正交变换的应用
正交变换的应用及数学方法论意义
指导教师:赵峰2012年4 月25 日原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证明书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任.学位论文作者签名: 日期指导教师签名: 日期目录引言 (1)1 正交变换的定义 (1)2 正交变换的性质 (2)3正交变换法化二次标准型 (2)3.1正交变换化二次标准型的步骤 (3)3.2正交变换在二次标准型中的应用 (3)4 正交变换在积分中的应用 (7)4.1在多元积分学中的应用 (7)4.2重积分在正交变换下形式不变性 (9)4.3 正交变换在区面积分中的应用 (10)5 正交变换的数学方法论的意义 (12)5.1一般化 (12)5.2代数化 (12)5.3 模型化 (12)结语 (13)参考文献 (14)致谢 (15)摘要正交变换是欧氏空间中一类重要的变换，是保持度量不变的变换，正因为它有这一特征，使正交变换在高等代数中起着重要的作用．不仅如此，它在其它领域也有着广泛的应用，如在积分应用中，在多重积分及其曲面积分等方面．本文简单的介绍了正交变换的定义及其性质，讨论了正交变换化二次标准型的步骤及其广泛应用，运用正交变换进行变量替换是将数学分析与代数方法结合的例证，证明了第一类曲面积分和重积分在正交变换下的不变性。
因而可将其应用于简化多元函数积分计算．正交变换的此类应用充分体现了一般化、代数化、模型化的数学方法论。
关键词：正交变换；二次型；变量替换；重积分；曲面积分；数学方法论AbstractThe orthogonal transformation, a transformation that maintains the measure invariable, is one of the most important transformations in the field of euclidean space.Benifiting from this feature, it plays an important role in the advanced algebra. Furthermore，it applies widely in many other fields，such as the applications of integration, like the multiple integrations , the surface integrations and so on.This paper introduces the definition and properties of the orthogonal transformation briefly,it also discusses the procedures and wide applications of the secondary standard of the orthogonal transformation,using the orthogonal transformation to make a variable substitution is a good instance to prove the perfect combination of the mathematical analysis and algebraic approach,it demonstrates the invariance of the the first class of the surface integrations and double integrations under the orthogonal transformation. Thus,the orthogonal transformation can be applied in( the numerical integration of simplifying the function of many cariables.This kind of application of the orthogonal transformation fully embodies such mathematical methodologies as the generalization，the algebraization, and the modeling.Keyword：Orthogonal transformation; Quadratic ；Variable Substitution；Multiple integral；Surface integrals；Mathematical methodology引 言随着近代数学的发展,数学的各学科间的相互渗透显得越来越重要,特别是代数的方法运用更为突出,在现行的数学分析教材中,某些内容也注意到代数的方法的运用,但还需进一步加强, 将数学分析与代数方法结合, 是解决问题的途径之一, 更是培养学生数学能力的重要内容，有利于培养学生综合运用基础知识的能力。
正交变换在几何学中的应用
Ａ＝
æ ｃｏｓθ
ç
è ｓｉｎθ
－ ｓｉｎθ ö
÷ꎬ
ｃｏｓθ ø
æ æ ｘ１ ö æ ｘ２ ö ö
æ ｘ２ ö
( σ ( β １ ) ꎬσ ( β ２ ) ) ＝ ç Ａ ç ÷ ꎬＡ ç ÷ ÷ ＝ ( ｘ １ ｙ １ ) Ａ′Ａ ç ÷ ＝ ｘ １ ｘ ２ ＋ ｙ １ ｙ ２ ＝ ( β １ ꎬβ ２ ) ꎬ
è ｙ１ ø
è ｙ２ ø
σ ( β １ ) ＋ σ ( β ２ ) ＝ β １ ＋ β ２ ＋ ２α０ ≠ σ ( β １ ＋ β ２ ) ꎬ
故平移变换不是线性变换ꎬ所以它不是正交变换.
证毕
平移变换虽然保持向量的长度不变ꎬ保持向量的夹角不变ꎬ但它不是线性变换ꎬ因而平移变换不是
正交变换.
例 ３ 设 η 是 ｎ 维 欧 式 空 间 Ｖ 的 一 个 单 位 向 量ꎬ 对 任 意 α ∈ Ｖꎬ 定 义 线 性 变 换 σ ( α ) ＝ α －
(１) Ａ 为可逆矩阵ꎬ且 Ａ － １ ＝ Ａ′ ꎻ
(２) Ａ′ 也为正交矩阵( 从而 Ａ － １ 也为正交矩阵) ꎻ
(３) 对任意 ｎ 维列向量 Ｘ ꎬ ＡＸ 保持向量 Ｘ 的长度ꎬ即 ＡＸ ＝ Ｘ ꎻ ＡＸ 和 ＡＹ 保持向量 Ｘ 和 Ｙ 的内
积ꎬ即 ( ＡＸꎬＡＹ ) ＝ ( ＸꎬＹ ) ꎻ
(４) Ａ 的 ｎ 列( 行) 向量构成 Ｒ ｎ 的一个标准正交基.
