第十二章静不定结构.
1 1 RC qa R A qa 2 2
H=0
43 例：折杆ABC位于同一平面内,P=10kN,E=200Gpa, G=80Gpa,I=400×103mm4,求C处支反力。 解： 一次静不定。解除C处约 束，代之以RC ⑴真实力作用下：
M ( x1 ) RC x1 BC段：
AB段：
M ( x2 ) ( RC P) x2
0.8
0
0.8RC 0.8dx2 0
4 RC P 1.74 KN 23
45 例:已知如图，EI，求约束反力。 解： 一次静不定，解除B处约束代之以X1
1 1P 11 X 1 0
外力作用下： BC:
M ( x1 ) 0
M ( x2 ) m
AC:
加单位力：
29 ⒋位移分成：对称的位移、反对称的位移 反对称的位移θ 对称的位移δy
对称与反对称性质的利用：用于超静定问题的降次即方程 的减少
30 ㈡对称性 证明 如图所示
11 X1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 31 X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
38 说明：
11 X 1 12 X 2 1 P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
不同的静定基，等式右侧 0表示什么物理意义？
例题
42 例:已知如图，求刚架的反力。 解： 一次静不定。 解除C截面的转动约束，代之以 MC ∵载荷反对称， MC=0,NC=0,QC≠0 ∴取一半考虑
由互等定理：
ij ji
例题
27
§11.3 对称及反对称性质的利用
㈠概念： ⒈对称载荷：对称结构，若载荷作用的位置、大小、方 向也对称于结构的对称轴
28 ⒉反对称载荷：对称结构， 若载荷作用的位置、大小对 称，方向反对称 ⒊内力分成：对称内力、反对 称内力 对称的内力：M、N 反对称的内力：Q
46
M ( x1 ) x1 M ( x2 ) x2
1P
l
M ( x) M ( x) dx l EI
(m) x2 3 m l2 l dx2 EI 8 EI 2
M ( x) M ( x) 11 dx l EI 2 l x l3 9 dx X 1 ml () 0 EI 3EI 8
考虑整体平衡，可求出A处反力
47 例:判断图示结构静不定次数 解： 图(a):9-3=6 图(b):9-3-2=4 图(c):9-3-2-1=3
结论：受对称载荷， 对称截面上反对称的 内力为零
32 ㈢反对称
33
13 31 23 32 0
1P 2 P 0
而正则方程为
33 X 3 3 P 0
X1 X 2 0
X 3 3 P / 33
结论：受反对称载荷，对称截 面上对称的内力为零
⑵比较法（与静定结构比较）
⑶静不定次数=所有未知力数－ 所有独立静力平衡方程数
5 ⒊基本静定系(静定基) 解除静不定结构的某些约束后得到的静定结构,称为原 静定结构的基本静定系统或静定基 基本静定系可以有不同的选择,不是唯一的
6
§12.2 用力法解静不定结构
力法：以多余约束力为基本未知量，将变形或位移 表示为未知力的函数，通过变形协调条件作为补充 方程求来解未知约束力，这种方法称为力法
3.计算系数 用莫尔积分 M ( x) M ( x) l3 11 dx l EI 3EI
M ( x) M ( x) 1P dx l EI Pa2 (3l a) 6 EI
Pa2 X 1 3 3l a 2l
10 未知力求出后求其他内力只需对静定基求内力 未知力求出后求其他位移只需对静定基求位移 注意符号及下标的记法，未知力始终用X加下标表示。
34 结论：结构对称， 受对称载荷，对称截面上反对称的内力、反对 称的位移为零 受反对称载荷，对称截面上对称的内力、对称 的位移为零
在对称面上内力：轴力、弯矩为对称的内力 剪力、扭矩为反对称的内力
平面问题中：在对称面上，转角、扭转角、垂直于 对称轴的线位移为反对称位移
35 ㈣关于对称与反对称问题静定基的多种选取方法
3 内静不定：杆件内力不能由静 力平衡方程完全求出的结构 ㈡多余约束及识别超静定： 几何不变结构:梁只有变形引起 的位移,无刚体位移或转动。
⒈多余约束：对维持结构 几何不变来说是多余的
＝对超静定结构而言是多余的
4 ⒉判别： ⑴几何不变结构：解除多余约束并 使原结构几何不变。 解除多余约束的数量=静不定次数
一、一次超静定
例：安装尾顶针的工件
7 分析 受力图―＞静定基图―＞ 外力图―＞单位力图
静定基
1 1P 1X1 0
1X1 11 X1
