正交变换的等价条件及其应用
高等代数课件 第八章
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
正交变换在几何学中的应用
Ａ＝
æ ｃｏｓθ
ç
è ｓｉｎθ
－ ｓｉｎθ ö
÷ꎬ
ｃｏｓθ ø
æ æ ｘ１ ö æ ｘ２ ö ö
æ ｘ２ ö
( σ ( β １ ) ꎬσ ( β ２ ) ) ＝ ç Ａ ç ÷ ꎬＡ ç ÷ ÷ ＝ ( ｘ １ ｙ １ ) Ａ′Ａ ç ÷ ＝ ｘ １ ｘ ２ ＋ ｙ １ ｙ ２ ＝ ( β １ ꎬβ ２ ) ꎬ
è ｙ１ ø
è ｙ２ ø
σ ( β １ ) ＋ σ ( β ２ ) ＝ β １ ＋ β ２ ＋ ２α０ ≠ σ ( β １ ＋ β ２ ) ꎬ
故平移变换不是线性变换ꎬ所以它不是正交变换.
证毕
平移变换虽然保持向量的长度不变ꎬ保持向量的夹角不变ꎬ但它不是线性变换ꎬ因而平移变换不是
正交变换.
例 ３ 设 η 是 ｎ 维 欧 式 空 间 Ｖ 的 一 个 单 位 向 量ꎬ 对 任 意 α ∈ Ｖꎬ 定 义 线 性 变 换 σ ( α ) ＝ α －
(１) Ａ 为可逆矩阵ꎬ且 Ａ － １ ＝ Ａ′ ꎻ
(２) Ａ′ 也为正交矩阵( 从而 Ａ － １ 也为正交矩阵) ꎻ
(３) 对任意 ｎ 维列向量 Ｘ ꎬ ＡＸ 保持向量 Ｘ 的长度ꎬ即 ＡＸ ＝ Ｘ ꎻ ＡＸ 和 ＡＹ 保持向量 Ｘ 和 Ｙ 的内
积ꎬ即 ( ＡＸꎬＡＹ ) ＝ ( ＸꎬＹ ) ꎻ
(４) Ａ 的 ｎ 列( 行) 向量构成 Ｒ ｎ 的一个标准正交基.
在直角坐标系下向量的坐标关系式为 ç ÷ ＝ ç
÷ ç ÷ ꎬ证明旋转变换 σ 是正交变换.
ｃｏｓθ ø è ｙ ø
è ｙ′ ø è ｓｉｎθ
证明
σ:Ｒ ２ → Ｒ ２ ꎬ即 ∀α ＝
æ ｘ１ ö
æ ｘ２ ö
特征值问题与正交变换的应用
特征值问题与正交变换的应用特征值问题和正交变换是线性代数中的重要概念和工具，广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学、计算机科学等。
本文将对特征值问题和正交变换的概念、性质以及应用进行探讨。
一、特征值问题在线性代数中，特征值问题是指对于一个n阶方阵A，寻找一个非零向量x，使得Ax=kx成立，其中k是一个实数或者复数。
这个实数或复数k即称为矩阵A的特征值，而对应的非零向量x称为特征向量。
1.1 特征值与特征向量特征值问题的本质是在矩阵作用下寻找具有特殊性质的向量。
特征值和特征向量的存在使得我们能够更好地理解和描述线性变换的运动规律。
1.2 特征值的求解求解特征值问题主要有两种方法：特征多项式法和特征向量迭代法。
特征多项式法通过求解特征多项式的根来得到特征值，而特征向量迭代法则通过不断迭代逼近特征向量来求解特征值。
其中，特征多项式法适用于一般情况的特征值求解，而特征向量迭代法更适用于特殊情况下的特征值求解。
二、正交变换正交变换是线性代数中一种重要的变换方式，它保持向量的长度和角度不变，在几何上起到保持空间结构的作用。
2.1 正交变换的性质正交变换具有以下几个重要性质：保角性、保距性和保正交性。
保角性要求变换前后两个向量间的角度保持不变；保距性要求变换前后两个向量的距离保持不变；保正交性要求变换后的向量依然保持正交关系。
2.2 正交变换的表示正交变换可以通过一个正交矩阵来表示。
该矩阵满足A*A^T=I，其中A^T表示A的转置矩阵，I表示单位矩阵。
正交矩阵的列向量构成一组正交基，可以将向量表示为这组基的线性组合。
三、特征值问题和正交变换在许多领域都有广泛的应用。
3.1 特征值问题的应用特征值问题可以用来研究和描述物理系统的运动规律。
例如，对于振动系统，特征值问题可以帮助我们求解系统的固有频率和振动模态；对于量子力学中的薛定谔方程，特征值问题可以求解系统的能级和波函数。
3.2 正交变换的应用正交变换常常用于信号处理和数据压缩领域。
2-4.酉(正交)变换、正交投影
n
ur 是 L 的标准正交基，则：
u1 , u2 ,
ur , ur + 1 ,
un 是 C n的标准正交基。
n
定理2：n 阶矩阵 P为酉空间 C 正交投影的充分必 要条件是：
P=P =P
H
2
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n阶酉（正交）矩阵，则
T : T ( x ) = Ax , x ∈ C n ( R n ) 为C n ( R n ) 上的酉（正交）变换
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二. 正交投影 定义: 设酉（欧氏）空间 V = L ⊕ M , L ⊥ M ,
