数列倒序相加、错位相减、分组求和
数列的求和方法(ppt)
错位相减法：形如An=BnCn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等 比数列，首项为c1，公比为q。对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把① 式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得qSn，记为②式；然后①②两式错开一位 做差，从而得到{An}的前n项和。这种数列求和方式叫作错位相减。
数列的求和方法(ppt)
演讲人
目录
01
数列概念
02
等差数列思维导图
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘 公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。
倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于 同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。例如等差数列的求和公 式，就可以用该方法进行证明。
等差数列思维导图
一般地来说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字 母d表示，前n项和用Sn表示。
谢谢
裂项相消法：裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和。
乘公比错项相减（等差×等比）：这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的 方法，这种方法主要用于求数列（anxbn）的前n项和，其中（an），（bn）分别是 等差数列和等比数列。
公式法：对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等 比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先 要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
数列求和常见的7种方法
数列求和的根本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法〔合并法求和〕 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个根本方法。
数列是高中代数的重要容，又是学习高等数学的根底. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大局部数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的根本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用以下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n[例1]3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 〔利用常用公式〕＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n 〔利用常用公式〕 ∴1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②〔设制错位〕 ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- 〔错位相减〕再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………②〔设制错位〕 ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS 〔错位相减〕∴1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列〔反序〕，再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-〔反序〕又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..……..②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-〔反序相加〕 ∴nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②〔反序〕又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 〔反序相加〕)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 函数〔1〕证明：；〔2〕求的值.解：〔1〕先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 〔2〕利用第〔1〕小题已经证明的结论可知， 两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n 〔分组〕 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + 〔分组求和〕当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132〔分组〕＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n 〔分组求和〕 ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的. 通项分解〔裂项〕如：〔1〕)()1(n f n f a n -+= 〔2〕n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+〔3〕111)1(1+-=+=n n n n a n 〔4〕)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 〔5〕])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 〔7〕)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=〔8〕n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111〔裂项〕则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n 〔裂项求和〕＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴)111(82122+-=+⋅=n n n n b n 〔裂项〕∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n 〔裂项求和〕＝)111(8+-n ＝ 18+n n [例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+〔裂项〕 ∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S 〔裂项求和〕 ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立答案：六、分段求和法〔合并法求和〕针对一些特殊的数列，将*些项合并在一起就具有*种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° ∵)180cos(cosn n --= 〔找特殊性质项〕∴S n ＝ 〔cos1°+ cos179°〕+〔 cos2°+ cos178°〕+〔cos3°+ cos177°〕+···+〔cos89°+ cos91°〕+ cos90° 〔合并求和〕＝ 0[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得 ……∵0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a 〔找特殊性质项〕 ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++〔合并求和〕＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，假设103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+〔找特殊性质项〕 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=〔合并求和〕＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的构造及特征进展分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项提醒的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k个个〔找通项及特征〕 ∴ 11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n 〔分组求和〕 ＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ [例16] 数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n 〔找通项及特征〕＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n 〔设制分组〕＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n 〔裂项〕∴∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n 〔分组、裂项求和〕 ＝418)4131(4⋅++⋅ ＝313 提高练习：1．数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2 ==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列； 2．设二次方程n a *2-n a +1*+1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用n a 表示a 1n +；3．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122*N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；。
数列求和七种方法技巧
数列求和的七种方法技巧包括：
1. 公式法：适用于等差数列、等比数列等基本数列的求和，可以直接使用求和公式进行计算。
2. 倒序相加法：将数列倒序排列，然后与原数列相加，得到一个常数列，再除以2得到原数列的和。
3. 错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，通过错位相减的方式将原数列转化为等比数列，再利用等比数列的求和公式进行计算。
4. 裂项相消法：将数列中的每一项都拆分成两个部分，使得中间项相互抵消，从而求得数列的和。
5. 分组法：将数列中的项进行分组，然后分别求和，最后得到整个数列的和。
6. 乘公因式法：适用于具有公因式的数列，将公因式提取出来，然后进行求和。
7. 构造法：通过构造新的数列或方程，将原数列的求和问题转化为其他形式的问题进行求解。
以上是数列求和的七种方法技巧，可以根据具体情况选择适合的方法进行计算。
高中数学数列求和题解题方法技巧
高中数学数列求和题解题方法技巧数列求和的七种解法1.公式法：顾名思义就是通过等差、等比数列或者其他常见的数列的求和公式进行求解。
2.倒序相加：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。
例如等差数列的求和公式，就可以用该方法进行证明。
3.错位相减：形如An=Bn∙Cn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等比数列，首项为c1，公比为q。
对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把①式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得q∙Sn，记为②式；然后①②两式错开一位作差，从而得到{An}的前n项和。
这种数列求和方式叫做错位相减。
4.裂项相消：把数列的每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只剩下首尾几项，再进行求和，这种数列求和方式叫做裂项相消。
5.分组求和：有一类数列，既不是等差，又不是等比，但若把这个数列适当的拆开，就会分成若个等差，等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项和。
6.周期数列：一般地，若数列{an}满足：存在一个最小的正整数T，使得an+T=an对于一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期，接下来根据数列的周期性进行求和。
7.数学归纳法：是一种重要的数学方法，其对求数列通项，求和的归纳猜想证明起到了关键作用。
高中数学解题方法实用技巧1解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
数列求和1
1 2n
1
1 2n
1
nn
1
1n
2
1 2
1
nn
1
n
1
1n
2
已知：an 3n 1,求
1 1 1
a1a2 a2a3
an an 1
五、公式法求和：
所给数列的通项是关于n的多
项式，此时求和可采用公式
法求和，常用的公式有：
数列求和
一、倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末
两项等距的两项之和等于首 末两项之和，可采用把正着 写和与倒着写和的两个和式 相加，就得到一个常数列的 和，这一求和的方法称为倒 序相加法.
二、错位相减法：
如果一个数列的各项是由一 个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成，此时求和 可采用错位相减法.
四、分裂通项法：
把数列的通项拆成两项之差， 即数列的每一项都可按此法 拆成两项之差，在求和时一 些正负项相互抵消，于是前 n项的和变成首尾若干少数 项之和，这一求和方法称 为分裂通项法.
已知an
1
nn
2
,
求sn
1
nn 1
1 n
1 n -1
2n
1
12n
1
1 2
例 ： 求前n项的和.
三、分组求和法：
把数列的每一项分成两项， 或把数列的项“集”在一块 重新组合，或把整个数列分 成两部分，使其转化为等差 或等比数列，这一求和方法 称为分组求和法.
例：若数列{an}中， an= -2[ n - (-1)n ]，求 S10和S99．
数列求和的八种重要方法与例题
练习10：
已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),
1)求S20,S21 2)求Sn
=20 S20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39
S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）
=-21
总的方向： 1.转化为等差或等比数列的求和 2.转化为能消项的 思考方式：求和看通项（怎样的类型） 若无通项，则须先求出通项 方法及题型： 1.等差、等比数列用公式法 2.倒序相加法 3.错位相减法 4.裂项相消法
1 (1 3
2n )
5
n
12 3
1 (2n 5n 1) 3
热点题型3：递归数列与数学归纳法.
已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a01，an1
(nN)
1 2
an (4
an ).
（1）证明an<an+1<2(nN) （2）求数列{an}的通项公式an
用数学归纳法证明：
类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……
典例. 已知 lg(xy) 2 2.倒序相加法
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lg(x·1 yn-1)+lgyn,
(x > 0,y > 0) 求S .