11 X 1 1 P 0
正则方程
“力”未知量――力 法 动画
9
解： 1.为一次静不定
2．选择图示的静定基
11 X1 1P 0
1
第十二章 静不定结构
§12.1 静不定结构概述
§12.2 用力法解静不定结构 §12.3 对称及反对称性质的利用
2
§12.1静不定结构概述
受力结构:分为 桁架、刚架、梁、 混合结构（杆－梁结构和杆－刚 架结构）
㈠超静定结构：未知力不能由 静力平衡方程完全求出的结构
外静不定：支反力不能由 静力平衡方程完全求出的结构
T ( x2 ) 0.8RC
44 ⑵在C处加单位力 BC:
M ( x1 ) x1
AB:
M ( x2 ) x2
T ( x2 ) 0.8
⑶
1 0.8 C [ RC x1 x1 dx1 EI 0
0.8 0
( RC P) x2 x2 dx2 ]
1 GI P
11
解题步骤： 1．绘图： 受力图、静定基图、外力 图、单位力图 2．列出平衡方程（对静定基而言） 3．列出正则方程（几何方程） 4．求δ11、Δ1P 5．解方程求出未知力 6．再求超静定系统的内力、位移
例题
22 二、高次静不定、正则方程
23
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 33 3 3P 31 1 32 2
313PM PM3 dx 0 l EIM 1M 3 13 31 dx 0 l EI M 2M 3 23 32 dx 0 l EI
X3 0 33 0 11 X1 12 X 2 1P 0
21 X1 22 X 2 2 P 0
结构力学教程——第12章 渐进法和超静定结构的影响线
性质，可得到柱子两端弯矩。
知识点 12.5-3
柱间有水平荷载作用时的计算
I=∞
A
C
q
i1 h1
B
i2 h2 D
I=∞
A
C
q
i1 h1
i2 h2
B
+
D
A
i1 h1 B
I=∞ C
i2 h2 D
P 单跨梁计算
P 力矩分配法
知识点
12.6 用机动法绘制连续梁的影响线
力法基本方程
11 Z1 1P 0
SBA 1 5
CBA 1
例2：作图示刚架的弯矩图
解 （1）固端弯矩
M
F AB
M
F BA
1 4 kN 3.3m 2
= 6.6kN m
M
F BC
M
F CB
1 (4 8.5)kN 3.6m 2
= 22.5kN m
（2）分配系数
SBA iBA 3.5 SBC iBC 5 SBE 3iBE 162
（http://structuremechanics/index1.htm）
1. 课程导入
连续梁桥
q
多跨连续梁
2. 结点力矩下单结点力矩分配
2.1 力矩分配法概念的提出 回顾位移法
例1：若梁线刚度 i 相同，求梁各杆端弯矩。
M
M
B
A
MBA MBC
M BA 4iB
B
θB
C
M AB 2iB
M BC 3iB
SCB 4 SCF 2 SCD 3
CB 0.445 CD 0.333 CF 0.222
解（1）转动刚度和分配系数
EI0=1
《建筑力学与结构》课件——第十章 超静定结构的内力计算
力法计算超静定结构
(2) 建立力法方程
11X 1 12X 2 1F 0 21X 1 22X 2 2F 0
建筑力学与结构
(3) 计算系数和自由项
δ11 4a3 / 3EI
1F 5qa4 / 8EI
2024/11/13
δ22 a3 / 3EI δ12 δ21 a3 / 2EI 2F qa4 / 4EI
M AB
M1X1
MF
l 3 ql 8
1 ql 2 2
1 ql 2 8
取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构，利用
计算静定结构的位移，达到求解超静定结构的方法，称为力
法。
2024/11/13
13
力法计算超静定结构
2.力法的典型方程
建筑力学与结构
1 11 X1 12 X 2 1F 0 2 21 X1 22 X 2 2F 0
2024/11/13
14
力法计算超静定结构
建筑力学与结构 n次超静定结构
δ11 X 1 δ12 X 2 δ1i X i δ1n X n 1F 0 δ21 X1 δ22 X 2 δ2i X i δ2n X n 2F 0
…………………………………………..……
δn1 X1 δn2 X 2 δni X i δnn X n nF 0
2024/11/13
7超静定次数的确定来自建筑力学与结构 3.去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束，用 三个约束反力代替该约束作用。
