2chapter4(1)正交矩阵与正交变换.
正交矩阵与正交变换浅述
正交矩阵的特征值的模为1；
正交矩阵的实特征值为1或-1； 正交变换的特征值为1或-1。（正交变换见下页“几何性质”）
正交矩阵的几何性质
①标准正交基的过渡矩阵为正交矩阵，此即在力学中广泛应用的“正交变换矩阵”
n维欧氏空间 Vn ( R) 的一组标准正交基 1 , 2 ,, n
满足 (1 , 2 ,, n ) ( 1 , 2 ,, n ) A 则 (1 , 2 ,, n )为标准正交基 ，即可推出 A为正交矩阵
正交矩阵的代数性质
性质①：转逆同型
由上式，AAT=ATA=1
又可据AA-1=A-1A=1得A是可逆矩阵；
故，对于正交矩阵，AT=A-1； 性质②：转置矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、Am 均为正交矩阵。 可利用性质①进行证明 性质③：行列式为±1 对ATA=1两边取绝对值，|A|2=|AT||A|=1; 即可得知 性质④：特征值的性质
②行列式取值决定空间变换种类
A为第一类的(旋转)，若|A|=1；(此即正交变换）
A为第二类变换的，若|A|=-1。 ③正交变换不改变向量的夹角和范数
即Ax,Ay>=<x,y>
||Ax||=||x||
有道是：“境自远尘皆入咏，物含妙理总堪寻”。 祝大家学好理论力学，深层次地体悟到数理之美！
正交矩阵与正交变换浅述
武汉大学 弘毅学堂 李奇正 2017年9月7日
正交矩阵的定义
T A (aij ) (1 ,2 , , n ) （1 ,2 , ,n ) R n n
A为正交矩阵
i ' j
1, i j, 1, i j , i j ' i, j 1,2,, n 0, i j, 0, i j ,
正交矩阵与正交化方法
正交矩阵与正交化方法正交矩阵是线性代数中的重要概念，是指满足矩阵的转置矩阵与原矩阵的乘积等于单位矩阵的方阵。
一、正交矩阵的性质正交矩阵具有以下几个重要性质：1.正交矩阵的行列式的值为±12.正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。
3.正交矩阵的行向量（列向量）是相互正交的单位向量。
4.正交矩阵的任意两行（列）向量的内积等于0。
正交化方法是将一组线性无关的向量组通过线性变换，得到一组相互正交的向量组的过程。
常用的正交化方法有施密特正交化和正交分解法。
施密特正交化方法是基于施密特正交基的概念，通过一系列线性变换，将一组线性无关的向量组转化为一组正交基。
具体的步骤如下：a)选取第一个向量作为正交基的第一个元素。
b)对于向量组中的其他向量，通过将其与正交基的前面的向量进行正交投影，使其与前面的向量正交。
c)重复上述步骤，直到得到一组相互正交的基向量。
2.正交分解法正交分解法是将一个向量表示为一组正交基向量的线性组合的过程。
具体的步骤如下：a)选取一组正交基向量。
b)计算向量在每个正交基向量上的投影（即向量在每个基向量上的内积）。
c)将每个投影与对应的基向量相乘，并求和，得到向量的正交分解。
三、应用实例正交矩阵和正交化方法在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些应用实例：1.3D图形学正交矩阵在3D图形学中用于旋转和缩放三维物体。
通过将物体的顶点坐标与旋转矩阵相乘，可以实现对物体的旋转操作。
2.特征值问题正交矩阵在解决特征值问题中起到重要作用，可以通过正交变换将原始矩阵对角化，便于求解特征值和特征向量。
3.数据压缩正交矩阵在数据压缩领域具有重要应用。
通过正交变换将数据压缩到低维空间，可以降低数据的维度，提高数据传输和存储的效率。
4.信号处理正交矩阵在信号处理中有着广泛的应用，如正交频分复用技术（OFDM）和正交编码技术。
通过正交变换可以将多个信号进行隔离和恢复，提高信号传输的可靠性。
5.图像处理正交矩阵在图像处理中被用于图像压缩、降噪和图像分析等方面。
正交矩阵与正交变换
