实验图像的正交变换
matlab数字图像处理实验报告
《数字图像处理实验报告》实验一图像的增强一.实验目的1.熟悉图像在MATLAB下的读写、输出；2.熟悉直方图；3.熟悉图像的线性指数等；4.熟悉图像的算术运算和几何变换。
二.实验仪器计算机、MATLAB软件三.实验原理图像增强是指根据特定的需要突出图像中的重要信息，同时减弱或去除不需要的信息。
从不同的途径获取的图像，通过进行适当的增强处理，可以将原本模糊不清甚至根本无法分辨的原始图像处理成清晰的富含大量有用信息的可使用图像。
其基本原理是：对一幅图像的灰度直方图，经过一定的变换之后，使其成为均匀或基本均匀的，即使得分布在每一个灰度等级上的像素个数．f=H等或基本相等。
此方法是典刑的图像空间域技术处理，但是由于灰度直方图只是近似的概率密度函数，因此，当用离散的灰度等级做变换时，很难得到完全平坦均匀的结果。
频率域增强技术频率域增强是首先将图像从空间与变换到频域，然后进行各种各样的处理，再将所得到的结果进行反变换，从而达到图像处理的目的。
常用的变换方法有傅里叶变换、DCT变换、沃尔什-哈达玛变换、小波变换等。
假定原图像为f(x，y)，经傅立叶变换为F(u，v)。
频率域增强就是选择合适的滤波器H(u,v)对F(u,v)的频谱成分进行处理，然后经逆傅立叶变换得到增强的图像。
四.实验内容及步骤1.图像在MATLAB下的读写、输出；实验过程：>> I = imread('F:\image\');figure;imshow(I);title('Original Image');text(size(I,2),size(I,1)+15, ...'', ...'FontSize',7,'HorizontalAlignment','right');Warning: Image is too big to fit on screen; displaying at 25% > In imuitools\private\initSize at 86In imshow at 1962.给定函数的累积直方图。
paper41：正交变换
paper41：正交变换正交变换是保持图形形状和⼤⼩不变的，包含旋转，及上述变换的复合。
⼏何意义正交变换是保持图形形状和⼤⼩不变的⼏何变换，包含旋转，轴对称及上述变换的复合。
代数定义欧⼏⾥得空间V的线性变换σ称为正交变换，如果它保持向量内积不变，即对任意的α，β∈V，都有(σ(α),σ(β))=(α,β)设σ是n维欧式空间V的⼀个线性变换，于是下⾯4个命题等价1.σ是正交变换2.σ保持向量长度不变，即对于任意α∈V，⼁σ(α)⼁=⼁α⼁3.如果ε_1,ε_2,...,ε_n是标准正交基，那么σ(ε_1),σ(ε_2),...,σ(ε_n)也是标准正交基4.σ在任意⼀组标准正交基下的矩阵是正交矩阵正交矩阵定义:n级实矩阵A称为正交矩阵，如果A'A=E。
(A'表⽰A的转置，E是单位矩阵)分类设A是n维欧式空间V的⼀个正交变换σ在⼀组标准正交基下的矩阵若⼁A⼁=1，则称σ为第⼀类正交变换，若⼁A⼁=-1，则称σ为第⼆类正交变换。
Matlab傅⽴叶变换、余弦变换和⼩波变换1. 离散傅⽴叶变换的 Matlab实现Matlab 函数 fft、fft2 和 fftn 分别可以实现⼀维、⼆维和 N 维 DFT 算法；⽽函数 ifft、ifft2 和 ifftn 则⽤来计算反 DFT 。
这些函数的调⽤格式如下：A＝fft(X,N,DIM)其中，X 表⽰输⼊图像；N 表⽰采样间隔点，如果 X ⼩于该数值，那么 Matlab 将会对 X 进⾏零填充，否则将进⾏截取，使之长度为 N ；DIM 表⽰要进⾏离散傅⽴叶变换。
A＝fft2(X,MROWS,NCOLS)其中，MROWS 和 NCOLS 指定对 X 进⾏零填充后的 X ⼤⼩。
别可以实现⼀维、⼆维和 N 维 DFTA＝fftn(X,SIZE)其中，SIZE 是⼀个向量，它们每⼀个元素都将指定 X 相应维进⾏零填充后的长度。
函数 ifft、ifft2 和 ifftn的调⽤格式于对应的离散傅⽴叶变换函数⼀致。
