人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》习题课ppt教学课件
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新人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》课件
当m=0时,函数为 f (x) x 不合题意,舍去.
所以m=2
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习
３．比较大小：
1) 1.30.5 ＜ 1.50.5
≤ 3) 2 a2 1.5
21.5
＜ 2) 5.12
5.092
例2.证明幂函数f ( x) x在[0,)上是增函数.
所以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0,)上的增函数.
证明幂函数 f (x) x 在［0，+∞）上是增函数.
证法二: 任取x1 ,x2 ∈［0，+∞）,且x1< x2 ；
f (x ) 1
x 1
x 1
1
即
f (x ) f (x )
1
2
f (x ) x x
y=
1
x2
.
(5)如果某人x秒内骑车行进了1 km,那么他骑车的
平均速度 yy= x1 .
以上问题中的函数具有y什 么xa 共同特征?
(二)探究新知
一般地，函数 y xa 叫做幂函数，
其中x为自变量，a 为常数( a∈R)。
你能说说幂函数有几个基本的特征? 练习1、下列函数中，哪几个是幂函数？
证明: 任取x1, x2 [0,),且x1 x2 ,则
f (x1) f (x2 )
( x1 x2
x1 x2 x1 x2
x1 x2 )( x1 x2 ) x1 x2
方法技巧:分子有理化
因为0 x1 x2 ,所以x1 x2 0, x1 x2 0,
所以m=2
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习
３．比较大小：
1) 1.30.5 ＜ 1.50.5
≤ 3) 2 a2 1.5
21.5
＜ 2) 5.12
5.092
例2.证明幂函数f ( x) x在[0,)上是增函数.
所以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0,)上的增函数.
证明幂函数 f (x) x 在［0，+∞）上是增函数.
证法二: 任取x1 ,x2 ∈［0，+∞）,且x1< x2 ；
f (x ) 1
x 1
x 1
1
即
f (x ) f (x )
1
2
f (x ) x x
y=
1
x2
.
(5)如果某人x秒内骑车行进了1 km,那么他骑车的
平均速度 yy= x1 .
以上问题中的函数具有y什 么xa 共同特征?
(二)探究新知
一般地，函数 y xa 叫做幂函数，
其中x为自变量，a 为常数( a∈R)。
你能说说幂函数有几个基本的特征? 练习1、下列函数中，哪几个是幂函数？
证明: 任取x1, x2 [0,),且x1 x2 ,则
f (x1) f (x2 )
( x1 x2
x1 x2 x1 x2
x1 x2 )( x1 x2 ) x1 x2
方法技巧:分子有理化
因为0 x1 x2 ,所以x1 x2 0, x1 x2 0,
高一数学《幂函数》PPT课件
根据n, m, p的取值不同，图像形状各 异。
03
幂函数运算规则与技巧
同底数幂相乘除法则
01
02
03
同底数幂相乘
底数不变，指数相加。公 式：a^m × a^n = a^(m+n)
同底数幂相除
底数不变，指数相减。公 式：a^m ÷ a^n = a^(m-n)
举例
2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7；3^5 ÷ 3^2 = 3^(5-2) = 3^3
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为 非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需 要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
计算圆的面积
$S=pi r^2$，$r$为圆半 径，利用幂函数表示圆的 面积与半径关系。
增长率、衰减率问题中应用
细菌增长模型
假设细菌以固定比例增长，则细 菌数量与时间关系可用幂函数表
示。
放射性物质衰变
放射性物质衰变速度与剩余质量 之间的关系可用幂函数描述。
投资回报计算
投资回报率与时间关系可用幂函 数表达，用于预测未来收益。
利用积的乘方法则进行化简
如(ab)^n = a^n × b^n
举例
化简(x^2y)^3 ÷ (xy^2)^2，结果为x^4y
04
幂函数在生活中的应用举例
面积、体积计算中应用
计算正方形面积
$S=a^2$，其中$a$为正 方形边长，利用幂函数表 示面积与边长关系。
人教新课标高中数学B版必修1《3.3 幂函数》 课件(共35张PPT)
函数;y=x0是幂函数.
(2)不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数
为常数,而指数函数恰好相反,底数为常数,指数为自变量.
(3)幂函数的定义域由指数 α 确定.①当 α 是正整数时,x∈R.②当
α 是正分数时,设 α=
(p,q
是互质的正整数),若 q 是奇数,则 y=xα 的
定义域是 R;若 q 是偶数,则 y=xα 的定义域是[0,+∞).③当指数 α 是负
2.由于幂函数的解析式中只含有一个参数 α,因此只需一个条件
就可确定幂函数的解析式.若已知待求函数是幂函数,则可根据待定
系数法,设函数为 f(x)=xα,根据条件求出 α.
