构造对偶式解数列题
专题05 构造法求数列通项的八种技巧(二)(解析精编版)
专题05 构造法求数列通项的八种技巧(二)答案◆构造四:同型构造法【经典例题1】【解析】因为11n n na a n +=+,所以1(1).n n n a na ++=令n nb na =,则1n n b b +=,即{}n b 是常数数列,所以1n b b =,即221,33n n n na a a n=⨯==. 【经典例题2】【解析】因为12n n na a n +=+,所以11(2),(1)(2)(1).n n n n n a na n n a n n a +++=++=+令(1)n n b n n a =+,则1n n b b +=,即{}n b 是常数数列,所以1.n b b =因此(1)1n n n a +=⨯422,.(1)n a n n ⨯=+【经典例题3】【解析】12(1(1))n n na n a n n +++=+,等式两侧同除(1)n n +,形成1121n n a a n n +=++,令n n ab n=,则121n n b b +=+,这又回到了构造一的形式,所以12(1)1n n b b +=++,{}1n b +是以2为首项,2为公比的等差数列,即12212n n n b -⨯+==, 21n n b =-,所以21n na n=-,(21)n n a n =-. 【经典例题4】【解析】等式两侧同除(1)(2)n n n ++,得1(1)(2)(1)(1)(2)1n n a a n n n n n n +=++++++,即1(1)(2)(1)(1)(2)1n n a a n n n n n n +-=+++++,1(1)(2)(1)(111)(2)n n a a n n n n n n +=-++++-+,另(1)n n a b n n =+，所以1(12)1)(1n n b b n n +--=++,接下来就是叠加法发挥作用的时候了212311b b -=-，323411b b -=-，434511b b -=-……111(1)n n b b n n ---=+叠加得1112(1)n b b n --=+,11122a b ==,所以1(1)11n b n n n =+=+-，即(1)1n a n n n n =++，2n a n =.【练习1】【答案】B 【解析】数列{}n a 满足11a =,113n n n n a a a a ++-=,则:1113n na a +-=(常数) 则：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项,3为公差的等差数列。
对偶式的八种构造方法
对偶式的八种构造方法对偶式是数学中一种很酷炫的构造方法呢！那对偶式的八种构造方法到底是啥玩意儿？咱一个个来看。
第一种方法，就像搭积木一样，把式子中的某些项进行对称变换。
比如说，有个式子A+B，那它的对偶式可以是A-B。
注意哦，这可不是瞎变，得根据具体情况来，要是不小心变错了，那可就糟糕啦！这种方法在解决一些代数问题的时候超管用，就好比有了一把神奇的钥匙，可以打开难题的大门。
比如在化简复杂的多项式时，用这种对偶式的构造方法，说不定就能柳暗花明又一村呢！第二种方法呢，有点像玩镜子游戏。
把式子中的变量取反。
比如原来有个式子x+y，对偶式可以是-x-y。
这可得小心，别搞混了。
这种方法在研究函数的性质时很有用哦！想象一下，就像从不同的角度看一座山，能发现更多的美景。
第三种方法，就像是给式子穿上一件新衣服。
在式子中加入一些特殊的符号，比如绝对值、倒数啥的。
比如式子a/b，对偶式可以是b/a。
哎呀，这可不能乱加，得考虑清楚后果。
这种方法在解决比例问题的时候很厉害呢！就像有了一个魔法棒，可以变出意想不到的结果。
第四种方法，像是在玩拼图游戏。
把式子拆分成几个部分，然后分别构造对偶式，再组合起来。
比如式子ab+cd，对偶式可以是(-a)(-b)+(-c)(-d)。
这可得有耐心，一步一步来。
这种方法在解决复杂的方程问题时很有用哦！就像把一个大难题拆成小问题，逐个击破。
第五种方法，有点像变魔术。
把式子中的指数进行变换。
比如式子a^2+b^2，对偶式可以是a^(-2)+b^(-2)。
哇塞，这可太神奇了！但也得小心，别把自己绕晕了。
这种方法在研究指数函数的时候很有帮助呢！就像有了一双翅膀，可以飞得更高更远。
第六种方法，就像是在走迷宫。
把式子中的变量进行替换，然后构造对偶式。
比如式子x^2+y^2，把x 换成y，y 换成x，对偶式就是y^2+x^2。
嘿嘿，这可得有敏锐的观察力。
这种方法在解决对称问题的时候很厉害哦！就像找到了一条秘密通道，可以快速到达目的地。
能力提升---构造对偶式(生)
专题------构造对偶式在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和,差,积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。
下面通过实例来谈谈构造对偶式的几种途径。
例１若02πθ<<，且3sin 4cos 5θθ+=，求tan θ的值。
例２已知：,,,a b c d R ∈，且22221a b c d +++≤，求证：444444()()()()()()6a b a c a d b c b d c d +++++++++++≤10+=例４若,,(0,1)x y z ∈，求证：1113111x y y z z x ++≥-+-+-+。
例５设123,,,,n a a a a 为互不相等的正整数， 求证：32122211112323n a a a a n n ++++≥+++。
例６已知对任意(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞总有1()2()0f x f x x++=，求函数()y f x =的解析式。
例7已知：0,0a b >>，且1a b +=+≤例9.正项等比数列{}n a 中，123123,n n T a a a a S a a a a =⋅⋅⋅⋅=++++试用Ｓ，Ｔ表示12111nQ a a a =+++。
例10.已知函数22()1x f x x =+。
111()()()(1)(2)(3)(4)432f f f f f f f ++++++， 则Ｓ＝ 。
例11.求证：135212462n n -⨯⨯⨯<。
例12.求证：11(11)(1)(1)432n +++>-例13.求证：对任意实数.1,1a b >>，都有22811a b b a +≥--不等式成立。
例14.设,,a b c R +∈，求证：2222a b c a b c a b b c c a ++++≥+++。
例15.已知[0,]2x π∈，解方程：222cos cos 2cos 31x x x ++=例１6.求22sin 10cos 40sin10cos 40++的值。
构造对偶式巧解竞赛题
为一
（ ２ ０ １ ２年全 国高 中数 学联 赛试题 ） 分析 题 目的条 件 和 结 论涉 及余 弦和正切运算 ， 化 简较 为 复杂 ， 故 从 整 体 上 思
考， 将ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ— ｂ ｃ ｏ ｓ Ａ＝ ÷ｃ 视
Ｊ
从而
图１
Ａ ≥÷．
为一个 整体 ， 构 造 其 和差 对 偶式 ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ ＋ｂ ｃ ｏ ｓ Ａ， 再 考 察
妙获 解．
ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ — ｂ ｃ ｏ ｓ Ａ ÷ｃ ， ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ ＋ ｂ ｃ ｏ ｓ Ａ ＝ ｃ ，
解得
从 向
ｒ ｆ —
ｃ ｏ ｓ Ａ＝ １ 。 ｃ 。 ｓ Ｂ： ４ ｃ６ ｃ，
，
ｔ ａ ｎ Ａ ｓ ｉ ｎ Ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ ＿４ ．
√４— ２， ／ ｓ ｓ ｉ ｎ ｘ＝１ ＋ｍ，
将 ２个式 子 进行 和差 运算 ， 得