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lgyn
S =lgyn +lg(yn-·1 x)+ ...+lgxn 2S =lg(xy)n +lg(xy)n + ...+lg(xy)n
数列累加法 裂项求和倒序相加错位相减分组求和法结合
1分组求和法:就是将数列的项分成二项，而这两项往往是常数或是等差（比）数列，它们的和当然就好求了。
例如：求1/2+3/4+7/8+9/16+......+(2^n-1)/(2^n)的话，可以将通项(2^n-1)/(2^n)写成1-2^(-n)这样就变成每一项都是1-X （X为通项）的公式对于通项-2^(-n)是一个等比数列，这个你就可以直接套用公式了2数列累加法逐差累加法例3 已知a1=1, an+1=an+2n 求an解：由递推公式知：a2-a1=2, a3-a2=22, a4-a3=23, …an-an-1=2n-1将以上n-1个式子相加可得an=a1+2+22+23+24+…+2n-1=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1注：对递推公式形如an+1=an+f(n)的数列均可用逐差累加法求通项公式，特别的，当f(n)为常数时，数列即为等差数列。
逐商叠乘法例4 已知a1=1, an=2nan-1(n≥2)求an解：当n≥2时，=22, =23, =24, (2)将以上n-1个式子相乘可得an=a1.22+3+4+…+n=2当n=1时，a1=1满足上式故an=2 (n∈N*)注：对递推公式形如an+1an=g(n)的数列均可用逐商叠乘法求通项公式，特别的，当g (n)为常数时，数列即为等比数列3裂项求和：当一项可以拆时需要注意是否为了考察裂项求和，最有名的就是分数：1/2+1/6+1/12+……+1/n*（n+1）可拆为1-1/2+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+……+（1/n-1/（n+1））然后你会发现从-1/2 到1/n全部能想消掉，故只剩下首项和末项。
4倒序相加：最简单的是等差数列用倒序相加求和：1到9 1+9=10 2+8=10。
所以便有首项加末项乘以项数除以二。
1+1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/99*100=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/99-1/100) (裂项）=1+1-1/2+1/2-1/3+...-1/99+1/99-1/100 (消元）=2-1/100=199/100一、基本概念：1、数列的定义及表示方法：2、数列的项与项数：3、有穷数列与无穷数列：4、递增（减）、摆动、循环数列：5、数列{an}的通项公式an：6、数列的前n项和公式Sn:7、等差数列、公差d、等差数列的结构：8、等比数列、公比q、等比数列的结构：二、基本公式：三、9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=四、10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
数列求和常见的7种方法
数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ )180cos(cosn n --= （找特殊性质项）∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）＝ 0[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++ （合并求和） ＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k个个 （找通项及特征） ∴ 11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和） ＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n （设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和） ＝8)31(4+⋅＝313提高练习：1．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列；2．设二次方程n a x 2-n a +1x +1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用n a 表示a 1n +；3．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；。