在直角坐标系下向量的坐标关系式为 ç ÷ ＝ ç
÷ ç ÷ ꎬ证明旋转变换 σ 是正交变换.
ｃｏｓθ ø è ｙ ø
è ｙ′ ø è ｓｉｎθ
证明
σ:Ｒ ２ → Ｒ ２ ꎬ即 ∀α ＝
æ ｘ１ ö
æ ｘ２ ö
正交变换的几何意义及其应用
ｌ
ｌ ＝ （ Ｔ Ｙ， Ｔ ｒ ）＝ ￣ ／ （ Ｙ， ｙ ） ＝ｌ ｌ ， ｌ
正 交变 换保 持 了 向量 的 内积和 长度 不 变 ， 也 就 保
标 系下做 正 交变换 Ｘ ＝Ｔ Ｙ （ １ ｌ：１ ）的充要 条 件 是对 坐 标 系 Ｏ ｘ ｙ ｚ绕 原 点 进 行 一 定 角 度 的 旋
通过 矩 阵 这 个 工 具 ， 与 形 象 的 几 何 图形 联 系起
来．
［ 兰 兰 篓 篓 ］ ， ： ） 由 实 对 称 矩 阵 的 性 质 ，
存 在正 交矩阵Ｔ ， 使 得Ｔ Ａ Ｔ：｝ ０ Ａ ０ Ｉ ， 这
１ 正 交 变换 与 二次 型
在 三维 欧式 空间 中 ， 向量 的内积 为 （ Ｘ， ｙ ）＝ ｙ， 其中 Ｘ ＝（ ， ｙ ， ｚ ） ， Ｙ ＝（ 。 ， Ｙ 。 ， ｚ 。 ） ， 相 应
标系。 下 可 以令 ・：
［ ］ Ｊ ＝ ［ 曩 ］ ， － ＝
【 摘 要】阐述正交变换与二次型的关系， 以形 象的分析给 出正交变换的几何 意义 ， 并说明此几何意义在判断二次齐次方程型曲面类型 中的应用 ， 并将此类应 用
推 广 到一般 的二 次 曲面表 达式．
【 关键词 】二次型； 正交变换 ； 二次曲面
０ 引 言
在线 性代 数 中 ， 由二 次 型 知 道 ， 对 于 任 何 一
地， 向量的长度为 Ｉ Ｉ ＝￣ ／ ， （ ， Ｘ ） ， 设有正交变 换 ＝ Ｔ Ｙ， 则 由正交 变换 定义有
（ Ｔ Ｙ 。 ， ｙ ２ ）＝ （ ｙ 。 ， ｙ ２ ） ，
２ 正 交 变换 的几 何 意 义
定理 １ 设 有 空 间直角 坐标 系 Ｏ ｘ ｙ ｚ ， 则 此坐
指定频率的正交变换_概述说明以及解释
指定频率的正交变换概述说明以及解释1. 引言1.1 概述指定频率的正交变换是一种重要的信号处理技术，在通信和图像处理等领域具有广泛的应用。
通过正交变换，可以将原始信号转化为频率域表示，并实现对信号的频谱特性分析和处理。
本文将对指定频率的正交变换进行综述，详细介绍其定义、基本原理以及应用场景。
1.2 文章结构本文总共分为5个主要部分：引言、正文、正交变换的概述、解释指定频率的正交变换原理与步骤以及结论。
在引言部分，我们将对文章进行简要介绍，并概述后续内容；在正子中，我们将给出更加详细的讲解；而在正交变换的概述部分，我们将强调其定义、基本原理及应用场景；接着，在解释指定频率下的正交变换部分，我们将逐步分析其原理、步骤以及应用案例；最后，在结论部分，我们将总结指定频率的正交变换所具有的特点与优势，并从发展前景角度给出展望和建议。
1.3 目的本篇文章旨在提供读者对于指定频率的正交变换有一个全面的认知。
通过阅读本文，读者将了解正交变换的基本原理、指定频率下的应用场景，并能够理解其在通信领域中的具体应用举例。
同时，本文还将详细解释指定频率的正交变换的原理与步骤，帮助读者对其进行深入理解。
最后，通过总结和展望，本文旨在为读者对于指定频率正交变换的特点与优势有一个清晰准确的认识，并给出未来发展方向上的建议。
2. 正文：正文部分将详细介绍指定频率的正交变换。
指定频率的正交变换是一种在信号处理中常用的技术，它可以将一个信号从时域转换到频域，并且可以选择性地提取出特定频率范围的成分。
在本节中，我们将首先介绍正交变换的基本原理和定义。
正交变换是一种线性变换，它可以通过一组正交基函数来表示信号。
这些基函数形成了一个完全正交集，使得每个信号可以唯一地表示为各个基函数投影的线性组合。
接下来，我们将探讨指定频率的正交变换的应用场景。
在许多实际问题中，我们只对某些特定频率范围内的信号感兴趣。
指定频率的正交变换可以帮助我们从复杂的信号中提取出所需的频率成分，并进一步进行分析和处理。
同构映射 正交变换
同构映射正交变换同构映射是数学中一个重要的概念，它可以描述一个空间在某种变换下保持形状和大小不变的特性。
而正交变换则是一种特殊的同构映射，它保持了向量之间的内积关系。
在本文中，我们将探讨同构映射和正交变换的基本概念、性质以及应用。
我们来了解同构映射的定义和基本性质。
同构映射是指两个集合之间存在一一对应的映射，并且这个映射保持了两个集合之间的运算关系。
在数学中，同构映射常常用来研究不同结构之间的联系。
例如，在线性代数中，我们可以通过同构映射将一个向量空间映射到另一个向量空间，并保持向量之间的线性运算关系不变。
正交变换是同构映射的一种特殊情况。
它是指一个线性变换，它保持向量之间的内积关系不变。
具体来说，对于任意两个向量u和v，它们在经过正交变换后的内积等于它们在变换前的内积。
这个性质使得正交变换在几何学和物理学中有着广泛的应用。
正交变换具有很多重要的性质和特点。
首先，正交变换保持向量的长度不变。
这是因为内积等于向量长度的平方，而正交变换保持内积不变，所以向量的长度也不变。
其次，正交变换保持向量之间的夹角不变。
这是因为内积等于向量夹角的余弦，而正交变换保持内积不变，所以向量的夹角也不变。
因此，正交变换可以保持向量的形状和大小不变，只是改变了它们的方向和位置。
正交变换有许多重要的应用。
在几何学中，正交变换可以用来描述旋转、镜像和投影等几何变换。
在物理学中，正交变换可以用来描述刚体的运动和转动。
在信号处理中，正交变换可以用来提取信号的频谱特征，例如傅里叶变换和小波变换等。
此外，正交变换还在密码学和编码理论中有着重要的应用，例如哈达玛变换和离散余弦变换等。
除了正交变换之外，还有许多其他类型的同构映射。
例如，在线性代数中，我们还可以研究幺正变换和酉变换等。
幺正变换是指一个线性变换，它保持向量的模不变，并且保持向量之间的内积关系不变。
酉变换是指一个线性变换，它保持向量的模不变，并且保持向量之间的内积关系不变，并且还保持了向量之间的正交关系。
正交变换法化二次型为标准型例题
正交变换法化二次型为标准型例题正交变换是线性代数中一个重要概念，它可以帮助我们将一个复杂的二次型化简为标准型，从而更好地理解和分析问题。
在本文中，我们将以正交变换法化二次型为标准型为主题，深入探讨其原理、方法和应用，并提供一个具体的例题来帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
1. 正交变换的概念和原理正交变换是指一个线性变换，在这个线性变换下，原来的向量空间中保持内积不变。
简单来说，就是变换后的向量之间的夹角保持不变。
在实际应用中，我们通常使用正交矩阵来进行正交变换，因为正交矩阵的行向量（或列向量）是两两正交彼此且模为1的向量。
