酉变换与正交变换
第四章正交变换1
N 1
j
2 ux N
u =0,1, ,N-1
逆变换为：
2 ux j 1 N 1 f( x ) F (u )e N N u 0
x =0,1, ,N-1
第四章 正交变换
9
傅里叶变换（离散）
二维离散傅里叶变换 对于二维傅里叶变换，其离散形式为：
ux vy F (u, v) f ( x, y) exp j 2 M N x 0 y 0
第四章 正交变换
2
傅里叶变换
酉变换 若A为复数矩阵，正交的条件为：
其中A*为A的复数共轭矩阵，满足这个条件的矩阵为酉 矩阵。对于任意向量 的运算称为酉变换：
第四章 正交变换
3
傅里叶变换（连续）
傅里叶变换定义
狄里赫莱条件：有限个间断点；有限个极值点；绝对可积。 一维傅里叶变换 F (u) f ( x)e j 2ux dx
2
如果某一节点为 xl (k ) ，那么，它的对偶节点为
N xl k l 2
l是表明第几次迭代的数字，k是序列的序号数，N是序列长度。
第四章 正交变换 34
傅里叶变换（离散）
例：如果序列长度N=8，求 x2 (1)的对偶节点。 利用上式可得：
N 8 xl k l x2 1 2 x2 (3) 2 2 x2 (1) x1 (1) W80 x1 (3)
M 1 N 1
1 逆变换为：( x, y) f MN 幅度谱、相位谱为：
M 1 N 1
(ux vy) F (u, v) exp j 2 N u 0 0
第四章 正交变换
10
傅里叶变换（离散）
酉矩阵和正交矩阵的性质和应用
正交矩阵与酉矩阵的性质和应用0 前言 (1)1 欧式空间和正交矩阵 (2)1.1 欧式空间 (2)1.2 正交矩阵的定义和性质 (2)1.2.1 正交矩阵的定义和判定 (2)1.2.2 正交矩阵的性质 (3)2正交变换的定义和性质 (12)2.1正交变换定义的探讨 (12)2.2正交变换的判定 (14)2.3正交变换的性质 (15)3正交矩阵的应用 (17)3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (17)3.2利用正交矩阵化二次型为标准形 (22)3.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 (22)3.2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 (23)3.2.3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程 (25)3.3正交矩阵在矩阵分解中的作用 (26)3.4正交矩阵在方程组的求解中的应用 (35)4 酉空间和酉矩阵 (38)4.1 酉空间 (38)4.1.1 酉空间的定义 (38)4.1.2 酉空间的重要结论 (38)4.2 酉矩阵 (40)4.2.1 酉矩阵的定义 (40)4.2.2 酉矩阵的性质 (40)5酉矩阵的应用 (48)5.1酉矩阵在矩阵的分解中的应用 (48)5.2 利用酉矩阵化正规矩阵为对角形矩阵 (54)6 正交矩阵与酉矩阵 (57)7结论 (60)参考文献 (62)致谢 (63)0前言正交矩阵是一类特殊的实方阵,酉矩阵是一类重要的复矩阵,它们的一些特殊性质,使得它在不同的领域都有着广泛的应用,也推动了其它学科的发展. 随着科学技术的迅速发展,特别是计算机的广泛应用,矩阵问题特别是特殊矩阵的性质及其构造越来越受到科学工作者以及工程人员的重视.它不仅局限于一个数学分支,而且许多理工方法和技术的发展就是矩阵理论的创造的应用与推广的结果.在矩阵理论的研究中,正交矩阵与酉矩阵在线性代数、优化理论、计算方法等方法都占有重要的地位.戴立辉等(2002)对正交矩阵进行了详细的研究,得到了正交矩阵的若干性质；2005年,雷纪刚在《矩阵理论与应用》中给出了正交矩阵和酉矩阵的关系并证明了酉矩阵就是等距变换；2006年,苏育才在《矩阵理论》中介绍了酉矩阵的概念的推广和酉矩阵的一系列性质；2008年,吴险峰在《正交矩阵的进一步探究》中给出了正交矩阵和酉矩阵的一些性质定理,这些都为正交矩阵和酉矩阵的应用奠定了基础.在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换.在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要.