数字图像处理中的图像变换

线性系统

系统的定义：接受一个 输入，并产生相应输出 的任何实体，系统的输 入是一个或两个变量的 函数，输出是相同变量 的函数
x(t ) 输入 系统 输出 y(t)

线性系统的定义：对于某特定系统 有：

x1(t)->y1(t) x2(t)->y2(t) 该系统是线性的，当且仅当：
傅立叶级数：非正弦周期函数

为了研究非正弦周期函数，可以将周期为T=2π/ ω的周期 函数用一系列以T为周期的正弦函数的级数来表示，记为：
fT (t ) A0 An sin(nt n)
n 1
其中A0,An, φn 是常数，n=1,2,3……

这样就可以把一个比较复杂的周期运动看作是许多不同频 率的简谐振动的叠加
傅立叶级数

狄利克雷（Dirichlet)条件

设f(x)是周期为2π的周期函数，如果它满足：

（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点； （2）在一个周期内至多只有有限个极值点， 则f(x)的傅立叶级数收敛，并且


当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)； 当x是f(x)的间断点时，级数收敛于1/2[f(x-0)+f(x+0)].
二维线性位移不变系统
如果对二维函数施加运算T[· ，满足 ]
T f x, y T [ f x, y ] T f1 x, y f 2 x, y T f1 x, y T f 2 x, y

F (u) f ( x)e j 2ux dx 可以展开成
这里f(x)是实函数，它的 实部： f(x)cos(2 πux)dx R(u) 傅立叶变换F(u)通常是复 - 函数。F(u)的实部、虚部、 虚部 : I(u) f(x)sin(2 πux)dx 振幅、能量和相位分别表 振幅 :|F(u)| [R 2 (u) I 2 (u)]1/ 2 示如右。其中振幅又称振 幅谱，或傅立叶谱、或称 能量 : E(u)| F(u) |2 R 2 (u) I 2 (u) 频谱。频谱的平方称能量 I(u) 相位 : φ(u) arctan| | 谱 R(u)
n - c en源自nt.iT 2
T 2
fT (t )e jnt dt
可见，傅立叶级数清楚地表明了信号由哪些频率分量组 成及其所占的比重，从而有利于对信号进行分析与处理
一维连续函数的傅立叶变换

令f(x)为实变量x的连续 函数，f(x) 的傅立叶变 换用F(u)表示，则定义 式为：
互相关函数

给定两个函数f(t)和g(t),它们的互相关函数定义为：
Rfg( ) f (t ) * g (t ) f (t ) g (t )dt



互相关函数可以反映两个函数在不同的相对位置 上互相匹配的程度
如果g(t)是点扩散函数h(t),那么输出为输入图像和 点扩散函数的互相关函数。
傅立叶级数

三角函数系的正交性

即：sinx,cosx,sin2x,cos2x,…,sinnx,cosnx,…在区 间[-π,π]上正交，就是指在三角函数系中任何两个 函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于零。
傅立叶级数

如周期函数可展成三角级数
a0 f ( x ) (an cosnx bn sin nx) 2 n 1
F(u)
1 N
f(x)e
x 0
F (u) f ( x)e j 2ux dx


若已知F(u)，则傅立叶反变换为：
f ( x) F (u )e


j 2ux
du
上两个式子称为傅立叶变换对
傅立叶变换
根据欧拉公式

e j 2ux cos2ux j sin 2ux
F(u) f ( x) cos(2ux)dx j f ( x) sin(2ux)dx
傅立叶变换中出现的变量u 通常称为频率变量
傅立叶变换

傅立叶变换的目的


傅立叶变换建立了函数在空间域与频率域之间的转 换关系，把空间域中的问题转换到频率域中求解。 求一个函数的傅立叶变换就是求它的频谱，即求它 的各频率分量及分量所占的比重

通常称傅立叶变换前变量变化的空间为空间域， 而称傅立叶变换后变量变化的空间为频率域

y(t)= yx(t)+ yf(t)