√ｌ ０—４ √ ３ ｓ ｉ ｎ 一 ６ ｃ ｏ ｓ ｘ＝１一 ， 孔 ，
从 而 ２ ｉ ｎ ｘ＝一ｍ 一 ２ ｍ＋３ ，
６Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ＝ｍ ＋６ｍ ＋３．
＋
４
藕
口１
，
的值
同 时 …＝ ａ 蓑 １ ＋ 口 ， ＋ ａ 蓑 ， ＋ ａ ・ ｊ ＋ ａ 篙 十 ａ ．
由 基 本 不 等 式 ａ ÷ 十 譬 Ｄ ≥ （ 。 ＋ ６ ） ， 得
Ａ＋ ≥ （ ｎ ＋口 ）＋ （ ｎ ＋ａ ３ ）＋… ＋ （ 口 ＋ｎ ）＝１ ，
Ａ ＝Ｃ Ｏ Ｓ １ ０。＋Ｃ Ｏ Ｓ ５ ０。一ｓ ｉ ｎ ４ ０。 ｓ ｉ ｎ ８ ０。．
Ｂ ＝ｓ ｉ ｎ １ ０。＋ ｓ ｉ ｎ ５ ０。一 ｃ ｏ ｓ ４ ０。 ｃ ｏ ｓ ８ ０。．
专题06 构造法求数列通项的八种技巧(三)(精编版)
专题06 构造法求数列通项的八种技巧(三)【必备知识点】◆构造六:取对数构造法型如1k n n a ca +=,1n k n a ca -=或者1(),n n kb b b ac a -++=为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c 为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.【经典例题1】数列{}n a 中, 12a =,21n n a a +=,求数列{}n a 的通项公式.【经典例题2】数列{}n a 中,11a =,212n n a a +=,求数列{}n a 的通项公式.【经典例题3】已知12a =,点()1,n n a a +在函数()22f x x x =+的图像上,其中*n N ∈,求数列{}n a 的通项公式.【经典例题4】在数列{}n a 中, 11a =,当2≥n 时,有2142n n n a a a +=++,求数列{}n a 的通项公式.◆构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于11n n n a Aa Ba +-=+的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +--=--,利用{}1n n a a +-成等比数列,以及叠加法求出n a .还有一小部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +-=+++,利用{}1+n n a a +成等比数列求出n a .【经典例题1】已知数列{}n a 满足()*12211,3,32n n n a a a a a n ++===-∈N ,求数列{}n a 的通项公式.【经典例题2】已知数列{}n a 中,11a =,22a =,212133n n n a a a ++=+,求数列{}n a 的通项公式.【经典例题3】数列{}n a 中,11a =,253a =,215233n n n a a a ++=-,求数列{}n a 的通项公式。
构造法求数列通项解答题
1.设数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+． (1)求{}n a 的通项公式；(2)记()2log 1n n b a =+，求数列{}n n b a ⋅的前n 项和nS．答案：(1) 21nn a =- ；(2)()()111222n n n n ++-+-⋅ .解答： (1)11111211211201021n n n n n n n a a a a a a a a ++++=+∴+=++=≠∴+≠∴=+，（）（）,，，，∴{1}n a +是以2为公比、2为首项的等比数列，12n n a ∴+＝， ∴21nn a -＝；(2)22211221()(2)n n n n n n n n n a b log a log n b a n n n -∴+⋅∴⋅-⋅-＝，＝＝＝，＝＝，记122112222212122n n n A n A n n +=⨯+⨯++⋅∴=⨯++-⋅+⋅，（）， ()211121222222212212n n n n n A A A n n n +++-∴-=-=+++-⋅=-⋅=-⋅--（），1122n A n +∴=-⋅+（），()()()11121222n n n n S A n n ++=-+++-+-⋅＝．2. 已知数列{}n a ，0n a >，其前n 项和n S 满足122n n n S a +=-,其中*n ∈N ．(1){}n b 是等差数列； (2)设2nn n c b -=⋅，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求证：3n T ；(3)设14(1)2n bn n n d λ-=+-⋅（λ为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n d d >+1成立． 答案： (1)1n b n =+；(2)略； (3)-1 解答：(1)当1n =时，1124S a =-，∴14a =，当2n ≥时，1112222n nn n n n n a S S a a +--=-=--+，∴122nn n a a --=，∴11n n b b --=（常数）， 又1122a b ==，∴{}n b 是首项为2，公差为1的等差数列，1n b n =+． (2)12(1)2n n n n c b n -=⋅=+⋅， 所以2231222n n n T +=+++，231123122222n n n n n T ++=++++， 相减得23111111122222n n n n T ++=++++- 211111(1)13112211222212n n n n n n -++-++=+-=---，∴213333222n n n n n n T ++=--=-<，(3) 由n n d d >+1得10n n d d +-> ，1211()441120()2n n n n n n λλ++-+-+---> ，111134312012n n n n n λλ-+-->∴⨯--∴-<（），（），(i)当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，当且仅当n=1时，12n -有最小值为1，1λ∴<；(ii)当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，当且仅当n=2时，12n --有最大值-2，2λ∴>-．21λ∴-<<，又λ为非零整数，则λ=-1．综上所述：存在λ=-1，使得对任意*n ∈N ，都有n n d d >+1成立．3. 已知数列{}n a 的首项11a =，23a =，前n 项和为n S ，且*1121(2,)n n n n n nS S a n n N S S a +--+=≥∈-，设11b =，*12log (1)()n n n b a b n N +=++∈(1)设11114n b n n n n c a a +-++=，记1nn k k G c ==∑，试比较n G 与1的大小，并说明理由；(2)若数列{}n l 满足*2log (1)(n n l a n N =+∈），在每两个k l 与1k l +之间都插入12(1,2,k k -=3,,*)k N ∈个2，使得数列{}n l 变成了一个新的数列{}p t ，试问：是否存在正整数m ，使得数列{}p t 的前m 项的和2015m T =？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由． 答案： (1) n G 小于1；(2) 存在990m =使得2015m T = 解答： (1)由题意得1121n n n n n nS S a S S a +--+=-，有121n n a a +=+*(2,)n n N ≥∈得112(1)n n a a ++=+*(2,)n n N ≥∈， 又2112(1)a a +=+，从而112(1)n n a a ++=+*()n N ∈ 又1+1=20a ≠，有10n a +≠，从而1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.