数列 倒序相加 并项求和电子教案
数列求和公式基础教案
1 1 2
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1 2 3
, ,
1 n n 1
, 的前 n 项和.
【例 9】 计算：
变式 1 等差数列 an 中, a7 4, a19 2a9 ,
(I)求 an 的通项公式; (II)设 bn
1 , 求数列bn 的前n项和Sn . nan
4
变式 2 正项数列｛an｝满足 a n 2 (2n 1)a n 2n 0 .
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列， 然后分别求和，再将其合并即可. 【例 6】 求数列的前 n 项和： 1 1,
1 1 1 4, 2 7, , n 1 3n 2 ，… a a a
变式 1 已知数列{an}是 3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{an}的通项公式并求其前 n 项和 Sn.
1 1 1 1 ( ) n( n k ) k n n k
1 【例 7】在数列{an}中，a1＝1，当 n≥2 时，其前 n 项和 Sn 满足 S2 n＝an Sn－2 . (1)求 Sn 的表达式； Sn (2)设 bn＝ ，求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n＋1
【例 8】求数列
(1)求数列｛an｝的通项公式 an； (2)令 bn=
1 错误！未找到引用源。 ，求数列｛bn｝的前 n 项和 Tn. (n 1)a n
一、 真题训练 二、 学法总结 三、 技巧提炼 四、 作业布置
5
1、已知等差数列 a n 满足 a 2 0 ， a6 a8 10 （1）求数列 a n 的通项公式； （2）求数列
倒序相加法课程设计
倒序相加法课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生理解倒序相加法的概念，掌握其运算规则和应用场景。
2. 学生能够运用倒序相加法解决数学问题，提高数学运算能力。
3. 学生了解倒序相加法在数学及生活中的实际应用，增强数学与现实生活的联系。
技能目标：1. 学生通过倒序相加法的练习，提高逻辑思维能力和问题解决能力。
2. 学生能够运用倒序相加法进行简便计算，提升计算速度和准确性。
3. 学生学会运用倒序相加法进行数学探究，培养创新意识和团队协作能力。
情感态度价值观目标：1. 学生对倒序相加法产生兴趣，树立学习数学的自信心，形成积极向上的学习态度。
2. 学生在合作交流中，培养团队精神，学会尊重他人，理解他人，善于倾听。
3. 学生通过数学学习，认识到数学在生活中的重要性，激发对科学文化的热爱。
课程性质：本课程为数学学科教学，针对学生年级特点，结合教材内容进行设计。
学生特点：学生具备一定的数学基础和逻辑思维能力，但对倒序相加法的掌握程度不同，需要分层教学。
教学要求：教师应注重启发式教学，引导学生主动探究，关注学生的个体差异，提高教学效果。
通过本节课的学习，使学生达到上述课程目标，为后续数学学习打下坚实基础。
二、教学内容本节课教学内容围绕倒序相加法展开，结合教材第四章第三节“简便计算”进行设计。
具体内容包括：1. 倒序相加法的基本概念：通过实例引入倒序相加法的概念，让学生理解其含义和特点。
2. 倒序相加法的运算规则：讲解倒序相加法的运算步骤，引导学生掌握计算方法。
3. 倒序相加法的应用场景：分析倒序相加法在实际问题中的应用，提高学生解决问题的能力。
4. 倒序相加法的简便计算：教授如何运用倒序相加法进行简便计算，提升学生的计算速度和准确性。
5. 倒序相加法的拓展练习：设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识，并提高拓展能力。
教学大纲安排如下：第一课时：导入倒序相加法概念，讲解运算规则。
第二课时：分析应用场景，进行实际操作练习。
高三数学 第23课时 数列求和教案 教案
课题：数列求和教学目标：1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式； 2.能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；3.熟记一些常用的数列的和的公式． 教学重点：特殊数列求和的方法． （一） 主要知识：1.等差数列与等比数列的求和公式的应用；2.倒序相加、错位相减，分组求和、拆项求和等求和方法；（二）主要方法：1.基本公式法：()1等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+ ()2等比数列求和公式：()111,11,111n n n na q S a q a a qq q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩()3()()2221121216n n n n +++=++；()4()23333112314n n n ++++=+⎡⎤⎣⎦；()50122nn n n n n C C C C ++++=.2.错位相消法：给12n n S a a a =+++各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前n 项和n S .一般适应于数列{}n n a b 的前n 向求和，其中{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列。