题型一
题型二
题型三
题型二
题型四
幂函数的图象
【例2】 幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限内的图象如图
所示,则a,b,c,d的大小关系是(
3.3
幂函数
1.通过实例,了解幂函数的概念.
2
3
2.结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y=
1
,y=
1
2 的图象,了解它们的简单
性质.
3.能运用幂函数的图象和性质解决相关问题.
1
2
1.幂函数的定义
一般地,我们把形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x为自
变量,α为常数.
关于定义的理解:
)
A.b<c<d<a
B.b<c<a<d
C.a<b<c<d
D.a<d<c<b
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数
为常数,而指数函数恰好相反,底数为常数,指数为自变量.
(3)幂函数的定义域由指数 α 确定.①当 α 是正整数时,x∈R.②当
α 是正分数时,设 α=
(p,q
是互质的正整数),若 q 是奇数,则 y=xα 的
定义域是 R;若 q 是偶数,则 y=xα 的定义域是[0,+∞).③当指数 α 是负
2.由于幂函数的解析式中只含有一个参数 α,因此只需一个条件
就可确定幂函数的解析式.若已知待求函数是幂函数,则可根据待定
系数法,设函数为 f(x)=xα,根据条件求出 α.
题型一
题型二
题型三
题型二
题型四
幂函数的图象
【例2】 幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限内的图象如图
所示,则a,b,c,d的大小关系是(
3.3
幂函数
1.通过实例,了解幂函数的概念.
2
3
2.结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y=
1
,y=
1
2 的图象,了解它们的简单
性质.
3.能运用幂函数的图象和性质解决相关问题.
1
2
1.幂函数的定义
一般地,我们把形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x为自
变量,α为常数.
关于定义的理解:
)
A.b<c<d<a
B.b<c<a<d
C.a<b<c<d
D.a<d<c<b
题型一
题型二
题型三
题型四
高中数学必修一(人教版)《3.3 幂函数》课件
()
(2)幂函数的图象都不过第二、四象限．
()
(3)当幂指数 α 取 1,3，12时，幂函数 y＝xα 是增函数．
()
(4)若幂函数 y＝xα 的图象关于原点对称，则 y＝xα 在定义域内 y 随 x 的增大
而增大．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知幂函数的图象过点(2,4)，则其解析式为
(1)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图 象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的 指数由大变小．
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至 于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时 出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
[典例 2] 若点( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，点－2，14在幂函数 g(x)的 图象上，问：当 x 为何值时，(1)f(x)＞g(x)？(2)f(x)＝g(x)？(3)f(x)＜g(x)?
[解] 设 f(x)＝xα，因为点( 2，2)在幂函数 f(x)的图 象上，所以将点( 2，2)代入 f(x)＝xα 中，得 2＝( 2)α， 解得 α＝2，则 f(x)＝x2.同理可求得 g(x)＝x－2.
解得 1≤a<32.
故 m 的值为 1，满足条件 f(2－a)>f(a－1)的实数 a 的取值范围为1，32.
[方法技巧] 解决幂函数的综合问题，应注意以下两点
(1)充分利用幂函数的图象、性质解题，如图象所过定点、单调性、奇 偶性等．
(2)注意运用常见的思想方法解题，如分类讨论思想、数形结合思想．
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函 数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远 离x轴(简记为指大图高)．
新人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》ppt教学课件
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(2)解 设 f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵( 2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2， β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它 们的图象，如图所示．由图象知： ①当 x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； ②当 x＝1 时，f(x)＝g(x)； ③当 x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．
4
提示 (1)√ 函数 y＝x－5 符合幂函数的定义，所以是幂函数； (2)× 幂函数中自变量 x 是底数，而不是指数，所以 y＝2－x 不 是幂函数；
1
(3)× 幂函数中 xα 的系数必须为 1，所以 y＝－x2 不是幂函数．
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知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：
§2.3 幂函数
学习目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(易错 点).2.结合幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12 的图象，掌 握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大 小(重点)．
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预习教材 P77－P78，完成下面问题： 知识点 1 幂函数的概念
课前预习
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题型一 幂函数的概念
【例1】 (1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂
函数的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.
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解析 (1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选 B． (2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0， 解得m＝5或m＝－1. 答案 (1)B (2)5或－1
人教版高中数学必修一2.3《幂函数》ppt课件
奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
R上 增函数
(, 0)减 (0, ) 增
R上 增函数
[0, ) 增
(, 0) 减 (0, ) 减
（1,1）
幂函数性质
y y x3 y x2
4
1
yx
(1)函数 y x, y x2 , y x3, y x 2
3
1
y x1在(0,+∞)上都有定义，
培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的 能力，培养学生合作交流的意识.
学习重点
从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用.
学习难点
概括幂函数的性质.