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---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 数列倒序相加、错位相减、分组求和数列倒序相加、错位相减、分组求和一．选择题（共 2 小题）1．（2014 秋?葫芦岛期末）已知函数 f（x）=x 的图象过点（4，2），令an= n∈N ，记数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S2015=（ A．﹣1B．﹣1C．﹣1D．2 * a，）﹣12．（2014 春?池州校级期末）已知函数 f（x）=x ?cos（xπ），若 an=f（n）+f（n+1），则 ai=（） A．﹣2015B．﹣2014C．2014D．2015 二．填空题（共 8 小题）3．（2015 春?温州校级期中）设，若 0＜a＜1，则（ f a） +f （1﹣a） = ，= 4．（2011 春?启东市校级月考）Sn=1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+（﹣1） S100+S200+S301= ． 5．（2010?武进区校级模拟）数列{an}满足．n+1?n，则，a1=1，Sn 是{an}的前 n项和，则 S21= n 6．（2012?新课标）数列{an}满足 an+1+ （﹣1）an=2n﹣1，则{an}的前 60 项和为． n * 7．（2015?张家港市校级模拟）已知数列{an}满足 a1=1，an+1?an=2 （n∈N ），则 S2012= ． n * 8．（2009?上海模拟）在数列{an}中，a1=0，a2=2，且 an+2﹣an=1+（﹣1）（n∈N ），则 s100= ． 9．（2012?江苏模拟）设数列{an}的前 n 项和为|a1|+|a2|+…+|an|= ．．，则10．（2013 春?温州期中）等比数列{an}中，若a1= ，a4=﹣4，则|a1|+|a2|+…+|an|=三．解答题（共 15 小题） 11．在数列{an}中，a1=﹣18，an+1=an+2，求：|a1|+|a2|+…+|an| 2 12．（2010?云南模拟）已知数列{an}的前 n 项和 Sn=25n﹣2n ．（1）求证：{an}1/ 14是等差数列．（2）求数列{|an|}的前 n 项和 Tn． 13．已知在数列{an}中，若 an=2n﹣3+ ，求 Sn．第 1 页（共 13 页）---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 14．（2014?海淀区校级模拟）求和：Sn=1+2x+3x +…+nx 15．求下列各式的值：2 3 n n2n﹣1．（1）（2﹣1）+（2 +2）+（2 ﹣3）+…+[2 +（﹣1） n]； 2 3 n （2）1+2x+4x +6x +…+2nx ． 16．（2010 春?宁波期末）在坐标平面内有一点列 An（n=0，1，2，…），其中 A0（0，0）， n An（xn，n）（n=1，2，3，…），并且线段 AnAn+1 所在直线的斜率为 2 （n=0，1，2，…）．（1）求 x1，x2 （2）求出数列{xn}的通项公式 xn （3）设数列{nxn}的前 n 项和为 Sn，求 Sn． 2 17．（2013 秋?嘉兴期末）已知等差数列{an}的公差大于 0，a3，a5 是方程 x ﹣14x+45=0 的两根．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记，求数列{bn}的前 n 和 Sn．218．（2014 秋?福州期末）已知等比数例{an}的公比 q＞1， a1， a2 是方程 x ﹣3x+2=0 的两根，（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{2n?an}的前 n 项和 Sn． 19．（2011 春?孝感月考）求和：Sn=（x+ ） +（x + 20．（2014 春?龙子湖区校级期中）求数列{n×2 2）+…+（x +2n）．2}前 n 项和 Sn．21．（2011 秋?文水县期中）已知数列{an}中，an=2n﹣33，求数列{|an|}的前 n 项和 Sn． n 22．数列{an}中，an=n?2 ，求 Sn． n 23．已知数列{an}中，an=（2n﹣1）?3 ，求 Sn． 2 2 3 4 3 4 5 6 24．求数列 1，a+a ，a +a +a ，a +a +a +a ，…的前 n 项和 Sn． 25．已知数列{an}中，，试求数列{an}的前 n 项之和 Sn．第 2 页（共 13 页）3/ 14数列倒序相加、错位相减、分组求和参考答案与试题解析一．选择题（共 2 小题） 1．（2014 秋?葫芦岛期末）已知函数 f（x）=x 的图象过点（4，2），令an= n∈N ，记数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S2015=（） A．﹣1B．﹣1C．﹣1D．