数列求和之倒序相加法
数列求和各种方法总结归纳
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
an (2)设数列{ n－1}的前n项和为Sn， 2 a2 an 即Sn＝a1＋ 2 ＋…＋ n－1，① 2 Sn a1 a2 an 故S1＝1， 2 ＝ 2 ＋ 4 ＋…＋2n，② 所以，当n＞1时，①－②得
a2－a1 an－an－1 an Sn 2 ＝a1＋ 2 ＋…＋ 2n－1 －2n
－ － －
(2)由题意知bn－an＝3n 1，所以bn＝3n 1＋an＝3n 1－2n＋21. Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3
n－1
3n－1 )＝－n ＋20n＋ 2 .
2
[冲关锦囊]
分组求和常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·n－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； q (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列， 采用分组求和法求{an}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式； 第三行
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求 {bn}的前2n项和S2n
[自主解答]
(1)当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3，
2 3a2＝1，a3＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{b }的前n项和． n
[自主解答]
(1)设数列{an}的公比为q.由a2＝9a2a6得 3 9 3
1 1 2 2 2 a3＝9a4，所以q ＝ .由条件可知q＞0，故q＝ . 1 由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝3. 1 故数列{an}的通项公式为an＝3n.
数列求和1
1 2n
1
1 2n
1
nn
1
1n
2
1 2
1
nn
1
n
1
1n
2
已知：an 3n 1,求
1 1 1
a1a2 a2a3
an an 1
五、公式法求和：
所给数列的通项是关于n的多
项式，此时求和可采用公式
法求和，常用的公式有：
数列求和
一、倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末
两项等距的两项之和等于首 末两项之和，可采用把正着 写和与倒着写和的两个和式 相加，就得到一个常数列的 和，这一求和的方法称为倒 序相加法.
二、错位相减法：
如果一个数列的各项是由一 个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成，此时求和 可采用错位相减法.
四、分裂通项法：
把数列的通项拆成两项之差， 即数列的每一项都可按此法 拆成两项之差，在求和时一 些正负项相互抵消，于是前 n项的和变成首尾若干少数 项之和，这一求和方法称 为分裂通项法.
已知an
1
nn
2
,
求sn
1
nn 1
1 n
1 n -1
2n
1
12n
1
1 2
例 ： 求前n项的和.
三、分组求和法：
把数列的每一项分成两项， 或把数列的项“集”在一块 重新组合，或把整个数列分 成两部分，使其转化为等差 或等比数列，这一求和方法 称为分组求和法.
例：若数列{an}中， an= -2[ n - (-1)n ]，求 S10和S99．
数列求和之错位相减法倒序相加法
.数列求和之错位相减法、倒序相加法}}{{bac、错位相减法适用于1是等差数列，，其中是等比数列。
b×=a nnnnn的两边同乘以公比步骤：此时可把式子1)q1qq(10，得到且，两式错位相减整理即可求出.S n2、倒序相加法适用于数列首尾项的和为定值。
2n?1n】已知数列1【例0)a?(,5a,,(2n?1)a1,3a项和，求前.{}的等差数列，且满足0【例2】已知是一个公差大于aa a=55,a+a=16n7632{}的通项公式：（Ⅰ）求数列a n a{}}{}{nS.（Ⅱ）若数列和数列满足等式:的前项和bab n?b，求数列nnnnnn22222】求和：3【例89sin?sin3?2sin1?sin?1??????????Rfxx，点】已知函数4【例xfyx,yPxP,??图像上，是函数221112x24?1．的两个点，且线段PP P的横坐标为的中点212P的纵坐标是定值；（Ⅰ）求证：点n????????mmNn,,? ,?1,?af2aa的前的通项公式为求数列m，（Ⅱ）若数列??nnn m??S项的和；m【变式训练】n?2?12n?3、已知数列项和.1求前aa44a?a?62?）...，0,2a，，，，，（-8+2n1 / 2.??a}{{}322n的:2、若数列的通项公式为满足等式bb?a?na?b n，求数列，数列nnnnn nS前项和n cos179cos178??cos3??cos1?cos2.的值3、求【过关练习】ba{{2，1.设数列，nba)=b,}b(a-a}=nS=2为等比数列，且的前项和为nnn111221a{）求数列（1}b}{的通项公式；和nn a c{c（2）设，求数列．n n T}=项和的前nnn b n{}已知2、Sa?b?2,a?b?27n a{b}是等比数列，，是等差数列，其前且项和为，4411nnn S?b?10.44{}）求数列1（a{b}的通项公式；与nn**（2）记T?12??2a?10bbT?ab?a?b?an?n?NN ）；证明，（，nnnn?n121nn1??2,xy lg?n2?n?nn12求和3、已知yx lg(x?S lg?x?y)lg(?y)?lg n2 / 2。
数列求和的八种重要方法与例题
练习10：
已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),
1)求S20,S21 2)求Sn
=20 S20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39
S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）
=-21
总的方向： 1.转化为等差或等比数列的求和 2.转化为能消项的 思考方式：求和看通项（怎样的类型） 若无通项，则须先求出通项 方法及题型： 1.等差、等比数列用公式法 2.倒序相加法 3.错位相减法 4.裂项相消法
1 (1 3
2n )
5
n
12 3
1 (2n 5n 1) 3
热点题型3：递归数列与数学归纳法.