2024/11/13
8
超静定次数的确定
建筑力学与结构 4.将一刚结点改为单铰联结或将一个固定支座改为固定铰支座，相 当于去掉一个约束，用一个约束反力代替该约束作用。
各杆的杆端弯矩表达式
结构的静定与静不定
结构的静定与静不定结构分析是工程领域中极其重要的一部分，通过对结构的力学性能进行研究，可以确保工程的安全可靠。
在结构力学中，结构的静定与静不定是其中的重要概念之一。
本文将围绕着结构的静定与静不定展开探讨，介绍其基本概念、特点和应用方面的内容。
一、结构的静定静定是指结构在受力平衡的条件下，各个构件的位移可以由已知的力和几何条件唯一确定。
在静定结构中，构件的位移和应力可以通过静力平衡方程唯一求解。
简言之，一个结构如果满足所有构件的位移和应力能够通过静力平衡方程唯一确定，那么这个结构就是静定结构。
静定结构的特点有几个方面：1. 构件数量与方程数量相等：静定结构的构件数目等于描述结构平衡的方程数目。
2. 几何约束：静定结构的几何约束对于解的唯一性至关重要。
这些约束可以是连杆的铰接连接、构件的固定或约束等。
静定结构在工程实践中具有广泛的应用。
例如，在桥梁设计中常常需要保证桥梁结构在静力平衡的条件下，能够承受来自自身重力和车辆荷载的力。
此外，在建筑物的设计中也需要保证结构在静力平衡的条件下，能够承受地震等外部荷载的作用。
二、结构的静不定静不定是指结构在受力平衡的条件下，构件的位移和应力不能完全由已知的力和几何条件确定。
换言之，一个结构如果无法通过静力平衡方程唯一求解所有构件的位移和应力，那么这个结构就是静不定结构。
静不定结构的特点如下：1. 构件数量与方程数量不相等：静不定结构的构件数目多于描述结构平衡的方程数目。
2. 多余约束：静不定结构的多余约束使得构件的位移和应力无法由已知的力和几何条件唯一确定。
静不定结构的分析需要借助一些附加的条件，例如材料的变形规律、拉伸和剪切的本构关系等。
常用的方法包括力法、位移法和能量法等。
这些方法可以通过添加一些简化假设和辅助约束，将静不定结构的问题转化为静定结构的求解来解决。
静不定结构在实际工程中的应用也非常广泛。
例如，在梁柱设计中，为了提高结构的承载能力和刚度，常常采用悬臂梁、悬臂柱等静不定结构形式。
材料力学(静不定)
静定问题：若未知力（外力或内力）的个数等于独立 的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部 未知力，这类问题称为静定问题，相应的结构称静定 结构。 超静定问题：若未知力（外力或内力）的个数多于独 立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定 全部未知力，这类问题称为超静定问题或静不定问题.
由位移互等定理：δij＝δji
11 21
12 22
13 23
XX12
12PP
31 32 33 X3 3P
系数矩阵中只有六个独立的系数，且是关于主对角 线的对称矩阵。
先分别计算出系数矩阵及非齐次项的列向量。即可 求出未知量列向量X。
例题 悬臂梁AB如图所示，A、B端固支。
问题为三次超静定。除掉A 端固支，得到 包含未知反力的静定结构，称为静定基。
利用叠加原理，分别画出外载荷（图b);
支反力X1和X2（图b和图c)单独作用图。
yA
y
P A
X1L3 3EI
X 2L2 2EI
0
A
P A
X1L2 2EI
X2L EI
力法是一种直接求解未知反力的方法。 基本思想:
是以未知约束反力X（反力偶M）为未知数建立 变形方程。
基本原理： 1、对于弹性体，变形量与外力成正比 2、未知力产生的变形量，是单位力产生变形量的X
（M）倍。 3、而单位力产生的变形量可用莫尔积分法求解。
第14章 静不定结构
(Statically Indeterminate Structure) 二、对称载荷和反对称载荷
P M F P M F F M P P M F
对称载荷：作用位置对称、数值相等、指向对称; 反对称载荷：作用位置对称、数值相等、但是指向相反; 对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的作用点和 作用方向将重合，而且每对力数值相等。 反对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的数值 相等，作用点重合而作用方向相反。
l B l/2 C l/2 C B
F
l/2
F
l/2
FB
D A
D A
相当系统
解:取B处的反力为多余约束。 变形协调条件是:B点的铅锤位移等于零.