正交矩阵与正交变换正交矩阵和正交变换在数学和物理学领域具有重要的地位和应用。
它们被广泛用于描述旋转、镜像、对称性等问题。
本文将介绍正交矩阵和正交变换的概念、性质和应用。
一、正交矩阵的概念和性质正交矩阵是一个实矩阵，其列向量两两正交且长度为1。
简言之，正交矩阵的转置与逆矩阵相等。
正交矩阵的定义可以表示为：若矩阵A的转置与逆矩阵相等，则A为正交矩阵。
由正交矩阵的性质可知，正交矩阵的行向量也是两两正交且长度为1。
正交矩阵的性质还包括以下几点：1. 正交矩阵的行列式等于1或-1；2. 正交矩阵的任意两列（行）满足内积等于0，任意一列（行）的长度为1；3. 正交矩阵的转置等于逆矩阵。
正交矩阵的一个重要应用是在旋转变换中。
将一个向量乘以一个正交矩阵，相当于对该向量进行了旋转变换。
这是因为正交矩阵的列向量构成了一个正交基，可以用于表示旋转方向和角度。
二、正交变换的概念和性质正交变换是指在二维或多维空间中，保持长度和角度不变的线性变换。
正交变换可以由正交矩阵表示，应用于几何学、物理学、图形学等领域。
正交变换的一个典型例子是旋转变换。
通过定义旋转角度和旋转轴，可以得到对应的正交矩阵，然后将该矩阵应用于向量，实现向量的旋转。
正交变换的性质包括：1. 正交变换保持向量长度不变。
即对于向量x，有 ||Tx|| = ||x||，其中T表示正交变换。
2. 正交变换保持向量之间的夹角不变。
即对于向量x和y，有cos(θ) = cos(Tx, Ty)，其中θ表示向量x和y之间的夹角，Tx和Ty表示应用正交变换T后的向量。
三、正交矩阵与正交变换的应用正交矩阵和正交变换在众多学科和领域中具有广泛应用，以下列举几个常见的应用领域：1. 几何学中的坐标变换：正交变换可以实现向量在不同坐标系之间的转换，例如平移、旋转和缩放等操作。
2. 物理学中的对称性：正交矩阵和正交变换被用于描述物理系统的对称性，如空间反演、时间反演等。
3. 图形学中的变换：正交变换被广泛应用于图形学中的三维模型变换和视图变换，实现图形的旋转、缩放和投影等操作。
平面向量的正交变换和正交矩阵
平面向量的正交变换和正交矩阵正文：在数学中，平面向量的正交变换是指将一个向量通过特定的线性变换，使得变换后的向量与原向量相互垂直。
而这种变换可以通过一个特殊的矩阵来表示，即正交矩阵。
1. 平面向量的正交变换平面向量的正交变换是指将向量通过某种变换后，保持向量的长度不变，并且与原向量正交（垂直）。
其中常见的正交变换有旋转、镜像和剪切等。
1.1 旋转变换旋转变换是指将向量绕一个固定的点进行旋转。
对于平面向量(vector a, vector b)，可以将vector a绕向量vector b旋转θ角，得到新的向量vector c。
这个变换可以用下面的公式表示：vector c = cosθ * vector a + sinθ * vector b1.2 镜像变换镜像变换是指将向量通过某一条直线进行镜像。
对于平面向量(vector a, vector b)，可以将vector a关于vector b进行镜像，得到新的向量vector c。
这个变换可以用下面的公式表示：vector c = vector a - 2 * (vector a * vector b / vector b * vector b) * vector b1.3 剪切变换剪切变换是指将向量在某一个方向上进行拉伸或压缩。
对于平面向量(vector a, vector b)，可以将vector a在向量vector b方向上进行剪切，得到新的向量vector c。
这个变换可以用下面的公式表示：vector c = vector a + (vector a * vector b / vector b * vector b) * vector b2. 正交矩阵正交矩阵是一种特殊的方阵，其列向量两两正交，并且长度为1。
在平面向量的正交变换中，可以用正交矩阵来表示。