已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a01，an1
(nN)
1 2
an (4
an ).
（1）证明an<an+1<2(nN) （2）求数列{an}的通项公式an
用数学归纳法证明：
类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……
典例. 已知 lg(xy) 2 2.倒序相加法
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lg(x·1 yn-1)+lgyn,
(x > 0,y > 0) 求S .
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lgyn
S =lgyn +lg(yn-·1 x)+ ...+lgxn 2S =lg(xy)n +lg(xy)n + ...+lg(xy)n
专题08 数列求和-倒序相加、绝对值、奇偶性求和(解析版)
数列求和-倒序相加、绝对值、奇偶性求和◆倒序相加法求和等差数列的求和公式()12n n n a a S +=,其过程正是利用倒序相加的原理.这类题之所以能够利用倒序相加来求和,是因为其自身具备明显的特征,那就是首项与末项相加为定值.一般题中出现12x x k +=(k 为常数),()()12f x f x m +=(m 为常数)时,可以采用倒序相加的方法进行求和.【经典例题1】已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有()()11f x f x +-=，数列{}n a 满足()120n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n f f n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭.求数列{}n a 的通项公式. 【答案】12n n a += 【解析】因为()()11f x f x +-=，∴111n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故()120n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n f f n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭.① ∴()121n n n a f f f n n --⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()01f n f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.② ∴①+②，得21n a n =+，∴12n n a +=. 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a +=.【练习1】已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且120191a a =，试用推导等差数列前n 项和的方法探求：若24()1f x x=+，则()()()122019f a f a f a +++=（ ）A ．2018B ．4036C ．2019D ．4038【答案】D 【解析】120191a a ⋅=，∵函数24()1f x x =+ ∵222214444()41111+⎛⎫+=+== ⎪++⎝⎭+x f x f x x x x， 令122019()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+，则201920181()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+， ∵()()()()()()120192201820191242019T f a f a f a f a f a f a =++++⋅⋅⋅++=⨯， ∵4038T =. 故选：D.【练习2】已知函数1()1f x x =+，数列{}n a 是正项等比数列，且101a =，则()()()()()1231819f a f a f a f a f a +++⋅⋅⋅++=__________．【答案】192【解析】函数1()1f x x =+，当0x >时，1111()()111111xf x f x x x xx+=+=+=++++， 因数列{}n a 是正项等比数列，且101a =，则2119218317101a a a a a a a =====，119111()()()()1f a f a f a f a +=+=，同理2183171010()()()()()()1f a f a f a f a f a f a +=+==+=，令()()()()()1231819S f a f a f a f a f a =+++++， 又()()()()()19181721S f a f a f a f a f a =+++++，则有219S =，192S =， 所以()()()()()1231819192f a f a f a f a f a +++⋅⋅⋅++=. 