同样道理,想要得到复空间中保持度量不变的线性变换,就应该对正交变换进行推广,将其推广到复数域上,那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域──酉矩阵.下面将通过矩阵理论的深入研究,对正交矩阵与酉矩阵进行比较,得到了酉矩阵的若干结果.1 欧式空间和正交矩阵1.1 欧式空间设V 是实数域上一个线性空间,在V 上定义了一个二元实函数称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1) (,)(,)αββα=（对称性）;2) ),(),(βαβαk k =（线性）;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+（线性）;4) ),(αα是非负实数,且),(αα当且仅当0=α（正定性）.这里,,αβγ是V 中任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间称为欧式空间.1.2 正交矩阵的定义和性质在欧式空间中,由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来,如果第一组基是标准正交基,同时过渡矩阵是正交矩阵,那么第二组基一定也是标准正交基.1.2.1 正交矩阵的定义和判定正交矩阵有以下几种等价定义及其判定定义1.1 A 为n 阶实矩阵,若A A E '=,则称A 为正交矩阵.定义1.2 A 为n 阶实矩阵,若AA E '=,则称A 为正交矩阵.定义1.3 A 为n 阶实矩阵,若1A A -'=,则称A 为正交矩阵.定义1.4 A 为n 阶实矩阵,若A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向量,则称A 为正交矩阵.由正交矩阵的定义可以推出几个重要的关于正交矩阵的判定定理：判定定理 1 A 为正交矩阵1-='⇔A A .判定定理 2 A 为正交矩阵⇔当且仅当A 的行向量组满足1,0,i j ij i j i j γγδ=⎧'==⎨≠⎩其中n j i ,,2,1, =且ij δ是)ker(克朗内克Kronec 记号.即A 的行向量组是欧几里得空间的一个标准正交基.证明 A 为正交矩阵E AA =⇔'()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='''⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔10000100001,,,21n 21 n γγγγγγ ⇔1,,1,2,,0,i j ij i j i j n i j γγδ=⎧'===⎨≠⎩,其中.判定定理 3 A 为正交矩阵⇔当且仅当A 的列向量组满1,0,i j ij i j i jααδ=⎧'==⎨≠⎩.其中n j i ,,2,1, =且ij δ是ker Kronec 记号.即A 的列向量组是欧几里得空间的一个标准正交基.证明 A 为正交矩阵E A A ='⇔()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''⇔10000100001,,,2121 n n αααααα ⇔1,1,2,...0,i j ij i j i j n i jααδ=⎧'====⎨≠⎩,其中.例1.1 判断矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A (其中θ是实数)是否是正交矩阵. 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθθθθθcos sin sin cos cos sin sin cos 'AA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001. 因此A 是正交矩阵.1.2.2 正交矩阵的性质性质1 设A 为正交矩阵,则 1) 1A =±；2) A 可逆,即1A -存在,其逆1A -也是正交矩阵；3) ,A '*A 也是正交矩阵.并且当A 为)2(>n n 阶正交矩阵时,当1=A 时,*A A =',即ij ij A a =;当1-=A 时,,*A A -='即ij ij A a -=.证明 1) 由AA E '=,可知21A =,则1A =±.