实数，则
A.1
B.
C.
D.2
3.已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为+=1，双曲线C 2的方程为-=1，C 1与C 2的离心率之积为，则C 2的渐近线方程为（ ）
A.x ±2y =0
B.2x ±y =0
C.x ±4y =0
D.4x ±y =0
4.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A. 13 B.12 C.23 D.34
5.已知方程x 2m 2+n –y 2
3m 2–n
=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是
A.(–1,3)
B.(–1,3)
C.(0,3)
D.(0,3)
6.在区间（0，2]里任取两个数x 、y ，分别作为点P 的横、纵坐标，则点P 到点A （-1，1）的距离小于的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么（）
A． B． C． D．
9.若函数f（x）=-e ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）
A.4
B.2
C.2
D.
10.如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）
A. B. C. D.
11.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，A1A=2，则直线BC1到平面D1AC的距离为（）
A. B.1 C. D.
12.双曲线C：-=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是（，1），那么直线PA1斜率的取值范围是（）
A.（，）
B.（，）
C.（，）
D.（，）
二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
13．已知，，，若向量共面，则．
14.已知，则 = ______ ．
15.若曲线上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是 ______ ．
16.= ______.
三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)
17.已知命题p：关于x的一元二次方程x2+2x+m=0没有实数根，命题q：函数f（x）=lg（mx2-x+m）的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．
18. 已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，
SA=AB=AD=2，
E是SC的中点．
（Ⅰ）求异面直线DE与AC所成角；
（Ⅱ）求二面角B-SC-D的大小．
19.二次函数f（x）=ax2+2bx+1（a≠0）．
（1）若a∈{-2，-1，2，3}，b∈{0，1，2}，求函数f（x）在（-1，0）内有且只有一个零点的概率；
（2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），求函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数的概率．
20.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所
成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值
范围．
21.如图，在平面直角坐标系x O y中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|=3．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．
22.已知函数f（x）=ln（x-1）+（a∈R）
（Ⅰ）若a=3，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果当x＞1，且x≠2时，恒成立，求实数a的范围．
答案和解析
【答案】1.B 2.B 3.A 4.B 5.A 6.D 7.B 8.C 9.D 10.C 11.D 12.D
13.3
14.4
15.（-ln2，2）
16.
17.解：∵方程x2+2x+m=0没有实数根，
∴△=4-4m＜0，解得m＞1，即命题p：m＞1，
∵函数f（x）=lg（mx2-x+m）的定义域为R，
∴mx2-x+m＞0对x∈R恒成立，即，解得m＞2，即命题q：m＞2，
又∵若p或q为真命题，p且q为假命题，∴p和q一真一假，
若p真q假，则1＜m≤2，
若p假q真，则m≤1且m＞2，无解，
综上，实数m的取值范围是1＜m≤2．
18. 解：（1）90°
(2) 120°
19.解：（1）由题意可得所有的（a，b）共有4×3=12
个，根据f（x）在（-1，0）内有且只有一个零点，且f
（0）=1，
故有f（-1）=a-2b+1＜0，即a＜2b-1，故满足条件的（a，
b）有（-2，0）、（-2，-1）、（-2，2）、
（-1，1）、（-1，2）、（2，2），共计6个，
∴所求事件的概率为=．
（2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数，即-≥-1，求得b ≤a．
而所有的点（a，b）构成的区域为{（a，b）|0＜a＜1，且-1＜b＜1}，如图所示：
故函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数的概率为==．
20.解：（I）证明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，
∴AB=2
∴AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos60°=3
∴AB2=AC2+BC2
∴BC⊥AC
∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD
∴BC⊥平面ACFE
（II）由（I）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令，则，B（0，1，0），M（λ，0，1）
∴
设为平面MAB的一个法向量，
由得
取x=1，则，
∵是平面FCB的一个法向量
∴
∵∴当λ=0时，cosθ有最小值，
当时，cosθ有最大值．
∴．
21.解：（Ⅰ）由题意知，，则，
∴，
所以c=1．所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
由题意知；
②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），
且设直线AB的方程为y=k（x-1），
则直线CD的方程为．
将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，
所以．
同理，．
所以=，∵当且仅当k=±1时取等号
∴
综合①与②可知，
22.解：（Ⅰ）当a=3时f′（x）=＞0，即x2-6x+6＞0，又定义域为（1，+∞），解得1＜x＜3-或x＞3+，由f′（x）＜0，解得3-＜x＜3+．
所以单调增区间为（1，3-）和（3+，+∞）；单调减区间为（3-，3）；
（Ⅱ）可化为[ln（x-1）+-a]＞0（※）
设h（x）=f（x）-a，由题意可知函数h（x）的定义域为（1，+∞），
h′（x）=-=，
设g（x）=x2-2ax+2a，△=4a2-8a=4a（a-2），
①当a≤2时，h（x）在（1，+∞）上是增函数，
若x∈（1，2）时，h（x）＜h（2）=0；所以h（x）＞0，
若x∈（2，+∞）时，h（x）＞h（2）=0．所以h（x）＞0，
所以，当a≤2时，※式成立；
②当a＞2时，x1=a-＞1，
h（x）在（x1，2）是减函数，所以h（x）＞h（2）=0，※式不成立．综上，实数a的取值范围是（-∞，2]．。