数字图像处理-正交变换
数字图像处理学：第3章 图像处理中的正交变换(第3-6讲)
1
(t) 4
e j0t
02 e 2
t2
e2
其Fourier变换为：
1
( 0 )2
02
2
() 4 e 2 e 2 e 2
(3—237) (3-238)
由上式可以看出它满足容许条件，即： 0 时 (0) 0 。如果直接求取容许条件，可作如 下运算：
(t)dt
线性函数空间 L2 (a,b)
b
x, y a x(t) y(t)dt
x, y L2 (a,b)
内积空间中的范数为：
1
x
x,
x
1
2
xn
2 2
n1
（3—249） （3—250）
e • 在Fourier变换中，基函数是 jt ，理论
上基函数的支撑区无论在时间上还是在频率域都 是无限的，而小波变换的支撑区是有限的，甚至 是紧支集，只有这样才能使小波变换具有局域特 性。
数字图像处理学
第3章 图像处理中的正交变换
（第六讲）
3. 6 小波变换
3. 几种典型的一维小波
小波的选择是灵活的，凡能满足条件的函数均 可作为小波函数，这里仅介绍几种具有代表性的 小波以供参考。
（1） Haar小波
1
H (t) 1
0
0t 1 2
1 t 1 2 其他
(3—232)
该正交函数是由A.Haar于1910年提出的，对t平移时 可得到：
2. 正交小波变换
连续小波可以刻划函数f(t)的性质和变化过程， 用离散小波也可以刻划 f(t)。按调和分析方法， 把 f(t)写成级数展开形式，这就构成了n 维空间中 函数逼近问题。
在数学中，“空间”是用公理确定了元素之间的 关系的集合，例如：距离空间是定义了元素间距离 的集合；定义了元素范数的线性空间叫做线性赋范 空间等，在离散小波变换中赋范空间和内积空间的 概念是很重要的。
数字图像处理图像变换实验报告.
实验报告实验名称：图像处理姓名：刘强班级：电信1102学号：1404110128实验一图像变换实验——图像点运算、几何变换及正交变换一、实验条件PC机数字图像处理实验教学软件大量样图二、实验目的1、学习使用“数字图像处理实验教学软件系统”，能够进行图像处理方面的简单操作；2、熟悉图像点运算、几何变换及正交变换的基本原理，了解编程实现的具体步骤；3、观察图像的灰度直方图，明确直方图的作用和意义；4、观察图像点运算和几何变换的结果，比较不同参数条件下的变换效果；5、观察图像正交变换的结果，明确图像的空间频率分布情况。
三、实验原理1、图像灰度直方图、点运算和几何变换的基本原理及编程实现步骤图像灰度直方图是数字图像处理中一个最简单、最有用的工具，它描述了一幅图像的灰度分布情况，为图像的相关处理操作提供了基本信息。
图像点运算是一种简单而重要的处理技术，它能让用户改变图像数据占据的灰度范围。
点运算可以看作是“从象素到象素”的复制操作，而这种复制操作是通过灰度变换函数实现的。
如果输入图像为A(x,y)，输出图像为B(x,y)，则点运算可以表示为：B(x,y)＝f[A(x,y)]其中f(x)被称为灰度变换（Gray Scale Transformation，GST）函数，它描述了输入灰度值和输出灰度值之间的转换关系。
一旦灰度变换函数确定，该点运算就完全确定下来了。
另外，点运算处理将改变图像的灰度直方图分布。
点运算又被称为对比度增强、对比度拉伸或灰度变换。
点运算一般包括灰度的线性变换、阈值变换、窗口变换、灰度拉伸和均衡等。
图像几何变换是图像的一种基本变换，通常包括图像镜像变换、图像转置、图像平移、图像缩放和图像旋转等，其理论基础主要是一些矩阵运算，详细原理可以参考有关书籍。
实验系统提供了图像灰度直方图、点运算和几何变换相关内容的文字说明，用户在操作过程中可以参考。
下面以图像点运算中的阈值变换为例给出编程实现的程序流程图，如下：2、图像正交变换的基本原理及编程实现步骤数字图像的处理方法主要有空域法和频域法，点运算和几何变换属于空域法。
第11章-图像正交变换
x0
x0
M 1
Fe (u)
f (2 x)WMux u, x 0,1,, M 1
x0
M 1
Fo (u)
f (2 x 1)WMux u, x 0,1,, M 1
x0
7.2.2 快速离散傅立叶变换
于是 F (u) Fe (u) W2uM Fo (u)
将一个N点的离散傅立叶变换分解成
第11章 图像正交变换
问题的提出： 视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。但是，往往许多问题在频域
中讨论时，有其非常方便分析的一面。 图像变换的目的： ❖ 使图像处理问题简化 ❖ 有利于图像特征提取 ❖ 有助于从概念上增强对图像信息的理解