对正交矩阵A ,当1A =时,我们称A 为第一类正交矩阵；当1A =时,则称A 为第二类正交矩阵.2) 由,E A A ='可知A 可逆且.1A A '=-又111)()()(---==''='A A A A ,故1A -是正交矩阵.3) 由1)知1A A -'=,A '是正交矩阵.而由*11A A AA --==±,可以得出 ()()()1*1*A A A A --''=±=±=,故*A 是正交矩阵.由*11,A A A A A -'=±==,当1A =时,*A A '=,即ij ij a A =;当1A =-时,*A A -=',即ij ij a A =-.性质2 设,A B 都是n 阶正交矩阵,则1) AB ,m A (m 为自然数),A B ',AB ',1A B -,1AB -,1A BA -等都是正交矩阵.2) 00A A A B A A ⎛⎫⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎭也是正交矩阵. 3) 准对角矩阵()s A A A ,,,diag 21 为正交矩阵s A A A ,,,21 ⇔均为正交阵.证明 1)由11,A A B B --''==可知111)()(---==''='AB A B A B AB ,所以AB 为正交矩阵.从而再由性质1可推知m A (m 为自然数),A B ',AB ',1A B -,1AB -,1A BA-等均为正交矩阵.2) 因为11100000000A A A A B B B B ---''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 及A A A A A A A A '⎡⎤⎡⎤⎫⎫⎥⎥⎪⎪--⎭⎭⎦⎦A A A A A A A A ''-⎫=⎪''-⎭20010202A A E A A E '⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭故00A A A B A A ⎛⎫⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎭是正交矩阵. 3) 准对角矩阵()s A A A ,,,diag 21 为正交矩阵⇔()()()E A A A A A A s s =',,,diag ,,,diag 2121s i E A A i ,,1, =='⇔s A A A ,,,21 ⇔均为正交阵.()iv a a ⎡⎥-⎦. 其中11a -≤≤;性质5 )1设,A B 为n 阶正交矩阵,且A B =-,则A B +必不可逆,即0A B +=； )2设,A B 为奇数阶正交矩阵,且A B =,则必A B -不可逆,即0A B -=； )3设A 是第二类正交矩阵,则E A +必不可逆；)4设A 是奇数阶第一类正交矩阵,则E A -必不可逆.证)1A B BB A BA A B B A A ''''+=+=+B A B A A B B +-='+-='+'-=)(2, 得0A B +=,即A B +不可逆.)2A B BB A BA A B B A A ''''-=-=-B A B A A B B n --='--='-'=)1()(2知当n 为奇数时,A B A B -=-- ,即0A B -=.从而A B -不可逆.充分性. 设对任意的n 阶矩阵B 错误!未找到引用源。
基本图像变换
3. 2-D可分离变换的计算
N 1 N 1
T (u,v) f (x, y)h1(x,u)h2 ( y,v) x0 y0
u,v 0,1,2, , N 1
首先，沿f(x,y)的每一列进行1-D变换得到：
N 1
T (x,v) f (x, y)h2 ( y,v)
x,v 0,1,2, , N 1
BTB BAFAB
如果B=A-1,则：F BTB
如果B不等于A-1,则得到F的一个近似：Fˆ BAFAB
利用矩阵形式的优点是：所得到的变换矩阵可分解 成若干个具有较少非零元素的矩阵的乘积，可减少冗余 和操作次数。
在B=A-1的基础上，如果A-1=A*,则称A为酉矩阵，相应 的变换为酉变换。如果A为实矩阵A-1=AT,则称A为正交矩 阵，相应的变换为正交变换。
3.1 傅立叶变换
3.2 离散余弦变换
3.3 Hough变换
3.4 小波变换
3.1 可分离和正交图像变换
图像变换的定义