T 为 V 的线性变换，
∀x ∈ V , x = x1 + x 2 ,
矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
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第 二 章
内积空间
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教学内容和基本要求
1.理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系. 2. 了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的判定 方法. 3. 理解酋空间的概念，会判定空间是否酋空间的方法， 4. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质 重点: 难点: 内积空间的概念；正交基及子空间的正交关系 正交变换的判定方法
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§2.4 酉(正交)变换、正交投影 一, 酉变换与正交变换 1.酉变换的定义 定义： 设 V 是一个 n 维酉空间，T 是 V 的一个线 性变换，如果对任意的 x, y ∈ T 都有
正交变换
最后等式表明，φ－ψ是π/ 2的一个奇数倍. 由此 得
cosψ = m sin ϕ, sin ψ = ± cosϕ
所以
cosϕ − sin ϕ U = sin ϕ cosϕ
或
cosϕ sin ϕ U = sin ϕ − cosϕ
在前一情形中，σ是将 V2 的每一向量旋转角 φ的旋转； 在后一情形，σ将 V2 中以（x, y）为坐标的向 量变成以(xcosφ+ysinφ, xsinφ–ycosφ) 为 ϕ 坐标的向量. 这时σ是关于直线 y = tan( )x 的反射. 2 这样， 2 的正交变换或者是一个旋转，或者是 V 关于一条过原点的直线的反射. 如果是后一情形，我们可以取这条直线上一个 ′ ′ 单位向量 γ 1 和垂直于这条直线的一个单位向量 γ 2 作为 V2 的一个规范正交基.
例3 欧氏空间V的一个线性变换是正交变换的充要 条件是使任意两个向量的距离保持不变,即对一切, 条件是使任意两个向量的距离保持不变,即对一切, 都有. ξ ,η ∈V 都有. | σ (ξ ) − σ (η) |=| ξ −η |
8.3.2 正交变换的等价条件
定理8.3.1 定理8.3.1 欧氏空间V 的一个线性变换σ是正交 变换的充分且必要条件是：对于V 中任意向量 ξ ,η ，< σ (ξ ),σ (η) >=< ξ ,η > . 证明 条件的充分性是明显的. 因为（1）中 取 ξ=η，就得到 | σ (ξ ) |2 =| ξ |2 ，从而 | σ (ξ ) |=| ξ | .反 过来，设σ是一个正交变换，那么对于ξ,η∈ V，我们有 | σ (ξ +η) |2 =| ξ +η |2
这样， 3 的任意正交变换σ关于某一正交基 V {α1 ,α2 ,α3} 的矩阵是下列的三种类型之一：
§4正交变换
( A , A ) ( , ) .
再来证明1）与3）等价. ( 1 ) (3 )
,2 , , 设 是一组标准正交基，则 1 n 1 ,i j , ( AA , ) (, ) (, i j 1 ,2 , ,n ) . i j i j 0 ,i j A , A , , A 由此可知， 也是标准正交基. 1 2 n (3 ) ( 1 ) ,2 , , , A , , 设 是一组标准正交基，则 A 1 n 1 2 A n 也是一组标准正交基，于是对于 , V ,设
( A ,) A 2 ( A , A ) ( A , A )
( A A , A A ) ( A ( ) ,( A ) ) ( , ) . ( , ) 2 ( ,) ( ,) ,
再利用 ( 即得 A , A ) ( ,) , ( A , A ) (, )
,2 ,3 建立的直角坐标系是右手 式等于 1，则以 1
三维几何空间中的右手系和左手系的概念可以
只是没有了右手法则和左 广到一般n维欧氏空间中，
手法则这样直观的表示. 于是我们就直接按过渡矩 阵的行列式列的符号（即等于+1还是－1）对n 维欧 氏空间中的的标准正交基进行分类. 欧氏空间（也 可用于线性空间）中所有的基分为两类： 先选取一 组基，凡是与它的过渡矩阵大于零的基属于一类， 反之，与它的过渡矩阵小于零的基属于另一类.
