超短拉盖尔-高斯脉冲光束的模式展开方法的研究

-3-
图 1 超短 LBG 脉冲模的产生示意图
可以简单地将透射函数或者叫做波包函数写为高斯形式：
t2 f t exp 2 T
90 其中 T 是与脉冲持续时间 t
(9)
2 ln 2T 相关的一个量。
下面只考虑一种模式 m0 , n 的 LGB 入射，那么公式(1)的边界条件就为如下形式：
i0 t z X iHt X 0
其中 X a0,n , a1,n , , am,n ,
(6)


T
， H= H m,m 。公式(6)中的矩阵可以化为具有两个变量的
[17]


一系列二阶偏微分方程。它的解的形式由矩阵 H 决定。根据 Zauderer 等人 70 (a) H 不是 z 或 t 的函数。 (b) H 是一个对称矩阵。 (c) 除了主对角线以及两边的次对角线上的元素不为零之外其它都为零。 (d) 不为零的元素全为纯虚数，且虚部为负。
公式(8)的解由脉冲模所具有的边界条件以及初始条件决定。
(8)
1.2
85
脉冲模、边界条件以及初始条件
高速调制是光通信中重要的一环。可以截断连续 LGB 光束得到“小片”的方式来简单
地生成超短 LGB 光脉冲。图 1 给出将 LGB 光束“切割成片”的示意图。
超短脉冲
LGB
?
入射LGB
遮光板
调制后的LGB
2ik0 z 0
(2)
公式(2)的解就是大家熟知的归一化 LGB 光束，下面用 m , n 表示，其中 m 表示非负径 向量子数， n 表示角向量子数。 55 在求解方程(1)的诸多方法中，微扰法是一种较为简单的方法 系数中包含了脉冲光的时变特性以及传播特性。 入射光束被展开成 LGB 光束叠加的表达式如下：
-1-
40
螺旋光结合的研究则寥寥无几 悉。
[14, 15]
。螺旋光脉冲的时变特性以及传播特性还不为人们所熟
[16]
本文通过 Porras 等人使用过的方法
，将连续入射 LGB 光束截断形成脉冲螺旋光，并
将之用带有相同角向量子数但不同径向量子数的 LGB 光束族来展开，展开系数中包含了时 变特性与传播特性。 下面的研究详细阐述了这两种特性， 并对采用轨道角动量复用技术进行 45 通信有重要的参考价值。
[13]
提出的轨道角动量复用技术注入生机，为大容量光通信系统奠定良好的
理论基础。在过去的十几年里，已有很多超短脉冲与基模高斯光结合的研究，但超短脉冲与
基金项目：教育部博士点基金(20090185120016)；国家自然科学基金（60908034） 作者简介：杨富萍（1987-），女，硕士研究生，主要研究方向是光信息科学与技术 通信联系人：刘义东（1981-），男，副教授，主要研究方向为光信息科学与技术、量子光学. E-mail: liuyd@
1
i0 t z Y iΛt Y 0
其中 Y b0,n , b1,n , , bm,n , 80 组形式如下：
(7)