故答案为：192【练习3】已知()442xx f x =+，求122010201120112011f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】1005. 【解析】因为()442x x f x =+，所以()1144214242442x x x x f x ---===++⨯+，所以()()11f x f x +-=.令12200920102011201120112011S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，倒写得20102009212011201120112011S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.两式相加得22010S =，故1005S =.【练习4】函数()f x 对任意x ∈R ,都有1()(1)2f x f x +-=. (I)求12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值;(II)若数列{}n a 满足11(0)(1)n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,数列{}n a 是等差数列吗?【解析】(I)令 12x =,得1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (II)已知函数()f x 对任意x ∈R ,都有1()(1)2f x f x +-=,可得 11(0)(1)11(1)(0)n n n a f f f f n n n a f f f f n n ⎧-⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨-⎛⎫⎛⎫⎪=++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩由两式相加可得11(1)112(2)244n n n n n a a a n -++==⇒-=故数列{}n a 是等差数列.◆数列绝对值求和(1)对于首项小于0而公差大于0的等差数列{}n a 加绝对值后得到的数列{}n a 求和,设{}n a 的前n 项和为 {},n n S a 的前n 项和为n T ,数列{}n a 的第k 项小于0而从第1k +项开始大于或等于0,于是有 ,;2,n n nk S n k T S S n k -⎧=⎨->⎩(2)对于首项大于0而公差小于0的等差数列{}n a 加绝对值后得到的数列{}n a 求和,设{}n a 的前n 项和为 {},n n S a 的前n 项和为n T ,数列{}n a 的第k 项大于0而从第1k +项开始小于或等于0,于是有 ,2,n n kn S n k T S S n k ⎧=⎨->⎩ 。
倒序相加法过程
倒序相加法过程倒序相加法，听起来有点神秘，其实就像是玩一种数字的魔法游戏。
咱先来说说啥时候会用到倒序相加法呢。
比如说，有这么一个数列，1 + 2 + 3 + … + n。
这数列看起来普普通通的，可要是一个一个加起来，当n很大的时候，那可就费劲了。
这时候倒序相加法就可能像个超级英雄一样闪亮登场。
那这个倒序相加法到底咋操作呢？咱们就拿1 + 2 + 3 + 4 + 5这个简单的数列来说。
我们把这个数列正着写一遍，1 + 2 + 3 + 4 + 5，然后再把这个数列倒着写一遍，5 + 4 + 3 + 2 + 1。
这就好比是我们有了两个一模一样的队列，只是一个是正着排的，一个是倒着排的。
然后呢，我们把这两个数列对应着加起来。
1加5等于6，2加4等于6，3加3等于6，4加2等于6，5加1等于6。
你看，神奇的事情发生了，每一对相加的结果都是一样的，这里都是6。
那这样的对儿一共有几个呢？在这个数列里，有5个数，所以就有5对儿。
那这个数列的和就是这一对儿的和乘以对数。
这里一对儿的和是6，对数是5，所以这个数列的和就是6×5÷2 = 15。
为啥要除以2呢？因为我们刚刚是把这个数列写了两遍，加起来的和是原数列和的两倍呀。
再举个稍微复杂点的例子，1 + 3 + 5 + 7 + 9。
同样的，我们把它倒过来写，9 + 7 + 5 + 3 + 1。
然后对应相加，1加9等于10，3加7等于10，5加5等于10，7加3等于10，9加1等于10。
这里每一对儿的和都是10，一共有5对儿，但是我们写了两遍，所以这个数列的和就是10×5÷2 = 25。
这倒序相加法就像是给数列找了个双胞胎兄弟，然后让它们手拉手，一加一减就把和给轻松算出来了。
对于那些有规律的数列，特别是那种首项加末项的和是个定值的数列，倒序相加法就特别好使。
就像小时候分糖果，我们有一排小朋友，按照顺序有不同数量的糖果，要算总数很麻烦。