将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一 些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的 加工，最后在转换回图像空间以得到要求的效果。这些转 换方法就被称为图像变换技术。
变换是双向的，将从图像空间像其他空间的变换称为 正变换，而将从其他空间向图像空间的变换称为反变换或 逆变换。
一、可分离变换
1.1-D可分离变换
N 1
T (u) f (x)h(x,u) x0
u 0,1,2, , N 1
T(u)为f(x)变换，h(x,u) 称为正向变换核。同理，反变
换可以表示为：
C(u) a(u)exp[ ju /(2N)][g(x)] u 0,1,2, , N 1
其中，g(x)表示对f(x)的如下重排：
酉空间及其重要的线性变换
酉空间及其重要的线性变换酉空间定义1设V是复数域C上的一个向量空间．若V中任意一对向量α，β，有一个确定的复数<α,β>与它们对应，叫做α与β的内积，并且对于∀α，β，γ∈V，k∈C，以下条件成立：1)〈α,β〉=〈αβ,〉，〈αβ,〉是〈β,α〉的共轭复数；2)〈α+β,γ〉=〈α,γ〉+〈β,γ〉；3)〈kα,β〉=k〈α,β〉；4)〈α,α〉是非负实数，并且当α≠θ时〈α,α〉＞0，则称V对于这个内积是一个酉空间．例1在C n里，对于任意两个向量α= (x1，…，x n)，β= (y1，…，y n)，规定，〈α,β〉=n n y x+yx+11则C n对于这个内积作成一个酉空间．设V是一个酉空间．由定义可以直接推出，〈α,β＋γ〉=〈α,β〉＋〈α,γ〉；(1)〈α,k β〉=k 〈α, β〉 ,k是k 的共轭复数；(2)〈α, θ 〉=〈θ , α〉=0． (3)由(1)和(2)，设∀αi ，βj ∈V ，a i ，b j ∈C ，i =1，…，m ；j =1，…，n ，则 j i m i n j j i n j j j mi i i b a b a βαβα，，∑∑∑∑=====1111． (4)因为对于∀α∈V ，〈α, α〉是一个非负实数，所以在酉空间V 中，可以像Euclid 空间那样，定义向量α的长度为|α| =αα,．这样，V 中任意非零向量的长度总是一个正实数，长度是1的向量称为单位向量．显然，∀k ∈C ，α∈V ，都有||||||ααk k =． (5) 在一个酉空间中，Cauchy-Schwarz 不等式仍然成立．设∀α，β∈V ，则2βα，≤ββαα，，， (6)当且仅当α与β线性相关时等号成立．在一个酉空间中，内积一般是一个复数，因此不能像Euclid空间那样，合理地定义两个非零向量的夹角，但是仍然可以定义两个向量正交的概念．酉空间中两个向量α与β说是正交的，若〈α,β〉= 0．在一个酉空间里，同样可以定义正交组和标准正交组的概念．酉空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组．若一个正交组的每一个向量都是单位向量，则称这个正交组是一个标准正交组．定理1在酉空间里仍然成立．在一个有限维酉空间V中，同样可以定义正交基和标准正交基的概念．Gram-Schmidt正交化方法对于酉空间的向量仍然适用，并且对于V的任意一个基，可以通过正交化方法将它化为标准正交基．设W是酉空间V的一个有限维子空间，令W⊥={α∈V|〈α,β〉=0，∀β∈W}．则W⊥也是V的子空间，叫做W的正交补．与定理9.3.2相平行，我们有V=W⊕W⊥．(7)与正交矩阵相平行的概念是酉矩阵．设U =(u ij )nn ∈M n (C )，记nn ij u U )(=(ij u 是u ij 的共轭复数)，U U H '=．定义2 一个n 阶复矩阵U 叫做一个酉矩阵，若n I U U UU H H ==．定理2 n 维酉空间的一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵是一个酉矩阵．2 酉变换与对称变换在酉空间中，与Euclid 空间的正交变换相平行的概念是酉变换．定义3 酉空间V 的一个线性变换σ叫做一个酉变换，若对于∀α，β∈V ，都有〈σ(α),σ(β)〉= 〈α, β〉．与定理9.4.2相平行，我们有定理3 设σ是n 维酉空间的一个线性变换，则下列陈述彼此等价：1)σ是酉变换；2)若α1，…，αn 是V 的一个标准正交基，则σ(α1)，…，σ(αn )也是V 的一个标准正交基；3)σ在V的任一标准正交基下的矩阵是酉矩阵．