1、直线复习
高等数学1复习题
高等数学1（下）复习题1．求过直线12324x y z+-==和直线外一点()3,2,1A 的平面方程．2．求过点()3,1,2A -且与直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩垂直的平面方程．3．求直线121:-==zy x l 与平面01:=+--z y x π的夹角．4．求两直线1121:1+==z y x l 与11112:2-+=-=z y x l 的夹角．5．求两平面1:1=+y x π与2:2=+-z y x π的夹角．6.求过直线1x 1y 2z 3L :11---==-且平行于直线2x 2y 1z L :211+-==的平面方程．7.求直线2x 4y z 03x y 2z 90-+=⎧⎨---=⎩在平面4x-y+z=1上的投影直线的的方程．8.求过点(1,2,4)且与直线11232x y z +-==+垂直相交的直线方程．9．求下列函数的定义域：(1)z x y =-； 2(2)ln(21)z y x =-+；22(3)arccosz u x y=+．10．()sin ,z f x y x =，求,x xx z z ．11．设(),z z x y =由方程232zy xz -=所确定，求,z zx y∂∂∂∂，dz ．12．设(),z z x y =由方程2223x y z xyz ++=所确定，23u xy z =,求()1,1,1u x∂∂．13．设223z x y =+，3,sin x t y t ==，求dz dt．14．函数(),z f x y =在点()00,x y 处连续是它在该点偏导数存在的（ ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件．16．已知曲空曲线Γ：23x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，求曲线在()1,1,1--处的切线及法平面方程．17．求球面22256x y z ++=在()02,4,6M 的切平面及法线方程．18．求函数22u x y =-在()1,1点沿{}4,3α=-方向的方向导数．19．求2222u x y z =++在点()1,1,1P 处沿方向PO 的方向导数，其中O 为坐标原点．20．求数量场()()222,,ln 23u x y z x y z =++的梯度．21．设(),,u u x y z =有一阶连续偏导数，12,P P 为空间两点，则u 沿方向 12PP的方向导数为 ．A 1212PPgradu PP ⋅； B 12gradu PP ⋅ ；C 1212gradu PP gradu PP ⋅⋅ ；D 1212gradu PP gradu PP ⋅．22．求229620z x xy y x y =-++-+的极值．23．设(,,)M x y z 为平面1x y z ++=上的点，且该点到两定点(1,0,1)，(2,0,1)的距离平方之和为最小，求该点的坐标．24．设(,)f x y 为连续函数，交换下列积分的积分次序： （1）()()2111111,,xx dx f x y dy dx f x y dy ----+⎰⎰⎰⎰；（2）()()200,,a a aaxxdx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰⎰；（3）()2122,xxdx f x y dy --⎰⎰；（4）()2102,yydy f x y dx ⎰⎰；（5）()()dy y x f dx dy y x f dx xx⎰⎰⎰⎰+22121121,,．25．求()6Dx y dxdy +⎰⎰，其中:,5,1D y x y x y ===围成区域．26．求()22x y Dedxdy -+⎰⎰，其中222:0,0,D x y x y a ≥≥+≤．27．设Ω是由22z x y =+及22z x y =+所围．试计算2222x y e I dv x y +Ω=+⎰⎰⎰．28．求Lxds ⎰，L 为由直线y x =及抛物线2y x =所围区域边界．29．已知曲线积分()()sin L yx x dx x dy x ϕϕ-+⎡⎤⎣⎦⎰与路径无关，其中()x ϕ可导，且()1ϕπ=，求()x ϕ．30．计算xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑是221z x y =--在xoy 面上方的部分曲面的上侧．31．验证()()sin sin cos cos y y x x dx x x y y dy -++++是某函数(),u x y 的全微分，并求出该函数(),u x y ．