从而12n n a +=，即21nn a =-，从而12log (1)n n n b a b +=++得1n n b b n +-=当2n ≥时，211b b -=，322b b -=，…，11n n b b n --=- 以上式子相加得(1)12n n n b -=+(2)n ≥，又11b =也适合，从而(1)12n n n b -=+， 则1111114211(21)(21)2121n b n n n n n n n n n c a a +-++++===-----， 2231111111111()()()1121212121212121nn k n n n k G c ++===-+-++-=-<-------∑(2)由(1)知22log (1)log 2nn n l a n=+==，数列{}p t 中，k l （含k l 项）前的所有项的和是0122(123)(2222)2k k -+++++++++⨯=(1)222k k k ++-， 当10k =时，其和为10552210772015+-=<， 当11k =时，其和为11662221122015+-=>， 又因为201510779384692-==⨯， 所以2810(1222)469990m =++++++=时，2015m T =所以存在990m =使得2015m T =.4. 已知数列{}n a 中，113,21(1)n n a a a n +==-≥，(1)设1(1,2,3)n n b a n L =-=，求证：数列{}n b 是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式；(3)设12n n n n c a a +=，求证：数列{}n c 的前n 项和13n S <．答案： (1)略；(2) 21nn a =+；(3)略 解答：(1)由121n n a a +=-得112(1)n n a a +-=-即1121n n a a +-=-，又1n n b a =-，故12n nb b +=所以数列{}n b 是等比数列． (2)由(1)知{}n b 是1312b =-=，2q =的等比数列，故1112221n n n n n b b q a --====-，∴21nn a =+．(3)1111122(21)(21)11(21)(21)(21)(21)2121n n n n n n n n n n n n n c a a ++++++-+====-++++++，∴122311111111111()()()2121212121213213n n n n S ++=-+-++-=-<+++++++． 5. 设数列{}{},n n ab 均为正项数列，其中1122,1,3a b b ===，且满足： ,11,n n n a b a ++成等比数列，,1,n n n b a b +成等差数列.(1)(1)证明数列是等差数列；(2)求通项公式na ，nb ；(2)设1(2)n n x n a =+，数列{}n x 的前n 项和记为n S，证明：12n S <.答案： (1)略； (2)略 解答：(1)由题意可知：211n n n b a a ++=，12n n n a b b +=+，所以1n b +=2n ≥时，n b=，当2n ≥时，2n a ==所以数列是等差数列；因为1122,1,3a b b ===，所以222192b a a ====，故等差数列，)12n =-=)1n +，所以()2112n a n =+，()112n b n n =+，(2)由(I)可知()()212(2)12n n x n a n n ==+++，()111(1)(2)n n n n =-+++，所以121n n n S x x x x -=++++2112(1)(2)nnk k k x k k ====+⋅+∑∑12(1)(2)nk k k k =<⋅+⋅+∑111(1)(1)(2)nk k k k k =⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭∑()()11112122n n =-<⨯++ .6. 已知数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程2*20()n n x x b n N -+=∈的两实根，且1 1.a =(1)求234,,a a a 的值； (2)求证：数列1{2}3nn a -⨯是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式． 答案：(1)2341,3,5a a a ===； (2)1[2(1)]3nn n a =-- 解答： (1)解：1,n n a a +是关于x 的方程2*20()n n x x b n N -⋅+=∈的两实根，112nn n n n n a a b a a ++⎧+=⎪∴⎨=⋅⎪⎩ ， 因为11a =，所以2341,3,5a a a ===．(2)111111222(2)333 1.111222333n n n n n n n n n nn n n a a a a a a +++-⨯--⨯--⨯===--⨯-⨯-⨯分 故数列1{2}3n n a -⨯是首项为12133a -=，公比为1-的等比数列．所以1112(1)33n n n a --⨯=⨯-，即1[2(1)]3n n n a =--．7. 已知数列{}n a 中，*1112,2(2,)n n a a n n N a -==-≥∈，设n S 是数列{}n b 的前n 项和，lg n n b a =，求99S .答案： 2 解答：111111111112,1,1,111111n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ------=-∴-=∴==+∴-=-----, ()1111(1),11n n n n a n N a n-∴=+-=∴=+∈*- ,()1lg lg 1lg 1lg ,n n b a n n n ⎛⎫∴==+=+- ⎪⎝⎭99lg100lg99lg99lg98lg 2lg12S ∴=-+-++-=.8. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项113,3()n n n a a S n N *+≠=+∈.(1)求证：{}3n n S -是等比数列； (2)若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围. 答案： (1)略；(2) (9,3)(3,)-⋃+∞ 解答：（1）因为11n n n a S S ++=-，所以123nn n S S +=+ ，,所以11323n n nn S S ++-=-，分 且130a -≠，所以{3}nn S -是以13a -为首项，以2为公比的等比数列；（2）由（1）得，113(3)2n n n S a --=-⨯，所以11(3)23n nn S a -=-⨯+ 当2n ≥时，2111(3)223n n n n n a S S a ---=-=-⨯+⨯，若{}n a 为递增数列，则1n n a a +>对*n N ∈恒成立 当2n ≥时，11(3)223n n a --⨯+⨯>211(3)223n n a ---⨯+⨯即22132[12()3]02n n a --⨯+->对2n ≥，*n N ∈恒成立 则19a >-， 又2113a a a =+>所以1a 的取值范围是(9,3)(3,)-⋃+∞. 9. 已知数列{n a }满足：411=a ，1231=-+n n a a （n N *∈）； 数列{nb }满足：n n n a a b -=+1（n N *∈）.(1)求数列{n a }的通项公式及其前n 项和n S ； (2)证明：数列{n b }中的任意三项不可能成等差数列. 答案：(1) 1)32(431-⋅-=n n a （n N *∈）, 221()3293()243413n n n S n n --=-⨯=+--（n N *∈）. (2)略. 解答：(1)由1231=-+n n a a ，得)1(3211-=-+n n a a . 因为411=a ，所以4311-=-a . 因此数列{1-n a }是以43-为首项，32为公比的等比数列.