n
n
n
j 1 n
于是
xi yj (A i , A j )
n
i 1
正交变换在积分中的应用
目录1．正交变换 (1)1.1正交变换的定义 (1)1.2正交变换的性质 (1)2．正交变换在重积分中的应用 (1)2.1正交变换在二重积分中的应用 (2)2.2正交变换在三重积分中的应用 (3)3．正交变换在曲面积分中的应用 (6)3.1正交变换在第一型曲面积分中的应用 (6)3.2正交变换在第二型曲面积分中的应用 (13)4．正交变换在曲线积分中的应用 (15)4.1正交变换在第一型曲线积分中的应用 (15)4.2正交变换在第二型曲线积分中的应用 (16)5. 结束语 (18)参考文献 (19)1．正交变换1.1正交变换的定义在解析几何里，允许使用的变换都是保持向量的长度不变的．在欧式空间里，保持长度不变的线性变换——正交变换无疑是重要的．高等代数中给出了一般欧式空间中关于正交变换的定义．欧氏空间V 的一个线性变换σ叫作一个正交变换，如果对于任意的V ∈ξ，都有()ξξσ=．正交变换的另一种定义：欧氏空间V 的一个线性变换σ叫作一个正交变换，如果对于任意的V ∈ηξ,，都有()()〉〈=〉〈ηξησξσ,,．1.2正交变换的性质实际上正交变换是欧氏空间V 到自身的一个同构映射，因而正交变换的乘积与正交变换的逆变换还是正交变换，在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此正交矩阵的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵．如果A 是正交矩阵，则由I AA T =可知12=A 即1±=A ，因此正交变换的行列式等于1或1-．行列式等于1的正交变换称为旋转或称为第一类的；行列式等于1-的正交变换称为第二类的．如果A 是正交矩阵，伴随矩阵*A 也是正交矩阵．若A 是()2>n n 阶正交矩阵时，当1=A 时，*A A T =，即ij ij A a =；当1-=A 时，*A A T -=，即ij ij A a -=．2．正交变换在重积分中的应用在多元函数积分中，变量替换法的选用与否，不只关系着积分计算的快与慢，有时甚至影响着积分的算得出与算不出．如计算⎰⎰≤++-22222)(R y x y xdxdy e ．若要在直角坐标系下化为累次积分计算，则会遇到计算⎰⎰---2222x R dy e dx ey Rx 的问题，但我们无法将⎰-dy e y 2表示成初等函数，计算便无法进行下去．此题若用极坐标变换计算，则易于得出结果．由此可见，变量替换在多元函数积分中的重要作用．多元函数积分中的变量替换法是计算积分的重要方法，变量替换的目的使得被积函数简单或者是积分区域简化，但是实际应用时选择要用的替换有很大的随意性，并且存在一定的难度．因此引入新的积分变量的同时必须要考虑被积函数的性质和积分区域的形状，而对于某些多元函数积分问题应用“正交变换”的有关理论解决是一种较为简便且颇有成效的方法．2.1正交变换在二重积分中的应用引理2.1[1] 设变换T ：()v u x x ,=，()v u y y ,=将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域∆，一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数()v u x ,，()v u y ,在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式()()()∆∈≠∂∂=v u v u y x v u J ,,0),(,,， 则区域D 的面积())(⎰⎰∆=dudv v u J D ,μ．定理2.1[1] 设()y x f ,在有界闭区域D 上可积，变换T ：()v u x x ,=，()v u y y ,=将uv 平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域∆一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数()v u x ,，()v u y ,在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式()()()∆∈≠∂∂=v u v u y x v u J ,,0),(,,， 则 ()()()()()⎰⎰⎰⎰∆=dudv v u J v u y v u x f dxdy y x f D,,,,,．例1 进行适当的变量替换，化二重积分()⎰⎰≤+++122y x dxdy c by ax f ，()022≠+b a为一重的．解 设()b a ,为二维空间的一个向量，它的单位向量为⎪⎭⎫⎝⎛k b k a ,（其中22b a k +=），再将其扩充为二维空间的一个标准正交基，设为⎪⎭⎫⎝⎛k b k a ,，()11,b a 作正交变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x A v u ，这里⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11b a k b k a A （1） 为正交矩阵，则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-v u A v u A y x T 1 两边转置得 ()()A v u y x ,,=∴()()1,,2222≤+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+v u v u AA v u y x y x y x T又因为1-=A A T 仍是正交矩阵且1±=T A ，于是变换的雅可比行列式为()()()1,,,±==∂∂=T A v u y x v u J 由（1）知ku by ax =+，于是由二重积分的变量替换公式得：()⎰⎰≤+++122y x dxdy c by ax f ()()⎰⎰≤++=122,v u dudv v u J c ku f()⎰⎰----+=221111u u dv du c ku f()⎰-+-=11212du c ku f u 即()=++⎰⎰≤+122y x dxdy c by ax f ()⎰-++-1122212du c u b afu此题选用正交变换兼顾了被积函数、积分区域的特点，较用其它的变换来解要简便．2.2正交变换在三重积分中的应用定理2.2[1] 设变换T ：()w v u x x ,,=，()w v u y y ,,=，()w v u z z ,,=，将uvw 空间中的区域'V 一对一地映成xyz 空间中的区域V ，并设函数()w v u x ,,，()w v u y ,,，()w v u z ,,及它们的一阶偏导数在'V 内连续且函数行列式()0,,≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=wz v z uz w yv y u yw x v x u x w v u J ，()',,V w v u ∈. 则 ()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VV dudvdw w v u J w v u z w v u y w v u x f dxdydz z y x f ',,,,,,,,,,,,， 其中()z y x f ,,为V 上可积．例2 对于连续函数()z y x f ,,证明：()()()⎰⎰⎰⎰-≤++-=++11211222du ku f u dxdydz cz by ax f z y x π其中222c b a k ++=.证明 设()c b a ,,为三维空间的一个向量，它的单位向量为⎪⎭⎫⎝⎛k c k b k a ,,（其中222c b a k ++=），再将其扩充为三维空间的一个标准正交基，设为⎪⎭⎫⎝⎛k c k b k a ,,，()111,,c b a ，()222,,c b a 作正交变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x A w v u ，这里⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222111c b a c b a k c k b k a A （2） 为正交矩阵，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-w v u A w v u A z y x T1 两边转置得 ()()A w v u z y x ,,,,=∴()()1,,,,222222≤++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++w v u w v u AA w v u z y x z y x z y x T又因为1-=A A T 仍是正交矩阵且1±=T A ,于是变换的雅可比行列式为()()()1,,,,,,±==∂∂=T A w v u z y x w v u J 由（2）知ku cz by ax =++，于是由三重积分的变量替换公式得：()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤++≤++≤++==++111222222222,,w v u w v u z y x dudvdw ku f dudvdw w v u J ku f dxdydz cz by ax f()()()⎰⎰⎰⎰--≤+--==1121111222du ku f u dvdw duku f u w v π其中222c b a k ++=证毕．