(完整版)命题及其关系、充分条件和必要条件-知识点和题型归纳

●高考明方向1.理解命题的概念．2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.★备考知考情常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，考查形式以选择题为主，试卷多为中低档题目，命题的重点主要有两个：一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命题的真假判断；二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题，考查考生的逆向思维.一、知识梳理《名师一号》P4知识点一命题及四种命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．注意：命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。

2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系．(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关．注意：(补充)1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题原词语等于（=）大于（>）小于（<）是否定词语不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是原词语都是至多有一个至多有n个或否定词语不都是至少有两个至少有n+1个且原词语至少有一个任意两个所有的任意的（1）充分条件：q p ⇒ 则p 是q 的充分条件即只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立，亦即要使q 成立，有p 成立就足够了，即有它即可。

（2）必要条件：q p ⇒ 则q 是p 的必要条件q p ⇒⇔q p ⌝⇒⌝即没有q 则没有p ，亦即q 是p 成立的必须要有的条件，即无它不可。

(补充)（3）充要条件q p ⇒且q p ⇒即p q ⇔则p 、q 互为充要条件（既是充分又是必要条件）“p 是q 的充要条件”也说成“p 等价于q ”、 “q 当且仅当p ”等 (补充)2、充要关系的类型（1）充分但不必要条件定义：若q p ⇒，但p q ⇒/，则p 是q 的充分但不必要条件；（2）必要但不充分条件 定义：若p q⇒，但q p ⇒/， 则p 是q 的必要但不充分条件（3）充要条件定义：若q p ⇒，且p q ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；（4）既不充分也不必要条件定义：若q p ⇒/，且p q ⇒/， 则p 、q 互为既不充分也不必要条件．3、判断充要条件的方法：《名师一号》P6特色专题①定义法；②集合法；③逆否法（等价转换法）． 逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性 集合法----利用集合的观点概括充分必要条件若条件p 以集合A 的形式出现，结论q 以集合B 的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．（1）若⊂≠A B ，则p 是q 的充分但不必要条件（2）若⊂≠B A ，则p 是q 的必要但不充分条件（3）若B A =，则p 是q 的充要条件（4）若B A ⊂/，且B A ⊃/， 则p 是q 的既不必要也不充分条件 (补充)简记作----若A 、B 具有包含关系，则（1）小范围是大范围的充分但不必要条件（2）大范围是小范围的必要但不充分条件二、例题分析（一）四种命题及其相互关系例1.(1)《名师一号》P4 对点自测1命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题 是()A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数答案 C例1.(2)《名师一号》P5 高频考点 例1下列命题中正确的是()①“若a ≠0，则ab ≠0”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题； ④“若x －123是有理数，则x 是无理数”的逆否命题．A ．①②③④B ．①③④C ．②③④D ．①④ 解读:①中否命题为“若a ＝0，则ab ＝0”，正确；②中逆命题不正确；③中，Δ＝1＋4m ，当m >0时，Δ>0，原命题正确， 故其逆否命题正确；④中原命题正确故逆否命题正确．答案 B注意：《名师一号》P5 高频考点 例1 规律方法在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为 原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手． 例1.(3)《名师一号》P4 对点自测2(2014·陕西卷)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解读 易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真， 设z 1＝3＋4i ，z 2＝4＋3i ，则有|z 1|＝|z 2|，但是z 1与z 2不是共轭复数，所以逆命题为假， 同时否命题也为假．注意：《名师一号》P5 问题探究 问题2四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“特例法”的应用．例2．(1)(补充)（2011山东文5)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a b c ++=3， 则222a b c ++≥3”的否命题．．．是（） (A)若a+b+c≠3，则222a b c ++<3(B)若a+b+c=3，则222a b c ++<3(C)若a+b+c≠3，则222a b c ++≥3(D)若222a b c ++≥3，则a+b+c=3【答案】A【解读】命题“若p ，则q ”的否命题是：“若p ⌝，则q ⌝” 例2．(2)(补充)命题：“若0xy =，则0x =或0y =”的否定．．是：________ 【答案】若0xy =，则0x ≠且0y ≠【解读】命题的否定只改变命题的结论。

注意： 命题的否定与否命题的区别（二）充要条件的判断与证明例1.(1)(补充)（07湖北）已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。

现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④s p ⌝⌝是的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（）A.①④⑤B.①②④C.②③⑤D.②④⑤答案:Ｂ注意：1、利用定义判断充要条件q r s p《名师一号》P6特色专题方法一 定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题 ——“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要关系． q p ⇒ 则p 是q 的充分条件； q 是p 的必要条件2、利用逆否法判断充要条件《名师一号》P6特色专题方法三 等价转化法当所给命题的充要条件不好判定时，可利用四种命题的关系，对命题进行等价转换．常利用原命题与逆命题的真假来判断p 与q 的关系．令p 为命题的条件，q 为命题的结论，具体对应关系如下：①如果原命题真而逆命题假，那么p 是q 的充分不必要条件；②如果原命题假而逆命题真，那么p 是q 的必要不充分条件；③如果原命题真且逆命题真，那么p 是q 的充要条件；④如果原命题假且逆命题假，那么p 是q 的既不充分也不必要条件．简而言之,逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性 例1.(2)《名师一号》P6特色专题 例1(2014·北京卷)设{a n }是公比为q 的等比数列．则“q >1”是“{a n }为递增数列”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【规范解答】若q >1，则当a 1＝－1时，a n ＝－q n －1，{a n }为递减数列，所以“q >1” ⇒/ “{a n }为递增数列”；若{a n }为递增数列，则当a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 时，a 1＝－12，q ＝12<1，即“{a n }为递增数列”⇒/“q >1”．故选D.例1.(3)《名师一号》P6特色专题 例2(2014·湖北卷)设U 为全集．A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C”是“A∩B ＝φ”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【规范解答】 如图可知，存在集合C ，使A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则有A∩B ＝φ.若A∩B ＝φ，显然存在集合C.满足A ⊆C ，B ⊆∁U C.故选C .例1.(4)《名师一号》P4 对点自测5已知p ：－4<k <0，q ：函数y ＝kx 2－kx －1的值 恒为负，则p 是q 成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解读:－4<k <0⇒k <0，Δ＝k 2＋4k <0，函数y ＝kx 2－kx －1的值恒为负，但反之不一定有－4<k <0，如k ＝0时，函数y ＝kx 2－kx －1的值恒为负，即p ⇒q ，而q ⇒/ p . 可用定义或集合法注意：3、利用集合法判断充要条件《名师一号》P6特色专题方法二 集合法涉及方程的解集、不等式的解集、点集等与集合相关的命题时，一般采用集合间的包含关系来判定两命题之间的充要性．具体对应关系如下：若条件p 以集合A 的形式出现，结论q 以集合B 的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．（1）若⊂≠A B ，则p 是q 的充分但不必要条件（2）若⊂≠B A ，则p 是q 的必要但不充分条件（3）若B A =，则p 是q 的充要条件（4）若B A ⊂/，且B A ⊃/， 则p 是q 的既不必要也不充分条件 (补充)简记作----若A 、B 具有包含关系，则（1）小范围是大范围的充分但不必要条件（2）大范围是小范围的必要但不充分条件例2.《名师一号》P5 高频考点 例3函数f (x )＝⎩⎨⎧ log 2x ，x >0，2x －a ，x ≤0有且只有一个零点的 充分不必要条件是()A ．a ≤0或a >1B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a <0 解读:因为f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，2x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充要条件为a ≤0或a >1.由选项可知，使“a ≤0或a >1”成立的充分条件为选项D.注意：《名师一号》P5 高频考点 例3 规律方法有关探求充要条件的选择题，解题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项； 其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．务必审清题，明确“谁是条件”！此题选项是条件！练习：(补充)已知:3≠p x 且2≠y ，:5+≠q x y ，则p 是q 的 条件。