进而介绍酉空间的对称变换，引入定义4酉空间V的一个线性变换σ叫做一个对称变换，若∀α,β∈V，都有〈σ(α),β〉=〈α,σ(β) 〉．定义5设A∈M n( C)．若A H=A，则称A是一个Hermite矩阵．显然，实对称矩阵是Hermite矩阵的特殊情形．与定理9.5.1和9.5.2相平行，我们有定理4设σ是n维酉空间V的一个线性变换，则σ是对称变换，当且仅当σ在V 的任意标准正交基下的矩阵是Hermite矩阵．对称变换和Hermite矩阵还有以下性质．定理5设σ是n维酉空间的一个对称变换，那么1)σ的特征值都是实数；2)σ的属于不同特征值的特征向量彼此正交；3)存在V 的一个标准正交基，使得σ在这个基下的矩阵是实对角矩阵．证 我们只证1)，其余的证明留给同学们完成．设λ∈C 是σ的一个特征值，α是属于λ的一个特征向量．则ααλλααασααασαλαααλ,,)(,),(,,=====．因为〈α, α〉≠0，所以必须λλ=，即λ是实数．定理6 设A 是一个n 阶Hermite 矩阵，则存在一个n 阶酉矩阵U ，使得U H AU =U－1AU 是一个实对角矩阵，即任意Hermite 矩阵都“酉相似”于一个实对角矩阵． 3 Hermite 型在§1中，我们已经阐述了n 维Euclid 空间的度量矩阵．类似地，我们来看酉空间V 中的内积．在V 中取一个基nαα,,1 ，构造矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n A αααααααααααααααααα,,,,,,,,,212221212111 ， (8)这个矩阵是由酉空间V 中的内积以及基n αα,,1 唯一决定的，叫做V 的基n αα,,1 的度量矩阵．由于A 的(i ，j )元素是j i αα,，而A H 的(i ，j )元素是i j αα,=j i αα,，所以A H =A ．这表明，酉空间V 的内积在V 的任意一个基下的度量矩阵A 是Hermite 矩阵．设A =(a ij )nn ，∑∑==ii i i y x αβαα,，则 ∑∑∑∑∑∑===i j i j j i ij j i j i j jj i i i y x a y x y x ),(,,ααααβα， (9)特别地，当β=α时，有∑∑=i j ji ij x x a αα,．定义6 n 个复变量x 1，…，x n 的表达式∑∑=i j ji ij n x x a x x f ),,(1 ， (10)其中a ji =ij a ，叫做一个n 元Hermite 型；矩阵A =(a ij )nn 称为Hermite 型f (x 1，…，x n )的矩阵，它是一个Hermite 矩阵．设X '=(x 1，…，x n )，则Hermite 型(10)可写成 ∑∑=i j H ji ij AX X x x a ． (11)因此，酉空间的内积与Hermite 型有着密切的联系．由于Hermite 型(10)的矩阵是Hermite 矩阵，因此AX X X A X AX X AX X AX X H H H H ==''='=)(．这表明X H AX 总是实数．再注意到上述定理，知道n 阶Hermite 矩阵A 酉相似于一个实对角矩阵D =diag{d 1，…，d n }，即存在一个酉矩阵U ，使得U －1AU =D ．令X =UY ，其中Y '= (y 1，…，y n )，则X H AX =Y H U H AUY =Y H U－1AUY =Y H DY =n n n y y d y y d y y d +++ 222111．(12) 这证明了定理7 对于Hermite 型f (x 1，…，x n )=XH AX ，存在酉线性替换X ＝UY (即U 是酉矩阵)，使得f (x 1，…，x n )=nn n y y d y y d ++ 111，(13)其中d 1，…，d n 是A 的全部特征值，它们都是实数．定义7 若对于∀α∈C n ，且α≠0，都有αH Aα＞0，(14) 则称X H AX是一个正定Hermite型．一个正定Hermite型X H AX的矩阵A称为正定Hermite矩阵．正定Hermite矩阵与第五章§4所说的实正定矩阵有相平行的结果，即定理8设A是一个n阶Hermite矩阵，则下列陈述彼此等价：1)A是正定Hermite矩阵；2)对于任意n阶复可逆矩阵P，P H AP 是正定Hermite矩阵；3)A的特征值全大于零；4)存在n阶可逆复矩阵P，使P H AP=I n；5)A可以分解成Q H Q，其中Q是n阶可逆复矩阵；6)A的所有顺序主子式全大于零．