3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。
4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和. 常见的拆项公式有：()1若{}n a 是公差为d 的等差数列，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ()2()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；()3()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦；()41a b=-；()51k=；()611m m mn n nC C C -+=-；()7()!1!!n n n n ⋅=+-；()811,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥ 5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。
数列求和的方法总结教案
名师精编优秀教案授课教案学员姓名：__________ 授课教师：_ 所授科目：学员年级：__________ 上课时间：___年__月___日___时___分至___时___分共___小时优秀教案名师精编的相关性质对函数化简，后证明左边=右边）小题已经证明的结论可知，1）利用第（2（．优秀教案名师精编1928?????????f?令S??ff?f????????10101010????????2819?????????f?则S?f?ff?????????10101010????????两式相加得：?19?9????所以.?S9?f??2S9?f??????21010??????小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.222210132?S????求值：: 针对训练2222222210?89?31?1021?典型题（三）错位相减法求数列的前N项和：类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。
若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.????cb ca?b?是公比为，其中是等差数列，若等比数列，令q nnnnn S?bc?bc??bc?bc n11n22n?1nn?1qS?bc?bcbc??bc?则n32n1nn?12n?1两式相减并整理即得2n1)2?S12??22??(n? n?1，求数列｛a｝的前n项和题1：已知S. 2a?n?nn n01n?2n?1①解：n12n?1n2n???(n1)22S2?12?2?②n②—①得n?1nnn01?2?2S22n?2??11?2n?n优秀教案名师精编典型题（四）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求??c??a是各项不为零的等差数和方法称为裂项相消法。
数列求和的七种方法｜数列求和教案
数列求和是知识掌握的重点，下面是为大家带来的数列求和教案，希望能帮助到大家!数列求和教案篇一汉滨高中李安锋教学目标:知识目标①复习等差和等比数列的前n项和公式、回忆公式推导过程所用倒序想加和错位相减的思想方法,及用数列求和公式求和时,应弄清基本量中各基本量的值,特别是用等比数列求和公式求和时,应关注公比q是否为1;②记住一些常见结论便于用公式法对数列求和;③学会分析通项的结构并且对通项进行分拆;能运用拆并项求和思想方法解决非特殊数列求和问题。
能力目标培养学生用联系和变化的观点,结合转化的思想来分析问题和解决问题的能力。
情感目标培养学生用数学的观点看问题,从而帮助他们用科学的态度认识世界. 教学重点与难点教学重点等差等比数列求和及特殊数列求和的常用方法教学难点分析具体数列的求和方法及实际求解过程.教学方法、手段通过设问、启发、当堂训练的教学程序,采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式,培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力,借助幻灯片辅助教学,达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的,营造生动活泼的课堂教学氛围. 学法指导为了发挥学生的主观能动性,提高学生的综合能力,确定了三种学法(1)自主性学习法,(2)探究性学习法,(3)巩固反馈法,教学过程(一)情景导入复习回顾:等差数列和等比数列的前n项和公式?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 等差数列求和公式Sn?22(q?1)?na1? 等比数列求和公式Sna1(1?qn)a1?anq ?(q?1)?1?q?1?q 教师引导学生回忆数列几种常见的求和方法?①公式法②分组求和法③裂项相消法④错位相减法(充分发挥学生学习的能动性,以学生为主体,展开课堂教学)(二)自学指导若已知一个数列的通项,如何对其前n项求和?①an?3n ②an?3n?2n?1 ③an?n(n?1)④an?1 ⑤an?n?3n n(n?1)(通过学生对几种常见的求和方法的归纳、总结,结合具体的实例、简单回忆各方法的应用背景.把遗忘的知识点形成了一个完整的知识体系)巩固检测题(1) a?a2?a3?an?________(2) 1+3+5+?+(2n+1)=(3)12?22?32n2?(复习等差与等比数列的求和公式:(1)中易忘讨论公比是否为1(2)中易错项数(3)与(4)是为用公式法求和作铺垫.)(三)例题展示例设Sn=1-3+5-7+9++101 求Sn分析: 拆并项求和思路? Sn=(1-3)+(5-7)+(9-11)+(97-99)+101=?Sn=1+(-3+5)+(-7+9)+(-11+13)+(-99+101)=? Sn=(1+5++101)-(3+7++99)=意图通过一题多解,开阔学生的思维.，分析①②③培养学生的拆项求和与并项求和的意识, 比较分析①②思考应留下。
