正交变换的实例
9.4正交变换
必要性。若 σ 是正交变换，由定理9.4.2知 σα1 , σα 2 , 也是V的一个标准正交基。 故A是正交矩阵。
定理9.4.3 设 σ 是n维欧氏空间V的一个线性变换。 σ 是 正交变换的充要条件是：σ 关于V的任意标准正交基的矩阵是正 交矩阵。 证明： 设 α1 , α 2 , , α n 是V的一个标准正交基，则 (σα1 , σα 2 , , σα n ) = (α1 , α 2 z ) = ( x, y, − z ) = x 2 + y 2 + z 2 = ( x, y, z )
定理9.4.1 设 σ 是n维欧氏空间V的一个线性变换。 σ 是 正交变换的充要条件是： σ 保持向量的内积不变。 证明：必要性。 如果 σ 是正交变换，即对 ∀α ∈ V , σα = α , ∀α , β ∈ V , 则有： (σα , σα ) = (α , α ), (σβ , σβ ) = ( β , β ),
§9.4
正交变换
§9.4
正交变换
一、正交变换的定义及性质 二、正交变换的类型
第九章 欧几里得空间
线性空间的线性变换，实际上是保持向量线性运算的变换。 在欧氏空间中，除了向量的线性运算外，还有向量的度量性质， 因此有必要讨论保持度量关系不变的线性变换。其中保持长度 不变的线性变换无疑是重要的。 例9.4.1 在欧氏空间 R 2 中有一个坐标旋转变换，在把平面 围绕原点逆时针旋转 θ 角之后，平面上向量之间什么关系保持 不变? 向量的长度、向量的夹角、向量的距离等保持不变。 能否在一般欧氏空间也找到具有这种性质的线性变换？ 这种线性变换就是本节要研究的正交变换。
σ −1 仍是V的一个正交变换。 解： 正交变换 σ 在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵， 正交矩阵是可逆的，所以 σ 是可逆变换。
数字信号处理 第04章 正交变换
给定：
x(n), n = 1, 2, , N
DST
定义： X s (k) =
∑ 2 N
nkπ
x(n) sin( )
N +1 n=1
N +1
k = 1, 2, , N
反变换： x(n) =
∑ 2
N +1
N k =1
X
s
(k
)
sin(
nkπ )
N +1
n = 1, 2, , N
y = Ax 3. 反变换： x = A−1 y = AT y
不需要求逆，特别有利于硬件实现
性质2：展开系数是信号在基向量上的
准确投影 ϕ2
α2
α3
ϕ3
x
α1
ϕ1
非正交基的情况下，“基向量”称为“标架 （Frame)”, 这时，展开系数不是准确投影。
性质3：正交变换保证变换前后信号的能量不变，
此性质又称为“保范(数)变换”。
2N
DCT 反变换
一阶马尔可夫过程（Markov-1):语音和图象处 理中常用的数学模型。一个随机信号 ，若其 pdf满足如下关系
p[ X (tn+1) ≤ xn+1 X (tn ) = xn , X ( tn−1) = xn−1, , X ( t0 ) = x0 ]
= p[ X (tn+1) ≤ xn+1 X (tn ) = xn ], X (tn ) X (n)
即为正交变换，或保范（数）变换
AN×N 实际上是正交矩阵， AT = A−1
(二)、正交变换的性质：
性质1：正交变换的基向量即是其对偶基
数字信号处理-正交变换
的根
必有： j 0, j 1, N 1,
再由：
0 N
将
0 N j 0, j 1, N 1,
代入
正是DCT变 换矩阵！
经化简
结论：当 1 时，对Markov-1过程做
K—L变换的正交矩阵正是DCT变换的变换矩 阵，也即：此时的DCT近似K—L变换。因为 DCT有快速算法，另外， Markov-1过程可作 为一大类信号（语音、图象）的数学模型，因 此 DCT在图象、语音压缩中起到了关键性的 作用，成为国际上许多标准（如 JPEG, MPEG） 的重要工具。 下图是 N 8, 0.95 时 K—L变换矩阵、 DCT 变换矩阵、DST 变换矩阵的行向量。
