7-3 静定结构和超静定结构
本章假设：所有杆件均为刚体（不考虑材料变形）。
静定结构
超静定结构
无多余约束
有多余约束
全部支座反力和内力利用静力平衡方程式可以求出唯一解答。
全部支座反力和内力用静力平衡方程式无法求出唯一解答，只有补充结构的变形条件才能求得唯一解答。
图3-15
图3-16结构的计算自由度数为负
根据结构的多余约束数确定超静定的次数。
例如，有一个多余约束的结构称之为一次超静定结构，有二个多余约束的结构称之为二次超静定结构，以此类推，有n个多余约束的结构称之为n次超静定结构。
对于超静定结构的超静定次数也可以根据体系的计算自由度数求出。例如：图3-16所示结构为超静定结构，其计算自由度数为
那么，该结构的超静定次数为一次，图3-16所示结构是一次超静定梁。
结构力学：第七章《力法》
为此，求出基本结构的
和NP值 N1
0 22 1
-1/2
对称
2
列表计算(见书137页)后得
EA11=(3+ ) a EA△1P=－Pa
2P 2
NP 0
3 P0
1
+P/2
P 4
对称返29回2
代入典型方程，解得
3
22
X1=1
4
=0.172P
0 22 1
对称
N1
-1/2
2
各杆内力按式
X1 1 M1图
M 2图
M3图 P Pab L
作基本结构各 和MP图
1 X2 1 由于 3=0,故
13= 31= 23= 32= △3P=0
X3 1 则典型方程第三式为
MP图
代代入入典典型型方3方3X程程3(=解消0得去公因子)得
33≠0(因X3的解唯一)
Pab2
L2 M图
MAC= a
4P 11
+
a(
3P 88
)
Pa 2
内力的计算便是静定问题。
返26回
2 、力法的计算步骤
（1）确定原结构的超静定次数。 （2）选择静定的基本结构(去掉多余联系， 以多余未知力代替)。 （3）写出力法典型方程。 （4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力 图，据此计算典型方程中的系数和自由项。 （5）解算典型方程，求出各多余未知力。 （6）按叠加法作内力图。
结论
象上述这样解除超静定结构的多余联系而得 到静定的基本结构，以多余未知力作为基本未知 量，根据基本结构应与原结构变形相同而建立的 位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平衡 条件计算其余反力、内力的方法，称为力法。
第十四章：超静定结构
Fl3 8EI
0
l3 2EI
X1
l3 3EI
X2
l2 2EI
X3
5Fl3 48EI
0
3l 2
l2
2l
Fl 2
2 EI
X1
2EI
X2
EI
X3
8EI
0
14
化简，得：
32l X1 12l X 2 36X 3 3Fl 0 24l X1 16l X 2 24X 3 5Fl 0 12l X1 4l X 2 16X 3 Fl 0
14
11
1 EI
1 2
l
l
2l 3
l3 3EI
1 ql 2 2
1F
1 EI
1 3
ql2 2
l
3l 4
ql4 8EI
M图
11X1 1F 0
l
M图
X1
1F
11
ql4
8EI l3
3 ql （方向向上） 8
3EI
14
例2：解图示超静定问题。
多余约束可以是结构外部的（多余支撑条 件），也可以是结构内部的。
14
2.内部约束
多余内部约束的实例：
ab
静定
二次超静定
三次超静定 14
具有多余内部约束的结构的特点：平衡 方程可以求出所有反力，但不能求出所有内 力。
一个超静定结构，去掉 n 个约束后成为 静定结构，则原结构为 n 次超静定结构。