正交矩阵满足下面的条件：2.1 每一列向量都是单位向量，即长度为1；2.2 任意两列向量都是正交的，即互相垂直。
线性代数中的正交矩阵与正交变换
线性代数中的正交矩阵与正交变换线性代数是现代数学的基础理论之一，它在各个领域中起到了重要的作用。
其中，正交矩阵和正交变换是线性代数中的重要概念之一。
本文将深入探讨正交矩阵和正交变换的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、正交矩阵的定义与性质首先，我们来了解正交矩阵的定义。
在线性代数中，一个方阵A称为正交矩阵，当且仅当满足以下条件：1. A的转置矩阵A^T等于它的逆矩阵A^(-1)。
2. A的所有列向量互为正交向量。
3. A的所有列向量的模长都等于1。
基于上述定义，我们可以推导出正交矩阵的一些重要性质。
1. 正交矩阵的行向量以及列向量都是单位向量，即长度为1的向量。
2. 正交矩阵的行向量两两正交，列向量两两正交。
3. 正交矩阵的转置矩阵就是它的逆矩阵。
二、正交变换的概念与性质正交变换是指保持向量的长度和夹角不变的线性变换。
在线性代数中，我们可以通过正交矩阵进行正交变换。
具体而言，设A是一个正交矩阵，x是一个向量，那么正交变换可以表示为Ax。
正交变换具有以下重要性质：1. 正交变换可以将一个向量映射为另一个向量，同时保持向量的长度和夹角不变。
2. 正交变换的矩阵一定是正交矩阵，即正交矩阵其实就是表示正交变换的矩阵。
3. 正交变换是线性变换的一种特殊情况，其满足线性变换的加法和数乘运算。
三、正交矩阵与正交变换在实际问题中的应用正交矩阵与正交变换在实际问题中有广泛的应用。
以下举例说明：1. 三维图形的旋转在三维计算机图形学中，我们经常需要对三维图形进行旋转操作。
而正交矩阵正好可以用来表示三维空间中的旋转。
通过构造一个特定的正交矩阵，我们可以实现对三维图形的旋转变换。
2. 傅里叶变换傅里叶变换是一种在信号处理和图像处理中广泛应用的方法。
正交矩阵在傅里叶变换中起到了重要作用，通过将输入信号与正交矩阵相乘，可以实现频域上的变换，提取信号的频谱信息。
3. 数据压缩与图像处理正交矩阵和正交变换也被广泛应用于数据压缩和图像处理领域。
线性代数中的正交变换与正交矩阵
线性代数中的正交变换与正交矩阵线性代数是一门研究向量空间及其运算规律的数学学科，正交变换和正交矩阵是其中重要的概念之一。
本文将介绍正交变换和正交矩阵的定义、性质以及其在线性代数中的应用。
一、正交变换的定义与性质正交变换是指一种保持向量内积不变的线性变换。
设V是一个n维向量空间，线性变换A:V→V是一个正交变换，当且仅当满足以下条件：1. 对于V中任意两个向量u、v，有(Au)·(Av) = u·v，其中·表示两个向量的内积；2. A是一个满秩的矩阵，即A的行与列都线性无关。
正交变换具有以下重要性质：1. 正交变换保持向量的长度不变，即对于任意向量v，有||Av|| = ||v||，其中||v||表示向量的长度；2. 正交变换保持向量之间的夹角不变，即对于任意向量u、v，有夹角(Au, Av) = 夹角(u, v)，其中夹角(u, v)表示向量u和v之间的夹角；3. 正交变换的逆变换也是正交变换，即如果A是一个正交变换，则存在一个矩阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵；4. 正交变换的矩阵表示是一个正交矩阵。
二、正交矩阵的定义与性质正交矩阵是指行列式的值为1或-1的实矩阵。
设A是一个n×n的矩阵，如果A满足以下条件，则称A是一个正交矩阵：1. A的转置矩阵A^T与A的乘积等于单位矩阵，即A^T × A = I；2. A的行（或列）向量构成一组标准正交基。
正交矩阵具有以下重要性质：1. 正交矩阵乘积依然是一个正交矩阵，即如果A和B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；2. 正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即如果A是一个正交矩阵，则A^T是其逆矩阵；3. 正交矩阵的行（或列）向量是一组标准正交基，即正交矩阵的行（或列）向量互相正交且长度为1；4. 正交矩阵的行列式的值为1或-1，即|A| = 1或|A| = -1。