32．计算积分()()222222Lx xy y dx x xy y dy +-+--⎰，式中L 是从点()0,0O 沿曲线sin y x =到点(),0A π的弧段．33．利用格林公式计算dy y x dx y x L)1()1(22++-⎰，其中L 为正向圆周：422=+y x34．利用格林公式计算dy y e dx y y e x Lx )2cos ()2sin (-+-⎰，其中L 为沿上半圆0,)(222≥=+-y a y a x 、从)0,2(a A 到)0,0(O 的段弧．35．求()22I x y dS ∑=+⎰⎰，其中222:0,01x y z z ∑+-=≤≤．36．计算2xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为)10(22≤≤+=z y x z 之间的下侧．37．利用高斯公式计算3323(sin )()()z y x dydz e y dzdx x z dxdy ∑-+-+-⎰⎰，其中∑是上半球面224y x z --=的上侧．38．判别下列级数的敛散性：1) 12sin 5n n n π∞=∑； 2) 21131n n n n -∞=⎛⎫⎪-⎝⎭∑；3) 11tan2n n n π∞+=∑； 4) 221(!)2n n n∞=∑．39.判别下列级数是否收敛，是否绝对收敛？ 1)1(1)21n n n ∞=-+∑； 2) 1cos32n n n n π∞=∑； 3)∑∞=--113sin 2)1(n n n n π．40．求幂级数()2ln 1nnn n x n∞=-∑的收敛域．当1x =时，是绝对收敛还是条件收敛？41．试求幂函数()12112121n n n n x n ∞+-=--∑的收敛域及和函数．42．设幂级数()01nn n a x ∞=+∑的收敛域为()4,2-，求级数()03nn n na x ∞=-∑的收敛区间．43．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径是4，则幂级数210n n n a x ∞+=∑的收敛半径是 ．44．试将函数411y x =-展开为x 的幂级数．45．函数()1x x e -的Maclaurin 级数中20x 的系数为 ．46．设周期为2π的函数()2200x f x xx ππ-<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的Fourier 级数在x π=处收敛于 ．47．()21010x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩，则()f x 以2π为周期的Fourier 级数在x π=处收敛于 ，在2x π=收敛于 ．。
高考数学一轮复习 直线、平面垂直的性质定理课件
故C错误.
02
研考点 题型突破
题型一 直线与平面垂直的性质
典例1 如图,PA ⊥ 平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,
且EF ⊥
CF
AC.求证:
DC
=
CE
.
BC
证明 ∵ PA ⊥平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,
②线（三垂线定理）:过二面角的一个面内的一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的
垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
③面（垂面法）:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,
这两条交线所成的角即是二面角的平面角.
（2）求（求二面角的平面角的余弦值或正弦值）.
①在三角形中,利用余弦定理求值；
PD ⊥ 平面PBC.
证明 由题设,知BC ⊥ CD,又平面PDC ⊥ 平面ABCD,平面PDC ∩ 平
面ABCD = CD,BC ⊂ 平面ABCD,
所以BC ⊥ 平面PDC,
而PD ⊂ 平面PDC,则BC ⊥ PD.
由∠DPC = 90∘ ,得PC ⊥ PD.
又BC ∩ PC = C,BC,PC ⊂ 平面PBC,则PD ⊥ 平面PBC.
又BC ⊂ 平面PBC,所以AD ⊥ BC.
因为PA ⊥ 平面ABC,BC ⊂ 平面ABC,
所以PA ⊥ BC.
因为AD ∩ PA = A,AD,PA ⊂ 平面PAC,
所以BC ⊥ 平面PAC.
又AC ⊂ 平面PAC,所以BC ⊥ AC.