2025届高考数学一轮复习教案：数列-数列求和
第五节数列求和课程标准1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.考情分析考点考法:高考命题常以等差、等比数列为载体,考查裂项相消、错位相减求和等数列求和方法,涉及奇偶项的求和问题是高考的热点,常以解答题的形式出现.核心素养:数学建模、数学运算、逻辑推理.【核心考点·分类突破】考点一分组、并项、倒序相加求和[例1](1)数列112,214,318,…的前n项和为S n=()A.2-1B.(r1)2+2nC.(r1)2-12+1D.2-1【解析】选C.数列112,214,318,...的前n项和为S n=(1+2+3+...+n)+(12+14+18+ (12)=(r1)2+12(1-12)1-12=(r1)2-12+1.(2)设f(x)=21+2,则f(12024)+f(12023)+…+f(1)+f(2)+…+f(2024)=________.【解析】因为f(x)=21+2,所以f(x)+f(1)=1.令S=f(12024)+f(12023)+…+f(1)+f(2)+…+f(2024),①则S=f(2024)+f(2023)+…+f(1)+f(12)+…+f(12024),②所以2S=4047,所以S=40472.答案:40472(3)(2023·深圳模拟)已知公差为2的等差数列的前n项和为S n,且满足S2=a3.①若a1,a3,a m成等比数列,求m的值;②设b n=a n-2,求数列的前n项和T n.【解析】①由题意知数列是公差为2的等差数列,设公差为d,则d=2,又因为S2=a3,所以a1+a2=a3,即2a1+d=a1+2d,得a1=d=2,所以a n=a1+(n-1)d=2n(n∈N*).又因为a1,a3,a m成等比数列,即32=a1a m,所以36=2×2m,得m=9.②因为b n=a n-2=2n-4n,所以T n=(2×1-41)+(2×2-42)+…+(2×n-4n)=2×(1+2+…+n)-(41+42+…+4n)=2×(r1)2-4×(1-4)1-4=n(n+1)-43×(4n-1)=n2+n+43-4r13.【解题技法】分组转化与并项求和法(1)数列的项可以拆分成两类特殊数列,分别对这两类数列求和,再合并后即为原来的数列的前n项和;(2)数列的项具有一定的周期性,相邻两项或多项的和是一个有规律的常数,可以将数列分成若干组求和.【对点训练】1.已知数列的通项公式为a n=n cos(n-1)π,S n为数列的前n项和,则S2023=()A.1009B.1010C.1011D.1012【解题提示】将a n=n cos(n-1)π化为a n=n×-1-1,利用并项法求和.【解析】选D.因为当n为奇数时cos(n-1)π=1,当n为偶数时cos(n-1)π=-1,所以cos(n-1)π=-1-1,所以a n=n cos(n-1)π=n×-1-1.S2023=(1-2)+(3-4)+…+(2021-2022)+2023=-1011+2023=1012.2.设f(x)=44+2,若S=f(12024)+f(22024)+…+f(20232024),则S=________.【解析】因为f(x)=44+2,所以f(1-x)=41-41-+2=22+4,所以f(x)+f(1-x)=44+2+22+4=1.S=f(12024)+f(22024)+…+f(20232024),①S=f(20232024)+f(20222024)+…+f(12024),②①+②,得2S=[f(12024)+f(20232024)]+[f(22024)+f(20222024)]+…+[f(20232024)+f(12024)]=2023,所以S=20232.答案:202323.已知是公差d≠0的等差数列,其中a2,a6,a22成等比数列,13是a4和a6的等差中项;数列是公比q为正数的等比数列,且b3=a2,b5=a6.(1)求数列和的通项公式;(2)令c n=a n+b n,求数列的前n项和T n.【解析】(1)因为a2,a6,a22成等比数列,所以62=a2a22,即(1+5)2=(a1+d)(a1+21d)①.因为13是a4和a6的等差中项,所以a4+a6=26,即(a1+3d)+(a1+5d)=26②,由①②可得:a1=1,d=3,所以a n=1+(n-1)×3=3n-2,从而b3=a2=4,b5=a6=16.因为数列是公比q为正数的等比数列,所以b5=b3q2,即16=4q2,所以q=2,从而b n=b3q n-3=2n-1.(2)由于b n=2n-1,所以b1=1.因为c n=a n+b n,所以T n=c1+c2+…+c n=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(a n+b n)=(a1+a2+…+a n)+(b1+b2+…+b n)=+(-1)2×3+1-21-2=2n+32n2-12n-1.考点二裂项相消法求和[例2](1)已知函数f(x)=x a的图象过点(4,2),令a n=1(r1)+(),n∈N*.记数列{a n}的前n项和为S n,则S2025=________.