三、正交变换与正交矩阵的应用正交变换和正交矩阵在线性代数中有着广泛的应用。
正交变换与正交矩阵
正交变换与正交矩阵正交变换是线性代数中的重要概念，它在图像处理、三维计算机图形学和信号处理等领域中得到广泛应用。
而正交矩阵则是与正交变换密切相关的基本概念。
本文将详细介绍正交变换和正交矩阵的概念、性质以及应用，并探讨它们之间的关系。
一、正交变换的概念正交变换是指保持向量内积和向量长度不变的线性变换。
假设$V$是一个$n$维实内积空间，对于任意的向量$\mathbf{x},\mathbf{y} \in V$和标量$a$，满足以下条件的线性变换$T$称为正交变换：1. 向量内积不变：$(T\mathbf{x}) \cdot (T\mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$2. 向量长度不变：$||T\mathbf{x}|| = ||\mathbf{x}||$二、正交矩阵的定义与性质正交矩阵是一种特殊的方阵，满足以下条件：1. 矩阵的列向量是正交的单位向量。
2. 矩阵的行向量也是正交的单位向量。
3. 矩阵的转置等于其逆矩阵。
正交矩阵的性质如下：1. 正交矩阵的行列式的绝对值等于1。
2. 正交矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵。
3. 正交矩阵乘积仍为正交矩阵。
4. 正交矩阵具有保持向量内积和向量长度不变的性质。
三、正交变换与正交矩阵的关系正交变换可以用正交矩阵来表示，反之亦然。
对于给定的正交变换$T$，存在一个正交矩阵$Q$，使得$\mathbf{x}=Q\mathbf{y}$，其中$\mathbf{x}$和$\mathbf{y}$表示向量。
四、正交变换与正交矩阵的应用正交变换与正交矩阵在许多领域中有着广泛的应用。
以下列举了几个典型的应用：1. 图像处理：正交变换可以用于图像的平移、旋转和缩放等操作，以及图像的主成分分析等。
2. 三维计算机图形学：正交变换可以实现三维物体的旋转、平移和投影等操作，用于生成逼真的视觉效果。
3. 信号处理：正交变换可以用于信号的滤波、降噪和频谱分析等，提高信号的质量和准确性。
4.1正交矩阵与正交变换
3.怎样构造正交矩阵
1 1 2 2 1 1 2 , 2 为前两列的正交阵 例4.1.3求以1 . 1 2 1 2 2 1 1 12 1n T T T 2 1 2 2 2 n E T T T n 1 n2 nn
1, 当 i j; i ij 0, 当i j
T j
i , j 1,2,, n
例1
判别下列矩阵是否为正交阵．
1 9 2 8 9 4 9 8 9 1 9 4 9 4 9 4 . 9 7 9
1 2 1 3 1 1 1 2 1 1 2 , 13 1 2 1
4.1 正交矩阵与正交变换 1. 正交矩阵
定义4
若n阶方阵A满足 AT A E (或AAT E ) 即A1 AT , 则 称A为 正交矩阵.
2.判别矩阵为正交矩阵的方法
定理
A为正交矩阵的充要条件是 A的列(行)向量都 是单位向量且两两正交．
证明 A AT a11 a12 a 21 a 22 a n1 a n 2
4 9 4 9 7 9
1 9 8 9 4 9
4 9 4 9 7 9
1 9 8 9 4 9
8 9 1 9 4 9
4 9 1 4 0 9 0 7 9
E a1n a11 a 21 a 2 n a12 a 22 a nn a1 n a 2 n
a n1 an2 E a nn
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教学要求：
1. 了解正交变换与正交矩阵的概念以及它们的 性质.