规律方法
（1）在应用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,则一般需作辅助线,基
高考复习专题一直线运动
直线运动知识网络单元切块：按照考纲的要求，本章内容可以分成三部分，即：基本概念、匀速直线运动；匀变速直线运动；运动图象。
其中重点是匀变速直线运动的规律和应用。
难点是对基本概念的理解和对研究方法的把握。
基本概念 匀速直线运动知识点复习一、基本概念1、质点：用来代替物体、只有质量而无形状、体积的点。
它是一种理想模型，物体简化为质点的条件是物体的形状、大小在所研究的问题中可以忽略。
2、时刻：表示时间坐标轴上的点即为时刻。
例如几秒初，几秒末，几秒时。
时间：前后两时刻之差。
时间坐标轴上用线段表示时间，例如，前几秒内、第几秒内。
3、位置：表示空间坐标的点。
位移：由起点指向终点的有向线段，位移是末位置与始位置之差，是矢量。
路程：物体运动轨迹之长，是标量。
直线运动 直线运动的条件：a 、v 0共线参考系、质点、时间和时刻、位移和路程速度、速率、平均速度 加速度 运动的描述典型的直线运动匀速直线运动 s=v t，s-t 图，（a ＝0） 匀变速直线运动特例自由落体（a ＝g ）竖直上抛（a ＝g ） v - t 图规律 at v v t +=0,2021at t v s +=as v v t 2202=-,t v v s t 20+=注意：位移与路程的区别．4、速度：描述物体运动快慢和运动方向的物理量，是位移对时间的变化率，是矢量。
平均速度：在变速直线运动中，运动物体的位移和所用时间的比值，v = s/t （方向为位移的方向）瞬时速度：对应于某一时刻（或某一位置）的速度，方向为物体的运动方向。
速率：瞬时速度的大小即为速率；平均速率：质点运动的路程与时间的比值，它的大小与相应的平均速度之值可能不相同。
注意：平均速度的大小与平均速率的区别．【例1】物体M 从A 运动到B ，前半程平均速度为v 1，后半程平均速度为v 2，那么全程的平均速度是：（ ）A ．（v 1+v 2）/2B ．21v v ⋅C ．212221v v v v ++ D ．21212v v v v + 5、加速度：描述物体速度变化快慢的物理量，a =△v /△t （又叫速度的变化率），是矢量。
高三一轮复习学案1 直线与直线的方程
考点1
直线的斜率与倾斜角
已知直线l过P（-1，2），且与以A（-2，-3）,B（3， 0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.
【分析】借助于图形，由 斜率公式确定k的范围.
【评析】 解法一，当直线的倾斜角由锐角变到直角再由 直角变到钝角时，需根据正切函数y=tanα的单调性求k的 范围，数形结合是解析几何中的重要方法.解题时，借助 图形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快捷解题 的目的，解法二则巧妙利用了不等式所表示的平面区域的 性质使问题得以解决.
求适合下列条件的直线方程:
(1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; 1 (2)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-4 ;
【解析】 (1)解法一:设直线l在x,y轴上的截距均为a.
①若a=0,即l过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l的方程为y= 3x,即2x-3y=0.
预测2013年高考仍将以求直线的方程、点到直线 的距离、两点间的距离、两条直线的平行与垂直为主 要考点，题型以选择题、填空题为主，重点考查运算 能力与对概念的理解能力.
1.直线的倾斜角和斜率 （1）倾斜角α：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相 交的直线，如果把x轴按逆时针方向绕着交点旋转到和直 线重合时所成的角,叫作 直线的倾斜角 .规定：直线与x轴 平行或重合时α=0°.故倾斜角的范围是 . 0°≤α＜180°
故所求直线的方程为x+7y-15=0或7x-y-5=0.
【评析】求与已知两直线的交点有关问题，可有以下 两种解法：
（1）先求出两直线交点，将问题转化为过定点的 直线，然后再依其他条件求解. （2）运用过两直线交点的直线系方程：若两直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0有交点，则过l1与l2 交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为待定常数，不包 括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解.