证1)⇒2) 任取α∈C n，且α≠0，则Pα≠0．因为A是正定Hermite矩阵，所以αH (P H AP)α=(Pα)H A(Pα)＞0．因此P H AP是正定Hermite矩阵．2) ⇒3) 由假设，A 是Hermite 矩阵．于是存在酉矩阵U ，使U －1AU =diag(n λλ，， 1)＝D其中λi 是实数，i =1，…，n ．由假设，U －1AU是正定Hermite 矩阵，由此推出e i H De i >0，即λi ＞0，i =1，…，n ．3) ⇒4) 因为A 是Hermite 矩阵，所以存在酉矩阵U ，使得U －1AU =diag(n λλ，， 1)其中λi >0，i =1，…，n ．令Q =diag(n λλ,,1 )则 U －1AU =QQ ，从而Q －1U －1AUQ －1=I n ．令P =UQ －1，则P H =(UQ －1)H = Q －1U H = Q －1 U －1．于是P H AP =I n ．4) ⇒5) 由假设P H AP =I n ，于是A =(P H )－1P －1．令Q =P －1，则11111)()()()()(-----='='='==H H H P P P P P Q 所以A =Q H Q ．5) ⇒1) 设A =Q H Q ，其中Q 可逆．任取α∈C n 且α≠0，有ααααQ Q A H H H =．设)()(1n c c Q ，， ='α，则22111n n n c c c c c c A H ++=++= αα＞0．所以A 是正定的Hermite 矩阵．1)⇔ 6)。
图像的正交变换.
g (3)
x(2)
g(N
)
g(N 1)
g(1) x(N )
• 对于一个线性系统，对于输入信号矢量
与信号输出矢量间的关系矩阵若是正交
的且满足逆矩阵与共轭矩阵的转置相等，
则该处理过程为酉变换，关系矩阵为酉
矩阵。
若一组向量集合
a11
•
for(int fi=0;fi<fftWidth;fi++) {
•
fRData[fi]=0; fIData[fi]=0;
•
}
•
for(DWORD j=0;j<fftWidth;j++){
•
fRData[j]=ptrRData[i+j*fftWidth];
•
fIData[j]=ptrIData[i+j*fftWidth];
一般用“*”表示卷积，写为：y(t) g(t) * x(t)
卷积的离散形式为: y(i) g(i) * x(i) g( j)x(i j)
j
卷积的矩阵形式为: g(1) g(N ) g(2) x(1)
y(i)
g(i) *
x(i)
G
x
g (2)
g (1)
F(u) 1 N1 f (x) exp j2ux / N
N x0
N 1
f (x) F(u) exp j2ux / N u0
其中：x 0,1,2, N 1 0,1,2, N 1
F(u) F(uu) u 0,1,2,, N 1
第3章 图像处理中的正交变换
3. 周期性 傅立叶变换和反变换均以N为周期，即：
F(u,v)=F(u+N,v)= F(u,v+N)=F(u+N,v+N) (3-24)
周期性表明： 尽管F(u,v）对无穷多个u和v的值重复出现， 但只要根据任意周期内的N个值就可以从F(u,v） 得到f(x,y)。即只需一个周期内的变换就可以将 F(u,v）完全确定。 对于f(x,y)在空间域里也同样成立。
1 M 1N 1 ux vy f ( x, y ) = ∑ F (u, v) exp j 2 M + N ∑ MN u=0 =0 x = 0,1,2,, M 1 y = 0,1,2,, N 1
(3—15)
在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情 况下总是 M N 。因此，二维离散傅里叶变换多采 用下面两式形式。
(3—17) 式中符号 F (u , v) 可称为空间频率。
a) 原始图像
b) 离散傅立叶频谱
图3-5 二维图像及其离散傅立叶频谱的显示
在图3-5b中可以看到图像的低频能量（反映景物的概貌）都集 中在中心部分，而高频能量（反映景物的细节）集中在四周，这样 就便于以后对图像频谱进行各种处理（如滤波、降噪等）。
4. 共轭对称性