2. 正交变换法化二次型为标准型的方法对于一个二次型矩阵A，我们可以通过正交变换将其化为标准型。
简单来说，就是存在一个正交矩阵P，使得P^TAP为对角矩阵。
这样做的好处在于，通过正交变换，我们可以将原来复杂的二次型化为易于分析和理解的标准型，从而更好地研究其性质和特点。
3. 一个具体的例题：将二次型矩阵化为标准型假设我们有一个二次型矩阵A，如下所示：A = [[3, 0, 0],[0, 2, -1],[0, -1, 2]]现在我们希望通过正交变换将其化为标准型。
我们可以按照以下步骤进行操作：（1）求出A的特征值和特征向量。
（2）将特征向量组成正交矩阵P。
（3）计算P^TAP，得到标准型矩阵。
通过具体的计算，我们可以得到最终的标准型矩阵B，如下所示：B = [[3, 0, 0],[0, 1, 0],[0, 0, 3]]4. 总结和回顾通过以上例题，我们深入探讨了正交变换法化二次型为标准型的方法，从而更好地理解了这一概念和原理。
通过正交变换，我们可以将原来复杂的二次型化为标准型，更好地研究其性质和特点。
这对于线性代数和数学分析领域的学习和研究具有重要意义。
5. 个人观点和理解我个人认为，正交变换法化二次型为标准型是线性代数中一个重要且实用的技巧。
通过正交变换，我们可以将复杂的二次型化简为简单的标准型，从而更好地理解和分析问题。
内积空间与正交变换的基本概念
内积空间与正交变换的基本概念内积空间和正交变换是线性代数中重要的概念，它们在数学和物理等领域都有广泛的应用。
本文将介绍内积空间和正交变换的基本概念，以及它们在实际问题中的应用。
一、内积空间的定义和性质内积空间是指在定义了内积运算的向量空间。
内积运算是指将两个向量进行运算得到一个标量的运算，常用的内积运算有点乘和矩阵乘法等。
内积空间具有以下性质：1. 正定性：对于任意非零向量v，它的内积与自身的内积大于零，即(v, v) > 0。
当且仅当v等于零向量时，(v, v)等于零。
2. 线性性：对于任意向量u、v和w，以及任意标量a和b，有(u+v, w) = (u, w) + (v, w)和(au, v) = a(u, v)。
3. 对称性：对于任意向量u和v，有(u, v) = (v, u)。
内积空间可以是有限维的，也可以是无限维的。
常见的有限维内积空间是欧几里得空间，而无限维内积空间的例子有L2空间和Hilbert空间等。
二、正交变换的定义和性质正交变换是指保持向量间内积不变的线性变换。
设A是一个n阶实矩阵，若AA^T=I（其中I是单位矩阵），则称A是正交矩阵。
正交矩阵表示的线性变换称为正交变换。
正交变换具有以下性质：1. 保持内积：对于任意向量u和v，有(Au, Av) = (u, v)。
2. 保持长度：对于任意向量u，有||Au|| = ||u||，其中||u||表示向量u的长度。
3. 保持角度：对于任意两个非零向量u和v，它们的夹角与它们的像Au和Av的夹角相等。
正交变换常用于解决几何和物理问题，如旋转、平移和镜像等。
正交变换在图像处理和编码等领域也有广泛的应用。
三、内积空间与正交变换的关系内积空间和正交变换之间有着密切的联系。
给定一个内积空间V和一个正交变换矩阵A，可以构造一个新的内积空间W，其中向量的内积定义为(u, v) = (Au, Av)。
这个内积空间W称为V关于正交变换A的像空间。
正交变换在积分中的应用
目录1．正交变换 (1)1.1正交变换的定义 (1)1.2正交变换的性质 (1)2．正交变换在重积分中的应用 (1)2.1正交变换在二重积分中的应用 (2)2.2正交变换在三重积分中的应用 (3)3．正交变换在曲面积分中的应用 (6)3.1正交变换在第一型曲面积分中的应用 (6)3.2正交变换在第二型曲面积分中的应用 (13)4．正交变换在曲线积分中的应用 (15)4.1正交变换在第一型曲线积分中的应用 (15)4.2正交变换在第二型曲线积分中的应用 (16)5. 结束语 (18)参考文献 (19)1．正交变换1.1正交变换的定义在解析几何里，允许使用的变换都是保持向量的长度不变的．在欧式空间里，保持长度不变的线性变换——正交变换无疑是重要的．高等代数中给出了一般欧式空间中关于正交变换的定义．欧氏空间V 的一个线性变换σ叫作一个正交变换，如果对于任意的V ∈ξ，都有()ξξσ=．正交变换的另一种定义：欧氏空间V 的一个线性变换σ叫作一个正交变换，如果对于任意的V ∈ηξ,，都有()()〉〈=〉〈ηξησξσ,,．1.2正交变换的性质实际上正交变换是欧氏空间V 到自身的一个同构映射，因而正交变换的乘积与正交变换的逆变换还是正交变换，在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此正交矩阵的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵．如果A 是正交矩阵，则由I AA T =可知12=A 即1±=A ，因此正交变换的行列式等于1或1-．行列式等于1的正交变换称为旋转或称为第一类的；行列式等于1-的正交变换称为第二类的．如果A 是正交矩阵，伴随矩阵*A 也是正交矩阵．若A 是()2>n n 阶正交矩阵时，当1=A 时，*A A T =，即ij ij A a =；当1-=A 时，*A A T -=，即ij ij A a -=．2．正交变换在重积分中的应用在多元函数积分中，变量替换法的选用与否，不只关系着积分计算的快与慢，有时甚至影响着积分的算得出与算不出．如计算⎰⎰≤++-22222)(R y x y xdxdy e ．若要在直角坐标系下化为累次积分计算，则会遇到计算⎰⎰---2222x R dy e dx ey Rx 的问题，但我们无法将⎰-dy e y 2表示成初等函数，计算便无法进行下去．此题若用极坐标变换计算，则易于得出结果．由此可见，变量替换在多元函数积分中的重要作用．多元函数积分中的变量替换法是计算积分的重要方法，变量替换的目的使得被积函数简单或者是积分区域简化，但是实际应用时选择要用的替换有很大的随意性，并且存在一定的难度．因此引入新的积分变量的同时必须要考虑被积函数的性质和积分区域的形状，而对于某些多元函数积分问题应用“正交变换”的有关理论解决是一种较为简便且颇有成效的方法．2.1正交变换在二重积分中的应用引理2.1[1] 设变换T ：()v u x x ,=，()v u y y ,=将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域∆，一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数()v u x ,，()v u y ,在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式()()()∆∈≠∂∂=v u v u y x v u J ,,0),(,,， 则区域D 的面积())(⎰⎰∆=dudv v u J D ,μ．