数学：1.6《微积分基本定理》课件(新人教选修2-2).ppt3.10

另一方面作变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t), 这段路程可表示为 s(T2 ) - s(T1 )
v( t )dt = s(T2 ) - s(T1 ). 其中 s( t ) = v ( t ). T
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T2
1
v(t )dt = s(t )dt = s(T2 ) - s(T1 ).
] f ( x)在 [a, b上的定积分的方法。
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牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果 f (x) 是在区间[a , b]上的连续函数,并且
F(x) = f (x), ，则
a f ( x )dx = F (b) - F (a ) .
b a
b
记: F (b) - F (a) = F (x) |b a
5
找出 f(x)的 原函数 是关健
3x2 dx = F (5) - F (2) = 117
2
5
解:(2)取 F ( x) = x 2 - 4 x, F ' ( x) = 2 x - 4
(2 x - 4)dx = F (5) - F (0) = 5
0
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5

b
a
f (x)dx =F (x )| =F (b ) F (a )
cos xdx = sin
2 0


2
- sin 0 = 1 - 0 = 1
思考:
cos xdx的几何意义是什么? 0 cos xdx = _______ 0 cos xdx = _____ __
2 0
0 2 0
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例:计算 解

2
0
2 x, 0 x 1 f ( x)dx, 其中 f ( x ) = 5, 1 x 2
则:
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b
a
f ( x)dx == F ( x) | = F (b) - F (a)
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f(x)是F(x)的导函数 F(x) 是f(x)的原函数
例 计算下列定积分
(1) 3x dx
2 1
2
3
(2) (2x - 4)dx
0
3 ' F ( x ) = x , F (x) = 3x 解:(1)取
6
微积分基本定理
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问题思考 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动，已知速度v = v ( t ) 是时 间间隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T
T2
1
v ( t )dt
Sn = f (x1 )Dx f(x 2 )Dx f(x n )Dx
如果 Dx 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那 么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记 作: S =
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b
a
f(x)dx .
4
问题情景
比较麻烦(四步曲),有没有更加简便有效的 方法求定积分呢?
y=f ( x)
S f (xi )Dx
(4)逼近:所求曲边梯形的面积 S为
i =1
n
Dx 0, (n )
f (x )Dx S
i =1 i
n
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O
a
xi-1 xi xi
Dx
b
3
x
定积分的定义:
一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间 [a,b]等分成n个小区间,每个小区的长度 为 Dx(Dx = b - a ),在每个小区间上取一点,依次为 n x1,x2,…….xi,….xn,作和
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b a
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例 计算下列定积分
1 (3) (3x - 2 )dx 1 x
3 2
解:(3)∵ ( x ) = 3x ,
3 2
1 1 2 ( x ) = 3x - 2 , x x
3
1 1 ( ) = - 2 x x
1 1 1 76 3 3 (3x - 2 )dx = (3 ) - (1 ) = 1 x 3 1 3
思考:

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2


0
sin xdx的几何意义是什么?
0
sin xdx = _______ 0

2 0
sin xdx = _______ 1
b a
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b
a
f ( x)dx = F ( x) | = F (b) - F (a)
(2) 2 cos xdx
0

解 (sin x)' = cos x
(分割---以直代曲----求和------逼近)
1 由定积分的定义可以计算 0 x dx = 3
1 2
, 但
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基本初等函数的导数公式 1.若f ( x) = c f ' ( x) = 0
2.若f ( x) = x
n
f ( x) = nx (n R)
' n -1 '
3 2
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例 计算下列定积分
(1)
2
1
1 解（１）∵ (ln x) = x
1 dx x
(2 ） e
-1
1
-2 x
dx

2
1
1 -2 x ' -2 x (2 ） (- e ) = e 2 2 -2 1
e
-1 -2 x
1 dx x
= ln 2-ln1 = ln 2
知识回顾： 微积分在几何上有两个基本问题
1.如何确定曲线上一点处切线的斜率； 2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。
y y
y
0
x
0
x
o
x
直线
几条线段连成的折线
曲线？
1
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用 “以代曲”解决问题的思想和具体操作过程：
分割
以直代曲
作和
逼近
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2
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
1
2

2
0
f ( x )dx = 2 xdx 5dx = x
0
1
21 0
5x 1 = 6
2
Y=5
1
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2
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练习：
(1) (-3t 2)dt = ______ 1
2 0
1
1 2 (2) ( x ) dx = 29/6 ______ 1 x
2
9 (3) (3 x 2 x -1)dx = ______
3.若f ( x) = sin x f ' ( x) = cos x 4.若f ( x) = cos x f ( x) = -sin x 5.若f ( x) = a x 6.若f ( x) = e
x
f ' ( x) = a x ln a f ( x) = e
' ' x
1 7.若f ( x) = log a x f ( x) = x ln a 1 ' 8.若f ( x) = ln x f ( x) = x
e -e dx = 2
b a
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b
a
f ( x)dx = F ( x) | = F (b) - F (a)
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例 ．计算下列定积分
(1) sin xdx
0

(2) 2 cos xdx
0

解 （ 1） ∵

0
(- cos x) = sin x
'
sin xdx = - cos - (- cos 0) = 1 1 = 2
2 2 -1
2-e+1 e (4) (e 1)dx = ______ 1
x
2
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练习：
(1) cos xdx;
0 2 3 0

(2) 2 sin xdx;
0 4 0

(3) ( x - 2 x)dx; (4) 1 (5) ( x )dx; 1 x
2 2
n个小区间: a, x1 , x1 , x2 , xi -1 , xi ,, xn-1 , b , 每个小区间宽度⊿x =
b-a n
(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
(2)以直代曲:任取xi[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高 为f(xi), 宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替. y (3) 作和:取n个小矩形面积的和作 为曲边梯形面积S的近似值：
T1 T1
T2
T2
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对于一般函数 f ( x) ，设 F ( x) = f ( x) 是否也有

b
a
f ( x)dx =

b
a
F ( x)dx = F (b) - F (a).
若上式成立， 我们就找到了用
f ( x的原函数 )
即满足
来计算
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F ( x) = f ( x）的数值差 ) F (b) - F (a)
5 dx; x2
(6) ( x cos x)dx;
0