第八章 超静定结构的内力分析

这就是三次超静定结构的力法方程。 同理，我们可以建立力法的一般方程。对于n次超静定结构， 用力法计算时，可去掉n个多余约束得到静定的基本结构，在去掉 的n个多余约束处代之以n个多余未知力。当原结构在去掉多余约 束处的位移为零时，相应地也就有n 个已知的位移条件，即：
1 11 X 1 12 X 2 13 X 3 1n X n 1Ρ 0 2 21 1 22 2 23 3 2 n n 2 Ρ 0 n n1 1 n 2 2 n 3 3 nn n nΡ 0
1P
将11 和1P 之值代入力法基本方程由此求出：
X1 1P
11
ql 4 l 3 3ql / 8EI 3EI 8
所得结果为正值，表明 X1 的实际方向与原假设的方向相同。 多余未知力 X1 求出后，就可以利用静力平衡条件求原结构的支座反
例如图(a)所示结构，铰化结点后增加一根链杆 可变为几何不变体系 [图(b)]，所以结点独立线位移
的数目为一，整个结构的基本未知量为两个角位移
和一个独立结点线位移。
四、位移法的杆端内力 1.运用位移法计算超静定结构时，需要将结构拆成单杆，单杆的 杆端约束视结点而定，刚结点视为固定支座，铰结点视为固定铰支 座。当讨论杆件的弯矩与剪力时，由于铰支座在杆轴线方向上的约 束力只产生轴力，因此可不予考虑，从而铰支座可进一步简化为垂
•
按前面求静定结构位移的方法求得典型方程中的系数和自由项后，
即可解得多余未知力 X i ，然后可按照静定结构的分析方法求得原结 构的全部反力和内力，或按下述叠加公式求出弯矩:
M X1 M 1 X 2 M 2 X n M n M P
再根据平衡条件可求得其剪力和轴力。
四、力法计算的应用 力法计算超静定结构的步骤： ⑴选取基本结构。去掉原结构的多余约束得到一个静定的基本结构，并以力 法基本未知量代替相应多余约束的作用，确定力法基本未知量的个数； ⑵建立力法典型方程。根据基本结构在多余力和原荷载的共同作用下，在去 掉多余约束处的位移应与原结构中相应的位移相同的位移条件，建立力 法典型方程； ⑶求系数和自由项。为此，需分两步进行： ①令 X i 1 作基本结构单位弯矩图 Mi 和基本结构荷载弯矩图 M p ； ②按照求静定结构位移的方法计算系数和自由项； ⑷解典型方程，求出多余未知力； ⑸求出原结构内力绘制内力图。
图（a）所示刚架有两个刚结点，现在两个刚结点
都发生了角位移和线位移，但在忽略杆件的轴向变形
时，这两个线位移相等，即独立的结点线位移只有一 个，因此用位移法求解时，该结构的基本未知量是两 个角位移C和 D 以及一个线位移Δ。
(b)
同理，图（ b）所示排架有三个铰结点，其水 平线位移相同，故该结构的基本未知量是一个线位 移Δ。
• 即：n次超静定结构力法的基本方程，通常称为力法典型方程。这一 方程组的物理意义为：基本结构在全部多余未知力和荷载共同作用下， 在去掉多余联系处沿各多余未知力方向的位移，应与原结构相等。 • 典型方程中，多余未知力系数主对角线上称为主系数，其物理意义为： 当单位力单独作用时，在其自身方向上所引起的位移，恒为正且不为 零。其它系数称为副系数，其物理意义为：当单位力单独作用时，所 引起方向的位移。各式最后一项称为自由项，它是荷载单独作用时所 引起的方向的位移。副系数和自由项的值可能为正、负或零。
力，作内力图，如图c所示。根据叠加原理，结构任一截面的弯矩M
也可以用下列公式表示，即
M M 1 X1 M P
综上可知,力法是以多余未知力作为基本未知量，取去掉多余联 系后的静定结构为基本结构，并根据去掉多余联系处的已知位移条
件建立基本方程，将多余未知力首先求出，而以后的计算即与静定
结构无异。它可用来分析任何类型的超静定结构。
三、力法典型方程
(a)
(b)
图a所示为一个三次超静定结构，在荷载作用下结构的变形如图中 虚线所示。用力法求解时，去掉支座C的三个多余约束，并以相应
X 3 代替所去约束的作用，则得到图b所示的基 的多余力 X 1 、 X 2 、
本体系。由于原结构在支座C处不可能有任何位移，因此，在承受 原荷载和全部多余未知力的基本体系上，也必须与原结构变形相
8-1 力法
力法是超静定计算基本方法之一，也是学习其他方法的
基础。力法是把超静定结构拆成静定结构，再由静定结构过
渡到超静定结构。静定结构的内力和位移计算是力法计算的
基础。
一、力法的基本原理
1.力法的基本结构 图a所示一端固定，另一端铰支的 梁，承受荷载ｑ的作用，EI为常数， 该梁有一个多余约束，是一次超静定 结构。对图 a所示的原结构，如果把 支杆B作为多余约束去掉，并代之以 多余未知力X1（简称多余力），则图 a所示的超静定梁就转化为图b所示的 静定梁，这样得到的含有多余未知力 的静定结构称为力法的基本体系。与 之相应，把图a中原超静定结构中多 余约束（支座B）和荷载都去掉后得 到的静定结构称为力法的基本结构 （图c）。