【解析】由f(4)=2可得4a=2,解得a=12,则f(x)=12,所以a n=1(r1)+()==+1-,S2025=a1+a2+a3+…+a2025=(2-1)+(3-2)+(4-3)+…+(2025-2024)+(2026-2025)=2026-1.答案:2026-1(2)已知数列的各项均为正数,S n是其前n项的和.若S n>1,且6S n=2+3a n+ 2(n∈N*).①求数列的通项公式;②设b n=1r1,求数列的前n项和T n.【解析】①因为6S n=2+3a n+2,(i)n=1时,6S1=6a1=12+3a1+2,即12-3a1+2=0,解得a1=2或a1=1,因为S n>1,所以a1=2;(ii)n≥2时,由6S n=2+3a n+2,有6S n-1=-12+3a n-1+2,两式相减得6(S n-S n-1)=2--12+3a n-3a n-1,所以6a n=2--12+3a n-3a n-1,所以2--12-3a n-3a n-1=0,所以(a n+a n-1)(a n-a n-1)-3(a n+a n-1)=0,所以(a n+a n-1)(a n-a n-1-3)=0.因为数列的各项均为正数,所以a n+a n-1≠0,所以a n-a n-1-3=0,即a n-a n-1=3,综上所述,是首项a1=2,公差d=3的等差数列,所以a n=a1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n-1,所以数列的通项公式为a n=3n-1.②由①知a n=3n-1,所以a n+1=3(n+1)-1=3n+2,所以b n=1r1=1(3-1)(3r2)=13×(3r2)-(3-1)(3-1)(3r2)=13×(13-1-13r2),所以T n=13×(12-15)+13×(15-18)+13×(18-111)+…+13×(13-1-13r2)=13×(12-15+15-18+18-111+…+13-1-13r2)=13×(12-13r2)=13×3r2-22(3r2)=6r4,所以数列的前n项和T n=6r4.【解题技法】破解裂项相消求和的关键点(1)定通项:根据已知条件求出数列的通项公式.(2)巧裂项:根据通项公式的特征进行准确裂项,把数列的每一项,表示为两项之差的形式.(3)消项求和:通过累加抵消掉中间的项,达到消项的目的,准确求和.(4)常见的裂项结论:①设等差数列的各项不为零,公差为d(d≠0),则1r1=1(1-1r1);②142-1=12(12-1-12r1);③1(r1)(r2)=12(r1)(1-1r2)=12[1(r1)-1(r1)(r2)];④242-1=14(42-1)+1442-1=14+18(12-1-12r1);⑤a n=2(2+)(2r1+)=12+-12r1+;⑥a n=r12(r2)2=14[12-1(r2)2].提醒:要注意正负相消时,可以通过写出前几项观察消去规律的方法,确定消去了哪些项,保留了哪些项,不可漏写未被消去的项.【对点训练】1.{a n }是等比数列,a 2=12,a 5=116,b n =r1(+1)(r1+1),则数列{b n }的前n 项和为()A .2-12(2+1)B .2-12+1C .12+1D .2-12+2【解析】选A .a 5=a 2·q 3,所以q 3=18,所以q =12,a 1=1,所以a n =(12)n -1.b n =(12)[(12)-1+1][(12)+1]=1(12)+1-1(12)-1+1,所以b 1+b 2+b 3+…+b n =[1(12)1+1-1(12)0+1]+[1(12)2+1-1(12)1+1]+[1(12)3+1-1(12)2+1]+…+[1(12)+1-1(12)-1+1]=1(12)+1-12=2-12(2+1).2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2=8,S n =r12-n -1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)n 项和T n .【解析】(1)因为a 2=8,S n =r12-n -1,所以a 1=S 1=22-2=2.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=r12-n -1-(2-n ),即a n +1=3a n +2.又a 2=8=3a 1+2,所以a n +1=3a n +2,n ∈N *,所以a n +1+1=3(a n +1),所以数列{a n +1}是等比数列,且首项为a 1+1=3,公比为3,所以a n +1=3×3n -1=3n ,所以a n =3n -1.(2)因为2×3=2×3(3-1)(3r1-1)=13-1-13r1-1,r1n 项和T n =(13-1-132-1)+(132-1-133-1)+…+(13-1-13r1-1)=12-13r1-1.考点三错位相减法求和[例3]已知数列中,a 1=8,且满足a n +1=5a n -2·3n .(1)证明:数列-3为等比数列,并求数列的通项公式;(2)若b n =n (a n -3n ),求数列的前n 项和S n .【解析】(1)因为a n +1=5a n -2·3n ,所以a n +1-3n +1=5a n -5·3n =5(a n -3n ),所以数列-3是以a 1-31=5为首项,以5为公比的等比数列,所以a n -3n =5×5n -1=5n ,所以a n =3n +5n .