高中数学倒序相加例题
高中数学倒序相加例题摘要：一、引言二、倒序相加法概念三、倒序相加法应用举例四、总结正文：一、引言高中数学中，倒序相加法是一种求和的方法，广泛应用于等差数列求和问题。
通过这种方法，我们可以快速、准确地计算出等差数列的和，从而解决相关数学问题。
本文将详细介绍倒序相加法的概念以及应用举例。
二、倒序相加法概念倒序相加法，顾名思义，是指将数列中的元素按照倒序的方式两两相加。
具体操作步骤如下：1.将数列的第一个元素与最后一个元素相加；2.将数列的第二个元素与倒数第二个元素相加；3.以此类推，直到将数列的所有元素都相加一遍。
最后，将所有相加的结果相加，即为数列的和。
三、倒序相加法应用举例下面，我们通过一个具体的例子来说明倒序相加法的应用。
例题：求等差数列1, 3, 5, 7, 9, 11 的和。
解：1.将数列的第一个元素1 与最后一个元素11 相加，得到12；2.将数列的第二个元素3 与倒数第二个元素9 相加，得到12；3.将数列的第三个元素5 与倒数第三个元素7 相加，得到12；4.将数列的第四个元素7 与倒数第四个元素5 相加，得到12；5.将数列的第五个元素9 与倒数第五个元素3 相加，得到12。
最后，将所有相加的结果相加，即12+12+12+12+12=60。
所以，等差数列1, 3, 5, 7, 9, 11 的和为60。
四、总结通过以上介绍，我们可以看出，倒序相加法是一种求和的有效方法，尤其适用于等差数列求和问题。
需要注意的是，在实际操作过程中，要确保数列中元素的个数是偶数，否则无法使用倒序相加法求和。
前n项和公式的推导
前n项和公式的推导1. 等差数列前n项和公式的推导。
- 方法一：倒序相加法。
- 设等差数列{ a_n}的首项为a_1，公差为d，其前n项和为S_n，则S_n=a_1+a_2+·s +a_n。
- 即S_n=a_1+(a_1 + d)+(a_1+2d)+·s+[a_1+(n - 1)d]。
- 把上式倒过来写，S_n=a_n+a_n - 1+·s+a_1。
- 也就是S_n=a_n+(a_n-d)+(a_n-2d)+·s+[a_n-(n - 1)d]。
- +得：2S_n=(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+·s+(a_1+a_n)（共n个(a_1+a_n)）。
- 所以2S_n=n(a_1+a_n)，则S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}。
- 又因为a_n=a_1+(n - 1)d，所以S_n=frac{n<=ft[a_1+a_1+(n -1)d]}{2}=na_1+(n(n - 1))/(2)d。
- 方法二：利用通项公式的推导。
- 由等差数列通项公式a_n=a_1+(n - 1)d。
- S_n=a_1+a_2+·s+a_n- =a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+·s+[a_1+(n - 1)d]- 这是一个首项为a_1，末项为a_1+(n - 1)d，项数为n的数列求和。
- 根据等差数列求和公式S_n=frac{n<=ft(a_1+a_n)}{2}（这里a_n=a_1+(n -1)d），同样可以得到S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d。
2. 等比数列前n项和公式的推导。
- 方法一：错位相减法（q≠1时）- 设等比数列{ a_n}的首项为a_1，公比为q，其前n项和为S_n，则S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+·s+a_1q^n - 1。
- 两边同乘以q得：qS_n=a_1q+a_1q^2+a_1q^3+·s+a_1q^n④。
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求和式的首尾括号内自变量之和为1，我们就知道函数应当以横坐标为 1 的点中心对称，将 1
2
2
代人解析式求得对称中心为 (1 , 1) ，所以首尾函数值之和为1，再结合倒序相加法，易求出答
案为 9
22
2
8
五、倒序相加思路拓展
倒序相加的思路还可以扩展到倒序相乘，只要当我们遇到一个 首尾合并之积为常数的求积式子
浅谈倒序相加法
杨兰森
一、从高考题看倒序相加法
我们先从一道高考题引入：
(2012四川文12)设函数f (x) (x 3)3 x 1, an 是公差不为零的等差数列，
f (a1) f (a2 ) f (a7 ) 14, 则a1 a2 + +a7 (aaa)
A .0
Hale Waihona Puke B.7C .14D .21
这是选择题的压轴题，是一道函数数列综合题，乍一看没有倒序相加法的影子，不过如果我们带着倒序相 加法的思路看这道题，那会变得较简单
先将首尾两项相加log2 (1
tan 24)+ log2(1
tan
5 24
)=log2
(1
tan ) (1 24
