第二节命题及其关系-充分条件必要条件复习
理科数学学霸笔记02命题及其关系、充分条件与必要条件
考点02命题及其关系、充分条件与必要条件一、命题及其关系1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题原命题：若p，则q逆命题：若q，则p否命题：若非p则非q；逆否命题：若非q则非p(2)四种命题间的关系(3)常见的否定词语正面词语：=、>(<)、是、都是、任意(所有)的、任两个、至多有1(n)个、至少有1个否定词：≠、≤（≥）、不是、不都是、某个、某两个、至少有2(n+1)个、1个也没有3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．提醒：当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．二、充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的概念(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q且q/⇒p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p/⇒q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p/⇒q且q/⇒p，则p是q的既不充分也不必要条件.2．必记结论(1)等价转化法判断充分条件、必要条件①p是q的充分不必要条件⇔非q是非p的充分不必要条件；②p是q的必要不充分条件⇔非q是非p的必要不充分条件；③p是q的充要条件⇔非q是非p的充要条件；④p是q的既不充分也不必要条件⇔非q是非p的既不充分也不必要条件.例2：设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由(a－b)a2<0可知a2≠0，则一定有a－b<0，即a<b；但a<b即a－b<0时，有可能a＝0，所以(a－b)a2<0不一定成立，故“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件，故选 A.。
高考数学专题知识突破：考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件
考点二命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(3) 如果p q，q p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．典例剖析题型一四种命题及其相互关系例1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．变式训练命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案 C解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x ＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.解题要点 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2.一些常见词语的否定例2有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．变式训练下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案 ④解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．解题要点 1.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．2.根据“原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题也是等价的”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二 充分条件与必要条件例3 已知p ：“a ，b ，c 成等比数列”，q ：“b ＝ac ”，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a ，b ，c 成等比数列，则有b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，所以充分性不成立．当a ＝b ＝c ＝0时，b ＝ac 成立，但此时a ，b ，c 不成等比数列，所以必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．变式训练 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案 A解析 由正弦定理，知a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sinB ． 例4 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案 必要不充分解析 因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的必要不充分条件．变式训练 设x ∈R ，则“x >1”是“220x x +->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由不等式220x x +->得(2)(1)0x x +->，即2x <-或1x >，所以由1x >可以得到不等式220x x +->成立，故充分性成立；但由220x x +->不一定得到1x >，所以必要性不成立，即“x >1”是“220x x +->”的充分而不必要条件．解题要点 1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．2．充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p q ，q p 进行判断； (2) 集合法：根据p 、q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．当堂练习1. 设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的 条件．5.U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅” 条件．课后作业一、 选择题1．下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.A.0B.1C.2D.32．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”6．若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤07．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．48．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．11．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件． (2) 设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的________条件．12．下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a ＞1b，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________.13．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．当堂练习答案1. 答案 A解析 当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q p ，故选A.2答案 A解析 由(a －b )a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时 (a －b )·a 2<0，必要性不成立；故选A.3．答案 D解析 对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确．4．答案 充分不必要条件解析 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．5.答案 充要条件解析 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．课后作业答案二、 选择题1．答案 D2．答案 A解析 解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．3．答案 A4．答案 C解析 ∵x <3－1<x <3，但－1<x <3⇒x <3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C.5．答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 6．答案 D解析 原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若q ，则p ”．∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．7．答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.8．答案 B解析 m ⊂α，m ∥βα∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件． 二、填空题9．答案 必要不充分解析 设p ：x ＝3且y ＝5，q ：x ＋y ＝8，显然p 是q 的充分不必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，即x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的必要不充分条件．10．答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．11．答案 (1)充分不必要 (2)充要解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0， 即x >y >0或y <x <0或x <0<y .所以x >y >0 ⇒1x <1y ，但反过来1x <1y， 所以是充分不必要条件．(2) 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |. 所以是充要条件．12．答案 ①②解析 对于①其否命题为“若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，为假命题；②的逆命题为“若a ＜b ，则1a ＞1b”，为假命题；③中原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题. 13．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m <14⇒m ≤14，反之不成立． 故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．。