如果
F (u , v)
是
f ( x , y ) 的傅里叶变换， * (u,v) F
是 f ( x , y ) 傅里叶变换的共轭函数， 那么
F (u, v) F * (u,v)
（3－25）
5. 旋转性
如果空间域函数旋转的角度为 0 ，那么在 变换域中此函数的傅里叶变换也旋转同样的角度， 即
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 1.可分离性 式（3－16）和（3－17）可以分离成如下形式：
2-4 酉(正交)变换与正交投影
P 2 UU H）（UU H ) U (U H U )U H UU H P （
H P H UU H） UU H P （ 充分性。 因为E=P+(E-P) 到R(P)的正交投影 P是酉空间Cn ，所以
x C n , x Px ( I P ) x
C n R( P ) R( I P )
重点： 施密特正交化方法；正交子空间及其正交补；
正交投影；酉变换；算子范数；相容性
难点： 正交基及子空间的正交关系，算子范数及其与
向量范数的相容性
☆
在第一章中，我们看到线性空间上的线性变 换是能够保持向量的加法与数乘两种运算的变换
☆ 那么到了酉（欧式）空间中，这种线性变换是 否能保持向量的度量性质的不变呢？ ☆ 由于度量性质是由内积定义的，所以接下来研 究保持内积不变的酉（正交）变换。
2 解答 (1) 因为L的标准正交基是 5
P 2 5 2 1 5 5 4 1 5 2 5 5 2 5 1 5
1 1
的正交投影。
1 5
T
(2)
4 5 PL：PL ( x ) Px 2 5
PL2 ( x ) PL ( x1 ) x1 PL ( x )
作为线性变换，经常称正交投影在自然基底下的矩阵为 正交投影矩阵，记为P, 不发生混淆的情况下，也称为正 交投影。正交投影记为 PL：PL ( x ) Px
定理3 设PL是酉空间Cn到L正交投影， u1，u2 , , ur
第二章 内积空间与赋范线性空间
1 2
欧氏空间与酉 空 间
标准正交基与向量的正交化
正交子空间 酉(正交)变换与正交投影 向量范数与矩阵范数 向量范数与矩阵范数的相容性
酉(正交)变换
P = PL
2 L
Department of Mathematics
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化成正交向量组 β 1 , β 2 ,L , β m .
β 1 = α1 , β 2 = α 2 − ( β 1 , α 2 ) β 1
(β1 , β1 ) (β1 ,α 3 ) (β 2 ,α 3 ) β3 = α3 − β1 − β2 (β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
M
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二. 正交投影 定义: 设酉（欧氏） 定义 设酉（欧氏）空间 V = L ⊕ M , L ⊥ M , 的线性变换， ∀x ∈ V , x = x1 + x 2 , T 为 V 的线性变换， x1 ∈ L, x2 ∈ M , 有：T ( x ) = x 1 正交投影,记为 则称 T 为 V 到 L 的正交投影 记为 PL 性质1 性质 性质2 性质 正交投影是线性变换 是酉（欧氏） 设 PL 是酉（欧氏）空间 V 到 L 的正交 投影， 投影，则：
5, n维欧氏空间V的子空间 满足 的子空间W满足 维欧氏空间 的子空间 满足: i) (W ⊥ )⊥ = W
dimW + dimW ⊥ = dimV = n ii)
iii) W ⊕ W = V 必是W的余子空间 的余子空间. ⅳ) W的正交补 W ⊥必是 的余子空间 的正交补
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2． 维欧氏空间 的每个子空间 V1 都有 ． 维欧氏空间V的每个子空间 n 唯一正交补. 唯一正交补 3. 两两正交的子空间的和必是直和． 两两正交的子空间的和必是直和．
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于是
U y1U1 y2U2 L ynUn
(U, U) x1 y1 x2 y2 L xn yn (, )
即 U 是酉变换.