超静定结构(精)
第4章超静定结构§4.1 超静定结构特性●由于多余约束的存在产生的影响1. 内力状态单由平衡条件不能惟一确定，必须同时考虑变形条件。
2. 具有较强的防护能力，抵抗突然破坏。
3. 内力分布范围广，分布较静定结构均匀，内力峰值也小。
4. 结构刚度和稳定性都有所提高。
●各杆刚度改变对内力的影响1. 荷载作用下内力分布与各杆刚度比值有关，与其绝对值无关。
2. 计算内力时，允许采用相对刚度。
3. 设计结构断面时，需要经过一个试算过程。
4. 可通过改变杆件刚度达到调整内力状态目的。
●温度和沉陷等变形因素的影响1. 在超静定结构中，支座移动、温度改变、材料收缩、制造误差等因素都可以引起内力，即在无荷载下产生自内力。
2. 由上述因素引起的自内力，一般与各杆刚度的绝对值成正比。
不应盲目增大结构截面尺寸，以期提高结构抵抗能力。
3. 预应力结构是主动利用自内力调节超静定结构内力的典型范例。
§4.2 力法原理●计算超静定结构的最基本方法超静定结构是具有多余联系（约束）的静定结构，其反力和内力（归根结底是内力）不能或不能全部根据静力平衡条件确定。
力法计算超静定结构的过程一般是在去掉多余联系的静定基本结构上进行，并选取多余力（也称赘余力）为基本未知量（其个数等于原结构的超静定次数）。
根据基本体系应与原结构变形相同的位移条件建立方程，求解多余力后，原结构就转化为在荷载和多余力共同作用下的静定基本结构的计算问题。
这里，基本体系起了从超静定到静定、从静定再到超静定的过渡作用，即把未知的超静定问题转换成已知的静定问题来解决。
●基本结构的选择（解题技巧）1. 通常选取静定结构；也可根据需要采用比原结构超静定次数低的、内力已知的超静定结构；甚至可取几何可变（但能维持平衡）的特殊基本结构。
2. 根据结构特点灵活选取，使力法方程中尽可能多的副系数δij = 0。
3. 应选易于绘制弯矩图或使弯矩图限于局部、并且便于图乘计算的基本结构。
结构力学静定结构与超静定结构
结构力学静定结构与超静定结构结构力学是研究结构承受外力后的力学性能的学科，它在建筑、机械、航空航天等领域都扮演着重要的角色。
在结构力学中，我们可以将结构分为两类：静定结构和超静定结构。
静定结构是指在确定边界条件下，结构的所有支反力以及结构内部的应力分布等参数都可以通过静力平衡方程唯一求解出来的结构。
在静定结构中，支反力的计算可以通过平衡方程解决，而应力的计算可以通过弹性力学理论求解。
以简支梁为例，简支梁的两端固定支承，中间用力作用时，通过平衡方程可以求解出支反力。
而根据梁的几何形状和荷载的大小，可以计算出梁内部的应力分布。
在静定结构中，支反力和应力可以通过简单的数学计算求解，因此设计和分析起来相对简单。
而超静定结构则相对复杂一些。
超静定结构是指在确定边界条件下，结构的参数无法通过静力平衡方程唯一求解出来的结构。
这意味着在求解超静定结构时，不仅需要静力平衡方程，还需要考虑结构的变形和材料的本构关系等。
以悬臂梁为例，悬臂梁的一端固定支承，另一端悬空。
在悬臂梁上增加一个附加支承，形成一个超静定结构。
在这种情况下，由于支承力未知，无法通过静力平衡方程唯一求解出来。
因此，我们需要考虑结构的变形情况，并将其作为一个未知数来求解。
在超静定结构中，我们通常采用的方法是引入截面变形理论和力法。
通过假设结构具有一定的变形形态，并利用力法求解出结构的变形、应力和支反力等参数。
通常情况下，超静定结构的计算需要较为复杂的数学方法和计算机仿真。
静定结构和超静定结构在工程实践中都有广泛的应用。
静定结构常常用于桥梁、楼房等普通建筑结构的设计与分析中，因其计算相对简单，容易掌握。