2021届高考数学总复习：命题及其关系、充分条件与必要条件
2021届高考数学总复习：命题及其关系、充分条件与必要条件一、知识点1．命题(1)命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
(2)四种命题及相互关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。
2．充分条件、必要条件与充要条件的概念1．否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论。
2．区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/B)两者的不同。
3．A是B的充分不必要条件⇔非B是非A的充分不必要条件。
4．充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。
(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件。
(3)若A＝B，则p是q的充要条件。
一、走进教材1．(选修2－1P8A组T2改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()A．“若x<y，则x2<y2”B．“若x>y，则x2>y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”解析根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”。
故选C。
答案 C2．(选修2－1P 10练习T 3(2)改编)“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x 的值也可能为－2。
故选B 。
答案 B二、走近高考3．(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12，得0<x <1，所以0<x 3<1；由x 3<1，得x <1，不能推出0<x <1。
考点02 命题及其关系、充分条件和必要条件(解析版)
考点02 命题及其关系、充分条件和必要条件【考纲要求】理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 【命题规律】考查充分条件与必要条件的题型一般以选择题或填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，难度一般不大． 【典型高考试题变式】（一）充分条件与必要条件的判定例1．（2021全国甲卷理7）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则 （ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【解析】由题，当数列为2,4,8,---时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，∴甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，∴甲是乙的必要条件，故选B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．【变式1】【2018年北京卷文】设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 分析：证明“”“成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”“”可利用等比数列的性质.【名师点睛】充分条件、必要条件的判断方法：①定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．②等价法：利用p ⇒q 与⌝q ⇒⌝p ，q ⇒p 与⌝p ⇒⌝q ，p ⇔q与⌝q ⇔⌝p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．③集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 【变式2】【变式1中的条件与结论换位】设a,b,c,d 是非零实数，则“a,b,c,d 成等比数列”是“ad=bc ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由a,b,c,d 成等比数列可得ad=bc ，当时，a,b,c,d 不是等比数列，所以“a,b,c,d成等比数列”是“ad=bc ”的充分而不必要条件，故选A.例2．（2021年高考天津卷2）已知a ∈R ，则“6>a ”是“362>a ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解．【解析】由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立；若236a >，则6a >或6a <-，推不出6a >，必要性不成立；∴“6a >”是“236a >”的充分不必要条件，故选A ． 【名师点睛】充分条件与必要条件的两个特征：①对称性：若p 是q 的充分条件，则q 是p 的必要条件，即“p ⇒q ”⇔“q ⇐p ”．②传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”(“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”)． 【变式1】【改变例题的条件】设，则“24x >”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由242x x >⇔>或2x <-，所以“24x >”是“||2x >”的充分必要条件，故选C. （二）充分条件与必要条件的运用例3．【2019·全国Ⅱ卷】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行，故选B ．【变式1】【改变例题中的问法】设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】//m β不能推出//αβ，而//αβ，//m β⇒，∴“//m β”是“//αβ”的必要不充分条件，故选B ． 例4.【2011全国卷】下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是( ) A ．1a b >+ B ．1a b >- C ．22a b > D ．33a b > 【答案】A【解析】由1a b >+，得a b >；反之不成立，故选A.【名师点津】命题p 是q 的必要不充分条件⇔p q ⇒且q p ⇒；命题p 的必要不充分条件是q ⇔q p ⇒且p q ⇒. 这两种说法有区别，不能混淆.【变式1】【改变例题中的问法】下面四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是( ) A ．1a b >+ B ．1a b >- C ．22a b > D ．33a b > 【答案】B【解析】由a b >，可得1a b >-；反之不成立，故选B.【变式2】【改变例题中的条件、问法】下面四个条件中，使33a b >成立的充要的条件是( ) A ．1a b >+ B ．a b <C ．22a b >D ．a b > 【答案】C【解析】由a b >，可得33a b >；反之也成立，故选C. （三）新定义问题例5.【2011湖北卷】若实数a ，b 满足0,0,0a b ab ≥≥=且，则称a 与b 互补，记()22,a b a b a b ϕ=+-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】C【名师点津】紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．【变式1】【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】记实数1x ，2x ，……n x 中的最大数为max {}12,,......n x x x ，最小数为min {}12,,......n x x x 。
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
知识梳理自测
【教材导读】 1.在四种命题中,会有1个或3个命题为真命题吗?
把散落的知识连起来
提示:不会,由原命题与逆否命题,逆命题与否命题是两对互为逆否的命题, 真假性相同,则四种命题为真命题的可能个数为0,2,4. 2.写一个命题的其他三种命题时需要注意什么?
提示:(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写.