变换问题的引入
• 空间域 灰度
• 频率域 幅值与频率
什么是图像变换
M 1
F (u)
f ( x)W2uMx
f (2 x)W2uM(2 x)
f (2 x 1)W2uM(2 x1)
x0
x0
x0
W 2ux 2M
(e j 2 / 2M )2ux
(e j 2 / M )ux
WMux
定义
M 1
M 1
F (u) f (2x)WMux f (2x 1)WMuxW2uM
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
f (x, y)
F (u, v)e
MN
u0 v0
M 1 N 1
j 2 vy
j 2 ux
{[ F (u, v)e M ]e N }
u0 v0
x 0,1,2,, M 1 y 0,1,2,, N 1
逆变换的分离性也同样可以分解为两次一维傅立叶变换
F(u)可以表示为如下形式：
914775-数字图像处理-图像压缩编码第五讲正交变换编码
M x
1 L
L l 1
Xl
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（5-11）
➢ Mx协方差矩阵可以由
Mx
E{( X
M x )( X
M x )T }
1 L
L l 1
Xl
XlT
MlMlT
（5-12）
来估计。协方差矩阵是实对称的。对角元素
最佳变换的核心在于经变换后能使 Y 为对角阵。 若采用某种变换矩阵A，变换后的 Y 接近于对角阵， 则这种变换称为准最佳变换。
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K-L变换 是能满足均方误差准则下最佳变换。 K-L变换与图像数据有关，运算复杂，没有快速算 法，因此K-L变换在使用性受到了很大的限制。 傅立叶变换、沃尔什变换、离散余弦变换， 是常用 的准最佳变换。
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根据式(5-10)得：
Y E[( AX AX )(AX AX )T ] AE[( X X )( X X )T ]AT
AX AT
可见，Y的协方差 Y 可由 X 作二维正交变换得到。 X 是图像固有的，因此关键是要选择合适的A，使 变换系数Y之间有更小的相关性。另外去掉了一些
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解码部分由与编码部分相反排列的一系列逆操作模 块构成。由于量化是不可逆的，所以解码部分没有 对应的模块。
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5.5.2 正交变换的性质
正交变换具有如下的性质： (1) 正交变换是熵保持的，说明正交变换前后不丢失
信息。因此用图像各像素灰度存储或传送和用变 换系数去存储或传输一样。 (2) 正交变换熵能量保持的。 (3) 正交变换重新分配能量。常用的正交变换，如傅 立叶变换，能力集中于低频区，在低频区变换系 数能量大而高频区系数能力小得多。这样可用
图像处理中正交变换方法对比汇总
目录1课程设计目的 (1)2课程设计要求 (1)3 正交变换的概述 (1)3.1 信号的正交分解 (1)3.2 正交变换的定义 (2)3.3 正交变换的分类 (3)3.4 正交变换的标准基 (3)3.4.1 一维DFT的标准基 (3)3.4.2 二维DFT (5)3.4.3 正交变换的标准基图像 (6)3.5 正交变换在图像处理中的应用 (7)4 傅里叶变换 (8)4.1 傅里叶变换的定义及基本概念 (9)4.2 傅里叶变换代码 (13)4.3 傅里叶变换与逆变换结果 (14)5 离散余弦变换 (14)5.1 离散余弦变换的定义 (14)5.2 离散余弦变换代码 (17)5.3 离散余弦变换与逆变换结果 (17)6 小波变换 (18)6.1概述 (18)6.2 小波变换的基本理论 (18)6.3 小波变换代码 (20)6.4 小波变换结果 (21)7 结论 (21)8 参考文献 (22)图像处理中正交变换方法对比1课程设计目的(1) 理解正交变换的基本概念及分类。
(2) 掌握傅立叶变换及逆变换的基本原理方法。
(3) 掌握离散余弦变换的基本原理方法。
(4) 掌握小波变换的基本原理及方法。
(5) 学会利用matlab 软件进行数字图像处理与分析2课程设计要求（1）掌握课程设计的相关知识、概念清晰。