基本图像变换
3. 2-D可分离变换的计算
N 1 N 1
T (u,v) f (x, y)h1(x,u)h2 ( y,v) x0 y0
u,v 0,1,2, , N 1
首先，沿f(x,y)的每一列进行1-D变换得到：
N 1
T (x,v) f (x, y)h2 ( y,v)
x,v 0,1,2, , N 1
BTB BAFAB
如果B=A-1,则：F BTB
如果B不等于A-1,则得到F的一个近似：Fˆ BAFAB
利用矩阵形式的优点是：所得到的变换矩阵可分解 成若干个具有较少非零元素的矩阵的乘积，可减少冗余 和操作次数。
在B=A-1的基础上，如果A-1=A*,则称A为酉矩阵，相应 的变换为酉变换。如果A为实矩阵A-1=AT,则称A为正交矩 阵，相应的变换为正交变换。
3.1 傅立叶变换
3.2 离散余弦变换
3.3 Hough变换
3.4 小波变换
3.1 可分离和正交图像变换
图像变换的定义
将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一 些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的 加工，最后在转换回图像空间以得到要求的效果。这些转 换方法就被称为图像变换技术。
变换是双向的，将从图像空间像其他空间的变换称为 正变换，而将从其他空间向图像空间的变换称为反变换或 逆变换。
一、可分离变换
1.1-D可分离变换
N 1
T (u) f (x)h(x,u) x0
u 0,1,2, , N 1
T(u)为f(x)变换，h(x,u) 称为正向变换核。同理，反变
换可以表示为：
C(u) a(u)exp[ ju /(2N)][g(x)] u 0,1,2, , N 1
其中，g(x)表示对f(x)的如下重排：
多媒体技术_ project3_图像的DCT变换及DCT反变换
多媒体技术实验报告项目名称：图像的DCT变换及DCT反变换提交文档学生姓名：提交文档学生学号：教师评阅成绩：教师评阅意见：..提交报告时间： 2013 年 12 月 24 日1. 实验题目:图像的DCT 变换及DCT 反变换2. 实验要求: 1、掌握DCT 变换及DCT 反变换的原理及步骤2、了解DCT 变换后图像的特点3. 实验环境:windows 7， VS4. 算法描述: 变换编码是在变换域进行图像压缩的一种技术。
1、输入图像N*N2、构造n*n 子图像3、正变换4、量化器5、符号编码器6、压缩图像 在变换编码系统中，如果正变换采用DCT 变换就称为DCT 变换编码系统。
DCT 用于把一幅图像映射为一组变换系数，然后对系数进行量化和编码。
对于大多数的正常图像来说，多数系数具有较小的数值且可以被粗略地量化（或者完全抛弃），而产生的图像失真较小。
DCT 是仅次于K-L 变换的次最佳正交变换，且以获得广泛应用，并成为许多图像编码国际标准的核心。
离散余弦变换的变换核为余弦函数，计算速度快，有利于图像压缩和其他处理。
对于N ×N 的数字图像，二维DCT 变换的正反变换可表示为：11001100(21)(21)(,)()()(,)coscos 222(21)(21)(,)()()(,)cos cos 22N N x y N N u v x u y v F u v c u c v f x y N Nx u y v f x y c u c v F u v N N N ππππ--==--==++=++=∑∑∑∑（1）其中， 1/200()()1,1,2,...,1u v c u c v u v N ⎧==⎪==⎨=-⎪⎩或 DCT 变换编码流程如下:步骤1：设置JPEG 标准化数组;步骤2：求8×8快的DCT 变换矩阵;步骤3: 计算8×8快的DCT 变换；步骤4：对DCT 系数量化和反量化；步骤5：求反量化系数的逆DCT 变换；步骤6：重新显示重建图像、误差图像和误差图像的直方图。
正交变换的原理及应用