定理2.1[1] 设()y x f ,在有界闭区域D 上可积，变换T ：()v u x x ,=，()v u y y ,=将uv 平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域∆一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数()v u x ,，()v u y ,在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式()()()∆∈≠∂∂=v u v u y x v u J ,,0),(,,， 则 ()()()()()⎰⎰⎰⎰∆=dudv v u J v u y v u x f dxdy y x f D,,,,,．例1 进行适当的变量替换，化二重积分()⎰⎰≤+++122y x dxdy c by ax f ，()022≠+b a为一重的．解 设()b a ,为二维空间的一个向量，它的单位向量为⎪⎭⎫⎝⎛k b k a ,（其中22b a k +=），再将其扩充为二维空间的一个标准正交基，设为⎪⎭⎫⎝⎛k b k a ,，()11,b a 作正交变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x A v u ，这里⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11b a k b k a A （1） 为正交矩阵，则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-v u A v u A y x T 1 两边转置得 ()()A v u y x ,,=∴()()1,,2222≤+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+v u v u AA v u y x y x y x T又因为1-=A A T 仍是正交矩阵且1±=T A ，于是变换的雅可比行列式为()()()1,,,±==∂∂=T A v u y x v u J 由（1）知ku by ax =+，于是由二重积分的变量替换公式得：()⎰⎰≤+++122y x dxdy c by ax f ()()⎰⎰≤++=122,v u dudv v u J c ku f()⎰⎰----+=221111u u dv du c ku f()⎰-+-=11212du c ku f u 即()=++⎰⎰≤+122y x dxdy c by ax f ()⎰-++-1122212du c u b afu此题选用正交变换兼顾了被积函数、积分区域的特点，较用其它的变换来解要简便．2.2正交变换在三重积分中的应用定理2.2[1] 设变换T ：()w v u x x ,,=，()w v u y y ,,=，()w v u z z ,,=，将uvw 空间中的区域'V 一对一地映成xyz 空间中的区域V ，并设函数()w v u x ,,，()w v u y ,,，()w v u z ,,及它们的一阶偏导数在'V 内连续且函数行列式()0,,≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=wz v z uz w yv y u yw x v x u x w v u J ，()',,V w v u ∈. 则 ()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VV dudvdw w v u J w v u z w v u y w v u x f dxdydz z y x f ',,,,,,,,,,,,， 其中()z y x f ,,为V 上可积．例2 对于连续函数()z y x f ,,证明：()()()⎰⎰⎰⎰-≤++-=++11211222du ku f u dxdydz cz by ax f z y x π其中222c b a k ++=.证明 设()c b a ,,为三维空间的一个向量，它的单位向量为⎪⎭⎫⎝⎛k c k b k a ,,（其中222c b a k ++=），再将其扩充为三维空间的一个标准正交基，设为⎪⎭⎫⎝⎛k c k b k a ,,，()111,,c b a ，()222,,c b a 作正交变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x A w v u ，这里⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222111c b a c b a k c k b k a A （2） 为正交矩阵，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-w v u A w v u A z y x T1 两边转置得 ()()A w v u z y x ,,,,=∴()()1,,,,222222≤++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++w v u w v u AA w v u z y x z y x z y x T又因为1-=A A T 仍是正交矩阵且1±=T A ,于是变换的雅可比行列式为()()()1,,,,,,±==∂∂=T A w v u z y x w v u J 由（2）知ku cz by ax =++，于是由三重积分的变量替换公式得：()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤++≤++≤++==++111222222222,,w v u w v u z y x dudvdw ku f dudvdw w v u J ku f dxdydz cz by ax f()()()⎰⎰⎰⎰--≤+--==1121111222du ku f u dvdw duku f u w v π其中222c b a k ++=证毕．化重积分为累次积分的变量替换，是计算重积分最常用的方法．但是，我们遇到的积分不一定能用它们算出来，所以有时不得不使用其它数学工具和方法．例3 设()33⨯=ija A 是正定矩阵，证明由椭球V ：1a 31,ij ≤∑=j i j i x x 所围成的体积等于()21-detA 34π．证明 （即证()21321det 34-=⎰⎰⎰A dx dx dx Vπ）由于A 是对称正定矩阵，故∑=31,ij a j i j i x x 是正定二次型．