三角形的尺规作图
三角形的尺规作图
我们已经学过了几种全等三角 形的判定方法? 各是什么？
A A′
B
C
B′
C′
知识回顾:
三角形全等判定方法Ⅰ
如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三
角形全等（可以简写为“边边边”或“ A SSS”）。
用符号语言表达为： 在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF CA=FD
B C
D
B C
5厘米
这节课你有什么收获?
3、利用尺规不能唯一作出的直角三角形是
A、已知斜边及一条直角边
C、已知两锐角
B、已知两条直角边
D、已知一锐角及一直角边
如图,某人不小心把一块三角形的玻璃 打碎成三块,现在要到玻璃店去配一块 完全一样的玻璃,那么他最少要( )
A、带①去 C、带③去
③ ② ①
B、带②去 D、带①和②去
拓展练习
如图,在ABC中,BC＝5厘米,AC＝3 厘米, AB＝3．5厘米,∠B＝36°,∠C＝ 44°,请你选择适当数据,画与△ABC全等 的三角形(用三种方法画图,不写做法,但要 从所画的三角形中标出用到的数据) A
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
F
知识回顾:
三角形全等判定方法Ⅱ
如果两个三角形的两边和他们的夹角对应相等，
那么这两个三角形全等（可以简写为“边角边”
或“SAS”）。
用符号语言表达为： 在△ABC和△ DEF中 AB=DE ∠A= ∠D CA=FD
B
A
C
D
∴ △ABC ≌△ DEF（SAS） E
尺规作图：
已知∠AOB， 求作∠A′O′B′， 使∠A′O′B′=∠AOB
B
O
三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作
以上内容是基于给定的大纲和指令进行的扩 展，但请注意，由于缺乏具体细节和背景信 息，某些描述可能不够精确或全面。如有需 要，请进一步补充和修正。
04
asa-aas在实际问题中的 应用
在几何证明题中的应用
在几何证明题中，asa-aas判定定理常常用于证明两个三角形全等。通过比较两 个三角形的两边和夹角，如果满足条件，则两个三角形全等，从而可以得出其他 相关结论。
asa-aas的发展方向
拓展适用范围
实际应用研究
研究如何将ASA-AAS判定应用于更广 泛的情况，例如处理只有一边和两个 角的情况或者只有两边和夹角的情况。
研究如何将ASA-AAS判定应用于解决 实际问题，例如几何证明、建筑设计、 工程测量等领域。
引入其他判定方法
研究如何将其他三角形全等判定方法 （如SAS、SSS、HL等）与ASA-AAS 判定相结合，以拓展其应用范围。
经过一点做已知直线的垂线
总结词
垂线的作法
详细描述
在给定的直线上选择一个点，然后使 用圆规在该点上画圆，与直线相交于 两点。连接这两点即可得到经过该点 的垂线。
作已知角的角平分线
总结词
角平分线的作法
详细描述
在给定的角内，使用圆规以角的顶点为圆心画圆，与角的两 边相交于两点。连接这两点即可得到该角的角平分线。
Hale Waihona Puke VS应用在尺规作图中，可以利用asa-aas判定三 角形全等来确定未知点的位置。例如，已 知一个三角形的两个角和一边，可以通过 asa-aas判定另一个三角形与之全等，从 而确定未知点的位置。
利用asa-aas解决实际问题
• 实例：在建筑设计中，常常需要确定某一点的位置使得该点到 两个已知点的角度相等。通过asa-aas判定定理，可以确定未知 点的位置，从而满足建筑设计的需求。
三角形的尺规作图
三角形的尺规作图
06
应用
在几何问题中的应用
确定三角形形状
解决几何问题
通过尺规作图，可以确定给定条件的 三角形形状，如等腰三角形、直角三 角形等。
通过三角形的尺规作图，可以解决各 种几何问题，如求三角形面积、证明 线段相等或垂直等。
证明几何定理
利用三角形的尺规作图，可以证明几 何定理，如塞瓦定理、梅涅劳斯定理 等。
在奥林匹克数学竞赛中，三角形的尺规作图是常用的解题技巧之 一，用于解决几何问题。
数学奥林匹克国家队选拔赛
在数学奥林匹克国家队选拔赛中，三角形的尺规作图也是重要的考 察内容之一。
国际数学奥林匹克竞赛
在国际数学奥林匹克竞赛中，三角形的尺规作图也是选手必须掌握 的基本技能之一。
THANKS.