高二数学必修一复习知识点笔记
高二数学必修一复习知识点笔记1.高二数学必修一复习知识点笔记篇一空间角问题（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为0。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b 平行的直线a,b，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
（2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为0。
②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。
③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
2.高二数学必修一复习知识点笔记篇二数列(1)数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).②了解数列是自变量为正整数的一类函数.(2)等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念.②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式.③能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.3.高二数学必修一复习知识点笔记篇三函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.4.高二数学必修一复习知识点笔记篇四向量的计算1.加法交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
高考物理一轮复习第一单元直线运动的概念和规律第1讲直线运动的概念和规律课件新人教版
平均速度公式: =
2
= 。
2
(2)连续相等的相邻时间间隔 T 内的位移差相等。
即 x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2。
(3)位移中点速度 =
2
0 2 + 2
2
。
7.1 (2019四川大邑模拟)一小球沿斜面以恒定的加速度滚下,小球依次通过A、B、C三点,已
知AB=12 m,BC=20 m,小球通过AB、BC所用的时间均为2 s,则小球通过A、B、C三点的速度分
1
对质点的理解
1.1 (2018福州四中一模)下列几种情况下,可将被研究的物体当作质点来处理的是( c )。
A.研究正在吊起货物的起重机
B.研究坐在翻滚过山车中小孩的坐姿
答
案
C.测量太空中绕地球飞行的宇宙飞船的周期时
D.研究房门的运动
1.2 (2019杭州桐庐中学月考)2022年第19届亚洲运动会将在杭州举行,下列几种比赛项目
C.以张家齐为参考系,掌敏洁是静止的
D.以掌敏洁为参考系,跳台向下运动
答
案
2
对参考系的理解
2.2 (2018郑州质检)下列情景中,加点标示的物体的运动,不以地面为参考系
的是( D
)。
A.太阳东升西落
B.轻舟已过万重山
C.骏马在草原上奔驰
D.巍巍青山两岸走
答
案
3
时刻和时间、路程和位移
在时间轴上,时刻用一个点表示,时间用一段线段表示。生活中所说的“时间”,有时是指时刻,
对于参考系而言的。
②统一性:在比较不同物体的运动时,应选择同一参考系。
③任意性:参考系的选取是任意的,研究同一个物体的运动可以选择不同的物体作参考系。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案直线的倾斜角与斜率、直线方程1
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程直线及其方程(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素． (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．(3)掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系． 知识点一 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫作直线l 的倾斜角．(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫作这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α.(2)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.易误提醒 任意一条直线都有倾斜角，但只有与x 轴不垂直的直线才有斜率(当直线与x 轴垂直，即倾斜角为π2时，斜率不存在)[自测练习]1．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2解析：由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π4＝－1.得－4－2y ＝2.∴y ＝－3.答案：B2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1<k 2<k 3 B ．k 3<k 1<k 2 C ．k 3<k 2<k 1D．k1<k3<k2解析：由题图可知k1<0，k2>0，k3>0，且k2>k3，∴k1<k3<k2.答案：D知识点二直线方程名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与两坐标轴均不垂直的直线续表截距式纵、横截距xa＋yb＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线易误提醒(1)利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况．(2)用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．(4)由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－AB.[自测练习]3．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为()A.3x－3y－6＋3＝0B.3x－3y＋6＋3＝0C.3x＋3y＋6＋3＝0D.3x＋3y－6＋3＝0解析：直线斜率k＝tan 30°＝3 3，直线的点斜式方程为y－2＝33(x＋1)，整理得3x －3y ＋3＋6＝0，故选B. 答案：B4．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a.∴a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：D考点一 直线的倾斜角与斜率|1．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈R )的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°解析：∵直线的斜率k ＝－33，∴tan α＝－33. 又0≤α<180°，∴α＝150°.故选C. 答案：C2．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________． 解析：当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求：当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，则有－a a ＋1>1或－a a ＋1<0， 解得－1<a <－12或a <－1或a >0.综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(0，＋∞) 3．(2016·太原模拟)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．解析：如图，k P A ＝1＋31－2＝－4，k PB ＝1＋21＋3＝34. 要使直线l 与线段AB 有交点，则有k ≥34或k ≤－4.答案：(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 求倾斜角α的取值范围的一般步骤(1)求出tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围． 注意已知倾斜角θ的范围，求斜率k 的范围时注意下列图象的应用： 当k ＝tan α，α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π时的图象如图：考点二 直线的方程|根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．求直线过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程．解：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，适合题意，当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.考点三 直线方程的综合应用|直线方程的综合应用是高考常考内容之一，它经常与不等式、导数、平面向量、数列等有关知识进行交汇，考查学生综合运用直线知识解决问题的能力．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．与最值相结合问题．2．与导数的几何意义相结合问题． 3．与平面向量相结合问题． 4．与数列相结合问题． 探究一 与最值相结合问题1．(2015·高考福建卷)若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )C ．4D ．5解析：法一：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以1＝1a ＋1b ≥21a ·1b＝2ab(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以ab ≥2.