化重积分为累次积分的变量替换，是计算重积分最常用的方法．但是，我们遇到的积分不一定能用它们算出来，所以有时不得不使用其它数学工具和方法．例3 设()33⨯=ija A 是正定矩阵，证明由椭球V ：1a 31,ij ≤∑=j i j i x x 所围成的体积等于()21-detA 34π．证明 （即证()21321det 34-=⎰⎰⎰A dx dx dx Vπ）由于A 是对称正定矩阵，故∑=31,ij a j i j i x x 是正定二次型．由高等代数知，存在一个正交矩阵T ，使 ()321321',,diag 000000λλλλλλ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AT T 这里1λ，2λ，3λ是矩阵A 的三个正特征根．作正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y T x x x ，及变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213213213211010001u u u U u u u y y y λλλ 则'U U =且I ATU T U =''是三阶单位矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321u u u TU x x x 则变换的雅可比行列式为()()()=∂∂=321321321,,,,,,u u u x x x u u u J ()()⋅∂∂321321,,,,y y y x x x ()()321321,,,,u u u y y y ∂∂ ()()()2121321det det det det --==⋅==A U T TU λλλ，又()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=321321321''32132132131,ij ,,,,,,a u u u I u u u u u u ATU T U u u u x x x A x x x x x j i j i 232221u u u ++=于是由三重积分的变量替换公式得：()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤++-≤++==1321211321321321232221232221det ,,u u u u u u Vdu du du A du du du u uu J dxdx dx ()21det 34-=A π 3．正交变换在曲面积分中的应用3.1正交变换在第一型曲面积分中的应用定理3.1[1] 设有光滑曲面S ：()y x z z ,=，()D y x ∈,，()z y x f ,,为S 上的连续函数，则()()()⎰⎰⎰⎰++=SDy x dxdy z z y x z y x f dS z y x f 221,,,,,.定理3.2[1] 设有光滑曲面S ：()()()⎪⎩⎪⎨⎧===,,,,,,v u z z v u y y v u x x ()D v u ∈,,则在S 上的第一型曲面积分的计算公式为()()()()()⎰⎰⎰⎰-=SDdudv F EG v u z v u y v u x f dS z y x f 2,,,,,,,，其中 222u u u z y x E ++=，v u v u v u z z y y x x F ++=，222v v v z y x G ++=. 这里还要求雅可比行列式()()v u y x ,,∂∂，()()v u z y ,,∂∂，()()v u x z ,,∂∂中至少有一个不等于零. 定理3.3[3] 设有光滑曲面S ：()()()⎪⎩⎪⎨⎧===,,,,,,v u z z v u y y v u x x ()D v u ∈,,在正交变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x a a a a a a a a a AX z y x X 3332312322211312111111之下变成曲面'S ：()()()⎪⎩⎪⎨⎧===,,,,,,111111v u z z v u y y v u x x则对于S 上的连续函数()z y x f ,,有()()⎰⎰⎰⎰=SSdSX A f dS X f ''1'(3)证明 因为A 是正交矩阵，所以'212121222E z y x z y x E u u u u u u =++=++=, '111111F z z y y x x z z y y x x F v u v u v u v u v u v u =++=++=,'212121222G z y x z y x G v v v v v v =++=++=，因此()⎰⎰SdS X f ()()()()()⎰⎰⎰⎰-==SDdudv F EG v u z v u y v u x f dS z y x f 2,,,,,,,=()()()()⎰⎰-D dudv F G E v u z v u y v u x f 2'''111,,,,,()⎰⎰=''111,,S dS z y x f ()⎰⎰=''1'S dS X A f例1 证明普阿松公式()()⎰⎰⎰-++=++Sdu c b a u f dS cz by ax f 112222π，其中S 为单位球面1222=++z y x ．证明 设()c b a ,,为三维空间的一个向量，它的单位向量为⎪⎭⎫⎝⎛k c k b k a ,,（其中222c b a k ++=），再将其扩充为三维空间的一个标准正交基，设为⎪⎭⎫⎝⎛k c k b k a ,,，()111,,c b a ，()222,,c b a 作正交变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x A w v u ，这里⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222111c b a c b a k c k b k a A 为正交矩阵，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-w v u A w v u A z y x T1 两边转置得 ()()A w v u z y x ,,,,=∴()()1,,,,222222=++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++w v u w v u AA w v u z y x z y x z y x T由公式（3）得()()⎰⎰⎰⎰=++=++=++11222222z y x w v u dS ku f dS cz by ax f于是 ()D v u v u w ∈--=,,1222；w u u w -=∂∂，wvv w -=∂∂ 2222221111vu w v w u v w u w --=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰--==++=++=++Dz y x w v u dudv vu ku f dS ku f dS cz by ax f 221111222222令u u =，θsin 12u v -=，其中11≤≤-u ，πθ20≤≤. 于是 ()()()⎰⎰⎰⎰⎰--=--=--ππθθθ20112211222cos 1cos 111du ku f d u u du ku f dudv vu ku f D即 ()()⎰⎰⎰-++=++Sdu c b a u f dS cz by ax f 112222π.得证．