(2)因为a n =3n +5n ,所以b n =n (a n -3n )=n ×5n ,所以S n =b 1+b 2+b 3+…+b n ,即S n =1×51+2×52+3×53+…+n ×5n ①,所以5S n =1×52+2×53+3×54+…+n ×5n +1②,由①-②得:-4S n =1×51+1×52+1×53+…+1×5n -n ×5n +1,-4S n =5(1-5)1-5-n ×5n +1,化简得:S n =5+(4-1)×5r116.【解题技法】错位相减法求和的解题策略(1)巧分拆,即将数列的通项公式分拆为等差数列与等比数列积的形式,并求出公差和公比.(2)构差式,即写出S n的表达式,再乘公比或除以公比,然后将两式相减.(3)后求和,根据差式的特征准确进行求和.提醒:错位相减法求和的注意点①在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“S n-qS n”的表达式.②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1,如果q=1,应用公式S n=na1.【对点训练】已知数列的前n项和为S n=3n2+8n-6,是等差数列,且a n=b n+b n+1(n≥2).(1)求数列和的通项公式;(2)令c n=b n·2n+2n+1,求数列的前n项和T n.【解析】(1)S n=3n2+8n-6,所以n≥2时,S n-1=3(n-1)2+8(n-1)-6,所以a n=S n-S n-1=6n+5.n=1时,a1=S1=5,不满足a n=6n+5,所以a n=5(=1)6+5(≥2);设的公差为d,a n=b n+b n+1(n≥2),所以a n-1=b n-1+b n(n≥3),所以a n-a n-1=b n+1-b n-1,所以2d=6,所以d=3.因为a2=b2+b3,所以17=2b2+3,所以b2=7⇒b1=4,所以b n=3n+1;(2)c n=3(n+1)2n,所以T n=3×2+3×22+…+(+1)2①,所以2T n=32×22+3×23+…+(+1)2r1②,①-②得,-T n=3[2×2+22+23+…+2n-(n+1)2n+1]+1)2r1=-3n·2n+1,所以T n=3n·2n+1,所以数列的前n项和T n=3n·2n+1.。
数列的求和公式的教案
数列的求和公式的教案教案标题：数列的求和公式的教案教案目标：1. 学生能够理解数列的概念和性质。
2. 学生能够推导数列的求和公式。
3. 学生能够应用数列的求和公式解决实际问题。
4. 学生能够发展数学思维和解决问题的能力。
教学资源：1. 教材：包含数列的相关知识和例题。
2. 白板、黑板、彩色粉笔。
3. 计算器。
4. 练习题和答案。
教学过程：引入（5分钟）：1. 引导学生回顾数列的概念和常见类型，如等差数列、等比数列等。
2. 提问：你们知道如何求一个数列的前n项和吗？探索（15分钟）：1. 给出一个等差数列的例子，如2, 5, 8, 11, 14, ...2. 引导学生思考如何求这个数列的前n项和。
3. 鼓励学生尝试列出数列的前几项，并观察数列的规律。
解决问题（20分钟）：1. 引导学生发现等差数列的前n项和可以通过求平均值乘以项数得到。
2. 引导学生推导等差数列的求和公式Sn = (a1 + an) * n / 2，其中a1为首项，an为末项。
3. 提供几个例子，让学生应用求和公式计算数列的前n项和。
拓展（15分钟）：1. 引导学生思考如何求解等比数列的前n项和。
2. 引导学生推导等比数列的求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中a1为首项，r为公比。
3. 提供几个例子，让学生应用求和公式计算等比数列的前n项和。
总结（5分钟）：1. 归纳总结等差数列和等比数列的求和公式。
2. 强调数列的求和公式在解决实际问题中的应用。
3. 鼓励学生在日常学习中多关注数列的性质和规律。
作业：1. 布置练习题，要求学生应用数列的求和公式计算前n项和。
2. 检查学生的作业并给予反馈。
教学反思：本节课通过引导学生思考和探索，让学生主动发现等差数列和等比数列的求和公式。
通过实际问题的应用，提高学生对数列求和公式的理解和掌握。
同时，通过引导学生思考拓展问题，拓宽学生的数学思维和解决问题的能力。
专题08 数列求和-倒序相加、绝对值、奇偶性求和(解析版)
专题08数列求和-倒序相加、绝对值、奇偶性求和◆倒序相加法求和等差数列的求和公式()12n n n a a S +=,其过程正是利用倒序相加的原理.这类题之所以能够利用倒序相加来求和,是因为其自身具备明显的特征,那就是首项与末项相加为定值.一般题中出现12x x k +=(k 为常数),()()12f x f x m +=(m 为常数)时,可以采用倒序相加的方法进行求和.【经典例题1】已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有()()11f x f x +-=，数列{}n a 满足()120n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n f f n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭.求数列{}n a 的通项公式.【答案】12n n a +=【解析】因为()()11f x f x +-=，∴111n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故()120n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n f f n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭.①∴()121n n n a f f f n n --⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()01f n f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.②∴①+②，得21n a n =+，∴12n n a +=.所以数列{}n a 的通项公式为12n n a +=.【练习1】已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且120191a a =，试用推导等差数列前项和的方法探求：若24()1f x x=+，则()()()122019f a f a f a +++= （）A ．2018B ．4036C ．2019D ．4038【答案】D 【解析】120191a a ⋅=，∵函数24()1f x x =+∴222214444()41111+⎛⎫+=+== ⎪++⎝⎭+x f x f x x x x，令122019()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+，则201920181()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+，∴()()()()()()120192201820191242019T f a f a f a f a f a f a =++++⋅⋅⋅++=⨯，∴4038T =.故选：D.【练习2】已知函数1()1f x x =+，数列{}n a 是正项等比数列，且101a =，则()()()()()1231819f a f a f a f a f a +++⋅⋅⋅++=__________．【答案】192【解析】函数1()1f x x =+，当0x >时，1111()()111111xf x f x x x x x+=+=+=++++，因数列{}n a 是正项等比数列，且101a =，则2119218317101a a a a a a a ===== ，119111()()()()1f a f a f a f a +=+=，同理2183171010()()()()()()1f a f a f a f a f a f a +=+==+= ，令()()()()()1231819S f a f a f a f a f a =+++++ ，又()()()()()19181721S f a f a f a f a f a =+++++ ，则有219S =，192S =，所以()()()()()1231819192f a f a f a f a f a +++⋅⋅⋅++=.故答案为：192【练习3】已知()442xx f x =+，求122010201120112011f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【答案】1005.【解析】因为()442xx f x =+，所以()1144214242442x x x xf x ---===++⨯+，所以()()11f x f x +-=.令12200920102011201120112011S f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，倒写得20102009212011201120112011S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.两式相加得22010S =，故1005S =.【练习4】函数()f x 对任意x ∈R ,都有1()(1)2f x f x +-=.(I)求12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值;(II)若数列{}n a 满足11(0)(1)n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,数列{}n a 是等差数列吗?【解析】(I)令12x =,得1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(II)已知函数()f x 对任意x ∈R ,都有1()(1)2f x f x +-=,可得11(0)(1)11(1)(0)nn n a f f f f n n n a f f f f n n ⎧-⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨-⎛⎫⎛⎫⎪=++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩由两式相加可得11(1)112(2)244n n n n n a a a n -++==⇒-=故数列{}n a 是等差数列.◆数列绝对值求和(1)对于首项小于0而公差大于0的等差数列{}n a 加绝对值后得到的数列{}n a 求和,设{}n a 的前n 项和为{},n n S a 的前n 项和为n T ,数列{}n a 的第k 项小于0而从第1k +项开始大于或等于0,于是有,;2,n n nk S n k T S S n k -⎧=⎨->⎩(2)对于首项大于0而公差小于0的等差数列{}n a 加绝对值后得到的数列{}n a 求和,设{}n a 的前n 项和为{},n n S a 的前n 项和为n T ,数列{}n a 的第k 项大于0而从第1k +项开始小于或等于0,于是有,2,nn kn S n k T S S n k ⎧=⎨->⎩ 。