正交变换的原理及应用一、什么是正交变换？正交变换是线性代数中的一个重要概念，它是指对向量进行一系列矩阵变换的过程，这些变换中每一步都是正交的。
正交变换在许多领域中有广泛的应用，包括图像处理、信号处理、数据压缩等。
在数学上，正交变换是指一个变换矩阵满足两两正交、且行列式为1的特殊矩阵。
正交矩阵的特点是它的转置等于它的逆，即OT=O^-1，其中O为正交矩阵。
二、正交变换的原理正交变换可以通过矩阵乘法来实现。
给定一个向量x，进行一次正交变换可以表示为：y = Ox其中，O是一个正交矩阵，y是变换后的向量。
正交变换保持向量的长度和角度不变，因此在二维平面上，正交变换可以实现旋转、缩放、反射等操作。
三、正交变换的应用正交变换在许多领域中都有广泛的应用。
1. 图像处理图像处理中经常使用正交变换对图像进行变换和分析。
其中最常用的正交变换是傅里叶变换和小波变换。
傅里叶变换将图像从时域转换到频域，可以用于图像的滤波、去噪等操作。
小波变换则可以将图像分解成不同尺度的频谱，用于图像的压缩和特征提取。
2. 信号处理正交变换在信号处理中有广泛的应用。
傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，用于信号的频谱分析和滤波。
小波变换则可以对非平稳信号进行分析和处理，广泛应用于语音信号处理、图像处理等。
3. 数据压缩正交变换在数据压缩中也有着重要的应用。
例如，JPEG图像压缩算法中使用了离散余弦变换（DCT），将图像从空域转换到频域，然后将高频系数进行量化和编码，从而实现图像的压缩。
4. 量子力学正交变换在量子力学中是一个基本概念。
量子力学中的态矢量可以通过正交变换表示为不同的基矢量的线性组合。
正交变换可以将一个物理态从一个表象转换到另一个表象，描述其在不同基矢量下的表示。
5. 机器学习在机器学习中，正交变换被广泛应用于特征提取和降维。
主成分分析（PCA）是一种常用的正交变换方法，它通过找到数据中方差最大的方向进行特征提取和降维。
总结正交变换是一种重要的线性代数概念，它通过矩阵乘法对向量进行变换。
54. 坐标系中的正交变换如何实现？
54. 坐标系中的正交变换如何实现？关键信息项：1、正交变换的定义及基本原理2、常见的正交变换类型3、正交变换的矩阵表示4、实现正交变换的步骤和方法5、应用场景举例6、正交变换的性质和特点1、正交变换的定义及基本原理11 正交变换是一种保持向量长度和内积不变的线性变换。
在数学上，如果一个线性变换 T 满足对于任意向量 x 和 y，有（Tx, Ty) ＝（x, y)，且｜｜Tx|｜＝｜｜x|｜，则称 T 为正交变换。
12 正交变换的基本原理基于向量空间的几何性质。
它在不改变向量空间结构的前提下，对向量进行旋转、反射等操作。
2、常见的正交变换类型21 旋转变换：绕着坐标轴或特定的轴进行旋转。
22 反射变换：关于某个平面或直线进行反射。
3、正交变换的矩阵表示31 任何正交变换都可以用一个正交矩阵来表示。
正交矩阵 Q 满足Q^TQ ＝ QQ^T ＝ I，其中 I 是单位矩阵，Q^T 是 Q 的转置。
32 例如，二维平面中的旋转变换矩阵可以表示为cosθ sinθ; sinθcosθ，其中θ 是旋转角度。
4、实现正交变换的步骤和方法41 确定变换的类型（旋转、反射等）和相关参数（如旋转角度、反射平面等）。
42 根据变换类型和参数构建正交矩阵。
43 对于给定的向量或点，通过矩阵乘法实现变换。
5、应用场景举例51 计算机图形学：用于图形的旋转、缩放、镜像等操作，以实现逼真的视觉效果。
52 物理学：在量子力学、力学系统等领域中，用于描述物体的运动和状态变化。
53 信号处理：如在图像处理中，用于图像的校正、增强等。
6、正交变换的性质和特点61 保持向量长度不变：即经过正交变换后，向量的模长不发生改变。
62 保持向量间的夹角不变：这意味着向量之间的相对位置关系在变换前后保持不变。
63 正交矩阵的行列式值为±1：当行列式值为1 时，对应旋转变换；当行列式值为－1 时，对应反射变换。
总之，正交变换在数学和相关领域中具有重要的地位和广泛的应用。