例2 设()ds x m x m x m f n n n +++-⎰⎰⎰22111是展布在n 维空间中单位球面上的一曲面积分，则()()()()⎰∑⎰⎰⎰---=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑==113221111121212du uku f n ds x m f I n n n i i i n x n i i π（当3≥n 时）此处，令∑==ni imk 12，设函数()u f 当k u ≤时连续，其中()x Γ为Gamma 函数．证明 这里只要证： ()()()()⎰∑∑⎰⎰⎰----=-=-≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ=-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑-=1123221112121111121212112du uku f n x dx dx dx x m f n n n i i n n i i i n x n i i π即可.设正交变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n u u u a a a a a a a a a x x x 2121222121211121 其中2n 个系数受制于()2121+=+n n C C n n 个条件：⎩⎨⎧=∑=,0,11nji a a τττ nj n i j i j i ,2,1,,2,1,==≠= 于是 11212==∑∑==n i i n i i x u ，∑-=-±=1121n i i n u u今取121,,,-n u u u 作为新的变量，系数选择的任意性很大，因此我们令()n i km a ii ,2,11==，同时我们可进一步要求由变换系数组成的行列式的值等于1，在这种假设下，对应于行列式任一元素的代数余子式等于元素的本身．所以雅可比行列式：()()121121,,,,,,--∂∂n n u u u x x xn n nn n n n nn n nnn n n n n n nn nn n n n n n n n n u ua a u ua a u ua a u ua a u ua a u ua a u u a a u u a a u u a a 111121121111121222221212111121211111---------------------=nn nn n n n n n n n nu x a u u a u ua u u a =++++=--112211 ()()()()nn n n n n x du du du u u u x x x ku f x dx dx dx ku f 12112112111211,,,,,,----∂∂=⋅⋅⋅∴ ()()∑-=---=⋅=1121211121111n i in n n n n u du du du ku f du du du x u x ku f ， 从而()()∑⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰⎰-=---≤--=--≤--∑=-∑=-=-=12221132211111112121111121212212112n i in n u u n i in n u u u du du du du ku f u du du du ku f I n i in i i对里面2-n 重积分实行变量替换：设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22121212113210010001n n tt t u u u u u u， 则()()()()2212211321,,,,,,----=∂∂n n n u t t t u u u⇒ ()()∑⎰⎰⎰∑⎰⎰⎰-=---≤-=---≤--∑=--∑-=-=212221232121122211212111121212212n i in n n t n i in n u u t dt dt dt u u u du du du n i i n i i，再设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====------3421234213321321211sin sin sin sin cos sin sin sin cos sin sin cos sin cos n n n n n n r t r t r t r t r t ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ其中10≤≤r ，πϕϕϕ≤≤-421,,0n ，πϕ203≤≤-n ．()()42514331221sin sin sin ,,,,,,------=∂∂n n n n n n r r t t t ϕϕϕϕϕ∑⎰⎰⎰-=--≤-∑-=212221211212n i in n t t dt dt dt n i i⎰⎰⎰⎰⎰-=------12320304402251141sin sinsindr rr d d d d n n n n n n ππππϕϕϕϕϕϕϕ⎰⎰⎰⎰-⋅=------12320442225211441sin sinsin22dr rr d d d n n n n n n πππϕϕϕϕϕϕπ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-B ⋅⋅=---102344121,2221,2421,232122dr rrn n n n n π()⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫⎝⎛ΓΓ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ=-10231232112421252321242221232dr r r n n n n n n n π ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=--1234122212dr r r n n n π（设v r =2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=----⎰22,2122211222141024214n n dv v v n n n n ππ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ=⎪⎭⎫⎝⎛-Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=----21212121212221222112334n n n n n n n n n n πππππ()()()()⎰----⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ=∴11232211212du uku f n I n n π若令λcos =u ()πλ≤≤0，则有()()()⎰--⎪⎭⎫⎝⎛-Γ=πλλλπ0221sin cos 212d k f n I n n 当3=n 时，且令c m b m a m ===321,,,z x y x x x ===321,,，得到著名的普阿松公式：()()⎰⎰⎰-++=++Sdu c b a u f dS cz by ax f 112222π，其中S 为单位球面1222=++z y x ．运用正交变换仿上述命题推理过程可简快明了地处理以下n 重积分()2≥n 问题： 一、对连续函数()n x x x f ,,,21 ，证明：()()()()⎰∑⎰⎰⎰---=≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ=⎪⎭⎫⎝⎛∑=1121221211112112du u ku f n dx dx dx x m f n n n n i i i n x n i i π，其中012≥=∑=ni i m k ，()u f 在k u ≤上连续，1≥n . 特别当3=n 时，设c m b m a m ===321,,，z x y x x x ===321,,有()()()⎰⎰⎰⎰-≤++-=++11211222du ku f u dxdydz cz by ax f z y x π其中222c b a k ++=.二、对连续函数()n x x x f ,,,21 ，证明：()()()()⎰∑⎰⎰⎰---=≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=111221211112112du u ku f n dx dx dx x m f n n n n i i i n x n i i ωπω其中012≥=∑=ni i m k ，()u f 在k ku ≤+ω上连续.