所以1)32(431-⨯-=-n n a ，即1)32(431-⋅-=n n a （n N *∈）.所以])32()32(1[431121-+++-=+++=n n n n a a a S49)32(321)32(1432-+=--⨯-=-n n n n （n N *∈）. (2)由(1)，得111)32(41])32(431[])32(431[--+⋅=⋅--⋅-=-=n n n n n n a a b .下面用反证法证明：数列{n b }中的任意三项不可能成等差数列.假设数列{n b }中存在三项t s r b b b ,,（t s r <<）按某种顺序成等差数列，由于数列{n b }是首项为41，公比为32的等比数列，于是有t s r b b b >>，则只能有t r s b b b +=2成立. 所以111)32(41)32(41)32(412---⋅+⋅=⋅⋅t r s ，两边同乘r t --1123，化简得r t r t s t r s ----+=⋅⋅23322.因为t s r <<，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾. 故数列{n b }中的任意三项不可能成等差数列.10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意N n +∈，1(1)32n n n n S a n =-++-且 1()()0n n t a t a +--<恒成立，则实数t 的取值范围是 ．答案：311,44⎛⎫- ⎪⎝⎭解答：因为1(1)32n n n nS a n =-++- ①， 当1n =时，1111122a S a ==-⨯+-，即134a =-， 当2n ≥时，11111(1)42n n n n S a n ----=-++- ②， ①-②得11111111(1)(1)1(1)(1)1222n n n n n n n n n n n n a a a a a -----=---+-+=----+， 当n 为偶数时，解得1112n na -=-+；当n 为奇数时，解得111111111212(1)32222n n n n n n a a -++-=-+-=-+--+=-， 综上，111,213,2n n nn a n +⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数，所以，当n 为偶数时，2111133234n n a a =-≤=-=， 当n 为奇数时，1113124n n a a +=-+≤=-， 又1()()0n n t a t a +--<等价于介于相邻两项之间，所以31144t -<<. 11. 数列{}n a 满足1=1a ，()()1=11n n na n a n n ++++，且2=cos 3n n n b a π，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，求120S . 答案：7280解答：由()()1=11n n na n a n n ++++得，111n n a a n n +=++，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差的等差数列，且111a =，所以n a n n =，2n a n =，22cos3n n b n π=，所以 222222212011111234561202222S =-⨯-⨯+-⨯-⨯+-+22222221(1223456120)2=-+-⨯++-+-222222221[(123120)3(369120)]2=-++++-⨯++++22222221139(1240)(123120)22=⨯⨯⨯++-⨯++++140418111201212413972802626⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯=；12. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S *()n N ∈，且满足21n n a S n +=+．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求证：21223111112223n n n a a a a a a ++++<．答案： 解答：(1)∵21n n a S n +=+，令1n =，得123a =，∵21n n a S n +=+，∵112(1)1n n a S n --+=-+，*(2,)n n N ≥∈，分 ， 12n n n a a ++3111((2122n ++-++--． 13. 已知数列{}n a 中，311=a ，)(21*+∈-=N n a a a n n n . (1)求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是等比数列，并求{}n a 通项公式n a ；(2)设n nn a na b -=1，求证：21<∑=ni i b .答案：(1)证明见解答，121+=n n a ； (2)见解答． 解答：(1)由已知得：1211-=+nn a a ；∴)11(2111-=-+n n a a ，∴211111=--+nn a a ，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是首项为2111=-a ，公比为2的等比数列，∴n n n a 222111=⋅=--，∴121+=n n a . (2)n n n n na nab 21=-=， 令n n n S 222212+⋅⋅⋅++=，∴1322222121++⋅⋅⋅++=n n nS ， 相减得113222122121212121+++-=-+⋅⋅⋅+++=n n n n n n S ，∴2222<+-=n n n S .14. 已知函数()21f x x =+，数列{},{}n n a b 分别满足1(),()n n n a f n b f b -==，且11b =. 定义[]()x x x =+，[]x 为实数x 的整数部分，()x 为小数部分，且0()1x ≤<.(1)分别求{},{}n n a b 的通项公式； (2)记n c =()1nn a b +，求数列{}n c 的前项n 和. 答案：(1)12,12-=+=nn n b n a ；(2)1,12253,22n nn S n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪-≥⎪⎩.(1)已知可得()21n a f n n ==+,即21na n =+;()1121n n n b f b b --==+,()1121n n b b -∴+=+,1121n n b b -+∴=+,所以数列{}1n b +为首相为112b +=,公比为2的等比数列.11222n n n b -∴+=⋅=,21n n b ∴=-.(2)依题意，11131,2 2a c b ==；22251,44a cb ==； 当3n ≥时，可以证明0212n n <+<，即21012nn +<<， 所以2121c ()3)22n n n n n n ++==≥（， 则112S =，2113244S =+=，117921...(3)248162n n n S n +=+++++≥． 令7921...(3)8162n n W n +=+++≥，117921...(3)216322n n W n ++=+++≥， 两式相减得291219253)42242n n n n n W n -++=---≥=（． ∴2533)2n n n S n +=-≥（，检验知，1n =不合，2n =适合， ∴1,12253,22n nn S n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪-≥⎪⎩．15. 数列{}n a 满足*196(,2)n n a n N n a -=-∈≥. (1)求证：数列13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列； (2)若16a =，求数列{}lg n a 的前999项的和.