由高等代数知，存在一个正交矩阵T ，使 ()321321',,diag 000000λλλλλλ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AT T 这里1λ，2λ，3λ是矩阵A 的三个正特征根．作正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y T x x x ，及变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213213213211010001u u u U u u u y y y λλλ 则'U U =且I ATU T U =''是三阶单位矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321u u u TU x x x 则变换的雅可比行列式为()()()=∂∂=321321321,,,,,,u u u x x x u u u J ()()⋅∂∂321321,,,,y y y x x x ()()321321,,,,u u u y y y ∂∂ ()()()2121321det det det det --==⋅==A U T TU λλλ，又()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=321321321''32132132131,ij ,,,,,,a u u u I u u u u u u ATU T U u u u x x x A x x x x x j i j i 232221u u u ++=于是由三重积分的变量替换公式得：()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤++-≤++==1321211321321321232221232221det ,,u u u u u u Vdu du du A du du du u uu J dxdx dx ()21det 34-=A π 3．正交变换在曲面积分中的应用3.1正交变换在第一型曲面积分中的应用定理3.1[1] 设有光滑曲面S ：()y x z z ,=，()D y x ∈,，()z y x f ,,为S 上的连续函数，则()()()⎰⎰⎰⎰++=SDy x dxdy z z y x z y x f dS z y x f 221,,,,,.定理3.2[1] 设有光滑曲面S ：()()()⎪⎩⎪⎨⎧===,,,,,,v u z z v u y y v u x x ()D v u ∈,,则在S 上的第一型曲面积分的计算公式为()()()()()⎰⎰⎰⎰-=SDdudv F EG v u z v u y v u x f dS z y x f 2,,,,,,,，其中 222u u u z y x E ++=，v u v u v u z z y y x x F ++=，222v v v z y x G ++=. 这里还要求雅可比行列式()()v u y x ,,∂∂，()()v u z y ,,∂∂，()()v u x z ,,∂∂中至少有一个不等于零. 定理3.3[3] 设有光滑曲面S ：()()()⎪⎩⎪⎨⎧===,,,,,,v u z z v u y y v u x x ()D v u ∈,,在正交变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x a a a a a a a a a AX z y x X 3332312322211312111111之下变成曲面'S ：()()()⎪⎩⎪⎨⎧===,,,,,,111111v u z z v u y y v u x x则对于S 上的连续函数()z y x f ,,有()()⎰⎰⎰⎰=SSdSX A f dS X f ''1'(3)证明 因为A 是正交矩阵，所以'212121222E z y x z y x E u u u u u u =++=++=, '111111F z z y y x x z z y y x x F v u v u v u v u v u v u =++=++=,'212121222G z y x z y x G v v v v v v =++=++=，因此()⎰⎰SdS X f ()()()()()⎰⎰⎰⎰-==SDdudv F EG v u z v u y v u x f dS z y x f 2,,,,,,,=()()()()⎰⎰-D dudv F G E v u z v u y v u x f 2'''111,,,,,()⎰⎰=''111,,S dS z y x f ()⎰⎰=''1'S dS X A f例1 证明普阿松公式()()⎰⎰⎰-++=++Sdu c b a u f dS cz by ax f 112222π，其中S 为单位球面1222=++z y x ．证明 设()c b a ,,为三维空间的一个向量，它的单位向量为⎪⎭⎫⎝⎛k c k b k a ,,（其中222c b a k ++=），再将其扩充为三维空间的一个标准正交基，设为⎪⎭⎫⎝⎛k c k b k a ,,，()111,,c b a ，()222,,c b a 作正交变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x A w v u ，这里⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222111c b a c b a k c k b k a A 为正交矩阵，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-w v u A w v u A z y x T1 两边转置得 ()()A w v u z y x ,,,,=∴()()1,,,,222222=++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++w v u w v u AA w v u z y x z y x z y x T由公式（3）得()()⎰⎰⎰⎰=++=++=++11222222z y x w v u dS ku f dS cz by ax f于是 ()D v u v u w ∈--=,,1222；w u u w -=∂∂，wvv w -=∂∂ 2222221111vu w v w u v w u w --=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰--==++=++=++Dz y x w v u dudv vu ku f dS ku f dS cz by ax f 221111222222令u u =，θsin 12u v -=，其中11≤≤-u ，πθ20≤≤. 