当2=n 时，设,,,21c b m a m ===ωy x x x ==21,，有()=++⎰⎰≤+122y x dxdy c by ax f ()⎰-++-1122212du c u b afu3.2正交变换在第二型曲面积分中的应用定理3.4[4] 设S 为三维欧式空间内的光滑曲面，()z y x P ,,，()z y x Q ,,，()z y x R ,,均为S 上的连续函数，而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛w v u a a a a a a a a a z y x 333231232221131211 ()A为欧式空间中的正交变换；'S 为S 在上述变换()A 下的象，()w v u P ,,,()w v u Q ,,,()w v u R ,,分别为P ,Q ,R 与变换()A 的复合函数，则()()⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''''333231232221131211cos cos cos cos cos cos S S dS a a a a a a a a a R Q P A dS R Q P γβαγβα (4)其中1±=A 是正交变换()A 的行列式，()γβαcos ,cos ,cos 和()'''cos ,cos ,cos γβα分别为S 和'S 的单位法向量.证明 设S 的参数方程为()()()⎪⎩⎪⎨⎧===,,,,,,θθθr z z r y y r x x ()D r ∈θ,, 则'S 的参数方程为()()()⎪⎩⎪⎨⎧===,,,,,,θθθr w w r v v r u u 记()3,2,1321=++=i R a Q a P a F i i i i ，则θθθθθθθθθw v u w v u F F F A a a a a a a a a a w v u w v u F F F z y x z y x R Q P r r rr r r r r r 321332313322212312111321⋅=⋅= 于是()⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛Dr r rD r r rSdrd w v u w v u F F F A drd z y x z y x R Q P dS R QPθθγβαθθθθθθ321cos cos cos()⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='''''321cos cos cos S dS F F F A γβα ()⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='''''333231232221131211cos cos cos S dS a a a a a a a a a R Q P A γβα例3 计算第二型曲面积分()⎰⎰++SdS z y x γβαcos cos cos其中S 为球面4222=++z y x 介于1≥++cz by ax 的外表面．解 设()c b a ,,为三维空间的一个向量，它的单位向量为⎪⎭⎫⎝⎛k c k b k a ,,（其中222c b a k ++=），再将其扩充为三维空间的一个标准正交基，设为⎪⎭⎫⎝⎛k c k b k a ,,，()111,,c b a ，()222,,c b a 作正交变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x A w v u ，这里⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k c kb ka cb ac b a A 222111（5）， 为正交矩阵，则由（5）知()cz by ax c b a w ++++=2221.变换将S 变为'S ，它为球面4222=++w v u 介于2221cb a w ++≥的外表面．由于正交变换保持向量的内积不变，故'''cos cos cos cos cos cos γβαγβαw v u z y x ++=++记222214cb a R ++-=，由（4）式得 ()()⎰⎰⎰⎰++=++'''''cos cos cos cos cos cos S SdS w v u dS z y x γβαγβα ⎰⎰≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∂∂-∂∂-=222224R v u dudv v u v w v u w u ⎰⎰≤+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--+=22222222244R v u dudv v u v u v u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=--=⎰⎰≤+2222212844222c b a v u dudvR v u π 4．正交变换在曲线积分中的应用4.1正交变换在第一型曲线积分中的应用定理4.1[1] 设有光滑曲线()()()⎪⎩⎪⎨⎧===，，，：t z t y t x L χψϕ []βα,∈t ， 函数()z y x f ,,为定义在L 上的连续函数，则()()()()()()()()⎰⎰++=βαχψϕχψϕdt t t t t t t f ds z y x f L2'2'2',,,,.定理4.2[4] 设L 为三维欧式空间内的光滑曲线,()z y x P ,,为L 上的连续函数，而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛w v u a a a a a a a a a z y x 333231232221131211 ()A为欧式空间中的正交变换；'L 为L 在上述变换()A 下的象，()w v u P ,,为P 与变换()A 的复合函数，则()()⎰⎰='',,,,LLds w v u P ds z y x P （6）.例1 计算第一型曲线积分()⎰-Lds y x ,其中L 为曲线()()3222223y x zx yz xy z y x -=+++++，02=++z y x ，上从点()0,0,0到点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+32,3221,3221的一段弧.解 L 是一条平面曲线，但是不易写出其参数方程．为此，作正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x w v u 62616131313102121， 此变换将平面02=++z y x 变成坐标面0=w .由于()zx yz xy z y x +++++23222()()()()222222222242323144243222231w v z y x z y x zx yz xy z y x zx yz xy z y x +=+++-+=++++++--+++=()3342u y x =-，且当()()0,0,0,,=z y x 时，()()0,0,0,,=w v u ；当()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=32,3221,3221,,z y x 时，()()0,2,1,,=w v u ，故变换将曲线L 变为'L ：324u v =，0=w 从()0,0,0到()0,2,1的弧．于是由（6）式得()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-⎰⎰⎰⎰15131025812491212210102''du u u du du dv u uds ds y x L L4.2正交变换在第二型曲线积分中的应用定理4.3[4] 设L 为三维欧式空间内的光滑曲线,()z y x P ,,，()z y x Q ,,，()z y x R ,,均为L 上的连续函数，而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛w v u a a a a a a a a a z y x 333231232221131211()A为欧式空间中的正交变换；'L 为L 在上述变换()A 下的象，()w v u P ,,,()w v u Q ,,,()w v u R ,,分别为P ,Q ,R 与变换()A 的复合函数，则()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dw dv du a a a a a a a a a R QP dz dy dx R QPLL333231232221131211' （7）.