(1)见解答；(2) 3999 3.S lg =+ 解答：(1)证明：11111131111=33393393n n n n n n n a a a a a a a --------=-=-----(n ≥2). ∴数列13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列； (2)∵1a =6，由(1)知1111=+(-1)=.3333n nn a a -- 31*),N n a n n n+∴=∈（）,(lg lg(1)lg lg3*).N a n n n n ∴=+-+∈,(∴数列{}lg n a 的前999项和99932132100099()9S lg lg lg lg lg lg lg =+-+-+⋯+-999 3 10003999 3.lg lg lg =+=+16. 数列{}n a 满足11a =,132nn n a a +=+．(1)求证数列{}2n n a +是等比数列； (2)证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<…． 答案：(1)证明见解答； (2)证明见解答.解答：(1)由132+=+n n n a a 有,)2(3211n n n n a a +=+++,又321=+a , 所以{}nn a 2+是以3位首项,3为公比的等比数列； (2)由(1)知nn n a 23-=,又)2(223≥>-n nn n ,故221211111113232n nn a a a +++=+++--231113131222222nn ⎛⎫<++++=-< ⎪⎝⎭. 17. 已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. (1)证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：1231112na a a ++<…+.答案：(1)n a =312n -；(2)见解答解答：(1)证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以112312n n a a ++=+， 所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3， 所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =312n -.(2)由(1)知：n a =312n -，所以1231n n a =-， 因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以1113123n n -≤-⋅， 于是11a +21a +1n a 111133n -≤+++=31(1)23n -32<， 所以11a +21a +1n a 32<. 18. 设111,(*)n a a b n N +==∈(1)若1b =，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式；(2)若1b =-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有*n N ∈成立？证明你的结论. 答案：(1)1n a ()*n N ∈； (2)存在，14c = 解答：(1)解法一：232,1a a == 再由题设条件知()()221111n n a a +-=-+ 从而(){}21n a-是首项为0公差为1的等差数列，故()21n a -=1n -，即()*1,n a n N =∈解法二：232,1a a ==可写为1231,1,1,a a a ==.因此猜想1n a =. 下用数学归纳法证明上式： 当1n =时结论显然成立.假设n k =时结论成立，即1k a =.则1111k a +===这就是说，当1n k =+时结论成立.所以()*1,n a n N =∈(2)解法一：设()1f x =，则()1n n a f a +=.令()c f c =，即1c =，解得14c =. 下用数学归纳法证明加强命：2211n n a c a +<<<当1n =时，()()2310,01a f a f ====，所以23114a a <<<，结论成立. 假设n k =时结论成立，即2211k k a c a +<<<易知()f x 在(],1-∞上为减函数，从而()()()2121k c f c f a f a +=>>=即2221k c a a +>>>再由()f x 在(],1-∞上为减函数得()()()22231k c f c f a f a a +=<<=<. 故231k c a +<<，因此2(1)2(1)11k k a c a +++<<<，这就是说，当1n k =+时结论成立. 综上，符合条件的c 存在，其中一个值为14c =.解法二：设()1f x =，则()1n n a f a +=先证：01n a ≤≤()*n N ∈…………………………① 当1n =时，结论明显成立.假设n k =时结论成立，即01k a ≤≤ 易知()f x 在(],1-∞上为减函数，从而()()()01011k f f a f =≤≤<即101k a +≤≤这就是说，当1n k =+时结论成立，故①成立. 再证：221n n a a +<()*n N ∈………………………………②当1n =时，()()2310,01a f a f ====，有23a a <，即当1n =时结论②成立 假设n k =时，结论成立，即221k k a a +< 由①及()f x 在(],1-∞上为减函数，得()()2122122k k k k a f a f a a +++=>= ()()()()212221211k k k k a f a f a a +++++=<=这就是说，当1n k =+时②成立，所以②对一切*n N ∈成立.由②得21k a <即()22222122k k k a a a +<-+因此214k a <又由①、②及()f x 在(],1-∞上为减函数得()()221n n f a f a +> 即2122n n a a ++>所以211,n a +>解得2114n a +>. 综上，由②③④知存在14c =使2211n n a c a +<<<对一切*n N ∈成立.19. 数列{}n a 满足111,(1)(1),n n a na n a n n n N ++==+++∈(1)证明：数列{}na n是等差数列；(2)设3nn b ={}n b 的前n 项和n S 答案： (1)数列{}na n是等差数列； (2)1(21)334n n n S +-⋅+=.解答：(1)证明：由已知可得，111n n a a n n +=++，即111n n a an n+-=+， 所以{}n a n 是以111a=为首项，1为公差的等差数列. (2)由(1)得1(1)1na n n n=+-⋅=，所以2n a n =，从而3n n b n =⋅. 1231323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅ ① 234131323333n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ②①－②得12123333n n n S n +-=+++-⋅113(13)(12)333132n n n n n ++⋅--⋅-=-⋅=-.所以1(21)334n n n S +-⋅+=.20. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥ 时，211458n n n n S S S S ++-+=+． (1)求4a 的值； (2)证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； (3)求数列{}n a 的通项公式． 答案： (1)78； (2)证明见解答；(3)()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．