问题情境
问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，
a 那么她需要付的钱数p＝ w 元，这里p是w的函数 y x
S 问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积
S= a 2 ， 这里S是a的函数
y x2
问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积
V
aa
S
V= a3 ，这里V是a的函数
y x3
问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边 1 1
长a= S 2 ，这里a是S的函数
y x2
问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车
的速度 v = t 1 km/s. 这里v是t的函数
y y x3
4
y x2
(2,4)
yx
1
y x2 , y x3
3
1
2
y x2
1
-4
-3
-2
-1
o
(1,1)
1
2
y x1
幂函数ppt课件
∴(-3)3>(-π)3.
探究点四
幂函数性质的综合应用
【例4】 已知幂函数f(x)=
- 2 -2+3(-2<m<2,m∈Z)满足:
①f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②对∀x∈R,都有f(-x)-f(x)=0.
求同时满足①②的幂函数f(x)的解析式,并求出x∈[1,4]时,f(x)的值域.
(2)函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,试确定m的
值.
解 根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,
解得m=3或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增;
当m=-2时,f(x)=x-3在区间(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3.
比较大小的两个实数必须在同一个函数的同一个单调区间内,否则无法比
较大小.
变式训练3 比较下列各组数的大小:
(1)
2 0.5
3 0.5
与
;
3
4
解 ∵y=x
0.5
3
在定义域上为增函数,又
4
>
2
2 0.5
3 0.5
,∴
<
.
3
3
4
(2)(-3)3与(-π)3.
解 ∵y=x3在定义域R上为增函数,又-3>-π,
值域
奇偶性
R
奇函数
在R上单
单调性
调递增
公共点 (1,1)
[0,+∞)
偶函数
奇函数
y=
既不是奇函数,
也不是偶函数
在[0,+∞)
上单调递增, 在R上单 在[0,+∞)上单
探究点四
幂函数性质的综合应用
【例4】 已知幂函数f(x)=
- 2 -2+3(-2<m<2,m∈Z)满足:
①f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②对∀x∈R,都有f(-x)-f(x)=0.
求同时满足①②的幂函数f(x)的解析式,并求出x∈[1,4]时,f(x)的值域.
(2)函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,试确定m的
值.
解 根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,
解得m=3或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增;
当m=-2时,f(x)=x-3在区间(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3.
比较大小的两个实数必须在同一个函数的同一个单调区间内,否则无法比
较大小.
变式训练3 比较下列各组数的大小:
(1)
2 0.5
3 0.5
与
;
3
4
解 ∵y=x
0.5
3
在定义域上为增函数,又
4
>
2
2 0.5
3 0.5
,∴
<
.
3
3
4
(2)(-3)3与(-π)3.
解 ∵y=x3在定义域R上为增函数,又-3>-π,
值域
奇偶性
R
奇函数
在R上单
单调性
调递增
公共点 (1,1)
[0,+∞)
偶函数
奇函数
y=
既不是奇函数,
也不是偶函数
在[0,+∞)
上单调递增, 在R上单 在[0,+∞)上单
人教版高中数学必修课 幂函数 教学PPT课件(1)(1)
(1,1)
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
-3 在第一象限内，
a >0,在(0,+∞)上为增函数; -4 a <0,在(0,+∞)上为减函数.
么她需要支付的钱数y = x 元.
2. 如果正方形的边长为x，那么正方形的面积
是y = x².
3. 如果立方体的边长为x，那么立方体的体积
是y = x³ .
4. 如果正方形场地的面积为x，那么正方形的边
长y=1Βιβλιοθήκη x .x 25. 如果某人 x 秒内骑车行进了1千米，那么
他骑车的平均速度y =
.
这些函数的解 析式有什么共
y=x-1
定义域 Ｒ
值域
R
Ｒ [0,+∞)
Ｒ [0,+∞) x|x R且x 0 R [0,+∞) y|y R且y 0
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
单调性
[0,+∞)增函数 增函数
增函数
(-∞,0]减函数
公共点 (1,1)
(1,1)
(1,1)
增函数
(1,1)
(0,+∞)减函数 (-∞,0)减函数
分析: 利用幂函数的单调性比较两个数的大小.
课堂小结：
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
-3 在第一象限内，
a >0,在(0,+∞)上为增函数; -4 a <0,在(0,+∞)上为减函数.
么她需要支付的钱数y = x 元.
2. 如果正方形的边长为x，那么正方形的面积
是y = x².
3. 如果立方体的边长为x，那么立方体的体积
是y = x³ .
4. 如果正方形场地的面积为x，那么正方形的边
长y=1Βιβλιοθήκη x .x 25. 如果某人 x 秒内骑车行进了1千米，那么
他骑车的平均速度y =
.