⑶求系数和自由项
11
1 1 2 256 4 4 4 4 4 4 EI 2 3 3EI 1 1 1280 80 4 4 EI 3 3EI
1P
⑷求解多余力
⑸绘制内力图 各杆端弯矩可按 M X 1 M 1 M P 计算，最后弯矩图如图8-7c所示。
(a)原结构
(b)基本体系
A
(c）基本结构
B
2.力法的基本未知量 求解基本结构的多余未知力 ，一旦求得多余未知力 ，就可在基本 结构上用静力平衡条件求出原结构的所有反力和内力。因此多余力是最 基本的未知力，又可称为力法的基本未知量。但是这个基本未知量 不
能用静力平衡条件求出，而必须根据基本结构的受力和变形与原结构相
8-2 位移法
位移法是把结构拆成杆件，再由杆件过渡到结构。杆件的内力和位 移关系是位移法的计算基础。位移法虽然主要用于超静定结构，但也可 用于静定结构。 一、位移法的基本概念 位移法是以结点位移作为基本未知量求解超静定结构的方法。利用 位移法既可以计算超静定结构，也可以计算静定结构。对于高次超静定 结构，运用位移法计算通常也比力法简便。同时，学习位移法也帮助我 们加深对结构位移概念的理解，为学习力矩分配法打下必要的基础。
【例8-1】试分析图8-6a所示刚架，EI=常数。
解：⑴确定超静定次数，选取基本结构 此刚架具有一个多余联系，是一次超静定结构，去掉支座链杆C 即
为静定结构，并用X1代替支座链杆C 的作用，得基本体系如图8-6b所示。
⑵建立力法典型方程
11 X 1 1P 0
(a) 图8-6
(b)
图8-7
当结构的独立结点线位移的数目由直观的方法难以判 断时，则可以采用“铰化结点、增加链杆”的方法判断。 即在确定结构独立的结点线位移时，先把所有的结点和支 座都换成铰结点和铰支座，得到一个铰结体系。 若此体系是几何不变体系，则由此知道结构的所有结
点均无独立结点线位移。如果此体系是几何可变体系或瞬
变体系，则可以通过增加链杆使其变为几何不变体系，所 增加的最少链杆的数目，就是原结构的独立结点线位移的 数目。
建筑力学
第8章 超静定结构的内力分析
超静定结构与静定结构在计算方面的主要区别：
静定结构的支座反力和各截面的内力只根据静力平衡条 件即可求出；
超静定结构支座反力和各截面的内力则不能单从静力平
衡条件求出，而必须同时考虑变形协调条件。
静定结构
超 静定结构
从几何构造来看，静定结构是没有多余约束的几何不变
体系；超静定结构为有多余约束的几何不变体系。 总之，有多余约束是超静定结构区别于静定结构的基本特点。
符，在C点处沿多余未知力方向的相应位移都等于零。 即应满足位移条件：1 0，2 0 ， 3 0 。
根据叠加原理，上面位移条件可表示为：
1 11 X 1 12 X 2 13 1 p 0 2 21 X 1 22 X 2 23 2 p 0 3 31 X 1 32 X 2 33 3 p 0
X1
11 X1 1P 0
此式就是根据原结构的变形条件建立的用以确定 X 1 的变形协调方程， 即为力法的基本方程。
(a)
(b)
(c)
绘出基本结构的单位弯矩图 M 1 （由单位力 X1 1 产生）和荷载弯 矩图 M P（由荷载q 产生），分别如图a、b 所示。 用图乘法计算位移: 计算 11 时可用 M 1 图乘 M 1 图,叫做图 M 1 的“自乘”，即
直于杆轴线的可动铰支座。结合边界支座的形式，位移法的单杆超
静定梁有三种形式，如图8-10所示。
(a)
(b)
(c)
图8-10 单杆超静定梁的约束形式
2. 为了计算方便，杆端内力采用两个下标来表示，其中第一个下
标表示该弯矩所作用的杆端，称为近端，第二个下标表示杆件的 另一端，称为远端。 如图8-11所示AB梁
M1M1 1 l 2 2l l3 11 dx EI EI 2 3 3EI
M M 1 1 P dx EI EI 1 ql 2 3l ql 4 3l 2 4 8 EI
同理可用 M 1 图与 M P 图相图乘计算 1P ,得
8-11杆端弯矩的正、负号规定
位移法规定杆端弯矩使杆端顺时针转向为正，逆时针转向 为负（对于支座和结点就杆端、支座及结点剪力的正负号规
定则和以前相同，以顺时针为正，逆时针为负。
3. 位移法的杆端内力主要是剪力和弯矩，由于位移法下
的单杆都是超静定梁，所以不仅荷载会引起杆端内力， 杆端支座位移也会引起内力，由荷载引起的弯矩称为固 端弯矩，由荷载引起的剪力称为固端剪力。这些杆端内 力可通过查表8-1获得，表中的i称为杆件的线刚度，即：