解答：(1)当2n =时，4231458S S S S +=+， 即435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得：478a =(2)因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥），所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-（2n ≥）， 即2144n n n a a a +++=（2n ≥），因为3125441644a a a +=⨯+==， 所以2144n n n a a a +++=，因为()2121111111114242212142422222n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----，所以数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列(3)由(2)知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列， 所以111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭,即1141122n n n na a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项，公差为4的等差数列， 所以()2144212nna n n =+-⨯=-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()111422122n n n a n n -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.答案：(1)56-=n a n ； (2)详见解答； (3))0,41(-. 解答：(1)因为)(211n n n n b b a a -=-++，53+=n b n ， 所以()1122(3835)6n n n n a a b b n n ++-=-=+--=，所以是等差数列，首项为11=a ，公差为6，即56-=n a n .}{n a(2)由)(211n n n n b b a a -=-++，得n n n n b a b a 2211-=-++，所以}2{n n b a -为常数列，1122b a b a n n -=-，即1122b a b a n n -+=， 因为n n a a ≥0，*∈N n ，所以111122220b a b b a b n n -+≥-+，即n n b b ≥0， 所以}{n b 的第0n 项是最大项.(3)因为n n b λ=，所以)(211nn n n a a λλ-=-++，当2≥n 时，112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+⋅⋅⋅+-+-=---λλλλλλλ3)(2(2)(22211+-+⋅⋅⋅+-+-=---n n n n λλ+=n 2，当1=n 时，λ31=a ，符合上式， 所以λλ+=n n a 2，因为031<=λa ，且对任意*∈N n ，)6,61(1∈n a a ， 故0<n a ，特别地0222<+=λλa ，于是)0,21(-∈λ， 此时对任意*∈N n ，0≠n a ，当021<<-λ时，λλλ>+=n n a 22||2，λλλ<+-=--1212||2n n a ， 由指数函数的单调性知，}{n a 的最大值为0222<+=λλa ，最小值为λ31=a ，由题意，n ma a 的最大值及最小值分别是12321+=λa a 及31212+=λa a ，由61312>+λ及6123<+λ，解得041<<-λ， 综上所述，λ的取值范围是)0,41(-.22. 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N .(1) 求2a 的值;(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3)) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 答案： (1)4；(2)2*,n a n n N =∈； (3)见解答.解答：(1) 解:2121233n n S a n n n +=---,n N *∈. ∴ 当1n =时,112212221233a S a a ==---=-又11a =,24a ∴= (2)解:2121233n n S a n n n +=---,n N *∈. ∴ ()()321112122333n n n n n n S na n n n na ++++=---=- ①∴当2n ≥时,()()()111213n n n n n S n a =-+=--，②由① — ②,得 ()()112211n n n n S S na n a n n -+-=---+ ,1222n n n a S S -=- ,()()1211n n n a na n a n n +∴=---+ ,111n n a a n n +∴-=+,数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为111a =,公差为1的等差数列. ()()2111,2nn a n n a n n n∴=+⨯-=∴=≥ ， 当1n =时,上式显然成立.2*,n a n n N ∴=∈；(3)证明:由(2)知,2*,n a n n N =∈①当1n =时,11714a =<,∴原不等式成立.②当2n =时,121117144a a +=+<,∴原不等式亦成立. ③当3n ≥时,()()()()221111,11n n n n n n >-⋅+∴<-⋅+ ()()()2221211111111111121324211n a a a n n n n n ∴+++=+++<+++++⨯⨯-⋅-⋅+111111111111111121322423522211n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111112132435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭1111171117121214214n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=+--< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴当3n ≥时,,∴原不等式亦成立.综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 23. 已知数列{}n a 满足11a =，11n n a aλ-=+，(1λ≠，2n ≥且*)n ∈N ． (1)求证：当0λ≠时，数列1{}1n a λ+-为等比数列； (2)如果2λ=，求数列{}n na 的前n 项和n S ； (3)如果[]n a 表示不超过n a 的最大整数，当1λ=时，求数列{[(1)]}n a λ-的通项公式．答案： (1)证明略； (2) 2222)1(21nn n n --+⨯-+；(3) []()()2)1(231212nnn n c ---+-++=．解答：(1)当0λ≠时，设11n n b a λ=+-，则 当2n ≥时，111111n n n n a b b a λλ--+-=+-． 因为 11n n a a λ-=+，所以 11111111n n n n a b b a λλλ---++-=+-11111()111111n n n n a a a a λλλλλλλλ----++--===++--为常数． 因为 11011a λλλ+=≠--，所以 数列1{}1n a λ+-是首项为1λλ-，公比为λ的等比数列． (2)由(1)知 2λ=时{1}n a +为首项为1λλ-，公比为λ的是等比数列，所以12nn a +=． 2n n na n n =-． 设212222n n A n =⨯+⨯++⨯， 则231212222n n A n +=⨯+⨯++⨯．相减得212222n n n A n +=----+⨯1(1)22n n +=-⨯+．设21222n n n B n =+++=+，n S =n n A B -=21(1)2222n n nn +-⨯+--．