（2）查阅资料，根据不同处理需求，设计完成对数字图像的处理与分析。
（3）熟练掌握matlab 软件的基本操作与处理命令。
（4）进一步理解数字图像处理与分析的过程与意义。
3 正交变换的概述3.1 信号的正交分解完备的内积空间称为希尔伯特空间。
折X 为一希尔伯特空间,φ1 ,φ2 , ⋯,φn 是X 空间中的一向量,如果它们是线性独立的,则称之为空间X 中的一组“基”。
某一信号x 就可以按这样的一组基向量作分解,即X=∑=Nn n n a 1φ （式3-1） 式（3-1）中a 1 , a 2 , ⋯, a n 是分解系数, 它们是一组离散值。
第二章数字图像变换技术
MN x0 y0
F 1[F(u, v)]
M 1
f (x, y)
N 1
j 2 ( ux vy )
F (u, v)e M N
u0 v0
计算2*2的数字图像{f(0,0)=3，f(0,1)=5，f(1,0)=4，f(1,1)=2}的傅里叶幅度谱。
F(u,v)
1
M 1 N 1
j 2 ( ux vy)
二维傅里叶变换的频谱分布
（5）周期性和共轭对称性 若离散的傅立叶变换和它的反变换周期为N，则：周期性有
F(u,v) F(u aN,v bN)
其中，a，b=0,±1, ±2,…
周期性说明F(u，v)和f(x，y)都是具有周期为N的周期性重复离 散函数。即当u和v取无限组整数值时，F(u，v)将出现周期重复性， 因此由F(u，v)用反变换求f(x，y)，只需F(u，v)中的一个完整周期 即可；空域中，对f(x，y)也有类似的性质。
x0
式中，W=e-j2π／N ，称为旋转因子。
这样，一维离散傅立叶变换（DFT）用矩阵的形式表示为来自FF (0)
F (1)
(N 1)
W 00 W 01 W 0( N 1)
W 10 W 20 W 11 W 21
W 1( N 1) W
2( N 1)
W ( N 1)0 W ( N 1)1
（2）比例性质 对于二个标量a和b，有
f (ax,by) 1 F u , v ab a b
这说明了在空间比例尺度的展宽，相应于频域比例尺度的压缩，其 幅值也减少为原来的 1 ，如图所示。
ab
图 傅立叶变换的比例性
（3）可分离性 可以把此两式变成如下形式：
F(u,v)
图像的正交变换matlab
《数字图像处理》课程实验报告实验名1：图像的正交变换实验院系：自动化测试与控制系班级：1201132姓名：李丹阳学号：1120110113哈尔滨工业大学电气工程及自动化学院光电信息工程2015年12月13日一、实验原理二、实验内容三、实验结果与分析1、傅立叶变换A)绘制一个二值图像矩阵,并将其傅立叶函数可视化。
（傅里叶变换A)的实验结果B)利用傅立叶变换分析两幅图像的相关性，定位图像特征。
读入图像‘cameraman.tif’，抽取其中的字母‘a’。
（傅里叶变换B ）的实验结果离散余弦变换(DCT)使用dct2对图像‘linyichen.jpg ’进行DCT变换。
-505（离散余弦变换A ）的实验结果将上述DCT 变换结果中绝对值小于10的系数舍弃，使用idct2重构图像并与原图像比较。
离散余弦变换附主要程序代码：f=zeros(30,30);f(5:24,13:17)=1;imshow(f,'notruesize')F=fft2(f);F2=log(abs(F));figure,imshow(F2,[-15],'notruesize');colormap(jet);F=fft2(f,256,256);figure,imshow(log(abs(F)),[-15],'notruesize');colormap(jet);F2=fftshift(F);figure,imshow(log(abs(F2)),[-15],'notruesize');colormap(jet);B)利用傅立叶变换分析两幅图像的相关性，定位图像特征。
读入图像‘cameraman.tif’，抽取其中的字母‘a’。
bw=imread('cameraman.tif');a=bw(59:71,81:91);imshow(bw);figure,imshow(a);C=real(ifft2(fft2(bw).*fft2(rot90(a,2),256,256)));%求相关性figure,imshow(C,[]);thresh=max(C(:));figure,imshow(C>thresh-10)figure,imshow(C>thresh-15)1.离散余弦变换(DCT)A)使用dct2对图像‘linyichen.jpg’进行DCT变换。
图像的正交变换.