而超静定结构常常用于大跨度的特殊结构的设计与分析中，如悬索桥、曲线梁等。
虽然超静定结构计算较为复杂，但可以提供更多的设计自由度和结构优化的可能性。
总而言之，静定结构和超静定结构都是结构力学中的重要概念。
静定结构是可通过静力平衡方程求解出内部参数的结构，而超静定结构则需要额外的变形理论和力法求解。
材料力学第十四章__超静定结构
§14．1 超静定结构概述
整理课件
本节应用能量法求解静不定系统。 应用能量法求解静不定系统，特别是对桁 架、刚架等构成的静不定系统，将更加有效 。 求解静不定问题的关键是建立补充方程。 静不定系统，按其多余约束的情况，可以 分为外力静不定系统和内力静不定系统。
整理课件
支座反力静不定 类型反力静定内力静不定
整理课件
解静不定梁的一般步骤
(4)在求出多余约束反力的基础上，根据静 力平衡条件，解出静不定梁的其它所有支 座反力。 (5)按通常的方法（已知外力求内力、应力 、变形的方法）进行所需的强度和刚度计 算。
整理课件
例：作图示梁的弯矩图 。
整理课件
解：变形协调条件为
A 0
即
MAl2Pl2 10 2 382
A
M10 1
D
P
1
2
(d)
(e)
1 P0 2M E 1 0 M P d I s2 P E 20 2 a (I 1 c
o) s (1 )d P2(a 1 ) 2 E2 I
1102M E102IdsE aI02(1)2d2EaI
上面两式代入 正则方程：
11
X 整理课1件
Pa( 2
)
求出X1后，可得图（C）
解得
MA
3Pl 16
整理课件
3Pl MA 16
11 P
5P
16
整理课件
另解：变形协调条件为
vB 0
即
RBl2
2l Pl2
5l
0
2 386
解得
5P
RB 16
整理课件
5P
5Pl/32
16
3Pl 16
静定超静定判断及计算
目的和意义
目的
理解静定与超静定的概念，掌握判断方法，能够进行相应的计算。
意义
在实际工程中，正确判断结构和系统的静定或超静定状态对于确保结构安全、节约材料和降低成本具有重要意义。
02
静定与超静定的基本概念
静定结构的定义
静定结构
在任何外界影响下，其平衡位置都是稳定的 ，且在受到微小扰动后能自动恢复到原来的 平衡状态。
内力计算的方法
静定结构的内力计算通常采用截面法或节点法进行。截面法是通过 截取结构的一部分进行分析，节点法则是对结构的节点进行受力分 析。
内力的表示方法
内力可以用实线和虚线表示，实线表示实际受力方向，虚线表示实际 受力反方向。
静定结构的位移计算
1
位移计算的意义
在结构分析中，位移是一个重要的参数 。通过计算位移，可以了解结构的变形 情况，从而评估结构的稳定性和安全性 。
本文的研究成果已被广泛应用于建筑、机械、航空航天等工程领 域，解决了众多实际工程问题，取得了显著的经济和社会效益。
对未来研究的展望
深入研究复杂结构体系
随着科技的发展，复杂结构体系在工程中越来越常见，未 来研究可进一步探讨复杂结构体系的静定与超静定问题， 提高工程结构的稳定性和安全性。
引入先进计算技术
计算公式
自由度数 = 刚片数 - 约束数。
判断标准
若自由度数等于0，则结构为静定；若自由度数不等于0，则结 构为超静定。
几何法判断
定义
几何法判断是指通过分析结构的几何形状来判断结构是否为静定或超静定的一种方法。
判断标准
若结构的几何形状满足静定结构的条件（即所有刚片都是相互平行的），则结构为静定；否则为超静 定。
01
超静定结构的概述
(a)
(b)
图 11-3