三角形的尺规作图
汇报人： 2024-01-02
目录
• 尺规作图的基本知识 • 三角形的性质和分类 • 三角形的尺规作图方法 • 特殊三角形的尺规作图 • 三角形的尺规作图技巧 • 三角形的尺规作图应用
尺规作图的基本知
01
识
尺规作图定义
尺规作图
使用无刻度的直尺和圆规进行图 形构造的方法。
限制条件
现代应用
尺规作图在几何学、工程 制图等领域有广泛的应用 。
02
三角形的性质和分
类
三角形的基本性质
三角形的不变形性
三角形的三边长度和三个 角的大小在尺规作图过程 中保持不变。
三角形的稳定性
三角形是一种稳定的几何 图形，不易发生形变。
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等 于180度。
三角形的边和角
直角三角形
总结词
直角三角形是一种有一个角为直角的三角形，其作图方法需要利用勾股定理。
作三角形_尺规作图_课件
如图,某人不小心把一块三角形的玻璃 打碎成三块,现在要到玻璃店去配一块 完全一样的玻璃,那么他最少要( )
A、带①去 C、带③去
③ ② ①
B、带②去 D、带①和②去
曾经的世界难题：
尺规作图，把一个角三等分
拿破仑的题目： 只用圆规把一个圆四等分。
E C B
D
你现在能帮助 豆豆画出三角 形了吗？
2. 已知∠α和∠β ，线段a，用尺规作一个三角形， 使其一个内角等于∠α，另一个内角等于∠β ，且 ∠α的对边等于a。 α
β
a
提示：先作出一个角等于∠α+∠β ，通过反向 延长角的一边得到它的补角，即三角形中的第三 个内角∠γ 。由此转换成已知∠β 和∠γ 及其 这两角的夹边a，求作这个三角形。
(3)以·为顶点，以··为一边， · · ·· ·· 作∠ ·· =∠ ·· ； ·· ·· ·· ··
(4)作一条线段·· = ·· ； ·· ·· ·· ··
你知道的常用作图语言 有哪些呢？
(5)连接·· ，或连接··交··于 ·· ·· ·· ·· ·· ·· 点·· ； ·· ··
(6)分别以· ， ·为圆心， · · · · 以· ， ·为半径画弧，两弧交 · · · · 于·点； · ·
1. 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。
C α β B A c 边 角 角 对于边和角，你想先作＿＿，再作＿＿，最后作＿＿。
请按照给出的作法作出图形
作法： (1)作线段AB=c； A (2)以A为顶点，以AB为一边， 作∠DAB=∠α ； (3) 以B为顶点，以BA为一边，作 ∠ABE=∠β，BE交AD于点C。 △ABC就是所求作的三角形。
《三角形的尺规作图》
04
已知一角及两边长度作三 角形
已知一角及两边长度作三角形的方法
确定已知角
首先确定一个已知角，这 个角的大小不能超过180 度。
确定已知两边
确定两条已知的边长，这 两条边必须能够与已知角 形成一个三角形。
使用尺规作图
使用尺子和圆规，首先绘 制已知角，然后根据已知 两边，分别绘制两条线段 ，形成一个三角形。
使用尺子和圆规，首先绘制出 30度的角，然后分别绘制两条
线段，形成三角形。
05
复杂三角形的尺规作图
已知两边及夹角，作一个等腰三角形
总结词
使用尺规作图，可以根据已知两边及夹角 ，作一个等腰三角形。
VS
详细描述
首先，使用圆规以已知夹角的一边为半径 ，以夹角的顶点为圆心画弧，与已知的另 一边相交于两点。然后，使用直尺将两点 连接，从而得到等腰三角形的底边。最后 ，使用圆规以等腰三角形的底边为半径， 以底边的两个端点为圆心分别画弧，相交 于三角形的顶点，从而完成三角形的作图 。
第二步
以A点为圆心，以$BC$为半径画弧线，与 AB和AC两侧的延长线分别相交于D和E两 点。
第四步
以$AO$为半径，分别以$B$和$C$为圆心 画弧线，两段弧线在BC的同侧交于一点， 记作$F$。
第三步
连接$DC$和$EB$，得到的两条线段相交 于点$O$。
证明所作三角形为唯一的方法
• 根据圆的唯一性定理，以已知边长和夹角可以唯一确定一个圆。因此，已知两边及夹角作三角形的方法是唯一的。
已知一边及邻角，作一个直角三角形
总结词
通过已知一边及邻角，可以尺规作图得到一个直角三 角形。
详细描述
13.4 三角形的尺规作图(课件)冀教版数学八年级上册
求作：△ABC，使∠B=∠α，BC=a，BA=b.