•
•
}
•
::FFT(fRData,fIData,fftWidth,-1);
•
for(j=0;j<fftWidth;j++)
•
{
•
ptrRData[j+i*fftWidth]=fRData[j];
•
ptrIData[j+i*fftWidth]=fIData[j];
•
}
•
}
• //转置 列 FFT
•
for(i=0;i<fftWidth;i++){
从实际操作来说，图像变换就是对原图像函数 寻找一个合适的变换核的数学问题。
• 数字图像处理的方法主要有两类：空间域处理 法和频域法。
• 空域法指对直接像素点及其值进行处理。
• 频域法是指先将图像变换到频域，再进行滤波 等处理，然后再经逆变换回到空间域，得到处 理后的图像。
• 图像正交变换用于图像特征提取、图像增强、 图像复原、图像压缩和图像识别等。
f (x, y) F (u.v)
正变换
F (u, v)
1 MN
M 1 N 1 x0 y0
f
(x,
y) exp
j2 ( ux
M
vy N
)
u 0,1, 2, , M 1
v 0,1, 2, , N 1
反变换
f
(x,
y)
e N
W WW441000
W401 W411
W402 W412
W403 W413
1 1
1 j
1 1
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➢ 图像的灰度为该点的R、G、B值，直接存放在图像 灰度矩阵中。
➢ 一般每个像素需要用3×8＝24bit位来表示。 ➢ 其色彩可为224 ，一般称为真彩图像。 ❖ 其他图像－还有图像的透明因子，每个像素需要32bit 来表示。
1.3 数字图像处理的研究内容
从计算机处理的角度可以由高到低将数 字图像分为三个层次。这三个层次覆盖了图 像处理的所有应用领域。
2.1 图像变换的表达式－正交变换
二维变换：N×N的二维函数f(x,y)
N 1 N 1
F (u,v)
f (x, y)u,v (x, y), 0 u, v N 1
x0 y0
N 1 N 1
f (x, y)
F (u,
v)
* u,v
( x,
y),
0
x,
y
N
1
u0 v0
u,v (x, y)
2.1 图像变换的表达式－正交变换
正交变换的变换核为正交函数。 满足正交性：AT A AAT I 。 满足完备性：函数集合中的函数可以完
整的对其他函数进行分解表达。 正交完备性意味着所有的正交函数都存
在于完备函数集中，无论是在时域还是 在变换域中其能量都是相同的，可以将 函数分解成正交函数的表达形式。
1.1 数字图像
❖ 矩阵中每一个元素称为像素(pixel)，其值 称为图像的灰度或亮度(intensity)，是离 散的。
❖ 矩阵的维数或大小称为图像的分辨率。 ❖ 无论是灰度还是分辨率，量化时一般都
取2的整数幂。 ❖ 一般地，彩色图像可以采用红(R)、绿(G)、
蓝(B)三个矩阵表示或混合表示。
1.2 数字图像的种类
图
图像处理
像 分
图像理解
析
低级
中级
高级
1.3 数字图像处理的研究内容
数字图像处理是一门交叉学科，研究方法上， 与数学、物理学、生理学、心理学、电子学、 计算机科学相互借鉴；研究范围上，与计算机 图形学、模式识别、计算机视觉相互交叉。
图像
图像处理
图像
计
客
算
观
机
世
视
界
觉
计算机图形学 数据
图像分析
模 式
几种基本数字图像类型：
❖ 二值图像 ❖ 灰度图像 ❖ 索引图像 ❖ RGB图像(真彩图像) ❖ 其他图像
1.2 数字图像
❖ 二值图像:
➢ 图像的灰度级别仅有2个，即0和1。 ➢ 通常用于文字图像。
➢ 每个像素只用1bit表示。
❖ 灰度图像:
➢ 图像灰度通常有较大的取值范围，常用的为256级 ，即灰度值域为[0,255]。