除上述主要特征外，超静定结构还具有整体性强、变形小、受力较为 均匀等特点，因而这种结构在实际工程中被广泛采用。例如，图11-4a 所 示的两跨连续梁较图11-4b 所示的两跨简支梁，在力 F 作用点处的弯矩和 挠度均为小。
（a） 静定结构
（b） 超静定结构
（c） 静定结构受力图
算上来说，静定结构的静力特征是用静力平衡条件就能求得全 部反力和内力；而超静定结构的静力特征是仅用静力平衡条件不能求得 全部反力和内力。例如，对图11-1a 所示的静定梁，其受力图如图11-1c 所示，梁的反力（FAx、FAy、FB）和内力（FN、FQ、M）分别由三个静 力平衡方程求得。 而对图 11-lb 所示的连续梁，其受力图如图 11-ld 所示， 梁的反力共有四个(FAx、FAy、Fx1、FB），其中Fx1称为多余约束所对应 的多余未知力，用三个静力平衡方程不可能将此四个反力全部求得，只 要有一个反力尚未确定，梁的内力就不能确定。因此，还须补充其他条 件，才能求解。
【例11-3】确定图11-13a 所示结构的超静定次数。
解：图11-13a 所示刚架，具有一个多余约束。若将横梁某处改为铰接， 即相当于去掉一个约束，得到如图11-13b 所示的静定结构，故原结构 n = l。
若去掉支座 B 处的水平支杆，则得图11-13c 所示的静定结构。 但是，若去掉支座 B 或支座 A 的竖向支杆，即成可变体系如图11-13d 所 示，显然这是不允许的，所以此刚架支座处的竖向支杆不能作为多余约束。
图 11-6
② 去掉一个单铰，相当于去掉两个约束 。 如图11-7a 所示的结构，去掉一个单铰而变成静定结构，如图11-7b 所示。 因 n = 2，故该结构为两次超静定 。
第七章静定结构的内力计算
C
B
q a
qa 2
qa
A
a
qa
2
1．求支反力 2．分段 3．截面法求各段杆端内力值 4．用直线或曲线连接各段 5．标出数据、正负、图名
M CB
qa2 2
(下拉)
M CA
qa2 2
(右拉)
qa 2
C2
B
qa 2
2
qa 2
8
A
M
内力图的作法——剪力图
C
B
qa 2
qa
FQAC qa
FQCA 0
3m 1m
5kN
A
C
D
B
5kN 4kN
5m
4kN
5kN
FQDA
M DA
FDA
截面法计算D截面杆端内力
5kN
A
C
D
FNDC
M DC
FDC
4kN
3m 1m
B
5kN 4kN
5m
4kN
截面法计算D截面杆端内力
3m 1m
5kN
A
C
D
B
5kN 4kN
5m
4kN
FNDB
M DB
FQDB
5kN
4kN
内力图的作法——弯矩图
超静定结构
对于具有多余约束的几何不变体系，却不 能由静力平衡方程求得其全部反力和内力，这 类结构称为超静定结构
杆件类型
杆件
内力：轴力、剪力、弯矩 梁式杆
类型：梁、刚架、拱
链杆
内力：轴力 类型：桁架
梁
概念：是一种受弯构件，其轴线为直线， 有单跨和 多跨之分
单跨静定梁
静定和超静定的知识点梳理
静定和超静定的知识点梳理《静定和超静定的知识点梳理》嗨，小伙伴们！今天咱们来聊聊静定和超静定这两个听起来有点复杂，但是特别有趣的知识点哦。
我先来说说静定结构吧。
静定结构就像是搭积木一样，只要你知道了几个关键的部分，整个结构的情况就完全清楚啦。
比如说，一个简单的三角形的架子，就像我们在公园里看到的那种小亭子的框架，它是静定结构。
有三根杆件组成一个三角形，你只要知道这三根杆件的长度、材质这些基本信息，这个三角形架子的受力情况、能不能稳稳地立在那儿，你就都能搞明白。
这就好比你知道了做一个小蛋糕需要多少面粉、多少糖、多少鸡蛋，按照这个配方做出来的小蛋糕肯定不会出问题，对吧？在静定结构里，我们可以用一些简单的力学方法来分析。