2020年2月25日1时8分
Huaiyin Institute of Technology
定理 U是n维酉空间V上的线性变换,则下列等价 1) U是一个酉变换;
酉变换与正交变换(续)
2020年2月25日1时8分
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上节回顾：酉变换
• 数域F上内积空间V上的保长变换
f (v) v v V
• 数域F上内积空间V上的保内积变换 ( f (), f ( )) (, )
• 数域F上内积空间V上保长变换与保内积变换等价性
证明 设 O , O , .
(O
T
)
TOT
T.
则有 T TOTO TO T. i.e., (1 ) T 0.
但， (1 ) 0. （思考?） 故 T 0.
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2) U(v) v v V;
3) (U (),U ( )) (, ) , V; 4) U把标准正交基变为标准正交基;
5) U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.
推论 下列命题等价：
1) U 为酉阵；
2）
U
T
U
E
or
T
UU
E
；
3）U T U 1 ；
2 )
4）U 为标正基到标正基的过渡矩阵.
显然、
A A
A 1
A
1
=1 从而 1.
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正交变换
• 性质3 正交矩阵的对应于不同特征的特征向量正交.
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作业 • Page294 9.4.2, 9.4.3
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第五节 实对称矩阵相似对角化
一. 实对称矩阵的特征值和特征向量 二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵
–a11
|E–A| =
–a21 …
2020年2月25日1时8分
–an1
–a12 … –a1n
–a22 … –a2n
…… …
–an2 … –ann
5) U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.
证明(续) 5) 1):
设 U 在标准正交基1，2，，n 下的矩阵 A 是
酉矩阵.因 n (Uei , Uej ) ( akiei , k 1
n
n
akje j ) = akj akj
k 1
k 1
1i j
0
i
. j
2 )
4) O把标准正交基变为标准正交基; 5) O在标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
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正交变换
推论 下列命题等价： 1) O 为正交阵； 2） OTO E or OOT E ； 3） OT O1 ； 4） O 为标正基到标正基的过渡矩阵.
2020年2月25日1时8分
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正交变换
• 正交变换定义 实数域上内积空间V到V自身上的保长线性变换
定理 O是n维欧氏空间V上的线性变换,则下列等价 1) O是一个正交变换;
2) O(v) v vV;
3) (O(),O( )) (, ) , V;
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故U1,…,Un 也是标准正交基.
设 = , = , x11 x22 xnn y11 y22 ynn 则
U x1U1 x2U2 L xnUn
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上节回顾：酉变换
• 酉变换定义
复数域上内积空间V到V自身上的保长线性变换 • 酉变换判定定理
定理 U是n维酉空间V上的线性变换,则下列等价 ⑴ U是一个酉变换;
⑵ U(v) v v V; ⑶ (U (),U ( )) (, ) , V;
性质1 正交矩阵的行列式只可能为1或-1 .
正交变换进行分类:如果正交变换A在某一组基下 的矩阵的行列式为1,则称A为第一类正交变换;如果行 列式为-1,则称A为第二类正交变换.
2020年2月25日1时8分
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正交变换
• 性质2 正交矩阵的特征值的绝对值等于1.
2020年2月25e of Technology
特征值、特征向量
特征值
特征矩阵 A =
特征向量
E–A (E–A) = 0
特征多项式
|E–A| = 0
(characteristic polynomial)
特征方程
(characteristic equation)
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上节回顾：酉变换
• 数域F上内积空间保长同构
线性空间同构 保长或保内积
• 数域F上有限n维内积空间保长同构性质及判定方法
• V≌ Fn
• 两有限维内积空间保长同构的充要条件 维数相同。
2020年2月25日1时8分
⑷ U把标准正交基变为标准正交基; ⑸ U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.
2020年2月25日1时8分
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定理 U是n维酉空间V上的线性变换,则下列等价 1) U是一个酉变换;
2) U(v) v v V;
3) (U (),U ( )) (, ) , V; 4) U把标准正交基变为标准正交基;