又a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以a ＋b ≥4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，故选C.法二：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，故选C. 答案：C探究二 与导数的几何意义相结合问题2．已知函数f (x )＝x －4ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为________． 解析：由f ′(x )＝1－4x ，则k ＝f ′(1)＝－3，又f (1)＝1，故切线方程为y －1＝－3(x－1)，即3x ＋y －4＝0.答案：3x ＋y －4＝0探究三 与平面向量相结合问题3．在平面直角坐标平面上，OA →＝(1,4)，OB →＝(－3,1)，且OA →与OB →在直线的方向向量上的投影的长度相等，则直线l 的斜率为( )A ．－14B.25 C.25或－43D.52解析：直线l 的一个方向向量可设为h ＝(1，k )，由题⎪⎪⎪⎪⎪⎪OA →·h |h |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪OB →·h |h |⇒|1＋4k |＝|－3＋k |，解得k ＝25或k ＝－43，故选C.答案：C探究四 与数列相结合问题4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线xn ＋1＋yn＝1与坐标轴所围成三角形的面积为( ) A ．36B ．45解析：由a n ＝1n (n ＋1)可知a n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又知S n ＝910，∴1－1n ＋1＝910，∴n ＝9. ∴直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)，∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45，故选B.答案：B(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的某函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．17.忽视零截距致误【典例】 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[解] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是a ≤－1.[易误点评] 本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况．[防范措施] (1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用．[跟踪练习] 若直线过点P (2,1)且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．以上都有可能解析：当截距均为零时，显然有一条；当截距不为零时，设直线方程为x ＋y ＝a ，则a ＝2＋1＝3，有一条．综上知，直线过点P (2,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线有两条，故选B.答案：BA 组 考点能力演练1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.答案：A2．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．3．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，所有直线都通过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 解析：∵(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0恒成立， ∴2x ＋1＝0，y ＋3＝0，∴x ＝－12，y ＝－3.∴定点为⎝⎛⎭⎫－12，－3. 答案：D4．(2016·海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2 解析：|AB |＝ (cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33，选B. 答案：B5．(2016·贵阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >15或k <1D ．k >12或k <－1解析：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k<3，解不等式可得．也可以利用数形结合．选D.6．(2016·温州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.解析：令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k 3.则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.答案：－247．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]． 答案：[－2,2]8．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________________________________________________________________________．解析：设直线的斜率为k (k ≠0)， 则直线方程为y －2＝k (x ＋2)， 由x ＝0知y ＝2k ＋2. 由y ＝0知x ＝－2k －2k .由12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2k ＝1. 得k ＝－12或k ＝－2.故直线方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0. 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝09．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：法一：设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，点P (3,2)代入得3a ＋2b＝1≥26ab，得ab ≥24，从而S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b时等号成立， 这时k ＝－b a ＝－23， 从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0.则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，且有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2(－9k )·4(－k )＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立， 即△ABO 的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.10．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2， 即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y 2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12， 则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.B 组 高考题型专练1．(2014·高考安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π3解析：法一：如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B .由题意知OP ＝2，OA ＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BP A ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.选D. 法二：设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k2≤1. 解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：D2．(2014·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．解析：∵y ＝ax 2＋b x ，∴y ′＝2ax －b x 2， 由题意可得⎩⎨⎧ 4a ＋b 2＝－5，4a －b 4＝－72解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴a＋b＝－3.答案：－33．(2014·高考四川卷)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx －y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是________．解析：易知A(0,0)，B(1,3)，且P A⊥PB，∴|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，∴|P A|·|PB|≤|P A|2＋|PB|22＝5(当且仅当|P A|＝|PB|时取“＝”)．答案：5。
一轮复习直线平面平行的判定及其性质
2，（线//线）如果平面外的一
条直线和这个平面内的一条直
线平行，则这条直线和这个平
面平行。
3，（面//面）两面平行，则其
中一个平面内的直线必平行于
另一个平面。
4，平面外的两条平行直线中
的一条平行于平面，则另一条
也平行于该平面。
5，平面外的一条直线和两个
平行平面中的一个平面平行，
D1BQ∥平面 PAO?
解 当 Q 为 CC1 的中点时，平面 D1BQ∥平面 PAO.证明如下：
∵Q 为 CC1 的中点，P 为 DD1 的中点，
∴QB∥PA.
∵P、O 分别为 DD1、DB 的中点，∴D1B∥PO.
又∵D1B⊄平面 PAO，PO⊂平面 PAO，
QB⊄平面 PAO，PA⊂平面 PAO，
又 AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，
AP DQ
AM DQ
∴PE＝ BQ，∴MB＝QB ，∴MQ∥AD，又 AD∥BC，
∴MQ∥BC，∴MQ∥平面 BCE，
又 PM∩MQ＝M，BE∩BC＝B，
∴平面 PMQ∥平面 BCE，又 PQ⊂平面 PMQ.
∴PQ∥平面 BCE.
判断或证明线面平行的常用方法有：
证明
(1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线，∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G 四点共面．
(2)∵E、F 分别为 AB、AC 的中点，∴EF∥BC，
∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG，
∴EF∥平面 BCHG.
∵A1G 綊 EB，∴四边形 A1EBG 是平行四边形，
(1)利用线面平行的定义(无公共点)；
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6、三种直线系方程： （1）与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是：
Ax+By+m=0 （m∈R且m≠C）
（2）与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是： Bx-Ay+m=0 （m∈R） （3）过直线l1与l2的交点的直线系方程是：
l1 l2 0
例6、求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的 交点，且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程. 方法一：求交点 方法二 ：直线系
(2)过点 A(2,1),它的倾斜角是直线 l1:3x＋4y＋5＝0 的 倾斜角的一半;
(3)经过点 P(3, 2),且在两坐标轴上的截距相等；
在假设直线方程的时候，应充分考虑到其局限性！
例4、过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴
于A、B两点，求使：△AOB面积最小时l的方程；
4、l1 // l2 5、l1 l2
解法一：函数思想； 解法二：数形结合；
8、对称问题：
例8、（）A(1,3), B(2,1), 在直线x 2 y 3 0上找一点P, 1 使得 PA PB 最小.
B
A
（2）A(1,3), B(1, 4), 在直线x 2 y 3 0上找一点P, 使得 PA PB 最大.
k1 k2 , b1 b2 或 k1、k2都不存在
k1 k 2 1 或 k1、k2一个为0，一个不存在
例5、（1)已知两直线l1:x＋m2y＋6＝0, l2:(m－2)x＋3my＋ 2m＝0, 若l1∥l2，求实数m的值；
(2)已知两直线l1：ax＋2y＋6＝0和l2：x＋(a－1)y＋(a2－1) ＝0.若l1⊥l2，求实数a的值．
y y1 x x1 y 2 y1 x 2 x1
斜截式
两点式
不垂直于x 轴的直线 不垂直于坐标轴的直线
不垂直于坐标轴且 截距式 不过原点的直线 一般式 Ax + By + C = 0 任何直线(|A|+|B|≠0)
x y 1 a b
例 3、求适合下列条件的直线方程:
3 (1)过点 A(0,2)，它的倾斜角的正弦值是 ； 5
第一讲、直线复习
德清高级中学高二数学组 顾华强
2013年9月20日
1、倾斜角：
0 0 1800
2、斜率： k tan
y 2 y1 x 2 x1
例 、 直线l的倾斜角300 120o , 求斜率k的取值范围； 1 1
(2)直线l的斜率 1 k 3, 求倾斜角的取值范围；
小 结
k tan 0
斜率变化图
例 2、已知直线 l 过点 P(－1, 2),且与以 A(－2,－3), B(3, 0) 为端点的线段相交, 求直线 l 的斜率的取值范围.
P
B A
3 . 直线方程的五种形式
方程
点斜式
适用范围
y－y0=k(x－x0) 不垂直于x 轴的直线 y = kx + b
A B
最大化同侧，最的距离公式： d
P xo , yo
Axo Byo C A2 B 2
Ax By C 0
8、两平行线间的距离：
Ax By C1 0 Ax By C2 0
d
C1 C 2 A2 B 2
例7、点P 7,0 , 直线l : 2m 1 x 1 m y 4m 5 0, 求点P到直线l的距离d的最大值.