步 作法
骤 ①作∠MBN=∠α
图示
②在射线 BN，BM 上分别 截取线段BC=a，BA=b
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13.4 三角形的尺规作图
考 点 清 步 ③连接 AC，△ABC 即为 单 解 骤 所求 读
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续表
13.4 三角形的尺规作图
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4. 已知两角及其夹边用尺规作三角形 考 点 已知：∠α，∠β，线段 a. 清 单 解 读
单 解
的三角形，否则三角形不唯一.
读
13.4 三角形的尺规作图
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考
对点典例剖析
点 清
典例 1 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）.
单 解
已知：∠β 和线段 a（如图），求作△ABC，使得
读 ∠A=∠β，∠B=2∠β，AB=a．
13.4 三角形的尺规作图
考 ［答案］ 解：如图，△ABC 即为所求． 点 清 单 解 读
13.4 三角形的尺规作图
● 考点清单解读 ● 重难题型突破
13.4 三角形的尺规作图
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考 ■考点 用尺规作三角形
点 清
1. 尺规作图：只用直尺（没有刻度）和圆规也可以画出
单 解
一些图形，这种画图的方法被称为尺规作图.
读 2. 已知三边用尺规作三角形
已知：线段 a，b，c.
步 求作：△ABC，使 AB=c，BC=a，AC=b.
骤 作法
图示
①作线段 AB=c
13.4 三角形的尺规作图
考 点 清 ②以点 A 为圆心，b 为 单 解 半径画弧 读
步 ③以点 B 为圆心，a 为 骤 半径画弧，两弧交于点 C
13.4 三角形的尺规作图课件(共15张PPT)
归纳小结
只用直尺（没有刻度）和圆规也可以画出一些图形，这种画图的方法被称为尺规作图.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
尺规作图所用的作图工具是指（ ）.A.刻度尺和圆规B.不带刻度的直尺和圆规C.刻度尺D.圆规
随堂练习
B
2.如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）.A.已知两边及夹角B.已知三边C.已知两角及夹边D.已知两边及一边对角
C
3.已知：如图，线段a，b，∠α，求作：△ABC，使得BC=a，AC=b，∠ACB=∠α，
•
•
•
•
•
•
a
b
c
2.如图所示，已知∠α，求作∠AOB，使∠AOB=∠α.
α
新知引入
什么是尺规作图？
只用直尺（没有刻度）和圆规也可以画出一些图形，这种画图的方法被称为尺规作图.
这种作图方法不必用具体数值，只按给定图形进行再作图，这也是它与画图的区别所在.
用尺规作三角形
13.4 三角形的尺规作图
第十三章 全等三角形
学习目标
1.经历尺规作图实践操作的过程，训练和提高学生尺规作图的技能，能根据已知条件作三角形.2.在实际操作过程中，逐步规范作图语言，能依据规范作图语言作出相应的图形.
学习重难点
会尺规作图.
难点
重点
能根据已知条件作三角形.
问题导入
1.如图，已知线段a，b.求作：线段c，使线段c的长度为线段a，b长度的和.
由三角形全等判定可以知道，每一种判定两个三角形全等的条件（SSS，SAS，ASA，AAS），都只能作出唯一的三角形.