于是 ()()()⎰⎰⎰⎰⎰--=--=--ππθθθ20112211222cos 1cos 111du ku f d u u du ku f dudv vu ku f D即 ()()⎰⎰⎰-++=++Sdu c b a u f dS cz by ax f 112222π.得证．例2 设()ds x m x m x m f n n n +++-⎰⎰⎰22111是展布在n 维空间中单位球面上的一曲面积分，则()()()()⎰∑⎰⎰⎰---=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑==113221111121212du uku f n ds x m f I n n n i i i n x n i i π（当3≥n 时）此处，令∑==ni imk 12，设函数()u f 当k u ≤时连续，其中()x Γ为Gamma 函数．证明 这里只要证： ()()()()⎰∑∑⎰⎰⎰----=-=-≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ=-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑-=1123221112121111121212112du uku f n x dx dx dx x m f n n n i i n n i i i n x n i i π即可.设正交变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n u u u a a a a a a a a a x x x 2121222121211121 其中2n 个系数受制于()2121+=+n n C C n n 个条件：⎩⎨⎧=∑=,0,11nji a a τττ nj n i j i j i ,2,1,,2,1,==≠= 于是 11212==∑∑==n i i n i i x u ，∑-=-±=1121n i i n u u今取121,,,-n u u u 作为新的变量，系数选择的任意性很大，因此我们令()n i km a ii ,2,11==，同时我们可进一步要求由变换系数组成的行列式的值等于1，在这种假设下，对应于行列式任一元素的代数余子式等于元素的本身．所以雅可比行列式：()()121121,,,,,,--∂∂n n u u u x x xn n nn n n n nn n nnn n n n n n nn nn n n n n n n n n u ua a u ua a u ua a u ua a u ua a u ua a u u a a u u a a u u a a 111121121111121222221212111121211111---------------------=nn nn n n n n n n n nu x a u u a u ua u u a =++++=--112211 ()()()()nn n n n n x du du du u u u x x x ku f x dx dx dx ku f 12112112111211,,,,,,----∂∂=⋅⋅⋅∴ ()()∑-=---=⋅=1121211121111n i in n n n n u du du du ku f du du du x u x ku f ， 从而()()∑⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰⎰-=---≤--=--≤--∑=-∑=-=-=12221132211111112121111121212212112n i in n u u n i in n u u u du du du du ku f u du du du ku f I n i in i i对里面2-n 重积分实行变量替换：设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22121212113210010001n n tt t u u u u u u， 则()()()()2212211321,,,,,,----=∂∂n n n u t t t u u u⇒ ()()∑⎰⎰⎰∑⎰⎰⎰-=---≤-=---≤--∑=--∑-=-=212221232121122211212111121212212n i in n n t n i in n u u t dt dt dt u u u du du du n i i n i i，再设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====------3421234213321321211sin sin sin sin cos sin sin sin cos sin sin cos sin cos n n n n n n r t r t r t r t r t ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ其中10≤≤r ，πϕϕϕ≤≤-421,,0n ，πϕ203≤≤-n ．()()42514331221sin sin sin ,,,,,,------=∂∂n n n n n n r r t t t ϕϕϕϕϕ∑⎰⎰⎰-=--≤-∑-=212221211212n i in n t t dt dt dt n i i⎰⎰⎰⎰⎰-=------12320304402251141sin sinsindr rr d d d d n n n n n n ππππϕϕϕϕϕϕϕ⎰⎰⎰⎰-⋅=------12320442225211441sin sinsin22dr rr d d d n n n n n n πππϕϕϕϕϕϕπ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-B ⋅⋅=---102344121,2221,2421,232122dr rrn n n n n π()⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫⎝⎛ΓΓ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ=-10231232112421252321242221232dr r r n n n n n n n π ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=--1234122212dr r r n n n π（设v r =2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=----⎰22,2122211222141024214n n dv v v n n n n