例2 计算第二型曲线积分⎰Lxdy ，其中L 为圆周()34222=-++++zx yz xy z y x ，3=+-z y x ，从x 轴正向看去，圆周是沿逆时针方向进行的．解 作正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x w v u 31313161626121021 则w v u x 316121++=,w v y 3162-=且()()()zxyz xy z y x z y x zx yz xy z y x 222234222222222+--++-++=-++++()()()()2222222222236323wv u ww vuz y x z y x -+=-++=+--++=这样，由（7）式得⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛++='3162316121L L w v d w v u xdy 其中'L 为圆周3422==+w v u ，，从w 轴正向看去，圆周是沿逆时针方向进行的．因此⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛++='6216121L L dv v u xdy πθθθθθθππ34cos 34cos 2621sin 261cos 22120220==⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⋅=⎰⎰d d5. 结束语上述诸例足以说明利用正交变换的方法去处理重积分和曲面积分的某些问题是卓有成效的（对于曲线积分亦是如此），并且不受空间维数的限制．而正交变换在物理学上、几何上、概率论上等学科有着广泛的应用前景，同时数学问题的代数化的方法是值得重视的．参考文献[1]华东师范大学数学系编．《数学分析》[M]，高等教育出版社，2001[2]张禾瑞，郝鈵新编.《高等代数》[M]，高等教育出版社，2007.6[3]邹晓范. 正交变换在多元函数积分中的应用[J]，佳木斯大学学报(自然科学版), 2003,21(4):494-496[4]林元重. 正交变换在曲线、曲面积分计算中的应用[J]，数学通报, 1996,(12):27-29。
关于广义正交变换的几个定理
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目录1引言 ................................................................................................................... １2正交变换的定义及其等价条件 ........................................................................ １2.1定义..................................................................................................................................１2.2等价条件..........................................................................................................................２3正交变换的应用................................................................................................ ４3.1化二次型为标准形..........................................................................................................４3.2解不变子空间相关问题..................................................................................................８3.3求解矩阵问题..................................................................................................................８3.4求解欧氏空间中其它相关问题......................................................................................８3.5在积分中的应用.......................................................................................................... １１4结束语 ............................................................................................................ １２参考文献 ........................................................................................................... １３致谢语 ............................................................................................................... １４正交变换的等价条件及其应用数学系2013级1班许鹏指导教师：陈金梅摘要:正交变换在大学学习中是一个重要的概念,例如在代数中,它涉及到了线性代数中一大部分的基本概念,如矩阵、向量、线性变换、标准正交基等,深入探讨研究这个课题对学好高等代数和线性代数十分有帮助.不仅如此,它在其他的领域也有着大范围的普及,如在积分的应用中,在多重积分的方面。
本文首先叙述了正交变换的最基础的概念,从它的定义开始,探究它在代数书中的一些特点和求解过程,主要就正交变换进行探索研究,得出它的几种等价条件,为了体现它的重要作用,我们将做一些例证,举例说明它的价值。
关键词:正交变换;标准正交基;内积;正交矩阵。
Equivalent Conditions of Orthogonal Transformation and TheirApplicationsXupengClass 1, Mathematics DepartmentTutor:ChenJinMeiAbstract: Orthogonal transformation is an important concept in university learning. For example, in algebra, it involves a basic concept of a large part of linear algebra, such as matrix, vector, linear transformation, standard orthogonal basis, and so on. It is very helpful to learn higher algebra and linear algebra, and it is also popular in other fields, such as in the application of integral points, in the case of multiple points. This paper first describes the most basic concept of orthogonal transformation, from its definition, to explore its characteristics in the algebra of the book and the process of solving the main orthogonal transformation to explore the study, to obtain several of its equivalent conditions , In order to reflect its important role, we will do some examples, exemplify its value.Key words:Orthogonal transformation; standard orthogonal basis; inner product; orthogonal matrix.1引言我们熟知的正交变换在某些领域有着巨大作用，例如，近代数学，尤其是对科学技术。