即n S =21(1)2222n n n n +-⨯+--．(3)由(1)可知111111n n n a λλλλλλ--=-=---． 设(1)11)1n n n n c a λλ=-=-=-， 由二项式定理可知1)(1)n n +为整数，所以1)(1)2,2,[]1)(1)1,2 1.n nn n nn k c n k ⎧+-=⎪=⎨+-=-⎪⎩*()k ∈N ． 所以3(1)[]1)(1)22nnnn c -=+--.24. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1n n n S a λλ=-+，(1λ≠±，*)n ∈N ． (1)如果0λ=，求数列{}n a 的通项公式；(2)如果2λ=，求证：数列1{}3n a +为等比数列，并求n S ； (3)如果数列{}n a 为递增数列，求λ的取值范围． 答案： (1)1n a =-；(2)1222333n n n n n S a ++=-=-；(3)1λ>或1λ<-． 解答：(1)0λ=时，n S n =-，当1n =时，111a S ==-， 当2n ≥时，11n n n a S S -=-=-， 所以1n a =-．(2)证明：当2λ=时，23n n nS a =-， 11123n n n S a +++=-， 相减得1123n n a a +=+．所以1112()33n n a a ++=+，又因为113a =，112033a +=≠，所以数列1{}3n a +为等比数列，所以1233n n a +=，1222333n n n n n S a ++=-=-．(3)由(1)可知，显然0λ≠当1n =时，则1111S a λλ=-+，得1211a λ=-． 当2n ≥时，1n n nS a λλ=-+，1111n n n S a λλ---=-+， 相减得12111n n a a λλλ-=+--， 即111()111n n a a λλλλ-+=++-+．因为1λ≠±，所以121011a λλλ+=≠+-．所以1{}1n a λ++为等比数列．所以12111()()111111n n n a λλλλλλλλλ-=-=---++-+． 因为数列{}n a 为递增数列，所以 10111λλλ⎧>⎪⎪+⎨⎪>⎪-⎩或 101011λλλ⎧<⎪⎪+⎨⎪<<⎪-⎩，所以λ的取值范围是1λ>或1λ<-．25. 已知数列{}n a 满足1112431n n n a a a -+=+⋅=，，求数列{}n a 的通项公式. 答案：114352n n n a --=⋅-⋅解答：解法一（待定系数法）：设11123(3n n n n a a λλλ-++=+⋅)，比较系数得124,2λλ=-=，则数列{}143n n a --⋅是首项为111435a --⋅=-，公比为2的等比数列，所以114352n n n a ---⋅=-⋅，即114352n n n a --=⋅-⋅解法二（两边同除以1+n q）： 两边同时除以13n +得：112243333n n n n a a ++=⋅+，下面解法略 解法三（两边同除以1+n p）： 两边同时除以12+n 得：nn n n n a a )23(342211⋅+=++，下面解法略 26. 在数列}{n a 中，,23,111n a a a n n +==+求通项n a .（逐项相减法） 解： ，,231n a a n n +=+ ①∴2≥n 时，)1(231-+=-n a a n n ，两式相减得 2)(311+-=--+n n n n a a a a .令n n n a a b -=+1,则231+=-n n b b ，所以2351+⋅=-n n b ，即 13511-⋅=--+n n n a a ②再由累加法可得213251--⋅=-n a n n . 亦可联立①②解出213251--⋅=-n a n n .27. 在数列{}n a 中，362,2311-=-=-n a a a n n ,求通项n a .答案：96)21(9-+⋅=n a nn解答：原递推式可化为y n x a y xn a n n ++-+=++-)1()(21 比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为12-=n n b b 所以{}n b 是一个等比数列，首项299611=+-=n a b ,公比为21.1)21(29-=∴n n b 即：nn n a )21(996⋅=+- 故96)21(9-+⋅=n a nn .28. 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式.答案：42231018n n a n n +=---解答：设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ ，比较系数得3,10,18x y z ===，所以2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ 由213110118131320a +⨯+⨯+=+=≠，得2310180n a n n +++≠则2123(1)10(1)18231018n n a n n a n n ++++++=+++， 故数列2{31018}n a n n +++为以21311011813132a +⨯+⨯+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322n n a n n -+++=⨯，则42231018n n a n n +=---。
对偶练习题大全
对偶练习题大全偶数和奇数是数学学科中的基本概念，它们构成了整数的两个不同分类。
理解和掌握偶数和奇数的性质对于学生发展数学思维和解题能力非常重要。
为了提升学生对偶数和奇数的认知，以下是一些对偶练习题，通过这些练习题，学生可以检验自己的对偶概念理解以及解决对偶问题的能力。
练习题1: 求以下数列中的偶数和奇数。
a) 2, 4, 6, 8, 10, ...b) 1, 4, 7, 10, 13, ...c) -3, 0, 3, 6, 9, ...练习题2: 判断以下数是否为偶数或奇数。
a) 18b) 23c) -6d) 0练习题3: 奇数加奇数、偶数加奇数、偶数加偶数的结果分别是什么？练习题4: 两个奇数的乘积一定是奇数吗？两个偶数的乘积一定是偶数吗？解释你的答案。
练习题5: 如果一个整数能被2整除，那么它一定是偶数吗？如果一个整数除以2余1，那么它一定是奇数吗？解释你的答案。
练习题6: 把1到10这些数分别写成3个连续奇数之和。
练习题7: 如果一个整数的个位是0，那么它一定是偶数吗？解释你的答案。
练习题8: 如何判断一个整数是否为奇数？请给出一个方法。
练习题9: 找出在100到300之间，所有的奇数和偶数。
练习题10: 偶数加上它的相反数（即负值），结果是奇数还是偶数？练习题11: 把50到100这些数分别写成2个连续偶数之和。
练习题12: 筛选出一个数列中的偶数和奇数。
数列：2, 3, 4, 7, 10, 13, 16, 18, 21练习题13: 两个奇数的和一定是奇数吗？两个奇数的差一定是奇数吗？解释你的答案。
练习题14: 如何用奇数和偶数之间的关系解释一个整数是奇数还是偶数？请用一个例子说明。
练习题15: 五个连续的整数，其中有几个是偶数？有几个是奇数？以上是对偶练习题大全，希望这些题目能够帮助学生加深对偶数和奇数概念的理解，并培养解决对偶问题的能力。
通过反复练习，学生可以更好地掌握和运用偶数和奇数的性质，为日后数学学习打下坚实的基础。
高考数学构造法求数列通项的八种技巧(三)(解析版)