tan 5 ) 24
由上面那题知道(1
tan ) (1 24
tan
5 24
)=2，所以
log
2
(1
tan 24)+ log2(1
tan
5 24
)=
log
2
2
1
再倒序相加得答案为 5 . 2
=1+1 tan1 tan 44 + tan1 tan 44 =2
所以首尾合并求积都等于2，首尾合并凑成22对，就相当于22个2连乘， 答案是 222
9
再拓展一下，我们还可以将上式这种求积再变回求和:
如：求log2 (1
tan 24)+ log2(1
tan 2 )+ 24
5
+ log2(1
tan )= ______ 24
42
2
7
当然解题的关键在于找出对应函数的对称中心，不过这种思路一旦熟练，很多 题目我们可以直接秒杀，甚至可以根据题目的情景，直接猜测出对应函数的对 称中心，而不用花心思用力找函数的对称中心
比如： 已知函数f (x)
4x 4x
2
, 则f
(1) 10
f( 2) 10
f( 3) 10
f ( 9 ) ______ 10
所以 an 前n项和Sn =a1 a2 an 1 an
也可以倒序写成Sn =an an 1 a2 a1
则2Sn =n(a1+an )
所以Sn
=
n(a1 +an 2
)
4
三、倒序相加法应用举例
好，我们再来看一个题
sin2 1 sin2 2 sin2 3
sin2 89 _____
注意到sin2 89 = cos2 1 , 又sin21 cos2 1 1, 容易知道一头一尾之和都是1,结合倒序相加的思想,就容易计算了
我们不禁要问：什么情况下，一个和式的一头一尾合并会是常数呢？ 注意到第一个题的讲解中我们明确倒序相加法和函数的对称中心有关，我们知道有些函数存在对称中心:
如图函数f (x)图像关于(a, b)中心对称
x1 x4 x2 x3 2a还； f (x1) f (x4) f (x2) f (x3) 2b
6
所以如果一个函数存在对称中心，就可以根据这个对称中心写出一个首尾合 并为常数的求和式子，然后按照倒序相加法进行求和：
所以a1 a7
6，所以a1 a2 +
+a7 =
7(a1 2
a7 )
21，故答案为D
2
二、倒序相加法的由来
倒序相加法，相传为数学王子高斯幼年时首先使用 200多年前，高斯的算术老师提出了下面问题：
1+2+3+ +100=？
面对一群小学生，老师想肯定不会有人答出来，然而很快10岁的高斯就给出了答案：5050 他是这样算的：
1+2+3+ +100=(1+100)+(2+99)+ (50+51) =101 50=5050
这应该算是高斯开挂数学历程的第一场表演，膜拜大神
3
现在倒序相加法已广为人知，随便一个合格的高中生都知道这方法， 而且高中数学等差数列前n项和公式的推导就用了倒序相加法：
若 an 是等差数列，由等差数列的性质知：a1+an a2 an 1 a3 an 2 ,
运用倒序相加我们得到：
f (a1) f (a2 ) f (a7 ) f (a6 )
f (a7 ) 14 f (a1) 14
7 f (a1) f (a7 ) 28 f (a1) f (a7 ) 4
由函数的性质可以知道f ( x) ( x 3)3 x 1的图像关于点(3, 2)中心对称，
即当函数值之和为4时，自变量之和应该为6，
如：(1 tan1 )(1 tan 2 )(1 tan 3 )
(1 tan 44 ) _____
tan(1 tan 1
44 ) tan1 tan 44 1 1 tan1 tan 44
tan 44 1 tan1 tan 44
(1 tan1 )(1 tan 44 )=1+ tan1 tan 44 + tan1 tan 44
令x sin 2 1 sin 2 2 则x sin 2 89 sin 2 88 所以2x 89 1 所以x 89
2
即sin 2 1 sin 2 2 sin 2 3
sin 2 3 sin 2 87
sin 2 89 sin 2 1
sin 2 89 = 89 2
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四、倒序相加法的原理探究
倒序相加法是当一个求和式中与首末项等距的两项之和等于首末两项之和时，采用把正着 写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，即一头一尾合并求和是常数
总结起来就是： 为什么可以用倒序相加法—————因为首尾合并为常数 为什么首尾合并为常数——————因为函数存在对称中心
前面那题: sin2 1 sin2 2 sin2 3
sin2 89 _____
这个求和式的首尾合并起来为什么是1呢，其实这对应函数f (x) sin2 x，
这函数关于点( ,1 )中心对称，当自变量之和是 时，函数值之和是1
我们学习和做题应当这样，不满足于当前，要知道将题目进行升级拓展，这样我 们就能将1个题做出10个题的效果！而且也会收获更多的成功！
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THANKS
谢谢！