ππ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ=⎪⎭⎫⎝⎛-Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=----21212121212221222112334n n n n n n n n n n πππππ()()()()⎰----⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ=∴11232211212du uku f n I n n π若令λcos =u ()πλ≤≤0，则有()()()⎰--⎪⎭⎫⎝⎛-Γ=πλλλπ0221sin cos 212d k f n I n n 当3=n 时，且令c m b m a m ===321,,,z x y x x x ===321,,，得到著名的普阿松公式：()()⎰⎰⎰-++=++Sdu c b a u f dS cz by ax f 112222π，其中S 为单位球面1222=++z y x ．运用正交变换仿上述命题推理过程可简快明了地处理以下n 重积分()2≥n 问题： 一、对连续函数()n x x x f ,,,21 ，证明：()()()()⎰∑⎰⎰⎰---=≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ=⎪⎭⎫⎝⎛∑=1121221211112112du u ku f n dx dx dx x m f n n n n i i i n x n i i π，其中012≥=∑=ni i m k ，()u f 在k u ≤上连续，1≥n . 特别当3=n 时，设c m b m a m ===321,,，z x y x x x ===321,,有()()()⎰⎰⎰⎰-≤++-=++11211222du ku f u dxdydz cz by ax f z y x π其中222c b a k ++=.二、对连续函数()n x x x f ,,,21 ，证明：()()()()⎰∑⎰⎰⎰---=≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=111221211112112du u ku f n dx dx dx x m f n n n n i i i n x n i i ωπω其中012≥=∑=ni i m k ，()u f 在k ku ≤+ω上连续.当2=n 时，设,,,21c b m a m ===ωy x x x ==21,，有()=++⎰⎰≤+122y x dxdy c by ax f ()⎰-++-1122212du c u b afu3.2正交变换在第二型曲面积分中的应用定理3.4[4] 设S 为三维欧式空间内的光滑曲面，()z y x P ,,，()z y x Q ,,，()z y x R ,,均为S 上的连续函数，而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛w v u a a a a a a a a a z y x 333231232221131211 ()A为欧式空间中的正交变换；'S 为S 在上述变换()A 下的象，()w v u P ,,,()w v u Q ,,,()w v u R ,,分别为P ,Q ,R 与变换()A 的复合函数，则()()⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''''333231232221131211cos cos cos cos cos cos S S dS a a a a a a a a a R Q P A dS R Q P γβαγβα (4)其中1±=A 是正交变换()A 的行列式，()γβαcos ,cos ,cos 和()'''cos ,cos ,cos γβα分别为S 和'S 的单位法向量.证明 设S 的参数方程为()()()⎪⎩⎪⎨⎧===,,,,,,θθθr z z r y y r x x ()D r ∈θ,, 则'S 的参数方程为()()()⎪⎩⎪⎨⎧===,,,,,,θθθr w w r v v r u u 记()3,2,1321=++=i R a Q a P a F i i i i ，则θθθθθθθθθw v u w v u F F F A a a a a a a a a a w v u w v u F F F z y x z y x R Q P r r rr r r r r r 321332313322212312111321⋅=⋅= 于是()⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛Dr r rD r r rSdrd w v u w v u F F F A drd z y x z y x R Q P dS R QPθθγβαθθθθθθ321cos cos cos()⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='''''321cos cos cos S dS F F F A γβα ()⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='''''333231232221131211cos cos cos S dS a a a a a a a a a R Q P A γβα例3 计算第二型曲面积分()⎰⎰++SdS z y x γβαcos cos cos其中S 为球面4222=++z y x 介于1≥++cz by ax 的外表面．解 设()c b a ,,为三维空间的一个向量，它的单位向量为⎪⎭⎫⎝⎛k c k b k a ,,（其中222c b a k ++=），再将其扩充为三维空间的一个标准正交基，设为⎪⎭⎫⎝⎛k c k b k a ,,，()111,,c b a ，()222,,c b a 作正交变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x A w v u ，这里⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k c kb ka cb ac b a A 222111（5）， 为正交矩阵，则由（5）知()cz by ax c b a w ++++=2221.变换将S 变为'S ，它为球面4222=++w v u 介于2221cb a w ++≥的外表面．