1 , x
反之,当 f(x)=sin x-
又 f(-x)+f(x)=sin(-x)-
所以“a=0”是“函数 f(x)=sin x-
︱高中总复习︱一轮·理数
y x 1, (2)(2016· 四川卷)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足 y 1 x, y 1, 则p 是q 的( )
︱高中总复习︱一轮·理数
考点三 充分条件、必要条件的探求与应用
【例3】 (1)导学号 18702010 命题“∀x∈[1,3],x2-a≤0”为真命题的一个充 分不必要条件是( (A)a≥9 (C)a≥10 ) (B)a≤9 (D)a≤10
解析:(1)命题“∀x∈[1,3],x2-a≤0”⇔“∀x∈[1,3],x2≤a”⇔9≤a.
1
3
,则x是无理数”是真命题,故其逆否命题也是
真命题.故选B.
︱高中总复习︱一轮·理数
(2)导学号 38486010 原命题为“若 n
关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( (A)真,真,真 (C)真,真,假 (B)假,假,真 (D)假,假,假
a an 1 <an,n∈N*,则{an}为递减数列”, 2
答案:(2)②③
︱高中总复习︱一轮·理数
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
【解析】 命题 p：－2≤x≤10，由 q 是 p 的必要不充分条件 知，
{x|－2≤x≤10} {x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}，
∴m1－＞m0பைடு நூலகம்－2 或m1－＞m0＜－2 ，
1＋m＞10
1＋m≥10
∴m≥9，即 m 的取值范围是[9，＋∞)．
【答案】 [9，＋∞)
易错易误之一 “条件”与“结论”颠倒黑白酿失误
分不必要条件，即x12≤x≤1
{x|a≤x≤a＋1}，
∴a≤12， a＋1≥1，
∴0≤a≤12.
【答案】 0，12
规律方法 3 1.借助命题间的等价关系直接建立参数 a 的不等 关系，避免了繁琐转换计算，将失误降到最低．
2．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转 化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的 不等式求解．
充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即 “p⇒q”⇔“q⇐p”； (2)传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要) 条件，则 p 是 r 的充分(必要)条件． 注意区分“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必 要条件是 q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”．
【尝试解答】 (1)当 φ＝π 时，y＝sin(2x＋φ)＝sin(2x＋π)＝－ sin 2x，此时曲线 y＝sin(2x＋φ)必过原点，但曲线 y＝sin(2x＋φ)过 原点时，φ 可以取其他值，如 φ＝0.因此“φ＝π”是“曲线 y＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．
(2)若綈 p 是 q 的必要不充分条件，则 q⇒綈 p 但綈 p q，其
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第一章 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 理(1)
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义.4.会用反证法证明命题知识梳理一、命题用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句，叫命题．判断为真的命题是真命题，判断为假的命题是假命题．二、四种命题的形式原命题：若p，则q(p为命题的条件，q为命题的结论)．逆命题：若q，则p，即交换原命题的条件和结论．否命题：若綈p，则綈q，即同时否定原命题的条件和结论．逆否命题：若綈q，则綈p，即交换原命题的条件、结论之后，同时否定它们．三、四种命题的关系四、四种命题的真假的关系若两个命题互为逆否命题，则它们有________的真假性．若两个命题为互逆命题或互否命题，则它们的真假性___．在四种形式的命题中真命题的个数只能为0或2或4.五、用推出符号“⇒”概括充分条件、必要条件、充要条件若p⇒q，q p，则p是q的充分不必要条件．若p q，q⇒p，则p是q的______________________条件．若p⇒q，q⇒p，则p是q的_______________________条件．若p q，q p，则p是q的______________________条件．六、用反证法证明命题的一般步骤1．假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．2．从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得出矛盾．3．由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立．出现矛盾的几种常见形式有：(1)与定义、定理、公理矛盾；(2)与已知条件矛盾；(3)与假设矛盾；(4)自相矛盾．基础自测1．(2013·北京西城区模拟)命题“若a＞b，则a＋1＞b”的逆否命题是( )A．若a＋1≤b，则a＞bB．若a＋1＜b，则a＞bC．若a＋1≤b，则a≤bD．若a＋1＜b，则a＜b解析：逆否命题为“若a＋1≤b，则a≤b”．答案：C2．(2013·深圳模拟)已知b，c是平面α内的两条直线，则“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：依题意，由a⊥α，b⊂α，c⊂α，得a⊥b，a⊥c；反过来，由a⊥b，a⊥c不能得出a⊥α，因为直线b，c可能是平面α内的两条平行直线．综上所述，“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的充分不必要条件，选A.答案：A3．(2013·黄冈模拟)已知命题p：x2－3<0；命题q：log2x2>1，则命题p是命题q的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2－3<0得－3<x<3，log2x2>1得x>2或x<－ 2.∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．答案：D1．(2013·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a＝3⇒A⊆B，A⊆B⇒a＝2或a＝3.因此“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．答案：A2．(2013·北京卷)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin 2x过原点．