B 0
(Statically Indeterminate Structure) l
B x l/2 C D A l/2 A x x B l/2 x C D x
4 M ( ) FB asin F a sin( )( ) 4 4 2
单位力系统各段的弯矩方程：
)
(b)
B
M asin
应用莫尔积分,
1
M()
A
M ( ) M ( )ds ΔB 0 s EI
(c)
(Statically Indeterminate Structure) MMds 1 π 4 FB a sin a sin ad ΔB 0 s EI EI 0
例题2 （教材14-3） 图示刚架，C截面承受弯矩M作用，计算 M C截面转角。EI为常数。
B C D
解：图示刚架为三次静不定，但 由于结构具有对称性，载荷反对称， 故对称轴横截面上轴力、弯矩为零， 只有一个多余未知力（剪力FS ）。 变形协调条件是: 切口两侧截面的相对竖直位移等于零。
材料力学试卷及答案
一、低碳钢试件的拉伸图分为 、 、 、 四个阶段。
(10分)二、三角架受力如图所示。
已知F =20kN,拉杆BC 采用Q235圆钢，［钢］=140MPa,压杆AB 采用横截面为正方形的松木，[木]=10MPa ，试用强度条件选择拉杆BC 的直径d 和n ＝180 r/min ，材分）四、试绘制图示外伸梁的剪力图和弯矩图，q 、a 均为已知。
（15分）qaa22qa ABCA B五、图示为一外伸梁，l=2m，荷载F=8kN，材料的许用应力[]=150MPa，试校核该梁的正应力强度。
(15分)六、单元体应力如图所示，试计算主应力，并求第四强度理论的相当应力。
(10分)e =200mm 。
b =180mm ， h =300mm 。
求max和min。
（15分）x＝x＝y＝lllFAB DC4F 100m m 100mm八、图示圆杆直径d=100mm，材料为Q235钢，E=200GPa ，p=100，试求压杆的临界力F cr。
(10分)Fm3d1）答案及评分标准一、弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、颈缩断裂阶段。
评分标准：各分。
二、d=15mm; a=34mm．评分标准：轴力5分， d结果5分，a结果5分。
三、=87.５ＭＰa, 强度足够．评分标准：T 3分，公式4分，结果3分。
四、评分标准：受力图、支座反力5分，剪力图5分，弯矩图5分。
五、max=＞［］=100 MPa ，但没超过许用应力的5%，安全．评分标准：弯矩5分，截面几何参数 3分，正应力公式5分，结果2分。
六、（1）１＝１４１.42 MPa ，＝０，３＝１４１.42 MPa ；（2）r4=245 MPa 。
评分标准：主应力5分，相当应力5分。
七、max =０.64 MPa ，min= MPa。
FM评分标准：内力5分，公式6分，结果4分。
八、Ｆc r =评分标准：柔度3分，公式5分，结果2分。
一、什么是强度失效、刚度失效和稳定性失效二、如图中实线所示构件内正方形微元，受力后变形 为图中虚线的菱形，则微元的剪应变γA 、 αB 、 α-090C 、 α2900-D 、 α2答案：D三、材料力学中的内力是指（ ）。
中国民航大学2017年硕士研究生《飞机结构与强度》考试大纲
中国民航大学2017年硕士研究生《飞机结构与强度》考试大纲（原科目名称为《飞机结构力学》代码821）科目代码：821适用专业：见当年招生专业目录一、课程简介“飞机结构与强度”课程旨在重点培养学生的综合分析问题、解决问题的能力和工程应用能力，使学生为专业课学习做好扎实宽厚的理论准备，同时也为毕业生从事民航领域飞机结构维护和深度维修等工作或继续深造提供必要的理论基础。
“飞机结构与强度”课程包括飞机结构力学和飞机结构强度两方面的教学内容。
飞机结构力学从力学的角度来讲授飞机结构的组成规律，飞机结构在载荷作用下的强度、刚度、稳定性的计算方法，并为飞机结构的受力分析和强度计算提供必要的基础理论知识。
要求学生能够正确运用所学知识进行飞机结构强度、刚度、稳定性分析计算。
飞机结构强度通过学生对飞机结构在使用中承受的载荷、载荷传递路线及飞机结构在载荷作用下的强度、刚度、稳定性等力学性能的系统学习，使学生掌握有关飞机结构强度计算的基本概念、飞机结构的传力分析、飞机结构在载荷作用下、内力计算的基本原理和基本方法、以及飞机构件的破坏形式和强度校核方法。