x
的表
示必然存在信息冗余，且对偶向量不唯一。
i 可能构成一个“标架（Frame)”;
3. 如果
i 是完备的，且是线性无关的，
则它构成 X 中的一组基向量，这时其对偶 向量存在且唯一，即存在前述的双正交关系； 这时的基称为 Riesz 基。
4. 如果
则
ˆi i
i 1,2,, N
Cx (i, j ) Cx ( j, i)
K—L 变换的思路： 寻找正交矩阵 A ，做变换 y Ax ， 使 y 的协方差阵 C y 为对角阵。
这样
y [ y(0), y(1),, y( N 1)]
T
如 何 实 现
之间彻底去除了相关性。
步骤：
1. 由 求 的特征值
2. 求
的 N 个特征向量
C x E ( x x )( x x )T c0,1 c0,0 c1,0 c1,1 cN 1,0 cN 1,1 c0, N 1 c1, N 1 cN 1, N 1
空间解析几何-第5章 正交变换与仿射变换ppt课件
易证,1—1对应的逆映射也是1—1对应,1—1对应的乘积 也 是
1—1对应,映射的乘法满足结合律。 定义1.3 设σ:S→S是一变换,若对a∈S,满足σ(a)=a,则称
a是σ的不动点,｛a∈S|σ(a)=a｝称为σ的不动点集。
精选课件
co ssin x aco sbsin
:P x ,y s iP n"c x " ,o y " s y P ' x a's,y i'n 则b σcτ的o 公 s式为：由
x' 1 0x" a 1 0cos sinx a
y'
0
1y"b 0 1 sin cos y b
精选课件
20
§3 平面的仿射变换
比正交变换较为广泛的一种点变换就是本节将要讨论的
仿射变换。在这里为了简单起见,不同于前节用几何特征来定
义正交变换,我们直接用变换公式给出仿射变换的定义，并用
这公式研究仿射变换的一些性质。
1. 仿射变换的定义和例子
定义3.1 平面的一个点变换τ，如果它在一个仿射坐标系
, cab
并且
c,由' 于aσ'把一b'个三角形变成一个与之全等的三
角形,又可得c到ab 。简短地说,正交变换保持向量
的线性关系
不变。于是有
精选课件
14
性质6 正交变换保持向量的内积不变,保持向量的线性关
系不变。
2.正交变换的坐标表示和基本定理
取平面直角坐标系O;e1,e2,设正交变换σ将点P(x,y)变换
P'Q' | PQ|0 , 因此，P',Q'也是不同的两点,即σ为单射。
正交变换法化二次型为标准型例题
正交变换法化二次型为标准型例题正交变换是线性代数中一个重要概念，它可以帮助我们将一个复杂的二次型化简为标准型，从而更好地理解和分析问题。
在本文中，我们将以正交变换法化二次型为标准型为主题，深入探讨其原理、方法和应用，并提供一个具体的例题来帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
1. 正交变换的概念和原理正交变换是指一个线性变换，在这个线性变换下，原来的向量空间中保持内积不变。
简单来说，就是变换后的向量之间的夹角保持不变。
在实际应用中，我们通常使用正交矩阵来进行正交变换，因为正交矩阵的行向量（或列向量）是两两正交彼此且模为1的向量。
2. 正交变换法化二次型为标准型的方法对于一个二次型矩阵A，我们可以通过正交变换将其化为标准型。
简单来说，就是存在一个正交矩阵P，使得P^TAP为对角矩阵。
这样做的好处在于，通过正交变换，我们可以将原来复杂的二次型化为易于分析和理解的标准型，从而更好地研究其性质和特点。
3. 一个具体的例题：将二次型矩阵化为标准型假设我们有一个二次型矩阵A，如下所示：A = [[3, 0, 0],[0, 2, -1],[0, -1, 2]]现在我们希望通过正交变换将其化为标准型。