T
U 1X 。
由于 Λ 是一个对角阵，那么耦合方程(5)就可以分解为一些独立的方程组。每一个方程
i0 t zbm,n im,ntbm,n 0
25
0 引言
30 Allen 螺旋光是一类带有漩涡状螺旋波前的光束， 这种光束携带有一定量的轨道角动量。 等人 发现具有 exp(il ) 形式旋转相位因子的光子携带的轨道角动量为 l ，其中 l 是整数，
[1]
也被称作角量子数）。在过去的几十年中，螺旋光在各个领域得到了广泛的重视，如光学扳 手 ，高密度数据传输 ，量子信息处理 等。目前一些研究团队重点研究螺旋光在通信领 域的研究 35
[3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11] [2] [3] [4]
，这是因为在于轨道角动量算符 i 的本征态是无穷的
[12]
，可以
大幅提高信息传输的容量。 最近，超快光学得到重视，产生的光脉冲宽度甚至短到了波长数量级。由此一门新的研 究方向—飞秒光学应运而生。 飞秒光学在超快光开关和全光网络中有着重要的作用。 超快光 学将为 Wei 等人
超短拉盖尔—高斯脉冲光束的模式展开方 法的研究#
杨富萍，黄立，刘义东**
5 （电子科技大学物理电子学院） 摘要：本文建立一个对连续拉盖尔-高斯光束(Laguerre-Gaussian Beam, LGB)进行“切片”的 方法得到超短脉冲的模型， 此脉冲光被展开成一系列具有相同角向量子束和不同径向量子数 的 LGB 光束的叠加，脉冲的时变特性和传输特性均包含在展开系数中。通过分析可知，入 射光的径向量子数越大，模式弥散也越严重。本文着重讨论了入射 LGB 光束的径向量子数 为 0 的情形。 在传输距离不长 （如 2 z R ） 的时候， 与入射光具有相同的角向量子数的模式 （原 始模式）的光束具有相同的相似的传输特性，在传输的时候此模式将发生幅度上的衰减、空 间上的展宽和时间上的延迟。特别是对较大的角量子数的情况下，这种现象尤为明显。以上 结论对采用轨道角动量复用的光通信技术有重要的意义。 关键词：超短脉冲；拉盖尔-高斯光束；轨道角动量复用 中图分类号：O436.1
2 2
随时间以及传播距离的强度变化。所以展开系数 am,n z , t 给出了脉冲 LGB 光束的时间和
-4-
传播特性。
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g) 图 2 分解后的 LGB 光束的时变与传播特性，
(h)
(i)
2
am,n z, t
。入射 LGB 光束（从上到下）分别为： 0,0 、
下面将给出此问题的数值解。
(13)
2 结果以及讨论
下面计算了一个单周期脉冲 LGB 光束，即持续时间为 t T0 的脉冲光。入射 LGB 光
0,0 、 0,3 和 3,3 。 束为： 对于一束入射的 LGB 光束脉冲， 会被展开为多个相互正交的 LGB
105 光束的叠加， 其具有相同的角向量子数和不同的径向量子数。 接下来将分析权重 am,n z , t
1 理论推导
1.1 傍轴条件下脉冲波方程的解
傍轴方程可以表示为如下形式
[16]
：
2 2ik0 z z t 0 c
50
(1)
2 2 其中 x y 是二维拉普拉斯算子； ko 0 c 为波数； 0 为中心角频率； c 为光速。
考虑单色波的情况，公式(1)将简化为：
m, n
0
(4)
对公式(4)两边乘以一个复数系数 m,n ，然后对横截面积分可以得到：
*
i
m, n m, n
0
t z a m,n H m,mt a
m, n
0
(5)
-2-
其中 H m,m 65 形式：
* m , n z m,n ， 表示对整个传播平面进行积分。公式(5)还可以改写为如下
[16]
，这种方法将方程(1)式
中的第三项视为对第二项的微扰。本文把脉冲光束视为一系列 LGB 光束族的叠加，其展开
a m,n z, t m,n
m, n
(3)
60
将公式(3)带入公式(1)，并考虑到公式(2)，得：
a
m, n 0 z m, n
m, n
i z t a m,n iz m,nt a
0,3 、 3,3 ；分解 LGB 光束的径向量子数（从左到右） m 0,1, 2 ，最后一行中 m 2,3, 4 。
110 图 2 给出了各阶分解 LGB 光束的展开系数的模的平方 am,n z , t 随时间 t 和传播距离
2
z 的分布情况。时间轴是以周期 T0 为单位，传播轴 z 以瑞利距离 z R 为单位。理论上
X , z 0, t m 式(7)的边界条件为：
Y
95 其中 U m ,m0 U 为：
z 0 U 1, m0 U 2, m0 U m, m0


T
f t
(11)

1

m , m0
表示矩阵 U 1 中的各个元素。同样的，公式(7)式的初始条件可以写
m 0,1, 2, ， 有 穷 多 个 LGB 展 开 模 式 及 其 对 应 权 重 am,n z, t ， 但 在 图
2
2(a)~(c) m0 , n0 0,0 脉冲 LGB 光束入射的时候给出了 m 0,1, 2 三个。这是由于当
m 2 的时候 am,n z, t 的值在区间 5T0 t 5T0 与 0 z 10 z R 中非常小，因此本文仅
Y t 0
(12)
由公式(8)、 公式(11)以及公式(12)式可得脉冲 LGB 光束的求解可以转换为求解以下带边界条 件和初值条件的偏微分方程的问题：
100
t z bm ,n i0 z bm ,n im ,n t bm , n 0 bm ,n z 0 U m ,m0 f t bm ,n t 0
120
沿着 z 轴传输的过程中逐渐衰减，而其他模式的能量比例逐渐增加。当传播距离不太远时， 如 z 2 zR ， 原始模式是主要的模式。 随着传播距离的增加模式开始散开并且随着时间衰减。 由于高阶模具有更宽的横向尺度，模式弥散意味着脉冲光束会向传播平面扩散。图 2 表明， 入射光的径向量子数 m0 0 不变时，随着角量子数 n 的增加，脉冲光随时间与传播距离
2
115
保留了 8 项。由于螺旋相位 exp in 的正交性，所以每行角量子数没有变化。第 2 和 3 行 给出 m, n 0,3 和 3,3 的 LGB 光束入射时的传输特性。径向模式分解时，前两行只用 了 m 0、1 和 2 三个模式，第 3 行仅用了 m 2，3 和 4 三个模式。 从图 2 可以看出，原始模式的能量要比其他模式大得多。例如图 2(d)原始模式 0,3 的 能量在 5T0 t 5T0 与 0 z 10 z R 区间内比同排的其他模式的能量要大得多。原始模式