﹣1 a 【解答】解：函数 f（x）=x 的图象过点（4，2）， a 则：4 =2，解得：a= ，所以：f（x）= 则： = = ，，* a，则：Sn=a1+a2+...+an = = 则：故选：D．，，2．（2014 春?池州校级期末）已知函数 f（x）=x ?cos （xπ），若 an=f（n）+f（n+1），则 ai=（） A．﹣2015B．﹣2014C．2014D．2015 2 【解答】解：∵函数 f（x）=x ?cos（xπ），若an=f（n）+f（n+1），∴ ai=（a1+a3+a5+...+a2013）+（a2+a4+a6+...+a2014）2=（3+7+11+...+4027）﹣（5+9+13+ (4029)=﹣2×1007 =﹣2014．故选：B．二．填空题（共 8 小题）第 3 页（共 13 页）---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 3．（2015 春?温州校级期中）设，若 0＜a＜1，则 f（a）+f（1﹣a）= 1 ，=1007 ．【解答】解：∵ ∴当 0＜a＜1 时， f（a）+f （1﹣a）= +，=+=+=1，故故答案为：1，1007．=1007×1=1007，4．（2011 春?启东市校级月考）Sn=1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+（﹣1） ?n，则S100+S200+S301= 1 ．【解答】解：由题意可得， S100=1﹣2+3﹣4+…99﹣100=﹣50，S200=1﹣2+3﹣4+…+199﹣200= ﹣100 s301=1﹣2+3﹣4+…+299﹣300+301=﹣150+301=151 ∴s100+s200+s301=﹣50﹣100+151=1 故答案为：1． 5．（2010?武进区校级模拟）数列{an}满足项和，则 S21= 6 【解答】解：∵ ∴a1=a3，a3+a4=a4+a5 ∴a1=a3=a5=…=a2n﹣1，即奇数项都相等∴a21=a1=1 ∴S21=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a19+a20）+a21 =10× +1 =6．答案：6． 6．（2012?新课标）数列{an}满足 an+1+（﹣1）an=2n﹣1，则{an}的前 60 项和为【解答】解：∵ ∴第 4 页（共 13 页）nn+1，a1=1，Sn 是{an}的前 n，a1+a2=a2+a3，1830．，5/ 14令 bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a4n+1+a4n+3=（a4n+3+a4n+2）﹣（a4n+2﹣a4n+1）=2，a4n+2+a4n+4=（a4n+4﹣a4n+3）+（a4n+3+a4n+2）=16n+8，则 bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n ﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=bn+16 ∴数列{bn}是以 16 为公差的等差数列，{an}的前60 项和为即为数列{bn}的前15 项和∵b1=a1+a2+a3+a4=10 ∴ =1830n *7．（2015?张家港市校级模拟）已知数列{an}满足 a1=1， an+1?an=2（n∈N ），则 S2012= 3×21006 ﹣3 ． n * 【解答】解：∵数列{an}满足 a1=1，an?an+1=2 ，n∈N ∴n=1 时，a2=2， n n﹣1 ∵an?an+1=2 ，∴n≥2 时，an?an ﹣1=2 ，∴ =2，∴数列{an}的奇数列、偶数列分别成等比数列，∴S2012= 故答案为：3×21006+ ﹣3 ．=3×21006﹣3．8．（2009?上海模拟）在数列{an}中，a1=0，a2=2，且 an+2﹣an=1+（﹣1）（n∈N ），则 s100= 2550 ．【解答】解：据已知当 n 为奇数时，an+2﹣an=0?an=0，当n 为偶数时，an+2﹣an=2?an=n，，n*S100=0+2+4+6+…+100=0+50× 故答案为：2550=2550．9．（2012?江苏模拟）设数列{an}的前n 项和为，则|a1|+|a2|+…+|an|= ．\left\{\begin{array：．10．（2013 春?温州期中）等比数列{an}中，若 a1= ，a4=﹣4，则|a1|+|a2|+…+|an|= \frac{1}{2} ．【解答】解：∵a1= ，a4=﹣4，﹣4= ×q ，解得 q=﹣2 即数列{an}是以为首项，以﹣2 为公比的等比数列则数列{|an|}是以为首项，以 2 为公比的等比数列32n﹣1﹣故|a1|+|a2|+…+|an|= 故答案为：2n﹣1=2n﹣1﹣﹣三．解答题（共 15---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 小题）11．