这些函数的解 析式有什么共
y=x-1
定义域 Ｒ
值域
R
Ｒ [0,+∞)
Ｒ [0,+∞) x|x R且x 0 R [0,+∞) y|y R且y 0
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
单调性
[0,+∞)增函数 增函数
增函数
(-∞,0]减函数
公共点 (1,1)
(1,1)
(1,1)
增函数
(1,1)
(0,+∞)减函数 (-∞,0)减函数
分析: 利用幂函数的单调性比较两个数的大小.
课堂小结：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
非奇非偶
在[0，＋∞)上 递增
栏
目
链
接
y＝x－1 {x|x≠0}
{y|y≠0}
奇函数
在(－∞，0)上 递减
在(0，＋∞)上 递减
基础 梳理
2.(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，且都经过点
___(_1_,1__) ___；
(2)如果α>0，则幂函数的图象还经过原点(0,0)，并且在
奇偶性，注意解决问题的切入点．
目 链
接
跟踪 训练
3．一个幂函数y＝f(x)的图象过点(3, 27)，另一个幂函数y＝ g(x)的图象过点(－8, －2), 求这两个幂函数的解析式，并判断这 两个函数的奇偶性．
栏
目
答案：
链
接
目 链
＝(－x)3＝－x3在区间(－∞，＋∞)上是减函数，故函数h(x－1)＝－ 接
(x－1)3＝(1－x)3，即函数g(x)＝(1－x)3在区间(－∞，＋∞)上是减函
数．
自测 自评
栏 目 链 接
自测 自评
A
栏 目 链 接
第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.3 幂 函 数
2.3.2 幂函数(习题课)
栏 目 链 接
1.进一步掌握幂函数的性质及图象变化规律，并应用性质 和图象解决一些简单问题.
2.体会幂函数图象的变化规律及蕴含其中的对称性，并能 进行简单的应用.
栏 目 链
接
自测 自评题型一 比较数式的大小 例1
栏 目 链 接
点评：比较两个幂的大小要仔细观察它们的异同点，指数相同
底数不同时，要利用幂函数的单调性比较，底数相同而指数不同
时，要利用指数函数的单调性比较，指数与底数都不同时，要通过
接
点评：幂函数值域一般利用图象求解．
题型三 求幂函数的解析式 例3 设幂函数f(x)＝x3－p满足f(2)<f(3)，求正整数p的值并 研究该函数的奇偶性．
栏 目 链 接
点评：先由题设f(2)＜f(3)知幂函数在(0，＋∞)上为增函数得3
－p＞0，再由p为正整数知，p＝1或2，再分p＝1与p＝2讨论函数的 栏
栏 目
数在解第一 析象：限若的幂图函象数与y＝坐xα标不轴过没原有点交，点则，幂且指图数象α<是0，下那滑么的这，个即幂在函区链接
间(0，＋∞)上是减函数．
思考 应用
栏
解析：将函数f(x)＝
1 x
目
的图象向右平移一个单位，即得函数g(x) 链
接
＝
1 x－1
的图象．由此可知，函数g(x)的图象关于点(1,0)对称，也关
点评：证明函数的单调性，一般是利用单调性的定义进行证
明，证明的关键是通过变形，能够得出各因式的正负，从而能判断
出f(x1)－f(x2)的正负．
栏 目
链
接
跟踪 训练
2．(1)求下列幂函数的定义域：
栏
目
链
答案：(1)①R ②R ③[0，＋∞) ④(0，＋∞)
栏 目 链 接
基础 梳理
1．常见幂函数的性质如下表：
y＝x y＝x2
定义域 值域 奇偶性
单调性
栏
R
R
奇函数 在R上递增
目 链
接
在[0，＋∞)上
R
[0，＋∞)
偶函数
递增 在(－∞，0]上
递减
基础
梳理
y＝x3
R
R
奇函数 在R上递增
[0，＋∞)
[0，＋∞)
[_0_，__＋___∞_) 上是增函数；
(3)如果α<0，则幂函数的图象不经过原点(0,0)，在 (0_，__＋__∞__)
栏 目 链
上是接
减函数．,
思考 应用
1．由幂函数的图象，我们可以知道该幂函数所具有的性 质．反之，由幂函数所具有的性质，我们也能判断该幂函数图 象的变化趋势．若幂函数不过原点，那么这个幂函数在第一象 限的图象是如何变化的？
于直线y＝x－1和y＝1－x对称．
思考 应用
3.由幂函数f(x)＝x3的图象可知， 幂函数f(x)＝x3在区间
(－∞，＋∞)上是增函数，你能确定函数g(x)＝(1－x)3在区间 (－∞，＋∞)上的单调性吗？
栏
解析：幂函数f(x)＝x3在区间
(－∞，＋∞)
上是增函数，则h(x)
栏 目
增加一个数起桥梁作用时进行比较．
链
接
跟踪 训练
解析： 答案：B
栏 目 链 接
题型二 研究幂函数的性质 例2 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
栏 目 链 接