单位冲激响应：LTI系统，系统的初始状态为 零时，由输入单位冲激信号δ (t)所引起的单位 冲激响应h(t)，它与零输入响应具有相同的函 数形式
卷积定义

对于一个线性时不变系统的输入f(t)和输出y(t),其间必 定存在关系：

y(t ) f (t ) * h(t )
当输入的单位脉冲函数延迟了α、β单位，即当输入为δ(xα,y–β)时，如果输出为h(x–α, y–β)，则称此系统为位移不变 系统。
点扩散函数与二维线性位移不变系统
对于一个二维线性位移不变系统，如果输入为f(x,y),输出为 g(x,y)，系统加于输入的线性运算为T[ • ]，则有
g ( x, y ) T f ( x, y ) T f ( , ) ( x , y )dd

当α=β=0时
f (0,0)



f ( x, y) ( x, y)dxdy
位移性
δ函数的另一个重要特性就是位移性。即使用δ函数与另一个 输入函数作卷积，输出仅依赖于影响和被影响变量之间的相对 位置，而与实际位置不相关
用卷积符号 * 表示为
f ( x, y) f ( x, y) ( x, y)
T af x, y aT f x, y
则称该运算为二维线性运算。由它描述的系统，称为二维 线性系统。
LTI系统的零输入响应和零状态响应



零输入响应：激励为零时，仅由系统的初始状 态{x(0)}所引起的响应yx(t)； 零状态响应：系统的初始状态为零时，仅有输 入信号f(t)所引起的响应yf(t) LTI系统的完全响应为
第三讲 图像变换
刘春国 河南理工大学 测绘与国土信息工程学院
图像与图像变换

图像的表示


空间域 频率域 图像由像素组成，像素在图像空间中按某种规律排 列的，图像在空间域上具有很强的相关性。

将图像看成是线性叠加系统



图像变换是将图像从空间域变换到其它域如频 率域的数学变换 图像变换的目的在于：
傅立叶级数

一个周期为T的函数f(t)在[-T/2,T/2]上满足狄利克雷 （Dirichlet)条件，则在[-T/2,T/2]可以展成傅立叶级数
a0 fT( t ) (an cosnt bn sin nt ) 2 n 1
其复数形式为： cn为：
fT( t )
1 cn T
那么离散序列f(x)可以表示为f(x)=f(x0+iΔ x)，其中i取离散值 0,1,2,3,…,n-1。即用序列{f(0)，f(1)，f(2)，…，f(N-1)}代替{f(x0)， f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}。
一维离散函数的傅立叶变换

连续函数f(x)经离散采样 后，形成一函数序列 f(x)= f(x0+xΔx),仿照一 维连续函数的傅立叶变 换可以给出离散函数的 傅立叶变换定义为右上 式： 傅立叶反变换为：
当该级数可逐项积分,且f(x)的系数a0,an,bn都存 在，可求其系数：
2 T an 2T f ( x) cos nxdx (n 0,1,2,3,...) T 2 2 T bn 2T f ( x) sin nxdx (n 1,2,3,...) T 2
那么函数f(x)的三角级数称为函数f(x)的傅立叶级数
二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为 |F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2 (u，v)]1/2 φ(u，v)=tan-1 [I(u，v)／R(u，v)] E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)
离散函数的傅立叶变换

假定取间隔△x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离 散化为一个序列{f(x0),f(x0+△x),…，f[x0+(N-1)△x]}， 如图所示。


①使图像处理问题简化； ②有利于图像特征提取； ③有助于从概念上增强对图像信息的理解。
图像变换概述

图像变换通常是一种二维正交变换。

一般要求正交变换：

①正交变换必须是可逆的； ②正变换和反变换的算法不能太复杂；

图像正交变换


③正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分 布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率 成分上。 借助于正交变换的特性可使得在空间域上的复杂计 算转换到频率域后得到简化，更有利于获得图像的 各种特性和进行特殊处理

f ( )h(t )d

h(t)称为线性系统的单位冲激响应函数，其含义为：当线性系 统输入f(t)为单位脉冲函数时，线性系统的输出响应

上式称之为卷积积分，两个函数的卷积运算是将一个 函数反折平移后与另一个函数相乘，并计算积函数的 积分
卷积过程
卷积过程
狄拉克函数
( x, y) 0
线性



f ( , )T x , y dd


移不变

f , hx , y dd