在数列{an}中，a1=﹣18，an+1=an+2，求：|a1|+|a2|+…+|an| 【解答】解：∵数列{an}中，a1=﹣18，an+1=an+2，∴{an}是首项为﹣18，公差为 2 的等差数列，∴an=﹣18+（n﹣1）×2=2n﹣20，由 an=2n﹣20≥0，n≥10，设{an}的前 n 项和为 Sn，当n≤10 时，|a1|+|a2|+…+|an|=﹣Sn=﹣[﹣18n+ 当 n＞10 时，：|a1|+|a2|+…+|an|=Sn﹣2S10 2 =n ﹣19n+180．∴|a1|+|a2|+…+|an|= ． ]=﹣n +19n．212．（2010?云南模拟）已知数列{an}的前 n 项和 Sn=25n﹣2n ．（1）求证：{an}是等差数列．（2）求数列{|an|}的前 n 项和 Tn．【解答】解：（1）证明：①n=1 时，a1=S1=23． 2 2 ②n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1=（25n﹣2n ）﹣[25（n﹣1）﹣2（n﹣1） ]=27﹣4n，而 n=1第 6 页（共 13 页）27/ 14适合该式．于是{an}为等差数列．（2）因为 an=27﹣4n，若 an ＞0，则 n＜，，当1≤n≤6 时，Tn=a1+a2+an=25n﹣2n ，当n≥7 时，Tn=a1+a2++a6﹣（a7+a8++an） 2 =S6﹣（Sn﹣S6）=2n ﹣25n+156，综上所知．213．已知在数列{an}中，若 an=2n﹣3+ 【解答】解：数列{an}中，若 an=2n﹣3+ 数列， Sn=（﹣1+1+3+5+…+（2n﹣3））+（，求 Sn．，可知数列是等差数列与等比数列对应项和的…+）=+=n （n﹣2）+1﹣ =n ﹣2n+1﹣2．14．（2014?海淀区校级模拟）求和：Sn=1+2x+3x +…+nx 【解答】解：当 x=0 时，Sn=1；当 x=1 时，Sn=1+2+3+…+n=22n﹣1．；n﹣1当x≠1，且x≠0 时，Sn=1+2x+3x +…+nx 23 n xSn=x+2x +3x +…+nx ．② 2 3 n﹣1 n （1﹣x）Sn=1+x+x +x +…+x ﹣nx = ，，①x=0 时，上式也成立，∴ ．x≠1．第 7 页（共 13 页）---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ ∴Sn=．15．求下列各式的值： 2 3 n n （1）（2﹣1）+（2 +2）+（2 ﹣3）+…+[2 +（﹣1） n]； 2 3 n （2）1+2x+4x +6x +…+2nx ．【解答】解：（1）当 n 为奇数时，﹣1+2﹣3+…+（﹣1） n= 当 n 为偶数时，﹣1+2﹣3+…+（﹣1） n= ，2 3 n n+1 n n﹣n=﹣，又∵2+2 +2 +…+2 +=2 3=2﹣2，n n记 Sn=（2﹣1）+（2 +2）+（2 ﹣3）+…+[2 +（﹣1） n]，∴Sn= （2）记Sn=1+2x+4x +6x +…+2nx ，2 3 n；则当 x=1 时，Sn=1+2+4+6+…+2n=1+2? 当x≠1 时，xSn=x+2x +4x +…+2nx ，2 3 n n+1 ∴（1﹣x）Sn=1+x+2（x +x +…+x ）﹣2nx =1+x+2? ﹣2nxn+1 2 3 n+1=n +n+1；2，∴Sn=+2?﹣；综上所述，Sn=．16．（2010 春?宁波期末）在坐标平面内有一点列 An（n=0，1，2，…），其中 A0（0，0）， n An（xn，n）（n=1，2，3，…），并且线段 AnAn+1 所在直线的斜率为 2 （n=0，1，2，…）．（1）求 x1，x2 （2）求出数列{xn}的通项公式 xn （3）设数列{nxn}的前 n 项和为 Sn，求 Sn． 0 【解答】解：（1）A0（0，0），A1（x1，1），A2（x2，2）直线 A0A1 的斜率为 2 =1，第 8 页（共 13 页）9/ 14∴x1=1 直线 A1A2 的斜率为 2，，∴ （2）当n≥1 时，An（xn，n），An+1（xn+1，n+1），∴ ，累加得：检验当 n=1 时也成立，∴ （3），令 bn=2n，对应的前 n 项和 Tn=n（n+1）令，两式相减得：∴ ∴17．（2013 秋?嘉兴期末）已知等差数列{an}的公差大于 0，a3，a5 是方程 x ﹣14x+45=0 的两根．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记，求数列{bn}的前 n 和 Sn．22【解答】解（1）∵a3，a5 是方程 x ﹣14x+45=0 的两根，且数列{an}的公差 d＞0，2 解方程 x ﹣14x+45=0，得 x1=5，x2=9，∴a3=5，a5=9，┅（2 分）∴ ，解得┅（4 分）∴an=a1+（n﹣1）d=2n﹣1┅（6 分）第 9 页（共 13 页）---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ （2）∵an=2n﹣1，∴ ∴ ┅（8 分）┅（9 分）∵┅（11 ┅（13 分）分）∴数列{bn}的前 n 项和：┅（14 分）18．