当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π. ∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过原点”的充分不必要条件．答案：A1．(2012·江门调研)已知命题p：“s in α＝sin β且cos α＝cos β”，命题q：“α＝β”，则命题p是命题q的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若“α＝β”，则有“sin α＝sin β且cos α＝cos β”，反之若“sin α＝sin β且cos α＝cos β”，则有“α＝2kπ＋β(k∈Z)”，∴p是q的必要不充分条件．故选A.答案：A2．(2013·汕尾二模)设向量a＝(1，x)，b＝(x,4)，则“x＝2”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵向量a＝(1，x)，b＝(x,4)，若x＝2，则2a＝b，∴a∥b.若a∥b，则1x＝x4，x＝±2.∴“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件．故选A.答案：A。
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
p是q的充 分条件
p⇒q
A⊆B
p是q的必要条件
q⇒p
A⊇B
p是q的充要条件
p⇒q且q⇒p A＝B
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p A B
p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p A B
p是q的既不充分条件 也不必要条件
p q且q p A B且A B
二、“基本技能”运用好 1．通过对四种命题及其相互关系的复习，提高学生的抽象概
答案：A
[一“点”就过] 判断命题真假的 2 种方法
直接 判断
判断一个命题为真命题，要给出严格的推理 证明；说明一个命题是假命题，只需举出一 个反例即可
根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题 间接 与否命题同真同假”这一性质，当一个命题 判断 直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否
命题的真假
[提醒] (1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改 写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前 提．(3)命题的否命题是条件和结论都否定，而命题的否定是条 件不变只否定结论．
答案：充分不必要 充要
三、“基本思想”很重要 1．利用等价转化思想判断命题真假及充分与必要条件． 2．利用集合思想、数形结合思想解决充分、必要条件的应用
问题．
1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是
()
A．若α≠π4，则tan α≠1
B．若α＝π4，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠π4
答案：C
3．(2020·广东中山一中第一次统测)下列命题中为真命题的是
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
()
B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
考纲 要求
1.理解命题的概念 2.了解“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆 否命题,会分析四种命题的相互关系 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义
考情 播报
1.充分条件、必要条件、命题真假的判断是近几年高 考命题的热点 2.常和数学其他知识相结合考查,在知识的交汇处命题 3.题型主要以选择题为主,属中低档题
1 a 1 4
故“a＝1”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平 行”的充分不必要条件.
好好学习天天向上！
解析：根据逆否命题的定义，命题“若 m>0，则方程 x2＋x －m＝0 有实根”的逆否命题是“若方程 x2＋x－m＝0 没有实根， 则 m≤0”．故选 D.
答案：D
考点2 充分条件、必要条件的判断
高频考点 通关
【考情】充分条件、必要条件以其独特的表达形式成为高考命
题的亮点.常以选择题、填空题的形式出现,作为一个重要载体,
【特别提醒】解答充分条件、必要条件的判断题,必须从正、 逆两个方面进行判断.
【通关题组】
1.(2014·天津模拟)“x>1”是“|x|>1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】选A.由x>1可得|x|>1,而由|x|>1得x>1或x<-1,故
22
2
线与圆相切，该命题正确.
(2)选A.由已知条件可以判断原命题为真，所以它的逆否命题也
是真；而它的逆命题为真，所以它的否命题亦为真，故选A.
【规律方法】 1.书写否命题和逆否命题的注意事项 (1)一些常见词语及其否定表示:
词语 否定
是 不是
都是 不都是
都不是
至少一 个是
等于 不等于
大于 不大于
实数解”的( )
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.一元二次方程x2+x+m=0有实数解时m满足1-4m≥0,
即m≤ 1 ,故m< 1 ⇒m≤ 1 ;反之不成立,所以“m< 1 ”是
4
4
4
4
“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分不必要条件.
“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件.
2.(2014·浙江高考)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是 “(a+bi)2=2i”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当a=b=1时，(a+bi)2=(1+i)2=2i，反过来
(2)(2013·陕西高考)设a，b为向量,则“|a·b|=|a||b|”是 “a∥b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)选C.设向量a与b的夹角为θ.由|a·b|=||a |·|b|cosθ| =|a||b| ，得|cos θ|=1,即cos θ=±1,所以θ=0或π，能够推 得a∥b，显然，反之也能够成立. 故“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件.
答案：A
3.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线 l2:x+(a+1)y+4=0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2 ：x+(a+1)y+4=0平 行”的充要条件是： 由 a 2 1, 解得a=-2或1.