我们可以按照以下步骤进行操作：（1）求出A的特征值和特征向量。
（2）将特征向量组成正交矩阵P。
（3）计算P^TAP，得到标准型矩阵。
通过具体的计算，我们可以得到最终的标准型矩阵B，如下所示：B = [[3, 0, 0],[0, 1, 0],[0, 0, 3]]4. 总结和回顾通过以上例题，我们深入探讨了正交变换法化二次型为标准型的方法，从而更好地理解了这一概念和原理。
通过正交变换，我们可以将原来复杂的二次型化为标准型，更好地研究其性质和特点。
这对于线性代数和数学分析领域的学习和研究具有重要意义。
5. 个人观点和理解我个人认为，正交变换法化二次型为标准型是线性代数中一个重要且实用的技巧。
通过正交变换，我们可以将复杂的二次型化简为简单的标准型，从而更好地理解和分析问题。
M正交变换和仿射变换
如果保持所有的点不动，即是一个恒等变换
那 么 就 有 = ， 这 和 不 是 刚 体 运 动 矛 盾 .所 以
所以不能保持所有的点不动.
设 P 是 的 动 点 , 记 P ' = ( P ).
由 于 是 正 交 变 换 ， 所 以 的 不 动 点 都 会 位 于 PP ' 的 垂 直 平 分 面 P上 .
设 P1 , P2 , P3 是 直 线 l 上 的 三 点 ， 经 过 仿 射 变 换 变 成 直 线 l ' 上 ' ' ' ' ' ' ' ' 的 三 点 P1 , P2 , P3 .如 果 P1 P 2 P2 P3 , P1 P2 P2 P3 , 要 证 明 = '
，
那 么 是 一 个 保 持 A ' B ' C ' 不 变 的 正 交 变 换
A ' B ' C ' A ' B ' C '.
同 时 , ( P ) ( ( P ))
-1
正交变换
( ( P )) ( P ),
这 表 明 = .
例 题 2： 分 别 对 于 两 个 相 交 平 面பைடு நூலகம்的 两 个 反 射 的 乘 积 是一个旋转.
作业
7，10，11
复习：坐标变换
旧 坐 标 系 [ O , e1 , e 2 , e 3 ]
O ( a1 , a 2 , a 3 )
'
新 坐 标 系 [ O , e1 , e 2 , e 3 ] ' O O a 1 e1 a 2 e 2 a 3 e 3 .
用正交变换将二次型化为标准型例题
用正交变换将二次型化为标准型例题正交变换是线性代数中非常重要的概念，它能够将一个二次型矩阵化为标准型。
在本文中，我们将以一个具体的例题来说明如何使用正交变换将二次型化为标准型，帮助读者更深入地理解这一概念。
1. 例题描述假设有一个二次型矩阵Q如下：\[Q = \begin{bmatrix}2 & -1 & 0 \\-1 & 2 & 0 \\0 & 0 & 3 \\\end{bmatrix}\]我们的任务是使用正交变换将这个二次型矩阵化为标准型，并进行必要的计算和推导过程。
2. 步骤一：寻找正交矩阵我们需要寻找一个正交矩阵P，使得\[P^TQP = D\]其中D是一个对角矩阵，称为标准型矩阵。
3. 寻找特征值和特征向量我们先计算二次型矩阵Q的特征值和特征向量。
计算得到特征值为1，3，3，对应的特征向量分别为\[v_1 = \begin{bmatrix}1 \\-1 \\0 \\\end{bmatrix},v_2 = \begin{bmatrix}0 \\0 \\1 \\\end{bmatrix}\]4. 步骤二：构造正交矩阵接下来，我们可以使用特征向量构造正交矩阵P。
根据特征向量的定义，我们可以取单位化后的特征向量作为P的列向量，即\[P = \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\-\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\0 & 1 \\\end{bmatrix}\]5. 步骤三：进行正交变换现在，我们可以进行正交变换，计算\[P^TQP\]的结果。
将P带入计算，得到\[P^TQP = \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 3 \\\end{bmatrix}\]6. 总结与回顾通过以上步骤，我们成功地使用正交变换将二次型矩阵Q化为标准型矩阵。
这说明正交变换在矩阵化简中的重要性和应用价值。
线性代数课件7-3正交变换
05
正交变换在信号处理中的 应用
信号分解与合成原理介绍
信号分解
将复杂信号分解为一系列简单信 号的过程，这些简单信号通常是 正交基函数的线性组合。
信号合成
将分解得到的简单信号按照一定 规则重新组合，以恢复或逼近原 始信号的过程。
正交基函数
一组满足正交性条件的函数，用 于表示信号空间中的任意信号。 常见的正交基函数包括正弦函数、 余弦函数、小波基函数等。
曲线和曲面形状描述及性质分析
曲线形状描述
通过正交变换可以对曲线进行形 状描述，如曲线的弯曲程度、拐 点等性质可以通过正交变换进行
分析。
曲面形状描述
正交变换也可以用于曲面的形状描 述，如曲面的弯曲程度、法线方向 等性质可以通过正交变换进行分析。
性质分析
通过正交变换可以分析曲线和曲面 的性质，如曲线的长度、曲面的面 积等性质可以通过正交变换进行计 算和分析。
小波变换原理及实现方法
小波变换原理
小波变换是一种时频分析方法，通过伸缩和 平移小波基函数来匹配信号的局部特性。与 傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时频 分辨率和局部化特性，适用于非平稳信号的 分析和处理。
实现方法
小波变换的实现包括连续小波变换（CWT） 和离散小波变换（DWT）两种方法。CWT 通过连续变化的小波基函数对信号进行匹配， 可以得到信号的时频分布；DWT则通过离 散化的小波基函数对信号进行分解和重构， 可以实现信号的压缩和去噪等应用。
通过正交变换得到的标准型具有唯一性，即不依赖于正交矩阵的选择。
02
正交变换的求解方法
施密特正交化过程
01 选择一组线性无关的向量作为起始向量组。
02
对起始向量组进行施密特正交化，得到一组 正交向量组。
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由 x 1,2 , ,N 正变换
由 1,2 , ,N x 反变换
如何求出分解系数
Step1: 设想另有一组向量
ˆ1,ˆ2 , ,ˆN
ˆ1 1
2
满足：
i ,ˆ j
i
j
1 0
i j i j
ˆ 2
双正交关系( biorthogonality)
例如： 1
0
1
2
2
1
ˆ1
0.5
1
ˆ2
0.5
0
显然：
1,ˆ1 1 1,ˆ2 0 2 ,ˆ2 1 2 ,ˆ1 0
ˆ1 1
2
ˆ 2
两组向量，互 为“对偶基”， 或“倒数基”。
N
2 (x, xˆ)
2 n
n L 1
傅立叶级数的截短、第7章的FIR滤波器设计 等，均要用到该性质。
性质5：正交变换的系数具有去除相关和集
中能量的性质。
给定一个实对称矩阵 C ，一定可以找到
一个正交阵 A ，使得：
0
ACA1 ACAT
1
正交基函数应尽量简单，计算量小；
最大限度浓缩信号能量，去除相关性；
基函数应能同时具有频域和时域的定位功能
8.2 K—L 变换 (Karhunen--Loeve)
数据向量： 协方差阵：
体现了信号 各元素之间 的相互关系
x [x(0), x(1), , x(N 1)]T
Cx E ( x x )( x x )T
Step2:做内积
N
x nn
n1
N
x,ˆ j nn ,ˆ j
n1
N