正交的名词解释
正交的名词解释1. 引言在数学和工程领域，正交是一个重要的概念。
它不仅仅用于描述数学和几何中的关系，还被广泛应用于各种实际问题的求解和优化。
本文将详细介绍正交的定义、特性、应用以及相关的数学概念。
2. 正交的定义正交是指两个或多个对象之间相互垂直或互不相关的关系。
在数学中，我们通常将正交用于描述向量、函数、矩阵等的关系。
如果两个向量的内积为零，我们可以称它们为正交向量。
同样地，如果两个函数的积分为零，我们可以称它们为正交函数。
在线性代数中，我们还可以将正交扩展到更高维度的矩阵和向量空间。
3. 正交的特性正交具有许多重要的特性和性质，下面我们将介绍其中的几个：3.1 正交向量的性质•正交向量的内积为零：如果两个向量是正交的，它们的内积为零。
即对于向量a和向量b，如果a·b=0，则称向量a和向量b正交。
•正交向量的线性无关性：如果两个向量是正交的，它们是线性无关的。
也就是说，一个向量不能表示为另一个向量的线性组合。
•正交向量的长度相等：如果两个向量是正交的，并且它们的长度相等，我们可以称它们为单位正交向量。
3.2 正交函数的性质•正交函数的积分为零：如果两个函数是正交的，它们的积分为零。
即对于函数f(x)和函数g(x)，如果∫f(x)g(x)dx=0，则称函数f(x)和函数g(x)正交。
•正交函数的线性无关性：如果两个函数是正交的，它们是线性无关的。
也就是说，一个函数不能表示为另一个函数的线性组合。
•正交函数的归一性：如果一个函数是正交的，并且它的平方积分为1，我们可以称它为归一正交函数。
4. 正交的应用正交在许多领域中都有广泛的应用，下面我们将介绍其中的几个：4.1 信号处理在信号处理中，正交函数被广泛用于信号的表示和分解。
正交函数可以将一个信号分解成一组正交基函数的线性组合，从而方便地进行信号分析和处理。
例如，傅里叶级数和小波变换就是基于正交函数展开的信号分解方法。
4.2 图像处理在图像处理中，正交变换被广泛用于图像的压缩和特征提取。
正交变换化标准型步骤
正交变换化标准型步骤正交变换是指在欧几里得空间中保持向量长度和夹角不变的线性变换。
在实际应用中，正交变换在信号处理、图像处理、物体识别等领域具有重要的意义。
本文将介绍正交变换化标准型的步骤，以帮助读者更好地理解和应用正交变换。
步骤一，确定变换矩阵。
首先，我们需要确定正交变换的变换矩阵。
对于二维空间，常见的正交变换矩阵包括旋转矩阵和镜像矩阵；而对于三维空间，常见的正交变换矩阵包括旋转矩阵、镜像矩阵和剪切矩阵。
根据具体的应用场景和需求，选择合适的变换矩阵进行变换。
步骤二，计算特征值和特征向量。
接下来，我们需要计算变换矩阵的特征值和特征向量。
特征值和特征向量是正交变换矩阵的重要性质，它们可以帮助我们更好地理解变换矩阵的作用和效果。
通过求解特征方程，我们可以得到变换矩阵的特征值，进而求得对应的特征向量。
步骤三，对角化。
在得到特征值和特征向量之后，我们可以利用特征值和特征向量对变换矩阵进行对角化处理。
对角化可以将原始的变换矩阵化为对角矩阵的形式，简化了矩阵的运算和分析。
通过对角化处理，我们可以更清晰地观察到变换矩阵的性质和特点。
步骤四，标准化。
最后，我们需要对对角化后的矩阵进行标准化处理，以得到正交变换的标准型。
标准化后的正交变换矩阵具有简洁的形式和明确的几何意义，便于我们进行后续的分析和应用。
在标准化过程中，我们可以利用单位矩阵和特征向量构成的正交矩阵，将对角矩阵化为标准型。
总结。
通过以上步骤，我们可以将任意的正交变换矩阵化为标准型，从而更好地理解和应用正交变换。
在实际应用中，正交变换标准型的求解可以帮助我们简化问题、优化算法，并且具有重要的理论和实际意义。
希望本文对读者理解正交变换化标准型的步骤有所帮助，欢迎大家多加应用和实践，共同探讨交流。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实验三 图像的正交变换
一、实验目的
1.
了解傅立叶变换、离散余弦变换及其在图像处理中的应用
2.