（2014 秋?福州期末）已知等比数例{an}的公比 q＞1， a1， a2 是方程 x ﹣3x+2=0 的两根，（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{2n?an}的前 n 项和 Sn． 2 【解答】解：（1）方程 x ﹣3x+2=0 的两根分别为 1、2，…（1 分）依题意得 a1=1，a2=2，…（2 分）所以q=2，…（3 分）所以数列{an}的通项公式为 an=2 ；…（4 分） n （2）由（1）知 2n?an=n?2 ，…（5 分） 2 n 所以Sn=1×2+2×2 +…+n×2 ，① 2 3 n n+1 2?Sn=1×2 +2×2 +…+（n﹣1）?2 +n×2 ，② 由①﹣②得： 2 3 n n+1 ﹣Sn=2+2 +2 +…+2 ﹣n×2 ，…（8 分）即﹣Sn= ﹣n×2n+1 n﹣12，…（11 分）所以 Sn=2+（n﹣1）?2n+1…（12 分）2 219．（2011 春?孝感月考）求和：Sn=（x+ ） +（x + 【解答】解：当x=±1 时，∵（x +n）+…+（x +2n）．2） =4，∴Sn=4n，2当x≠±1 时，∵an=x +2+2 4 2n，∴Sn=（x +x ++x ）+2n+（2n+++）=++2n第 10 页（共 13 页）11/ 14=+2n，所以当x=±1 时，Sn=4n；当x≠±1 时，Sn= +2n．20．（2014 春?龙子湖区校级期中）求数列{n× 【解答】解：∵数列{n× ∴ Sn=①﹣②，得： Sn= }前 n 项和 Sn．}前 n 项和 Sn．，①…（3 分），②…．（6 分）=﹣=1﹣∴Sn=2…（10 分）…（13 分）21．（2011 秋?文水县期中）已知数列{an}中，an=2n﹣33，求数列{|an|}的前 n 项和 Sn．【解答】解：令 an=2n﹣33＞0，解得 n＞，所以当n≤16 时，an＜0，又 a1=2﹣33=﹣31，则数列{|an|}的前 n 项和 Sn=﹣当n≥17 时，an＞0，则数列{|an|}的前 n 项和 Sn=S16+Sn﹣16= + =n ﹣32n+512，2=﹣=32n﹣n ；2综上，Sn=．22．数列{an}中，an=n?2 ，求 Sn． 2 3 n 【解答】解法一：Sn=1?2+2?2 +3?2 +…+n?2 ， 2 3 4 n+1 2Sn=1?2 +2?2 +3?2 +…+n?2 ， 2 3 n n+1 两式相减可得，﹣Sn=2+2 +2 +…+2 ﹣n?2第 11 页（共 13 页）n---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ =﹣﹣n?2n+1化简可得 Sn=2+（n﹣1）?2 ． n n+1 n 解法二、由 an=n?2 =（n﹣1）?2 ﹣（n﹣2）?2 ， 4 可得 Sn=[0﹣（﹣1）?2]+[1?8﹣0]+[2?2 ﹣1?8]+… ﹣ n n 1 n+1 n +[（n﹣2）?2 ﹣（n﹣3）?2 ]+[（n ﹣1）?2 ﹣（n﹣2）?2 ] n+1 =2+（n﹣1）?2 ． 23．已知数列{an}中，an=（2n﹣1）?3 ，求 Sn． n 【解答】解：∵an=（2n﹣1）?3 ，2 3 n ∴Sn=3+3×3 +5×3 +…+（2n﹣1）?3 ，2 3 4 n n+1 ∴3Sn=3 +3×3 +5×3 +…+（2n﹣3）?3 +（2n﹣1）?3 ，∴﹣2Sn=3+2×3 +2×3 +…+2×3 ﹣（2n﹣1）?3 ﹣2n）×3 ﹣6，n+1 ∴Sn=（n﹣1）×3 +3． 24．求数列 1，a+a ，a +a +a ，a +a +a +a ，…的前 n 项和 Sn．【解答】解：由题意知当 a=1 时，当a≠1 由等比数列的求和公式，得：= ∴ ，﹣（a+a +…+a3 2n﹣1 2 2 3 4 3 4 5 6 n+1 2 3 n n+1 nn+1=﹣3﹣（2n﹣1）×3n+1=（2，，）] ，①当a≠±1 时，[]．②当 a=﹣1 时， = 当 n 为奇数时，当 n 为偶数时，综上，得：当 a=1 时，．．﹣，，第 12 页（共 13 页）13/ 14当 a=﹣1 时，．当a≠±1 时，[]．25．已知数列{an}中，，试求数列{an}的前 n 项之和 Sn．【解答】解：（1）当 n 为奇数时，其中有2项为偶数项，项为奇数项，（1 分）偶数项是以 b1=9 为首项，q=3 =9 的等比数列，故偶数项的和奇数项是以c1=2×1﹣1=1 为首项，d=2×2=4 为公差的等差数列，故奇数项的和则{an}的前 n 项之和，（7 分）（n 为奇数）（8 分）（5 分）（2）当 n 为偶数时，其中有项为偶数项，为奇数项，（9 分）故偶数项的和，（11 分）奇数项的和则{an}的前 n 项之和，（12 分）﹣（n 为偶数）．（14 分）第 13 页（共 13 页）。