数字图像处理
1 基本概念
❖ 模拟图像处理
➢ 包括光学处理和电子学处理。如照相、电视 图像等的处理；
➢ 速度快，但精度不高。
❖ 数字图像处理
➢ 利用计算机或其他硬件对图像进行处理。 ➢ 精度高，但是速度较慢。
1.1 数字图像
❖从物理的角度来看，一幅图像记录的是 物体辐射能量的空间分布。
I f (x, y,,t)
1.3 数字图像处理的研究内容
图像重建
由原始图像数据进行不同目的的图像显示。如二维 图像重建三维图像。
图像分割与特征提取
图像分割是指将一幅图像的区域根据分析对象进行 分割。 图像的特征提取包括了形状特征、纹理特征、颜色 特征等等。
图像分析和理解
对图像中的不同对象进行分类、识别和描述、解释。
1.3 数字图像处理的研究内容
对每个像素点进行灰度级 量化：G=2m
常取 m= 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12bit
一般取 M=N=2n=64，128，256， 对应的灰度级为:
512，1024，2048
64,128,256,512,1024,204
8,4096级
1.1 数字图像
❖ 数字图像常用矩阵来表示：
f (0,0)
F (u, v) a(u, x) f (x, y)a(v, y) x0 y0
f (x, y)
f (1,0)
f
(N
1,0)
f (0,1)
f (x, y)
f (1,1)
f (N 1,1)
f (0, N 1)
f (1, N 1)
f (N 1, N 1) N N
x 0,1,, N 1 f (i, j) 0 ~ 255, y 0,1,, N 1 (灰度级2解
识 别
（转换）
（人）
图像理解
符号
新理论 新工具 新技术
1.3 数字图像处理的研究内容
图像正交变换 采用各种图像变换方法对图像进行间接处
理。有利于减少计算量并进一步获得更有效的 处理。 图像增强与复原
加强图像的有用信息，消弱干扰和噪声。 把退化、模糊了的图像复原。模糊的原因 有许多种，最常见的有运动模糊，散焦模糊等 等。 图像编码 简化图像的表示，压缩表示图像的数据， 以便于存储和传输。
学习内容
➢ 正交变换 ➢ 复原和增强 ➢ 图像编码 ➢ 图像分割 ➢ 形态学处理 ➢ 图像识别
2 图像的正交变换
2.1 图像正交变换
数字图像是一个二维信号，可以写成代 数形式，也可写成实数矩阵形式。
可以采用初等变换找到同型矩阵：
F PfQ f P1FQ1
数字图像的变换要求能从反变换中完整 地恢复过来。正交变换是满足完整反变 换要求的一种变换。
❖如果不考虑波长和时间的因素，则图像的 一般表达形式为：
I f (x, y)
1.1 数字图像
❖ 数字图像可以理解为图像物体的一种数字化表 示形式。对连续图像可以进行空间和幅度抽样， 得到数字图像。
❖ 在空间和幅度上对图像进行抽样：
x方向，抽样M行 y方向，每行抽样N点 整个图像共抽样MN个像素点
称为正变换核，
* (x, y) u ,v
称为反变换核。
为了使信号完整重建，正变换核和反变换核都必 须满足正交性和完备性。
2.1 图像变换的表达式－正交变换
变换核可分离性：将二维变换分解为2个 一维变换的计算。
u,v (x, y) au (x)bv (y) a(u, x)b(v, y)
N 1 N 1
➢ 0表示黑色，255表示白色，其他灰度为从黑到白的 变化情况。
➢ 每个像素所需的字节数根据其灰度的变化范围不同 二不同。256级灰度图像每个像素需用8bit表示。
1.2 数字图像
❖ 索引图像
➢ 每个像素的值并不表示该像素真正的灰度值，而是 表示对应于色彩表中的索引号。
➢ 色彩表为预先设置好的RGB色彩。 ➢ 通常用来表示256色的彩色图像。每个像素需要8bit