考查的数学知识面很广,几乎涉及数学知识的各个方面,如函数、
不等式、三角、平面向量、解析几何、立体几何等.
充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断． (2)集合法：根据 p，q 成立的对应的集合之间的包含关系进 行判断． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判 断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定 形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1 或 y≠1”的何种条件， 即可转化为判断“x＝1 且 y＝1”是“xy＝1”的何种条件．
【知识梳理】 1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以_判__断__真__假__的陈述句叫做命题. 其中_判__断__为__真__的语句叫做真命题,_判__断__为__假__的语句叫做假命 题.
2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系:
若q，则p
若p，则q
若q，则p
(2)四种命题中的等价关系:原命题等价于_逆__否__命__题__,否命题等价 于_逆__命__题__,在四种形式的命题中真命题的个数只能是0或2或4.
【规范解答】(1)选C.命题①由球的体积公式可知，一个球的
半径缩小到原来的 1 ,则其体积缩小到原来的 1 ，正确；命
2
8
题②两组数据的平均数相等,若其离散程度不同，则它们的标
准差也不相等，故该命题错误；命题③圆心(0，0)到直线
x+y+1=0的距离 d 1 2 , 与圆x2+y2= 1 的半径相等，故直
(a+bi)2=a2－b2+2abi=2i,
则
ìïïíïïî
a 2－b2 2ab =
= 2,
0,
解得
ìïïíïïî
a b
= =
1, 1
或
ìïïíïïî
a b
= =
－1, 所以“a=b=1”是
－1，
“(a+bi)2=2i”的充分不必要条件.
【加固训练】
1.m< 1
4
”是“一元二次方程x2+x+m=0有
(2)否定的方法: 在根据原命题构造其否命题和逆否命题时,首先要把条件和结 论分清楚,其次把其中的关键词搞清楚.注意其中易混的关键词, 如“都不是”和“不都是”,其中“都不是”是指的一个也不 是,“不都是”指的是其中有些不是.
2.命题真假的判断方法 (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断. (2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断.
解析：根据逆否命题的定义可以排除 A，D，因为 x2－3x－ 4＝0，所以 x＝4 或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命 题．
答案：C
5.命题“若x2-2x-3>0,则x>3或x<-1”的逆否命题
是
.
【解析】因为x>3或x<-1的否定是x≥-1且x≤3,即-1≤x≤3,所
以原命题的逆否命题是“若-1≤x≤3,则x2-2x-3≤0”.
【解析】选A.对于①,因为原命题等价于逆否命题,所以①是真 命题;对于②,由充分、必要条件的定义知②是真命题;对于③, 由充要条件的意义知,③是真命题;对于④,“若p,则q”的否命 题是“若﹁p,则﹁q”,所以④是假命题.
2.“x>2”是“x2>4”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
2.设 a，b 是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．而当 a∥b 时，〈a，b〉还可能 是 π，此时 a·b＝－|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不 必要条件．
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
(2)(2014·陕西高考)原命题为“若
an
+ an+1 2
＜a n
,
n∈N+，
则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题
真假性的断依次如下，正确的是( )
A.真，真，真
B.假，假，真
C.真，真，假
D.假，假，假
【解题视点】(1)命题①,用球的体积和半径的关系进行判断, 命题②,用样本平均数、样本标准差的概念进行判断,命题③, 用直线和圆的位置关系进行判断. (2)因为原命题和其逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假， 所以只要判断原命题和它的逆命题的真假即可.
答案:若-1≤x≤3,则x2-2x-3≤0
考点1 四种命题及其相互关系
【典例1】(1)(2013·天津高考)已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的 1 ,则其体积缩小到原来的 1 ;
2
8
②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;
③直线x+y+1=0与圆x2+y2= 1 相切.
2
其中真命题的序号是( )
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.显然,若x>2,则x2>4,但反之不成立.故选A.
3.给出命题:“若实数x,y满足x2+y2=0,则x=y=0”,在它的逆命
题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( )
A.0个
B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选D.原命题显然正确,其逆命题为:若x=y=0,则
3.充要条件 (1)相关概念:
若p⇒q,则p是q的_充__分__条件,q是p的_必__要__条件
p是q的_充__分__不__必__要__条件
p⇒q且q p
p是q的_必__要__不__充__分__条件
p q且q⇒p
p是q的_充__要__条件
p⇔q
p是q的_既__不__充__分__也__不__必__要__条件
p q且q p
(2)集合与充要条件: