用正交变换化二次型成标准形
线性代数第2版课件-用正交变换化 二次型为标准形
2
4 −14
从而得特征值 1 = 9, 2 = 3 = 18.
用正交变换化二次型为标准形
例1
将二次型 f = 17 x12 + 14 x22 + 14 x32 − 4 x1x2 − 4 x1x3 − 8x2 x3
通过正交变换化为标准形
解
写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 1 = 9, 2 = 3 = 18.
分析 分析 f ( x1, x2, x3 ) = 1 表示何种二次曲面？
正交变换为 x = Qy，
f = 17 x12 + 14 x22 + 14 x32 − 4 x1x2 − 4 x1x3 − 8x2 x3 = 9 y12 + 18 y22 + 18 y32 17 x12 + 14 x22 + 14 x32 − 4 x1x2 − 4 x1x3 − 8x2 x3 = 1 ---椭球
2. 求出A的所有特征值 1,2 , ,n; 3. 求出对应于特征值的特征向量 1,2 , ,n; 4. 将特征向量 1,2 , ,n 正交化，单位化，得， 1,2 , ,n
记 Q = (1,2 , ,n );
5. 作正交变换 x = Qy ，则得 f 的标准形 f = 1 y12 + + n yn2
4)．将正交向量组单位化，得正交矩阵Q 令
i
=
i i
,
(i = 1, 2,3) ,
得
1
=
1 2 2
3 3, 3
2
=
−2 5
1 5 ,
0
3
−2
=
−4545 Fra bibliotek45 . 45
1 3 −2 5
6.3 用正交变换化二次型为标准型
2 B 0 0
0
0 1 1 . 1 1
8
§6.3 用正交变换化二次型为标准形 第 例 设方阵 A 为正交阵，且 | A| 1，试证 A + I 不可逆。 六 证 A I A A AT A ( I AT ) 章 二 次 型
A ( I T AT ) A ( I A)T A ( A I )T ,
则 P 为正交阵，且
T X1 P 1 A P P T A P T A ( X 1 P1 ) P 1
14
§6.3 用正交变换化二次型为标准形 第 证明 (1) 设 l 是 A 的特征值, 则存在 X 0 使得 A X l X , 六 (a) X T AX l X T X , 章 其中 X 是 X 的共轭。 二 对上式两端取共轭转置，并利用 A T A 得 次 型 (b) X T AX l X T X , 从而有 l X T X l X T X , 即得
从而 X C Y 为正交变换。 12
§6.3 用正交变换化二次型为标准形 第 三、正交变换 六 T 章 目标 求正交矩阵 P，即 P P I , 使得 二 次 型
f (X )
X PY
2 2 2 Y T ( P T AP )Y d1 y1 d 2 y2 d n yn ,
d1 d2 . 或 P T A P P 1 A P Λ dn
P178 定理 6.6
l1 l2 . C T AC C 1 AC ln
17
§6.3 用正交变换化二次型为标准形 第 证明 (数学归纳法) 对于 1 阶实对称矩阵，性质显然成立。 六 假设性质对于 n 1 阶成立， 需证对于 n 阶也成立 。 章 (1) 设 A 的某特征值 l 1对应的单位特征向量为 X1 , 二 将 X1 扩充为 Rn 中的标准正交向量组 X 1 , 2 , 3 , , n , 次 型 记为 令 P ( X1 2 3 n ) ( X1 P1 ) ,
线性代数课件-用正交变换化二次型为标准化
1 1 T , ) , 2 2
20 (1, 0, 0)T ,
30 (0,
1 1 T , ) . 2 2
故所求的正交变换矩阵为 0 Q=
1 2 1 2
1 0
0
1 2
且
1Leabharlann 021 0 0 Q 1AQ = 0 2 0 . 0 0 5
从而可取特征向量 p 1= (0, 1, 1)T 及与 p1 正交的另一特征向量 p2 = (4, 1, 1)T.
上一页
对于 3 = 9,
8 2 2 A E 2 5 4 2 4 5 2 4 5 0 9 9 , 0 0 0
1 2
2
1 2
0
1 2
例4
2 2 已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 5x12 5x2 cx3 2x1 x2 6x1 x3 6x2 x3 的秩为 2,
(1) 求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2) 指出方程 f (x1, x2, x3) = 1 表示何种二次曲面.
对应于 对应于 对应于 特征值 特征值 特征值 1 2 5
定理 5
任意一个 n 元实二次型
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX aij xi x j ,
T
n
n
都存在正交变换 X = QY 使得
i 1 j 1
2 2 X T AX 1 y12 2 y 2 n y n ,
第三节 用正交变换化二次型为标准化
一、实对称方阵的对角化
定理1 实对称方阵的特征值都是实数 .
上一页
例1
第三节 正交变换法化二次型为标准型.
1 求矩阵A的特征值, 2 求特征值的特征向量, 3 将属于同一特征值的特征向量正交化, 4 单位化特征向量, 5 单位化的向量为列，构造正交矩阵；
从而正交对角化对称矩阵.
例1：设对称矩阵 2 2 4 A 2 4 2 2 2 4 求一个正交矩阵C，使得C T AC 为 对角矩阵，并写出此矩阵.
定理2 设 A为 n阶对称矩阵, 是A 的k 重特征根, 则矩阵A的对应于的特征 子空间的维数恰等于k ,即齐次线性方程组： ( E A) X 0的基础解系恰有k 个解向量， 亦即：r ( E A) n k , 从而对应特征值
恰有 k 个线性无关的特征向量.
对比复习：第五章 定理6：设0是n阶矩阵A的k 重特征值， 则A的对应于0的特征子空间的维数 不超过重数k .
此式表明，当C为正交矩阵时，由上式 所得的对角矩阵既与A合同，又与A相 似，且对角线元素全是A的全部特征值。
由第五章矩阵可以相似对角化的条件，只 要说明矩阵A的特征值都是实数，且一定 有n个特征向量组成的标准正交组,则问题 就可以得到完全解决. 定理1 n阶对称矩阵的特征值必为实数.
定理1的意义
由于对称矩阵A的特征值 i 为实数, 所以齐次 线性方程组 ( A i E)x 0 是实系数方程组 ,由 A i E 0知必有实的基础解 系, 从而对应的特征向量可 以取实向量.
T T T
T 1 T 1
(1 2 ) X X 2 0, 1 2 , 故：X X 2 0, 即二者正交.
由定理3，结合矩阵相似对角化的理论，
可得以下定理4：
定理4 对n阶对称矩阵A，一定存在 正交矩阵C ,使得： 1 2 T 1 C AC C AC O . n
用正交变换化二次型为标准型
1
1
1
1 2 2 λ +1
0 λ 1 2 = (1 λ) 0 2 λ 1 0 0 0
1
2
1
1
= (1 λ) 0 λ 1 2 0 2 λ 1
= (1 λ) (λ + 2λ 3)
2 2 2
Hale Waihona Puke = (1 λ) (λ + 3)(λ 1) = 0
得A的特征值为
3) 由（A λE）x = 0, 求A 的特征向量. 当λ1 = 3时，解方程（A + 3 E）x = 0. 由
k2 .k3 , k4不 时 零 同 为 .
1 0 1 1 0 1 ξ2 = , ξ3 = , ξ4 = . 0 1 1 0 1 1
单 化 位 1 2 1 P = 2 0, 2 0 0 2 0 P = 3 1, 2 1 1 1 1 P = . 4 2 1 1
三 、用正交变换化二次型为标准型
经过上面的讨论，总结用正交变换化二次型为标准型 的一般步骤：
1.将 次 f = ∑∑aij xi xj： 成 阵 式 = x Ax 二 型 写 矩 形 f
T
n
n
2、由 A λ E = 0, 求出A的全部特征值： 3、由（ A λ E） x = 0，求出 A的特征向量；
3 1 1 3 A + 3E = 1 1 1 1 1 1 0 2 ~ 0 2 0 2 1 1 1 1 1 1 ~ 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 2 0 0 1 ~ 0 0 2 0 2 4 0 0 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 0 4 4 0 0 1 3
当λ2 = λ3 = λ4 = 1，解方程（A E）x = 0.由
用正交变换化二次型为标准型
1 6
1
1
0
, 2
2
1 1
3 , 3
3
2 1
6 . 6
于是，正交矩阵为：
1 2
T
(1,2 ,3 )
1
0
2
13 13 1 3
1 6 2 6 1 6
所以，原二次型在正交变换 X TY 下可化为标准形：
g(Y ) 2 y12 y22 2 y32 .
- 11 -
用正交变换化实二次型为标准形的应用
2
将 1, 2 , 3 , 4 单位化得：
1/ 3 1/ 3
1
.
1 / 2
1 / 2
1 / 6
3 / 6
1
1 1 1/
/2 /2 2
,
2
1/
0
0
2 ,3
1/
2/
0
6 6
,
4
3 3
/ /
6 6
.
3 / 2
-8-
于是，正交矩阵为
1 2
T
1 1
2 2
1 2
二次型的矩阵为： 0 2 2
A 2 3 1 2 1 3
易 知A的特征值为1 4(二 重), 2 2.
- 16 -
对于 1 4, 特征向量为：
1
1
1 2, 2 0 ,
0
2
对于
2
2,
特征向量为：
2
3 1.
1
将 1 ,2 ,3 单位正交化得：
1 / 5
二次型的矩阵为：
A
1 4
54
特征值和对应的正交单位特征向量为
- 12 -
5-2化二次型为标准型
例1 用正交变换化二次型
f ( x1, x2, x3 ) 2x12 3x22 3x32 4x2 x3
为标准形. 解：二次型的矩阵为
2 0 0
A
0
3
2
0 2 3
2 0 0
I A 0 3 2
0 2 3
( 2) ( 3)2 4 ( 1)( 2)( 5)。
A 的特征值为 1 1, 2 2, 3 5。
令
z1 z2
y1 y2
y3
，即
z1 z2
1
0
0 1
1 y1
0
y2
z3 y3
z3 0 0 1 y3
则二次型就化为标准形：z12 z22 z32 .
例4 用配方法化二次型
f ( x1, x2 ) x12 x1 x2 x22
为标准形.
解：一种配方法为
f
令
x1 x2
x3
y1 y1 y3
y2 y2 ，即
x1 x2 x3
1
1
0
1 1 0
0
0
y1 y2
1 y3
则 f ( x1, x2, x3 ) y12 y22 y1 y3 y2 y3 y1 y3 y2 y3 y12 y22 2 y1 y3 y12 2 y1 y3 y32 y22 y32 ( y1 y3 )2 y22 y32，
解： 1 1 1
1
2
2
1 0
1
1
0 (1)
1
1 2 1
1 1 0
A I
=
1
0
-
0
-
-
-
1 1 1
0 1 0
0 1 0
关于正交变换法化二次型为标准型例题的文章
关于正交变换法化二次型为标准型例题的文章正交变换法是一种重要的数学工具，用于将二次型化为标准型。
二次型是数学中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学和经济学等。
通过正交变换法，我们可以简化二次型的计算和分析过程，从而更好地理解和应用它们。
首先，让我们来了解一下什么是二次型。
在数学中，一个二次型是由一组变量的平方项和交叉项组成的多项式。
它可以表示为Q(x) = x^T A x，其中x是一个n维向量，A是一个n×n矩阵。
二次型在矩阵理论、线性代数和优化问题中都有广泛的应用。
然而，在实际问题中，我们经常需要将复杂的二次型化简为更简单的形式。
这就引出了正交变换法。
正交变换法通过选择适当的正交矩阵P来改变坐标系，从而将原始二次型转化为标准型。
具体来说，我们可以通过以下步骤来进行正交变换法：1. 首先，找到原始二次型Q(x) = x^T A x 的矩阵A的特征值和特征向量。
\n2. 将特征向量按列组成一个正交矩阵P。
\n3. 计算P^T A P，得到一个对角矩阵D。
\n4. 标准型二次型为Q(y) = y^T D y，其中y = P^T x。
通过这样的正交变换，我们可以将原始二次型化为标准型。
标准型的特点是只有平方项，没有交叉项。
这样一来，我们可以更方便地计算和分析二次型的性质。
举个例子来说明正交变换法的应用。
假设我们有一个二次型Q(x) = 2x_1^2 + 3x_2^2 + 4x_1x_2。
我们可以通过正交变换法将其化为标准型。
首先，计算矩阵A的特征值和特征向量。
假设A的特征值为λ_1 = 5和λ_2 = 1，对应的特征向量分别为v_1 = [1, 1]^T 和v_2 = [-1, 1]^T。
然后，将特征向量按列组成正交矩阵P = [v_1, v_2] = [[1, -1], [1, 1]]。
接下来，计算P^T A P。
由于A是对称矩阵，所以P是正交矩阵，即P^T P = I。
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§6用配方法化二次成标准形
用正交变换化二次型成标准形,具有保持几何形状不变的优点.如果不限于用正交变换法,那么还有多种方法对应有多个可逆的线型变幻把二次型化成标准形.这里只介绍拉格朗日配方法.下面举例来说明这种方法 例15 化二次型
3
2
3
1
2
1
2
2
2
2
2
1
62252x
x x x x x x x x f +++++=
成标准形,并求所用的变换矩阵
解 由于
f
中含变量
1x 的平方项，故把含1x 的项归并起来，配方可得
3
2
2
3
2
2
3
1
2
1
21
65222x
x x x x x x x x f +++++=
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
1
6522)(x
x x x x x x x x x x +++---++=
23
3
2
2
2
2
3
2
1
44)(x
x x x x x x +++++=
上式右端除第一项外已不再含.1x 继续配方，可得
2
3
2
2
3
2
1
)
2()(x x x x x f ++++=
令
⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=,,2,
333223211x y x x y x x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=,
,
2,
33
3223211y x y y x y y y x 就把化成标准形(规范形)22
21
y
y f +=，所用变换矩阵为
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=10
210111
C ，).