二、课程内容第1章绪论1.1飞机结构与强度的任务1.2飞机结构形式的发展1.3飞机结构力学的研究对象1.4飞机结构力学研究的基本原则和基本假设重点：典型飞机结构元件的功用难点：飞机结构的计算模型第2章能量原理基础2.1弹性力学问题及基本方程2.2功和能的概念2.3广义力和广义位移2.4虚功原理2.5余虚功原理2.6叠加原理和位移互等定理重点：广义力和广义位移难点：余虚功原理，功和能的计算第3章结构组成分析3.1结构组成分析的任务3.2结构组成分析方法3.3桁架结构的组成3.4刚架结构的组成3.5薄壁结构的组成重点：常见飞机结构系统的几何组成分析第4章静定结构内力与变形4.1静定结构的特性4.2静定杆系结构内力4.3静定薄壁结构内力4.4计算结构变形的意义4.5单位载荷法重点：静定结构内力计算的基本原理和基本方法，静定结构变形计算的单位载荷法难点：静定薄壁结构内力与变形计算第5章静不定结构的内力和变形5.1静不定结构的特性5.2力法和正则方程5.3基本系统的选择及对称条件的利用5.4静不定结构变形计算重点：力法的基本原理及其应用难点：静不定结构内力计算第6章工程梁理论6.1工程梁理论基本假设6.2自由弯曲时正应力计算6.3自由弯曲时开剖面剪流计算6.4开剖面的弯心6.5自由弯曲时单闭室剖面剪应力计算6.6多闭室剖面剪流与弯心的近似计算重点：工程梁的基本概念及应力计算难点：单闭剖面薄壁结构剪应力计算第7章薄壁构件的稳定性7.1矩形平板的稳定性7.2受压薄壁杆件的稳定性重点：薄壁构件的稳定性及其影响因素第8章飞机的外载荷8.1作用在飞机上的外力8.2飞机的过载8.3飞机的飞行包线8.4飞机设计强度准则和强度规范重点：飞机过载的计算难点：飞行包线第9章机翼结构受力分析9.1机翼的功用和组成9.2机翼的外载荷和力图9.3机翼结构的传力分析9.4尾翼的外载荷与受力分析重点：机翼的结构组成及其功用，机翼上的载荷及其传递途径难点：机翼横截面的应力计算第10章机身结构的受力分析10.1机身的功用和组成10.2机身的外载荷和力图10.3机身结构的传力分析10.4机身结构横截面的应力分析10.5机身隔框的受力分析10.6机体开口部位受力分析重点：机身的结构组成及其功用，机身上的载荷及其传递途径难点：机身横截面的应力计算，机体开口部位受力分析三、学习要求1.了解典型飞机结构元件的结构型式和功用。
飞行器结构力学电子教案4-3
——电子教学教案 电子教学教案
西北工业大学航空学院 航空结构工程系
第四章
静不定结构的内力与变形计算
Internal Forces and Deformations of Statically Indeterminate Structures 第三讲 力法一般原理
一、力法一般原理
i i P 1 1 2 2 n n i 1 1 i 2 2 i n n i
P
=0
式中， 式中，(∑SiVj )表示第 i 个单位状态的内力在第 j 个单位状态位 移上所做的虚功， 同样， 移上所做的虚功，仍记为δi j ，同样，记∑SiVP=iP ，则上式可 写成： 写成：
δ i1 X 1 + δ i 2 X 2 + L + δ in X n + iP = 0
一、力法一般原理
静不定结构内力同时要用平衡条件和变形协调条件。因而， 静不定结构内力同时要用平衡条件和变形协调条件。因而， 我们仍然从满足这两个条件出发进行讨论。 我们仍然从满足这两个条件出发进行讨论。 1．满足平衡条件 ． 对n次静不定结构，根据力作用的叠加原理将真实的内力状态 次静不定结构， 次静不定结构 <R >看做是由 n+1 个内力状态叠加而成，其中一个内力状态是 个内力状态叠加而成， 看做是由 与外载荷相平衡的，即载荷状态<P ， 与外载荷相平衡的，即载荷状态 >，其余 n 个内力状态是自身 平衡的(与外力无关 与外力无关)。 平衡的 与外力无关 。每一个自身平衡状态只决定一个多余未知 力X i，当X i =1时，即为单位状态 >。既然每个内力状态都满 时 即为单位状态<i 。既然每个内力状态都满 足平衡条件，那么， 足平衡条件，那么，这 n+1 个内力状态叠加的结果也必然满足 平衡条件。 平衡条件。即：
静定结构和静不定结构判断方法
静定结构和静不定结构判断方法The methods for determining statically determinate and indeterminate structures are critical in the field of structural engineering. 静定结构和静不定结构的判断方法在结构工程领域中至关重要。
Statically determinate structures are those for which all the forces and reactions can be determined using only the equations of statics, while statically indeterminate structures require the use of additional equations such as compatibility equations and equations of equilibrium. 静定结构是指仅使用静力学方程就可以确定所有的力和反力的结构，而静不定结构则需要额外使用兼容方程和平衡方程等方程。
The distinction between the two types of structures has significant implications for the design and analysis of buildings, bridges, and other structures. 这两种结构类型的区别对建筑物、桥梁和其他结构的设计和分析有着重要的影响。
In practical terms, determining whether a structure is statically determinate or indeterminate involves analyzing the internal forces and reactions within the structure. 在实际情况中，确定结构是静定还是静不定涉及分析结构内部的力和反力。
第十三章 静不定问题分析
第31单元第十三章静不定问题分析§13-1 引言能量法是静不定问题分析的普遍有效的方法。
一、静不定结构分类：内力、外力、混合静不定。
静不定次数(静不定度)：多余约束(Redundant confinement)数 (1)外力静不定外一度外三度空间：外6度(一个固定端6个约束分量)(外力)平面静定结构：3个约束(外力)空间静定结构：6个约束平面固定铰：2个约束空间球形铰：3个约束平面活动铰：1个约束空间固定端：6个约束平面固定端：3个约束(2)内力静不定静不定度()32--=n mm : 杆数 n :节点数6-(2×4-3)=1封闭框架三内，加一铰减一，加一刚接杆加3，加一铰支杆加1三内 二内 6内 4内 (截开为静定结构，分析有几个多余力) (3)混合(一般)静不定1+1=2度 3+3=6度 内 外 内 外 例：静不定判断。
梁3 (外静不定) 环3 (内静不定)二者接触(A 点)1(内静不定) 共7(混合或一般静不定)无摩擦，圆环在水平方向有一自由度。
二、分析方法(1)力法(force method)或柔度法(Flexibility method)，以力、力的反力为未知数，利用变形协调条件列方程，通常简单，但格式不统一，不便于计算机求解。
(2)位移法(displacement method)或刚度法(stiffness method)（有限元法），以位移为未知数，利用平衡条件求解，不需判断静不定度，格式统一，便于计算机分析。
§13-2 用力法分析静不定问题基本系统：解除多余约束后的静定结构。
相当系统：作用有载荷和多余反力的基本系统。
求解：静力平衡方程+变形协调条件(通过能量法转换为未知力的方程)。
对比：以前由几何法画变形图，然后通过物理方程转换为未知力的方程，分析复杂结构存在困难。
一、外力静不定问题例：若P 、EI 均为已知，试画刚架弯矩图。
解：1.求约束反力 (1)静不定度1(2)静定基：解除B 点约束 (3)变形条件：0=B f(4)能量法求解(求位移与力的关系) BC 段：()()1111x x M x N x M B ==AC 段：()()a x M Px a N x M B =-=222()[]010*******=-+=∴⎰⎰aB a B B dx a Px a N dx x N EIfP N EI Paa N EI a N B B B 830213333=⇒=-+ 2.画弯矩图，由于各段无布力，图形为直线，只须找端值连结，(一般情况根据弯矩方程)例：计算A 点水平位移。