全等三角形尺规作图
全等三角形尺规作图xx年xx月xx日CATALOGUE目录•全等三角形基本概念•全等三角形尺规作图基本法则•尺规作图的技巧和方法•尺规作图的实例分析•尺规作图的应用和意义01全等三角形基本概念两个三角形全等是指它们能够完全重合，即三个内角相等且三条边相等。
全等三角形的记号是“≌”，读作“全等形ABCD”或“三角形ABC全等于三角形DEF”。
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角平分线相等。
SSS（Side-Side-Side）：如果三角形的三条边相等，则它们全等。
AAS（Angle-Angle-Side）：如果三角形的两个角相等且这两个角的夹边相等，则它们全等。
ASA（Angle-Side-Angle）：如果三角形的两个角相等且其中一个角的对边相等，则它们全等。
SAS（Side-Angle-Side）：如果三角形的两条边相等且这两条边的夹角相等，则它们全等。
全等三角形的判定方法02全等三角形尺规作图基本法则无刻度直尺只限制长度测量，无法进行面积、角度等测量。
圆规可以用来画圆和圆弧，也可以用来复制图形。
尺规作图的基本概念直接法通过圆规和无刻度直尺，直接画出全等三角形。
间接法通过画出一个三角形，再使用圆规和无刻度直尺，间接画出全等三角形。
全等三角形的尺规作图方法画出三角形使用圆规，以点A为圆心，以AB为半径画圆弧，得到点C；再以点B为圆心，以AB为半径画圆弧，得到点D；连接CD得到三角形ABC。
确定两个已知点确定两个已知点A和B，并连接两点得到线段AB。
判断全等通过比较AC和BC的长度，可以判断三角形ABC和三角形DEF是否全等。
作图步骤03尺规作图的技巧和方法1作图技巧23明确要画的图形，了解所需条件和限制条件。
确定作图目标根据已知条件逐步推导，按照顺序将图形画出来。
画图步骤检查画出的图形是否符合题目要求，确保准确性。
检验作图结果根据等边三角形的性质，通过平分已知角度或边长即可得到三个等边三角形。
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第一章 三角形 “1.4三角形的尺规作图”导学案
课型：新授课 审核：初二数学教研组
学习目标：1、在分别给出的两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作三角
形。
2、能结合三角形全等的条件与同伴交流作图过程和结果的合理性。
学习过程：
一、自主学习(根据简单图形书写作法)
1如图,使用直尺作图,看图填空.
① ② ③ ④
① 过点____和_______作直线AB;
② 连结线段___________;
③ 以点_______为端点,过点_______作射线___________;
④ 延长线段__________到_________,使得BC=2AB.
2如图,使用圆规作图,看图填空:
① 在射线AM 上__________线段________=___________. ② 以点______为圆心,以任意长为半径作弧,分别交∠AOB 两边,交_________于点___________, 交________于点__________.
3已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形.
已知：线段a ，c ，∠α。
求作：ΔABC ，使得BC = a ，AB = c ，∠ABC =∠α。
作法与过程：（1）作一条线段BC=a ，
（2）以B 为顶点，BC 为一边，作角∠DBC=∠a ；
（3）在射线BD 上截取线段BA=c ；
（4）连接AC ，ΔABC 就是所求作的三角形。
在右面完成作图。
4已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形.
已知：线段∠α，∠β，线段c 。
求作：ΔABC ，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c 。
先独立思考，探索作图的过程，用自己的语言表述作图过程。
5已知三角形的三边,求作这个三角形.
已知：线段a ，b ，c 。
求作：ΔABC ，使得AB=c ，AC=b ，BC=a 。
在完成二个作图后，比较各自所作的三角形，利用重合等直观的方法观察所作的三角形是否全等。
二、课堂检测
1、利用尺规不能唯一作出的三角形是（ ）
A 、已知三边
B 、已知两边及夹角
C 、已知两角及夹边
D 、已知两边及其中一边的对角
2、已知线段α∠,,b a ，用尺规作ABC ∆使得
BC = 2a,AC = b,∠ACB = 2α
a。