n n ,ˆ j j
n1
j x(t),ˆ j (t)
x(t
)ˆ
* j
(t
)dt
j x(n),ˆ j (n)
x(n)ˆ
及算子 ANN
作变换 y Ax
矩阵 A 的 行（列）向 量即是前面
的向量i
若： Ax, Ax x, x y, y
则上述变换即为正交变换，或保范（数）变换
ANN 实际上是正交矩阵，
AT A1
以上正交变换是从线性代数的角度来定义。
正交变换的性质：
性质1：正交变换的基向量即是其对偶基向量。
* j
(n)
n
对
1,2 , ,N 如果： i ˆi
ˆ1,ˆ2 , ,ˆN
i 1, 2, , N
则称 1,2 , ,N 为一组正交基。
一组正交基满足：
i, j
i
j
1 0
i j i j
注意：满足双正交关系的两组基向量各自并不 满足正交关系，只是相互之间满足正交关 , y(N 1)]T
之间彻底去除了相关性。
步骤：
1. 由
求 的特征值
2. 求 的 N 个特征向量
由性质1可知正交变换具有如下的优点：
1. 若正变换存在，那么反变换一定存在， 且变换是唯一的；
2. 正交变换在计算上最为简单。如果是离 散 信号，且 N 是有限值，那么变换只是简单 的矩阵与向量运算：
y Ax
3. 反变换：
x A1 y AT y
不需要求逆，特别有利于硬件实现
性质2：展开系数是信号在基向量上的准确投影
注意，只有正交变换才有此性质。
性质4：信号正交分解具有最小平方近似性质。
N
x
n
n
n ,n
n1
L
xˆ
n
n
n1
2 (x, xˆ) || x xˆ ||2 x xˆ, x xˆ
2 (x, xˆ) 最小的条件： n n , n 1, , L
8.1 正交变换
一、信号的分解
概念：
设空间 X 是由 N 维空间一组向量 1,2, ,N
所张成，即
X span{1,2, ,N }
对任一 x X，都可作如下分解：
N
x nn
n 1
N
x nn
n1
1,2 , ,N
信号的离散表示,或 信号的分解
是分解系数 或信号的变换
几点说明：
x 用向量 i 表示信号 ，会出现几
种不同的情况，取决于 i 的性质：
x 1. 如果空间 X 中的任一元素 都可由 i
来分解，则称该向量是“完备（ complete）”的
x 2. 如果 i 完备且线性相关，则对 的表
示必然存在信息冗余，且对偶向量不唯一。
i 可能构成一个“标架（Frame)”;
c0,0
c1,0
cN 1,0
c0,1 c1,1
cN 1,1
c0, N 1
c1,N 1
cN 1,N 1
Cx (i, j) Cx ( j, i)
K—L 变换的思路：
寻找正交矩阵 A ，做变换 y Ax ， 使 y 的协方差阵 C y 为对角阵。
如
何
2
2
3
3
x
1
1
非正交基的情况下，“基向量”称为“标架 （Frame)”, 这时，展开系数不是准确投影。
性质3：正交变换保证变换前后信号的能量不变，
此性质又称为“保范(数)变换”。
|| x ||2 x(n)x*(n) x, x
n
|n |2 || ||2
n
此性质实际上是 Parseval’s 定理，即信号变换 前后能量保持不变。
N
1
数据压缩的理论基础。后面即将讨论。
正交变换的实例：
FS，FT, DTFT, DFS, DFT DCT，DST, DHT
正弦类正 交变换
Walsh-Hadamard, Haar 变换， SLT(斜变换）
非正弦类 正交变换
正交基的选择 原则：
具有所希望的物理意义或实用意义；
3. 如果 i 是完备的，且是线性无关的，
则它构成 X 中的一组基向量，这时其对偶
向量存在且唯一，即存在前述的双正交关系； 这时的基称为 Riesz 基。
4. 如果 i ˆi i 1, 2, , N
则 i 是 X 中的一组正交基。
二、信号的正交变换
给定数据向量：
x [x(0), x(1), , x(N 1)]T