论正交变换的理论基础及其在图像处理中的应用
数字图像处理学：第3章 图像处理中的正交变换(第3-6讲)
1
(t) 4
e j0t
02 e 2
t2
e2
其Fourier变换为：
1
( 0 )2
02
2
() 4 e 2 e 2 e 2
(3—237) (3-238)
由上式可以看出它满足容许条件，即： 0 时 (0) 0 。如果直接求取容许条件，可作如 下运算：
(t)dt
线性函数空间 L2 (a,b)
b
x, y a x(t) y(t)dt
x, y L2 (a,b)
内积空间中的范数为：
1
x
x,
x
1
2
xn
2 2
n1
（3—249） （3—250）
e • 在Fourier变换中，基函数是 jt ，理论
上基函数的支撑区无论在时间上还是在频率域都 是无限的，而小波变换的支撑区是有限的，甚至 是紧支集，只有这样才能使小波变换具有局域特 性。
数字图像处理学
第3章 图像处理中的正交变换
（第六讲）
3. 6 小波变换
3. 几种典型的一维小波
小波的选择是灵活的，凡能满足条件的函数均 可作为小波函数，这里仅介绍几种具有代表性的 小波以供参考。
（1） Haar小波
1
H (t) 1
0
0t 1 2
1 t 1 2 其他
(3—232)
该正交函数是由A.Haar于1910年提出的，对t平移时 可得到：
2. 正交小波变换
连续小波可以刻划函数f(t)的性质和变化过程， 用离散小波也可以刻划 f(t)。按调和分析方法， 把 f(t)写成级数展开形式，这就构成了n 维空间中 函数逼近问题。
在数学中，“空间”是用公理确定了元素之间的 关系的集合，例如：距离空间是定义了元素间距离 的集合；定义了元素范数的线性空间叫做线性赋范 空间等，在离散小波变换中赋范空间和内积空间的 概念是很重要的。
数字图像处理实验4 图象处理中的正交变换
实验4 图象处理中的正交变换——频域处理一．实验目的：1．掌握二维快速傅里叶变换（FFT）的实现，对频谱图像可视化操作。
2．了解频域滤波的内容，学会如何在频域中直接生成滤波器，包括平滑频域滤波器——低通滤波器、锐化频域滤波器——高通滤波器，并利用生成的滤波器对输入图像进行频域处理。
3．掌握绘制三维可视化滤波器图形的方法。
二．实验内容：1．实现二维快速傅里叶变换，以图像形式显示傅里叶频谱。
2．利用已给出的自定义的M函数，建立频域滤波器的传递函数H(u, v)3．绘制滤波器传递函数H(u, v)三维图形，并以图像形式显示滤波器。
4．对输入图像进行频域滤波处理。
三．实验原理：1．快速傅里叶变换FFT的实现一个大小为M×N的图像矩阵f的快速傅里叶变换FFT可以通过MATLAB 函数fft2获得，其简单语法：F = fft2(f)该函数返回一个大小仍为M×N的傅里叶变换，数据排列如图4.2(a)所示；即数据的原点在左上角，而四个四分之一周期交汇于频率矩形的中心。
傅里叶频谱可以使用函数abs来获得，语法为：S = abs(F)该函数计算数组的每一个元素的幅度，也就是实部和虚部平方和的平方根，即若某个元素为F = a +bj，则S=。
通过显示频谱的图像进行可视化分析是频域处理的一个重要方面。
例如，对图4.3(a)所示的图像f (image.bmp)我们计算它的傅里叶变换并显示其频谱：>> F = fft(f)>> S = abs(F)>> imshow(S, [ ])图 4.3(b)显示了结果，图像四个角上的亮点就是四个四分之一周期的中心点。
函数fftshift将变换的原点移动到频率矩形的中心，语法为：Fc = fftshift(F)F是用fft2得到的傅里叶变换，即图4.2(a)，而Fc是已居中的变换，即图4.2(b)。
键入命令：>> Fc = fftshift(F)>> Sc = abs(Fc)>>figure, imshow(Sc, [ ])将产生图4.3(c)所示的图像，居中后的结果在该图像中是很明显的。
图像的正交变换.