构造法求数列通项的八种技巧(三)【必备知识点】◆构造六:取对数构造法型如a n +1=ca n k ,a n =ca n -1k或者a n +b =c (a n -1+b )k ,b 为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c 为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.【经典例题1】数列a n 中, a 1=2,a n +1=a n 2,求数列a n 的通项公式.【解析】取以a 1=2为底的对数(不能取c 为底,因为c =1,不能作为对数的底数),得到log a n +12=log an22,log a n +12=2log a n2,设b n =log a n2,则有b n +1=2b n ,所以b n 是以b 1=log a 12=1为首项,2为公比的等比数列,所以b n =2n -1,所以log a n2=2n -1,a n =22n -1.【经典例题2】数列a n 中,a 1=1,a n +1=2a n 2,求数列a n 的通项公式.【解析】取以2为底的对数(这里知道为什么不能取a 1=1为底数的对数了吧),得到log a n +12=log 2a n22,log an +12=log 22+2log a n2,log a n +12=1+2log a n2设b n =log an2,则有b n +1=1+2b n ,这又回归到构造二的情况,接下来的步骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出b n +1+1=2(b n +1),所以b n +1 是以b 1+1=1为首项,2为公比的等比数列,所以b n +1=2n -1,所以b n =2n -1-1,log a n2=2n -1-1,a n =22n -1-1.【经典例题3】已知a 1=2,点a n ,a n +1 在函数f x =x 2+2x 的图像上,其中n ∈N *,求数列a n 的通项公式.【解析】将a n ,a n +1 代入函数得a n +1=a n 2+2a n ,a n +1+1=a n 2+2a n +1=a n +1 2,即a n +1+1=a n +1 2两边同时取以3为底的对数,得log a n +1+13=log a n+123⇒log a n +1+13=2log a n+13(为什么此题取以3为底的对数呢,大家思考下,新构造的数列首项为log a 1+13,a 1+1=3,所以应当取以3为底,这样计算会简单很多,当然如果你计算能力较强,也可以取其他数作为底数).所以log a n+1 3 是以1为首项,2为公比的等比数列,即log a n+1 3=1×2n -1,a n +1=32n -1,a n =32n -1-1.【经典例题4】在数列a n 中, a 1=1,当n ≥2时,有a n +1=a n 2+4a n +2,求数列a n 的通项公式.【解析】由a n +1=a n 2+4a n +2,得a n +1+2=a n 2+4a n +4,即a n +1+2=a n +2 2,两边同取以3为底的对数,得log a n +1+23=log a n+223,即log a n +1+23=2log a n+2 3,所以数列log a n+2 3是以1为首项,2为公比的等比数列,log a n+23=2n -1,a n +2=32n -1,即a n =32n -1-2.◆构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于a n +1=Aa n +Ba n -1的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为a n +1-a n =(A -1)a n -a n -1 ,利用a n +1-a n 成等比数列,以及叠加法求出a n .还有一小部分题型可转化为a n +1+a n =(A +1)a n +a n -1 ,利用a n +1+a n 成等比数列求出a n .【经典例题1】已知数列a n 满足a 1=1,a 2=3,a n +2=3a n +1-2a n n ∈N * ,求数列a n 的通项公式.【解析】由a n +1=3a n -2a n -1⇒a n +1-a n =2a n -a n -1 ,故a n +1-a n 是以a 2-a 1=2为首项,2为公比的等比数列,即a n +1-a n =a 2-a 1 2n -1=2n ,接下来就是叠加法啦,a n -a n -1=2n -1...a 2-a 1=2全部相加得:a n -a 1=2n-2,所以a n =2n -1.【经典例题2】已知数列a n 中,a 1=1,a 2=2,a n +2=23a n +1+13a n ,求数列a n 的通项公式。
数列构造法例题
数列构造法例题数列构造法是一种常用的数学解题方法，通常用于解决一些看似复杂或难以直接解决的问题。
其核心思想是将原问题转化为一个数列问题，通过数列的性质或规律来求解。
下面我将给出一个数列构造法的例题及其解答。
例题：求方程 (x^2 + y^2 = 2019) 在整数范围内的解的个数。
解答：首先，观察方程 (x^2 + y^2 = 2019)，我们注意到2019是一个奇数，因此它不能表示为两个整数的平方和（因为两个整数的平方和总是偶数）。
但是，如果我们考虑方程 (x^2 + y^2 + z^2 = 2019)，那么它可能有整数解。
为了找到这些解，我们可以尝试构造一个数列。
考虑以下数列：(1^2, 2^2 - 1, 3^2 - 2^2, 4^2 - 3^2, \ldots, n^2 - (n-1)^2, \ldots)这个数列的每一项都可以表示为 (n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1)，这是一个等差数列，其首项为1，公差为2。
现在，我们尝试将2019表示为这个数列中几项的和。
由于这是一个等差数列，我们可以使用求和公式来找到所需的项数。
等差数列的求和公式为：(S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n))其中 (S) 是数列的和，(n) 是项数，(a_1) 是首项，(a_n) 是第 (n) 项。
为了找到使 (S = 2019) 的 (n)，我们可以将 (a_n) 表示为 (2n - 1)，然后将 (S) 和 (a_1) 代入求和公式：(2019 = \frac{n}{2}(1 + 2n - 1))(2019 = n^2)由此，我们得到 (n = \sqrt{2019})，但因为我们只考虑整数解，所以 (n) 必须是整数。
最接近 (\sqrt{2019}) 的整数是44（因为 (44^2 = 1936) 且 (45^2 = 2025)）。
因此，我们可以将2019表示为前44项的和，加上最后一项 (45^2 - 44^2 = 89)。
构造“对偶式”,巧解数学问题-解析版
构造“对偶式”，巧解数学问题在解答某些数学问题时，针对已知式M 的结构特征，构造一个或几个与之相关联的式子N ，使M 与N 经过相加、相减、相乘、相除等运算之后，所需解答的问题得到合理的转化和解决。
这种解题方法称之为构造“对偶式”解题，是一种极其巧妙的解题方法。
通过构造对偶式可以巧妙地解决多项式求值、恒等式证明、求函数的最值、解方程(组以及求解析式等，当然难点在于如何构造解题所需要的“对偶式”。
典型例题1求证:2sin 4x +3sin 2x cos 2x +5cos 4x ≤5。
【分析】本例是三角不等式的证明，运用一般的方法证明是困难的，若能运用对称的方法，构造对偶式，则比较容易证明【解析】【证明】设A =2sin 4x +3sin 2x cos 2x +5cos 4x ，B =2cos 4x +3cos 2x sin 2x +5sin 4x ，则 A +B =7sin 4x +cos 4x +6sin 2x cos 2x =7sin 2x +cos 2x 2-8sin 2x cos 2x=7-2sin 22x =5+2cos 22x ，①A -B =3cos 4x -sin 4x =3cos2x ，②①+②，得 2A =5+2cos 22x +3cos2x =5+2cos2x +342-916 ≤5+21+34 2-916=10所以A ≤5，命题得证2已知α，β是方程x 2-7x +8=0的两根，且α>β，不解方程，求2α+3β2的值。
【分析】 若要不解方程求2α+3β2的值, 因为2α+3β2是非对称式, 无法化为αβ及α+β的形式,所以需要构造2α+3β2相应的对偶式2β+3α2，两者结合就可以化为αβ及α+β的形式，然后运用韦达定理,从而求出2α+3β2的值.【解析】设A =2α+3β2，构造对偶式B =2β+3α2。
∵α，β是方程x 2-7x +8=0的两根，∴α+β=7，αβ=8。