01(≠=C
例 16 化二次型
3
2
3
1
2
1
622x
x x x x
x f -+=
成规范形，并求所用的变换矩阵. 解 在
f
中不含平方项。
由于含有乘积项，故令
⎪
⎩⎪
⎨⎧=-=+=,
,
,33212211y x y y x y y x
代入可得
.32312
22
18422y y y y y y f +--=
在配方，得 .6)2(2)(22
32
322
31y y y y y f +---=
令⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧=-=-=,6),2(2),(233322311y z y y z y y z 即⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
=+=+=,
61,
6
221,61213332311z y z z y z z y
就把
f
化成规范形
,
33
22
2
1
z z
z
f +-=
所用变换矩阵为
,61
0612121632121
610
6221061021100011011⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C
).
06
1(≠-
=C
一般地，任何二次型都可用上面两例的方法找到可逆变换，把二次型化成标准形（或规范形）。
§7正定二次型
二次型的标准形显然不是唯一的，只是标准形中所含项数是确定的（即是二次型的秩）。
不仅如此，在限定变换为实变换时，标准形中正系数十不变的（从而负系数的个数也不变），也就是有
定理9 设有二次型Ax
x f T
=,它的秩为r ，有两个可逆变换
Cy
x = 即
Pz
x =
使 ()022
2
2
2
1
1
≠+++=i
r
r
k y k y k y k f
即
()02
2
2
2
2
1
1
≠+++=i
r
r
z z z f λλλλ 则 r k k ,,1 中
正数的个数与r λλ,,1 中正数的个数相等..
这个定理 称为惯性定理，这里不予证明.
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数.若二次型f 的正惯性指数为,p 秩为,
r 则
f
的规范形便可确定为
.221
221
r
p p
y y
y y
f ---++=+
科学技术上用得较多的二次型是正惯性指数为n 或负惯性指数为n 的n 元二次型，我们有下述定义.
定义 10 设有二次型如果对任何
≠x ,都有
()0
>x f
（显然
()00=f ，则称f
为正定二次型，并称对称阵A 是正定的；如果对任何0≠x 都
有
()0<x f
,则称
f 为负定二次型，并称对称阵A 是负定的.
定理 10 二次型
Ax
x f T
=为正定的充分必要条件是：它的标准形的
n 个系数全为正，即它的正惯性指数等于n 证 设可逆变换Cy x =使
()
()
2
1
i n
i i y k Cy f
x f
∑
==
=
先证充分性.设
)
,,1(0n i k i =>任给
,
0≠x 则
01
≠=-x c y ，故
()
.02
1
>=
∑
=i
n
i i y k x f
再证必要性。
用反证法。
假设有
.0≤s k 则当s
e
y =（单位坐标向量）时，
().0≤=s s k Ce f 显然0≠s
Ce
,这与f 为正定相矛盾。
这就证明了
().,,10n i k
i
=>
推论 对称阵A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正。
定理 11 对称阵A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正，即
,,0,
01
111
22
2112
11
11
>>>+nn
n n
a
a
a
a
a
a
a a a
对称阵A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子为负，而偶数阶主子式为正， 即
()()n r a
a
a
a
rr
r r
r
,,2,1,011
111
=>-
这个定理称为霍尔维茨定理，这里不予证明。
例17 判定二次型
xz
xy z y x f 444652
2
2
++---=的
正定性。
解
f
的矩阵为
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=40
2
062225A ,
,0266
2
25,
522
2112
11
11
>=--=
-=a
a
a a a
,
080<-=A
根据定理 11 知f
为负定。
设
()y x f ,是二元正定二次型，则()c y x f =,(0>c 为常数)的图形是以原形为
中心的椭圆。
当把c 看作任意常数时则是一族椭圆 。
这族椭圆随着0→c 而收缩到原
点。
当
f
为三元定二次型时，
()()0,,>=c c z y x f 的图形是一族椭球。