g (3)
x(2)
g(N
)
g(N 1)
g(1) x(N )
• 对于一个线性系统，对于输入信号矢量
与信号输出矢量间的关系矩阵若是正交
的且满足逆矩阵与共轭矩阵的转置相等，
则该处理过程为酉变换，关系矩阵为酉
矩阵。
若一组向量集合
a11
•
for(int fi=0;fi<fftWidth;fi++) {
•
fRData[fi]=0; fIData[fi]=0;
•
}
•
for(DWORD j=0;j<fftWidth;j++){
•
fRData[j]=ptrRData[i+j*fftWidth];
•
fIData[j]=ptrIData[i+j*fftWidth];
一般用“*”表示卷积，写为：y(t) g(t) * x(t)
卷积的离散形式为: y(i) g(i) * x(i) g( j)x(i j)
j
卷积的矩阵形式为: g(1) g(N ) g(2) x(1)
y(i)
g(i) *
x(i)
G
x
g (2)
g (1)
F(u) 1 N1 f (x) exp j2ux / N
N x0
N 1
f (x) F(u) exp j2ux / N u0
其中：x 0,1,2, N 1 0,1,2, N 1
F(u) F(uu) u 0,1,2,, N 1
数字图像处理PPT——第十章 图像的正交变换
x =0 y =0 M −1 N −1 M −1 N −1
图像处理
− j 2π xu M − j 2π yv N
⋅e
yv xu − j 2π ⎡ ⎤ − j 2π M N = ∑ ⎢ ∑ f ( x, y ) ⋅ e ⎥e x =0 ⎣ y =0 ⎦
f ( x, y )e
⇔ F (u − u0 , v − v0 )
xu0 yv0 − j 2π ( + ) M N
f ( x − x0 , y − y0 ) ⇔ F (u , v)e
二维DFT的主要性质
图像处理
旋转性 空间域函数旋转角度 θ 0 ，那么在变换 域此函数的Fourier也旋转同样的角度。 反之，若 F(u,v) 旋转某一角度，则 f (x, y) 在空间域也旋转同样角度。
−
j 2πux N
1 = N
N / 2 −1
∑ f ( x)W
x =0
N −1
ux N
1 2 = [ 2 N
N / 2 −1
∑
x =0
2 2 ux f (2 x)WN + N
∑
x =1
u f (2 x + 1)WN ( 2 x +1) ]
N 1 1 M −1 1 M −1 ux ux u MΔ [ ∑ f (2 x)WM + f (2 x + 1)WM WN ] ∑ 2 2 M x =0 M x =1 k 1 u W2kN = WN / 2 = [ Fe (u ) + WN Fo (u )] 2 0≤u≤M
−∞
j 2πux
du
x为时域变量，u为频率变量，以上公式称 为Fourier变换对。
数字图像处理学：第3章 图像处理中的正交变换(第3-4讲)
3.5.1 斜矩阵的构成 3.5.2 斜 变 换
3.5.1 斜矩阵的构成
斜向量是一个在其范围内呈均匀阶梯下降的 离散锯齿波形。N =4，阶梯高度为2的斜向量 如图3—19所示。
3 2 1 0 -1 -2 -3
图3—19 N=4,阶梯为2的斜向量
如果用S(n)来表示N×N斜矩阵，设N=2n
n为正整数，则
[
Har 2
p
]1
H
a
(2)
F (N 1)
H a (N 1)
(3—180)
式中
[
Har 2
p
]1
是
[
Har 2
p
]
的逆矩阵。由于哈尔矩
阵不是对称矩阵，因此
[
Har 2
p
]1
不等于[Har 2
p
]，
所以哈尔正变换与逆变换是不相同的。
仿照沃尔什变换，利用矩阵因子分解之方法也可以得 到快速哈尔变换。一般说来，快速哈尔变换的流程图 并不是蝶形的，但是，我们可以用重新排序的方法构 成哈尔变换的蝶式运算流程图。具体作法如下：
3.4.1 哈尔函数的定义
哈尔函数是完备的、归一化的正交函数。在[0,1] 区间内，har(0,t) 为1， har(1,t) 在左半个区间内 取值为1，在右半个区间内取值为-1。它的其他函 数取0值和±1乘以 2 的幂，即取± 2 ， ±2， 2 2 ，±4等。具体定义如下。
har(0,t) 1 0 t 1
1 har(1,t) 1
0t 1 2
1 t 1 2
2
har(2, t) 2
0
0
har(3,
t)
2
2
0 t 1
数字图像处理 第三讲 正交变换
正交变换
6、二维卷积定理
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G (u, v) f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G (u, v)
7、相关定理
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G * (u, v) f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G (u, v)
二维离散傅立叶变换对可表示为：
ux vy f ( x, y) exp j 2 N x 0 y 0 u, v 0,1,2,, N 1 1 F (u, v) N
N 1 N 1
ux vy F (u, v) exp j 2 N u 0 v 0 x, y 0,1,2,, N 1 1 f ( x, y ) N
x 0 y 0
N 1 N 1
ux vy f ( x, y) exp j 2 N exp j 2 mx ny x 0 y 0 当m，n为整数时， j 2 mx ny 为单位值 exp
N 1 N 1
正交变换
8、平均值 二维离散函数的平均值定义为：
1 f ( x, y ) 2 N
f ( x, y)
x 0 y 1
N 1 N 1
将u=0,v=0代入二维离散傅立叶变换式中有：
1 F 0,0 2 N
f ( x, y) f ( x, y)
x 0 y 1
N 1 N 1
u mN x v nN y f ( x, y ) exp j 2 N
F (u mN , v nN ) F (u , v)
在图像处理中广泛应用二维正交变换
6）分配性和比例性
分配性 F与 F-1对加法可以分配，而对乘法则不
物理意义：DFT的正反变换具有N周期性，应用中 只需取一个周期。在空间域中， f (x, y) 也有相似的 性质。
2）共轭对称性 F(u,v) F(u,其v)谱
F(u,v) F(u,v)
物理意义：F(u,v) 是以中心对称的图形,计算F(u,v) 只 要求右半个周期，计算量减少。
5．旋转不变性
R(u, v)
能量谱（功率谱） E(u,v) F(u,v) 2 R2 (u,v) I 2 (u,v)
例子------二维矩形体函数
A 0 x X ,0 y Y
f (x, y) 0
x X,y Y
F (u，v)
AXYsin(uX )e
juX
R(u)
能量谱（功率谱）
E(u) F(u) 2 R2 (u) I 2(u)
3．典型例子------门函数（矩形）
A 0 x X
f (x) 0
xX
F(u) A sin(uX )e juX u
F(u) AX sin(uX ) AXSa(uX ) uX
件。 f (x) F(u)
4）DFT的 和 都是周期性函f (数x) （F周(u)期为N）。在实 际应用中，取一个周期，则 和 是有限长度N的序 列。
二、二维DFT
由一维推广： F
(u, f
v)
1 MN
M 1N 1
x0 y0
M 1N 1
(x, y) F
3．2 图像的线性运算 3．2．1 二维连续线性系统
设输入 f (x, y)，输出 g(x, y) ，二维线性系统映射
数字图像处理学：第3章 图像处理中的正交变换(第3-3讲)
的模2移位序列，则
Wz (n)
1 N
N 1
z(t) wal(n, t)
t 0
1
N 1
f (t l) wal(n, t)
N t0
令 r t l ，则有 t r l ，并且当 t 取值由
0到N-1时，r 也取同样的值，只不过取值的顺序不 同而已。于是可写成如下形式：
Wz (n)
1 N
另外，沃尔什函数可写成如下形式
p 1
t p1k (ik 1ik ) wal(i, t) (1) h0 式中 t (t p1t p2 tk t2t1t0 )二进
i (i p1i p2 ik t2t1t0 )二进
N 2p
因此，可得到指数形式的沃尔什变换式
p 1
1 N 1
t p1h (ik 1ik )
因此
p 1
g(i)k g( j)k
wal(i,t) wal( j,t) R(k 1,t)
k 0
p 1
g(i)k g( j)k
R(k 1,t)
wal(i j,t)
k 0
以上便是乘法定理的证明。
（４） 沃尔什函数有归一化正交性
1
0 i j
0 wal(i,t) wal( j,t)dt 1 i j
N 1
f
r 0
(r) wal(n, r
l)
1
N 1
f (r) wal(n, r) wal(n, l)
N r0
wal(n, l)[ 1
N 1
f (r) wal(n, r)]
N r0
wal(n, l)[ 1
N 1
f (t) wal(n, t)]
N t0
wal(n, l) W (n)
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滨江学院《计算机图像处理》课程设计报告题目论正交变换的理论基础及其在图像处理中的应用专业12计算机科学与技术学生姓名学号二Ｏ一五年六月十日目录1课程设计目的 (2)2课程设计要求 (2)3 正交变换的概述 (2)3.1 信号的正交分解 (2)3.2 正交变换的定义 (3)3.3 正交变换的分类 (4)3.4 正交变换的标准基 (4)3.4.1 一维DFT的标准基 (4)3.4.2 二维DFT (6)3.4.3 正交变换的标准基图像 (7)3.5 正交变换在图像处理中的应用 (8)6 总结 (9)7 参考文献 (9)1课程设计目的(1) 理解正交变换的基本概念及分类。
(2) 了解正交变换在图像处理中的应用2课程设计要求（1）掌握课程设计的相关知识、概念清晰。
（2）查阅资料，根据不同处理需求，设计完成对数字图像的处理与分析。
（3）熟练掌握matlab 软件的基本操作与处理命令。
（4）进一步理解数字图像处理与分析的过程与意义。
3 正交变换的概述3.1 信号的正交分解完备的内积空间称为希尔伯特空间。
折X 为一希尔伯特空间,φ1 ,φ2 , ⋯,φn 是X 空间中的一向量,如果它们是线性独立的,则称之为空间X 中的一组“基”。
某一信号x 就可以按这样的一组基向量作分解,即X=∑=Nn n n a 1φ （式3-1）式（3-1）中a 1 , a 2 , ⋯, a n 是分解系数, 它们是一组离散值。
假设φ1 ,φ2 , ⋯,φn 是一组两两互相正交的向量,则式(3-1) 称为x 的正交展开, 或正交分解。
系数a 1 , a 2 , ⋯, a N 是x 在各个基向量上的投影 ,若N=3 ,其含义如图3-1 所示。
图3-1 信号的正交分解3.2 正交变换的定义一维序列 }10),({-≤≤N x x f可以表示成一个N 维向量 [])1(),...,1(),0(-=N f f f T U 其酉变换可以表示为 AU V = 或 )(),()(10x f x u a u g N x ∑-==，10-≤≤N u 其中变换矩阵A 满足A A T *-=1（酉矩阵），若A 为实数阵，则满足A A T =-1，称为正交阵。
向量 =V [])1(),...,1(),0(-N g g g T由此，U 可以表示为 V U A T*= 或 ),()()(10x u u g x f N x a ∑-=*= 10-≤≤N u 可知，给定基向量,}10),,({-≤≤*=→*N x x u a a T 10-≤≤N u ，原序列f （x ）可以由一组系数g （u ）（10-≤≤N u ）表示，这组系数（变换）可以用于滤波，数据压缩，特征提取等。
若矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A .....................212222111211 满足：I A A A A T T == 则矩阵A 就成为正交矩阵。
对于某向量f ，用上述正交矩阵进行运算：Af g =若要恢复f ，则g g f A A T==-1 以上过程称为正交变换（酉变换）。
3.3 正交变换的分类正交变换总的可分为两大类,即非正弦类正交变换和正弦类正交变换。
我们经常使用的离散傅立叶变换(DFT) 、离散余弦变换(DCT) 、离散正弦变换(DST) 等属于正弦类变换,其中还包括离散Hartley 变换(DHT) 及离散W 变换(DWT) 等。
非正弦类变换包括Walsh —Hadamard 变换(WHT) 、Haar 变换( HRT) 等。
由于正弦类变换在理论价值和应用价值上都优于非正弦类变换,从而在正交变换中占据主导地位。
除了正弦类和非正弦类正交变换,还有两种特殊的正交变换,K-L 变换和正交小波变换。
K-L 变换去除信号中的相关性最彻底,且有着最佳的统计特性,被称为最佳变换。
但是K-L 变换的基函数依赖与原始数据,没有固定的变换核,限制了它的普遍应用。
小波变换能够具有很高的时频分辨率,进行局部化分析,通过伸缩平移运算对信号进行多尺度细化,达到高频处时间细分,低频处频率细分。
但是小波正交基的结构复杂,具有紧支集的小波正交基不可能具有对称性。
随着小波理论及算法的成熟,必将大有作为。
3.4 正交变换的标准基傅立叶变换是正交变换中最常用的变换,以它为例来讨论正交变换标准基具有普遍意义。
3.4.1 一维DFT 的标准基首先从傅立叶级数进行考虑。
假设函数f ( t)满足收敛定理,则函数f ( t) 的傅立叶级数为()∑∞=++10sin cos 2n n n nt b nt a a （式3-2） a 0 , a 1 , b 1 , ⋯是函数f ( t) 的傅立叶系数。
例如,一矩形波f ( t) 是周期为2π的周期函数,在[ -π,π] 上-1 -π≤t ＜0（式3-3）1 0≤t ＜π由下式求得傅立叶系数,ntdt t f a n cos )(1⎰=πππ⎰=πππntdt t f b n sin )(1（式3-4） 得到矩形波f （t ） 的傅立叶级数展开为:)(t f =π4⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++...)12sin(121...3sin 31sin t k k t t ,....)2,,0;(ππ±±≠∞<<-∞t t （式3-5）上面得到的展开式表明:矩形波是由一系列不同频率的正弦波乘以一个权值叠加而成。
这些波的频率依次为基波频率的奇数倍。
可以看到,求傅立叶系数的过程相当于傅立叶变换的过程,把原始信号展开,相当于傅立叶逆变换的过程。
实际上,“任意”满足收敛的一个波、一个信号都可以分解成无穷多个不同频率的信号。
这里说的这些无穷多的不同频率的信号就是标准基波。
在DFT 中也是类似的意思。
假设有限长序列f( x) ( x = 0 ,1 , ⋯, N - 1) ,一维DFT 变换对如下:其中e N j W π2-=称为变换核。
将式（6）写成矩阵形式F = W ·f 即:W 是正交变换矩阵, 矩阵元素是变换核函数不同次幂构成。
W 是正交矩阵,有W - 1 = W T 。
可以看出F( u) 是角频率为2πu/ N 信号的加权系数,也就是它在原始信号中分量的大小。
如此诸多标准基波乘以其各自系数再求和得到了原始信号,这也就是离散傅立叶反变换。
3.4.2 二维DFT一幅数字图像可以用一个二维矩阵来表示, f( i , j) 表示i 行j 列这个像素点的灰度值。
数字图像处理主要是二维数据处理。
假设f ( x , y) ( x =0 ,1 , ⋯, M - 1 ; y = 0 ,1 , ⋯, N - 1) 是一幅M ×N 图像,则二维离散傅立叶变换为:∑∑-=-=+-=1010)(2),(),(M X N y N vy N ux j e y x f v u F π u=0，1,…,M-1;v=0,1,…,N-1 （式3-9） 逆变换为：∑∑-=-=+=1010)(2),(1),(M u N v N vy N ux x j e v u F MN y x f x=0，1,…,M-1;y=0,1,…,N-1 (式3-10） 其中，eN vy N ux j )(2+-π称为正交变换核。
在二维DFT 中同样可以将（式2-9）写成矩阵形式： F = W ·f ·W T其中f 是原始的二维矩阵, F 是二维DFT 系数矩阵,W 是正交变换矩阵。
从式(10) 就可以得到逆变换的矩阵形式,两边左乘W - 1 ,右乘W得: （式3-11）因为整段数据或整幅图像的相关性小,相对冗余度低, 所以如果对整段数据或整幅图像进行DFT ,很难保证能量较大的系数处在相对集中的位置。
这不符合我们正交变换的目的。
为了消除对整幅图像进行DFT 带来的大能量系数不能集中的问题,在实际应用中一般都将图像划分为8 ×8 或16 ×16 的小方块来做。
一幅图像在空间上作周期性变化, 则该周期的倒数称为空间频率。
在图像中, 空间频率的大小表征图像明暗变化的快慢, 决定着图像的细节是否丰富[ 。
灰度变化缓慢的区域频率低, 而物体边缘或噪声对应高频。
F( u , v) 表示在对应( u ,v) 的频率点的标准基上的分量大小。
这里的标准基类似一维DFT 的标准基, 一维DFT 中标准基是特定频率的波,在二维DFT 中每个标准基就应该是一幅图像,将在2.4.3 节中详细描述标准基图像。
考虑二维离散傅立叶逆变换, IDFT 就是将原始图像表示成各个标准基图像的加权和。
在图像压缩中常用的就是舍去能量小的标准基图像,只取主分量。
以此来达到数据压缩的目的。
这样压缩后的图像对视觉效果的影响一般不是很明显,略去的只是细节。
但如果舍去的阈值设置过高,就会造成图像模糊。
3.4.3 正交变换的标准基图像由于DFT 得到的变换矩阵元素是复数, mat-lab 图像显示工具不能显示复数数值,所以选择了DCT 为例来绘制标准基图像。
如前面的讲述,取8×8 的小方块来进行二维DCT 变换。
假设F( u ,v) 对应的标准基图像是N uv , 它也是8 ×8 的二维矩阵。
则有∑∑-=-==11,),(),(M o u N v v u N v u F y x f （式3-12）设G = W T ,则式(2-12) 变为: f = G ·F ·W 。
将右边前两个矩阵乘积展开有: 8888})7(:,:),,7({...})2(:,:),,7({})1(:,:),,7({............})7(:,:),,2({...})2(:,:),,2({})1(:,:),,2({})7(:,:),,1({...})2(:,:),,1({})1(:,:),,1({),(⨯⨯⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=W F G F G F G F G F G F G F G F G F G y x f （式3-13） 这里的｛G( i , :) , f ( : , j) ｝表示G 的第i 行与F 的第j 列所有元素对应相乘再求和。
实际上就是矩阵相乘得到新矩阵中在( i , j) 位置的元素。
即:∑==81),(),,()}(:,:),,({n j n F n i G j F i G（式3-14） 再设T = W T ·F, 则f ( X , Y ) 中任意位置( x 0， y 0 ) 的值有: ∑∑∑===⋅⋅=⋅==81810081000000),(),(),(),(),()}(:,:),,({),(j i j y j W j i F i x G y j W j x T y W x T y x f （式3-15） 将上式与式(2-12) 比较可以发现, 这里的F( i ,j) 就是在( i , j) 位置对应频率上的分量, G(x0 ,j)·W(j,y 0)就是F( i ,j)对应的标准基图像N ij 中(x 0 ,y 0)位置的元素数值,即:),(),(),(0000y j W i x G y x Nij ⋅= （式3-16） 其中i 从1 到8 ,j 从1 到8 得到64个标准基图像的二维矩阵, 每个矩阵中又有x 0 从1 到8 ,y 0 从1到8 得到8×8 个矩阵元素。