就像我们在玩跷跷板的时候，你要是知道了两边人的重量，还有跷跷板的长度，就能算出两边是会平衡呢，还是会向哪一边倾斜。
这和分析静定结构里力的平衡是一个道理呀。
可是超静定结构就不一样喽。
超静定结构就像是一个神秘的大迷宫，光知道几个简单的信息可不够。
我给你们举个例子吧，像那种有好多柱子和横梁的大房子，它的结构就是超静定的。
为啥呢？因为它的杆件太多啦，你要是只知道几根柱子和横梁的信息，根本没法搞清楚整个房子的受力情况。
这就好像你要去一个超级大的游乐场，只知道一两个游乐设施的位置，你能说你了解整个游乐场吗？肯定不能呀！超静定结构比静定结构要复杂得多。
在超静定结构里，会有多余的约束。
这多余的约束是啥呢？就好比你本来已经把东西都固定得好好的了，但是你还非要再加上几个绳子或者夹子去固定它。
在超静定结构里，这些多余的约束会让力的分析变得超级复杂。
我问你们啊，如果有一堆乱七八糟的线缠在一起，你是不是觉得很难把它们分开？超静定结构里的力就像这些缠在一起的线一样，让人头疼。
我记得有一次，我和我的小伙伴们一起做一个小手工，是做一个小桥架模型。
我们最开始想做一个静定结构的桥架，就按照书上的简单方法，用几根小木棒搭起来。
7.1超静定结构概述
对于图示结构，水平支座链杆不可去掉， 对于图示结构，水平支座链杆不可去掉，否则就将变成 几何可变体系；如果只去掉一根竖向支座链杆， 几何可变体系；如果只去掉一根竖向支座链杆，则其中的闭 合框格仍然具有三个多余约束。 合框格仍然具有三个多余约束。还必须把该闭合框格再切开 一个截面，这时才成为静定结构。因此， 一个截面，这时才成为静定结构。因此，原结构总共有四个 多余约束，即为四次超静定体系 四次超静定体系。 多余约束，即为四次超静定体系。
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
1）移去一根支杆或切断一根链 ） 相当于解除一个约束。 杆，相当于解除一个约一个不动铰支座或切开 ） 一个单铰，相当于解除两个约束。 一个单铰，相当于解除两个约束。 3）移去一个固定支座或切断 ） 一根梁式杆， 一根梁式杆，相当于解除三个 约束。 约束。 4）将固定支座改为不动铰支 ） 座或将梁式杆中某截面改为 铰结， 铰结，相当于解除一个转动 约束。 约束。
重庆大学土木工程学院®
All Rights Reserved
3、超静定结构的五种类型 、
1）超静定梁 ） 3）超静定拱 ）
All Rights Reserved
2）超静定刚架 ） 4）超静定桁架 ）
重庆大学土木工程学院®
5）超静定组合结构 ）
4、分析超静定结构的两个基本方法 、 力法和位移法是分析超静定结构的两个基本方法。 力法和位移法是分析超静定结构的两个基本方法。 是分析超静定结构的两个基本方法 力法是提出较早、发展最完备的计算方法， 力法是提出较早、发展最完备的计算方法，同时也是更 为基本的方法。 为基本的方法。 位移法的提出较力法稍晚些，是在 世纪初为了计算复 位移法的提出较力法稍晚些，是在20世纪初为了计算复 杂刚架而建立起来的。 杂刚架而建立起来的。 在上述两种基本方法的基础上， 在上述两种基本方法的基础上，还曾演变出多种渐近法 和近似法， 和近似法，主要用以克服当年因计算手段滞后给手算工作带 来的困难。属于位移法类型的渐近解法——力矩分配法和无 来的困难。属于位移法类型的渐近解法 力矩分配法和无 剪力分配法；以及近似解法——分层计算法和反弯点法，至 剪力分配法；以及近似解法 分层计算法和反弯点法， 分层计算法和反弯点法 今仍具有工程实用价值。 今仍具有工程实用价值。