了解Matlab线性滤波器的设计方法
二、实验步骤
1、打开MATLAB软件，设置工作路径，新建M文件。
2、将图片放到当前工作路径下
3、写入图像正交变换（包括傅里叶变换、离散余弦变换）程序保存并调试
运行。程序具体要求：
（1）傅立叶变换
A) 绘制一个二值图像矩阵,并将其傅立叶函数可视化。
B) 利用傅立叶变换分析两幅图像的相关性，定位图像特征。读入图像
‘cameraman.tif’，抽取其中的字母‘a’。
( 2 ) 离散余弦变换(DCT)
A) 使用dct2对图像‘linyichen.jpg’进行DCT变换。
B) 将上述DCT变换结果中绝对值小于10的系数舍弃，使用idct2重构图
像并与原图像比较。
4、保存实验结果并完善实验报告。
三、实验程序
1、傅立叶变换
A) 绘制一个二值图像矩阵,并将其傅立叶函数可视化。
f=zeros(30,30);
f(5:24,13:17)=1;
imshow(f,'notruesize')
F=fft2(f);
F2=log(abs(F));
figure,imshow(F2,[-1 5],'notruesize');colormap(jet);
F=fft2(f,256,256); %零填充为256×256矩阵
figure,imshow(log(abs(F)),[-1 5],'notruesize');colormap(jet);
F2=fftshift(F); %将图像频谱中心由矩阵原点移至矩阵中心
figure,imshow(log(abs(F2)),[-1 5],'notruesize');colormap(jet);
B)利用傅立叶变换分析两幅图像的相关性，定位图像特征。读入图像
‘cameraman.tif’，抽取其中的字母‘a’。
bw=imread('cameraman.tif');
a=bw(59:71,81:91);
imshow(bw);
figure,imshow(a);
C=real(ifft2(fft2(bw).*fft2(rot90(a,2),256,256)));%求相关性
figure,imshow(C,[]);
thresh=max(C(:));
figure,imshow(C>thresh-10)
figure,imshow(C>thresh-15)
2.
离散余弦变换(DCT)
A) 使用dct2对图像‘linyichen.jpg’进行DCT变换。
RGB=imread('linyichen.jpg');
imshow(RGB)
I=rgb2gray(RGB); %转换为灰度图像
figure,imshow(I)
J=dct2(I);
figure,imshow(log(abs(J)),[]),colormap(jet(64));colorbar;
B) 将上述DCT变换结果中绝对值小于10的系数舍弃，使用idct2重构图
像并与原图像比较。
RGB=imread('linyichen.jpg');
I=rgb2gray(RGB); %转换为灰度图像
J=dct2(I);
figure,imshow(I)
K=idct2(J);
figure,imshow(K,[0 255])
J(abs(J)<10)=0; %舍弃系数
K2=idct2(J);
figure,imshow(K2,[0 255])
四、实验结果
1、傅立叶变换
A) 绘制一个二值图像矩阵,并将其傅立叶函数可视化。
图1 傅里叶变换A)的实验结果
B)利用傅立叶变换分析两幅图像的相关性，定位图像特征。读入图像
‘cameraman.tif’，抽取其中的字母‘a’。
图2 傅里叶变换B）的实验结果
3.
离散余弦变换(DCT)
A) 使用dct2对图像‘linyichen.jpg’进行DCT变换。
-5
0
5
图3 离散余弦变换A）的实验结果
B) 将上述DCT变换结果中绝对值小于10的系数舍弃，使用idct2重构图
像并与原图像比较。
图4 离散余弦变换B)的实验结果
五、结果分析
1、傅立叶变换
绘制一个二值图像矩阵并做其傅里叶变换；零填充为256×256矩阵的傅里
叶变换；将图像频谱中心由矩阵原点移至矩阵中心（见图1）。定位图像
cameraman.tif（59:71,81:91）；扩展为256*256大小旋转90度并求相关性（见
图2）可见图像变得模糊。
2、离散余弦变换(DCT)
将linyichen.jpg转换为灰度图像并对灰度图像进行DCT变换，可见能量集
中在低频部分(见图3)。使用idct2重构图像； 将 DCT变换结果中绝对值小于
10的系数舍弃并使用idct2重构图像，可以看出两者和原灰度图像的差别不是
很明显（见图4）。
六、实验总结
通过这次试验对傅立叶变换、离散余弦变换及其在图像处理中的应用有了更
深的认识。了解了Matlab线性滤波器的设计方法,并对fft2、colormap、fftshift、
dct2、idct2等函数的使用有了一定的了解。