一些分析问题的出现，使得它应该对其做出数学的研究和探讨，其中代数方法有其显著意义。
该方法应用一些问题之后，使其求解过程化繁为简，容易理解，易于解决。
该变换在求解中时常用到，尤其在近代数学中应用广泛。
在我们认识的欧几里得空间中，一提到正交变换，大家都会想到它是线性变换，特点是向量长度不变，换句话说也就是向量内积是恒定的。
在几何中，它有自己独特的定义，即每个点与每个点的长度固定，当然了，它还是变换的一种。
除此之外，由于内积可以采用其他的方法得出结果，比如长度和夹角，所以，正交变换的描述途径也多种多样。
数字中的联系十分紧密，比如正交基与矩阵，还有二次型，正是由于它们之间不可分离的联系，才有了等价条件，甚至于在高等代数的一些方面，打下坚实的基础，为研究提供了方便。
在卢联联，朱世平的论文中阐述了正交变换的定、性质及它的等价刻画。
对该变换在中学数学中的应用也有简单介绍。
在《正交变换的几个等价条件》中高伟探讨并详细叙述该变换的等价刻画。
谢蜀忠在《正交变换的若干应用》中作以例证，对其应用进行深入的探究总结。
该变换是中学数学学习过程中的一个关键结点，而代数与几何形象而紧密的联系，让学生理解更加深刻。
因此，本文在众多学者对其讨论与研究的基础上，深层次的思考、探索该变换的等价条件，较为详细的介绍归纳了其在数学物理等领域的应用。
2正交变换的定义及其等价条件2.1定义定义1 线性变换：上的线性空间是数域设P V 。
上的一个变换是V A 。
如果都有，，对任意的P k V ∈∈βα()()()βαβαA A A +=+()()ααkA k A =则称为空间的一个线性变换。
定义2 正交矩阵：E A A E AA A n T T ==或满足阶实矩阵如果,则称为正交矩阵定义3 标准正交基：维欧式空间，为设n V 若基12,,...,n εεε 是的一个基，如果12,,...,n εεε两两正交且都是单位向量，则称12,,...,n εεε是的一个标准正交基。
定义4在代数书中,若一个变换每个点与每个点的长度固定,则称它是正交变换。
在欧氏空间中，假定欧式空间的线性变换A 为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的,V αβ∈，都有()(),,A A αβαβ=.定义5不变子空间：假定A 是数域P 上线性空间V 的线性变换,W 是V 的一个子空间.如果W 中的向量在A 下的像仍属于W 中，对于W 中任一向量ξ，有A W ∈ξ，则称W 是A 的不变子空间。
定义6 正交补：的两个子空间，是欧式空间设V V V 21,若满足下面的条件 2121,V V V V V ⊥=+则称2V 为1V 的正交补。
2.2等价条件定理1[]换维欧式空间中的线性变是设n A ，互等价于是下面的四个命题相: （1）A 是正交变换;（2）A 保正向量的长度不发生变化，则对于,V A ααα∈=;V（3）若1...,n εε是标准正交基，则1...,n A A εε也是标准正交基;（4）A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.证明 如果A 是正交变换，那么()(),,A A αααα=两边开方即得A αα=反过来，如果A 保持向量的长度不变，那么()(),,A A αααα=，()(),,A A ββββ=，()()(),(),A A αβαβαβαβ++=++把最后的等式展开即得()()()()()(),2,,,2,,A A A a A A αααβββαααβββ++=++再利用前两个等式，就有()(),,A a αβαβ=这就是说，A 是正交变换.设12,,...,n εεε是一组标准正交基，即()()1,,,,1,2,...,.0,i j i j i j n i jεε=⎧==⎨≠⎩当当 如果A 是正交变换，那么 ()()1,,,,1,2,...,.0,i j i j A A i j n i j εε=⎧==⎨≠⎩当当这就是说，12,,...,n A A A εεε是标准正交基.反过来，如果12,,...,n A A A εεε是标准正交基，那么由11221122...,...,n n n n x x x y y y αεεεβεεε=+++=+++ 与11221122...,...,n n n n A x A x A x A A y A y A y A αεεεβεεε=+++=+++即得 ()1122,...n n x y x y x y αβ=+++(),A A αβ=因而A 是正交变换.设A 在标准正交基12,,...,n εεε下的矩阵为A ，即()()1212,,...,,,...,n n A A A εεεεεε=A如果12,,...,n A A A εεε是标准正交基，那么A 可以看作由标准正交基12,,...,n εεε到12,,...,n A A A εεε的过渡矩阵，因而是正交矩阵.反过来，如果A 是正交矩阵，那么12,,...,n A A A εεε就是标准正交基.这样，我们就证明了（1），（2），（3），（4）的等价性.3正交变换的应用3.1化二次型为标准形定理2 任意一个实二次型11,n nij i j ij ji i j a x x a a ===∑∑都可以经过正交的线性替换变成平方和2221122...n ny y y λλλ+++. 例1设二次型()222,,2232f x y z x y z xy =+++，试这把它转变为标准形，并写出所做的正交变换.解 设此二次型的矩阵为A ，则A =210120003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦计算可得2(-3-1λλλE-A =）（），所以A 的特征值为 123==3=1λλλ，当=3λ时，得线性无关的特征向量()()''12=1,1,0=0,0,1αα，当=1λ时，得线性无关的特征向量 ()'3=1,-1,0α将它们单位化，得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=021-2110002121321βββ，， 令()123T=βββ，，，则T 为正交矩阵，于是作正交变换()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213213210102102121021,,y y y x x x βββ所求标准形为()222123123,,33f x x x y y y =++. 例2 用正交变换化二次型为标准型323121232221448255x x x x x x x x x f +--++=解：二次型矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=222254245A由222254245-----=-λλλλA E220251241------=λλλλ()2204902411-----=λλλ()()()[]8921----=λλλ()()101112+--=λλλ()()1012--=λλ0=∴10)(1==λλ二重∴23222110y y y f ++=当1=λ时，解方程()0=-X A E .对()A E -做初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0000002111000000122122244244A E 32121x x x +=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102101121213232321t t x x x x x x x x∴属于特征值1的无关特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20101121αα将21,αα正交化11αβ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==2212101121201,,111122ββββαβ ()ααα,= ，将21,ββ单位化⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011211111ββη ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==22121321222ββη 当10=λ时，33331ααηα== 令()321ηηη=T 则TY X =23222110y y y f ++=正交变换在于转化二次型方面有着特殊的作用和意义，比配方法要简单、准确。