由于正交变换保持向量的内积不变，故'''cos cos cos cos cos cos γβαγβαw v u z y x ++=++记222214cb a R ++-=，由（4）式得 ()()⎰⎰⎰⎰++=++'''''cos cos cos cos cos cos S SdS w v u dS z y x γβαγβα ⎰⎰≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∂∂-∂∂-=222224R v u dudv v u v w v u w u ⎰⎰≤+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--+=22222222244R v u dudv v u v u v u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=--=⎰⎰≤+2222212844222c b a v u dudvR v u π 4．正交变换在曲线积分中的应用4.1正交变换在第一型曲线积分中的应用定理4.1[1] 设有光滑曲线()()()⎪⎩⎪⎨⎧===，，，：t z t y t x L χψϕ []βα,∈t ， 函数()z y x f ,,为定义在L 上的连续函数，则()()()()()()()()⎰⎰++=βαχψϕχψϕdt t t t t t t f ds z y x f L2'2'2',,,,.定理4.2[4] 设L 为三维欧式空间内的光滑曲线,()z y x P ,,为L 上的连续函数，而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛w v u a a a a a a a a a z y x 333231232221131211 ()A为欧式空间中的正交变换；'L 为L 在上述变换()A 下的象，()w v u P ,,为P 与变换()A 的复合函数，则()()⎰⎰='',,,,LLds w v u P ds z y x P （6）.例1 计算第一型曲线积分()⎰-Lds y x ,其中L 为曲线()()3222223y x zx yz xy z y x -=+++++，02=++z y x ，上从点()0,0,0到点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+32,3221,3221的一段弧.解 L 是一条平面曲线，但是不易写出其参数方程．为此，作正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x w v u 62616131313102121， 此变换将平面02=++z y x 变成坐标面0=w .由于()zx yz xy z y x +++++23222()()()()222222222242323144243222231w v z y x z y x zx yz xy z y x zx yz xy z y x +=+++-+=++++++--+++=()3342u y x =-，且当()()0,0,0,,=z y x 时，()()0,0,0,,=w v u ；当()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=32,3221,3221,,z y x 时，()()0,2,1,,=w v u ，故变换将曲线L 变为'L ：324u v =，0=w 从()0,0,0到()0,2,1的弧．于是由（6）式得()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-⎰⎰⎰⎰15131025812491212210102''du u u du du dv u uds ds y x L L4.2正交变换在第二型曲线积分中的应用定理4.3[4] 设L 为三维欧式空间内的光滑曲线,()z y x P ,,，()z y x Q ,,，()z y x R ,,均为L 上的连续函数，而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛w v u a a a a a a a a a z y x 333231232221131211()A为欧式空间中的正交变换；'L 为L 在上述变换()A 下的象，()w v u P ,,,()w v u Q ,,,()w v u R ,,分别为P ,Q ,R 与变换()A 的复合函数，则()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dw dv du a a a a a a a a a R QP dz dy dx R QPLL333231232221131211' （7）.例2 计算第二型曲线积分⎰Lxdy ，其中L 为圆周()34222=-++++zx yz xy z y x ，3=+-z y x ，从x 轴正向看去，圆周是沿逆时针方向进行的．解 作正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x w v u 31313161626121021 则w v u x 316121++=,w v y 3162-=且()()()zxyz xy z y x z y x zx yz xy z y x 222234222222222+--++-++=-++++()()()()2222222222236323wv u ww vuz y x z y x -+=-++=+--++=这样，由（7）式得⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛++='3162316121L L w v d w v u xdy 其中'L 为圆周3422==+w v u ，，从w 轴正向看去，圆周是沿逆时针方向进行的．因此⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛++='6216121L L dv v u xdy πθθθθθθππ34cos 34cos 2621sin 261cos 22120220==⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⋅=⎰⎰d d5. 结束语上述诸例足以说明利用正交变换的方法去处理重积分和曲面积分的某些问题是卓有成效的（对于曲线积分亦是如此），并且不受空间维数的限制．而正交变换在物理学上、几何上、概率论上等学科有着广泛的应用前景，同时数学问题的代数化的方法是值得重视的．参考文献[1]华东师范大学数学系编．《数学分析》[M]，高等教育出版社，2001[2]张禾瑞，郝鈵新编.《高等代数》[M]，高等教育出版社，2007.6[3]邹晓范. 正交变换在多元函数积分中的应用[J]，佳木斯大学学报(自然科学版), 2003,21(4):494-496[4]林元重. 正交变换在曲线、曲面积分计算中的应用[J]，数学通报, 1996,(12):27-29。