一. 正交矩阵的定义与性质 二. 正交变换
一. 正交矩阵的定义与性质 1. 定义 若n阶方阵 A满足 AA E,则称 A为正交矩阵. 2. 性质 (1) A 1; ( AA E, AA 1, A 2 1.) (2) A, B为正交矩阵,则AB也是正交矩阵;
an1
a12 a22
an2
a1n
a2n
(1,2 ,
,n)
ann
a11
则
A
a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
1 2
n
1
AA E 2 1,2, ,n E
n
(11,11 )1(2 1,2 ) 1n (1,n )
(22,11 )2(2 2,2
ex3. 求以1 (1,1,1,1),2 (1,1,1,1)
为前两列的正交矩阵.
Method1.取3 (1,0,0,0),4 (0,0,0,1)
显然1,2,3 ,4线性无关.
正交化, 取1 1 (1,1,1,1),
则2
2
(2 , 1 ) (1, 1)
1
(1,1,1,1),
3
3
(3 , (1,
1 ) 1 )
1
(3 , (2,
2) 2)
2
(1 2
,
1 ,0,0), 2
4
(04,0,((1241,,,12)11.))
1
(4 , 2 ) (2, 2 )
2
(4 , 3 ) (3, 3 )
3
单位化,
p1
(1 2
,
1 2
,
1, 2
1 ), 2
p2
(1, 2
1 2
,
1 2
,
1 ), 2
p3 (
2 , 2
(
2, 2
2 ,0,0), 2
p4
(0,0,
2 , 2
2 ). 2
1 12
1
2 1
2 2 2
0
0
P 2 2 2
.
1 2
1 2
0
2 2
1 2
1 2
0
2 2
二. 正交变换 定义. 若P为正交矩阵, 则线性变换y=Px称为正交变换. 定理. 正交变换不改变向量的长度, 也不改变两向量间
的内积及夹角. Proof. 设y Px为正交变换, 则 PP E,
2 ,0,0), 2
p4 (0,0,
2, 2
2 ). 2
1 1 2
12
2 1
2 2
0
0
P 2 2
2
.
1 2
1 2
0
2 2
1 2
1 2
0
2 2
Method2.
设 ( x1, x2, x3, x4 )与1,2正交,则
x1 x2 x3 x4 0
x1
x2
x3
x4
0
A 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1
)
2 n
(2E,
n
)
E
(nn,11) n(2 n,2 ) nn (n,n )
(iபைடு நூலகம்
,
j
)
1, 0,
i j i j
i, j 1,2, , n.
ex1. 下列矩阵是不是正交矩阵：
1
2 1
(1)
6 1
2
2
3
11
22 11
62
1 0 2
2 2
3
2
是
Solution.
1
2 5
6 0
,
2
( ( AB)( AB) B( AA)B BB E.) (3) A是正交矩阵 A1 A; ( AA E.) (4) A是正交矩阵 A也是正交矩阵;
( ( A)A AA AA1 E.)
(5) 方阵A是正交矩阵 A的列( 行)向量组是正交的单位向量组.
Proof.
a11
设
A
a21
6
3 0 4 (2) 1 1 2.
2 0 1 不是
ex2. 若A为正交矩阵,则A*也是正交矩阵. Proof. A为正交矩阵, A1 A, A 1.
又 A* A A1 A A,
( A* )A* A A1 A A1
A A A A1
A A A A1 A 2 AA1
E.
y yy (Px)Px
xPPx xx x . The end
x1 x2
x2 x2
x3
x4
x4 x4
x1 1 0
x2 x3
x2
1 0
x4
0 1
x4 0 1
取3 (1,1,0,0),4 (0,0,1,1).
单位化,
p1
(1 2
,
1 2
,
1, 2
1 ), 2
p2
(1, 2
1 2
,
1 2
,
1 ), 2
p3