(完整版)数列求和——倒序相加法的应用

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数列求和的八种重要方法与例题

典例3:
通项
1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=？
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
错位相减法：如果一个数列的各项是由一
个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.
既{anbn}型
等差
等比
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
典例4： 4、裂项相消
1+ 1 + 1 + … + 1 = ?
类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
典例. 已知 lg(xy) 2 2.倒序相加法
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lg(x·1 yn-1)+lgyn,
(x > 0,y > 0) 求S .
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lgyn
1 2
a0 (4

a0 )

3 2
,
2°假设n=k时 ak1 ak 2 有成立，令
f (x) 1 x(4 x) 2
f(x)在[0，2]上单调递增 f (ak1) f (ak ) f (2),

1 2
ak 1 (4

ak 1 )

1 2
ak
(4

ak
)

1 2

2
1×2 2×3
n(n + 1)
变式1：通项改为 1 = 1( 1 - 1 ) n(n + 2)

倒序相加法

倒序相加法，在数列求和中，如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）下面，我给你提供的内容包含了各个领域的应用，希望能对你平时的学习，有所帮助。

“倒序相加法”的应用作者：点石成金我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的是”倒序相加法”，这种方法的重要性不亚于等差数列前n项和公式,它能以多种知识为载体去应用，下面通过例题将此法的应用做一下归类与分析．一在数列中的应用例１：设等差数列，公差为，求证：的前项和=证明：．．．．．．．．．．．①倒序得：．．．．．．．．．．．．②①＋②得：又＝＝＝．．．＝评析：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助等差数列的重要性质：＝＝＝．．．＝为平台.二在排列组合中的应用例２：求证：证明：．．．．．．．．．．①倒序得：．．．．．．．．．②①＋②得：评析：本题用倒序相加法的背景是组合数所具备的两条重要性质：和从而倒序相加后和得以求出．三在函数中的应用例３：已知函数，点、是函数图象上的任意两点,且线段的中点的横坐标为．求证：（１）点的纵坐标为定植（２）在数列中,若，求数列的前项和解：（１）的中点的横坐标为，的纵坐标为是定值．（２）由（１）知：，又令．．．．．．．．．．．．．①．倒序得：．．．．．．．②①＋②得：评析：显然,此题用倒序相加法的条件是函数具备的特殊性质:四在三角函数中的应用例４：求解：设．．．．．．．．．．①倒序得：．．．．．．．．．．．②①＋②得评析：本题用倒序相加法是利用了三角函数所特有的和两条性质．总之，倒序相加法可以在各个知识领域内得到应用，其应用的实质是倒序相加后和可求，而求和时又常需要变形，然后用知识具备的特有性质作为条件把和求出.。

数列之求前n项和之倒序相加法

数列之求前n项和之倒序相加法
在数学中，倒序相加法是计算数列的前n项和的一种方法。

它精确到最后一项，即将数列的第n项倒序相加到第一项，直到所有项全部相加，得出数列的前n项和。

它的基本思想是依次分别对原数列中的每一项进行相加，从最后一项倒序至第一项，最终得出数列前n项和。

它不仅适用于等差数列，而且可用于等比数列，其计算公式分别为：
要求等差数列前n项和：
Sn=a1+a2+a3+……+an=a1+a1+(n-1)d=n(a1+an)/2
举个例子，求等差数列1、2、3、4、5的前5项和，适用倒序相加法即容易得到：
Sn=1+2+3+4+5=5(1+5)/2=15
从上述例子可以看出，倒序相加法的实际操作是将数列中的最后一项（等差数列中的最后一项和等比数列中的最后一项・q），向前加至数列的第一项，由初始值向最终值逐渐逼近，最终达到目的，因而也又被称作“夹取法”。

总之，倒序相加法用于计算数列的前n项和的时候，既简洁实用，又能比较快速的让和数被求得，受到许多数学家的欢迎，在数学计算中应用十分广泛，是处理此类问题的很好的方法。

高中数学一轮复习之数列求和之倒序相加与错位相减法

第5节倒序相加与错位相减法【基础知识】1．倒序相加法：类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法，如果一个数列{}n a 的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．2．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．若n n n a b c =•，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++，则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++两式错位相减并整理即得.【规律技巧】(1)一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n ”的表达式．应用错位相减法求和时需注意：①给数列和S n 的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n .【典例讲解】【例1】已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .【解析】(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n＝2，即c n ＋1－c n ＝2. 所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1，3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n ，相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1.【变式探究】数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列； (2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .【例2】求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明：设n nn n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ① 把①式右边倒转过来得0113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-（反序）又由m n nm n C C -=可得 n nn n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得n n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加）∴ n n n S 2)1(⋅+=【变式探究】求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5【针对训练】1;设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 2;在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；【练习巩固】1、{2}.n n n ⋅求数列前项和2、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T .3、已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4。

数列求和各种方法总结归纳

故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
an (2)设数列{ n－1}的前n项和为Sn， 2 a2 an 即Sn＝a1＋ 2 ＋…＋ n－1，① 2 Sn a1 a2 an 故S1＝1， 2 ＝ 2 ＋ 4 ＋…＋2n，② 所以，当n＞1时，①－②得
a2－a1 an－an－1 an Sn 2 ＝a1＋ 2 ＋…＋ 2n－1 －2n
－－－
(2)由题意知bn－an＝3n 1，所以bn＝3n 1＋an＝3n 1－2n＋21. Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3
n－1
3n－1 )＝－n ＋20n＋ 2 .
2
[冲关锦囊]
分组求和常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·n－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； q (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式；第三行
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求 {bn}的前2n项和S2n
[自主解答]
(1)当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3，
2 3a2＝1，a3＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{b }的前n项和． n
[自主解答]
(1)设数列{an}的公比为q.由a2＝9a2a6得 3 9 3
1 1 2 2 2 a3＝9a4，所以q ＝ .由条件可知q＞0，故q＝ . 1 由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝3. 1 故数列{an}的通项公式为an＝3n.

高中数学-数列综合应用

数列综合应用知识精要一、数列求和数列求和的常用方法1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n 项公式求和；①等差数列的前n 项和公式：②等比数列的前n 项和公式：（2）一些常见的数列的前n 项和：○1(1)12342n n n ++++++=； ○22222(1)(21)1236n n n n ++++++=； ○32462(1)n n n ++++=+； ○4213521n n ++++-=； ○52233332(1)(1)123[]24n n n n n ++++++==。

2、倒序相加法如果一个数列{}n a ，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的。

3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的；4、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n 项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。

5、分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减；6、并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。

形如(1)()n n a f n =-类型，可采用两项合并求解。

二、数列的综合应用1、解答数列应用题的步骤：（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意；（2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么；（3）求解——求出该问题的数学解；（4）还原——将所求结果还原到实际问题中。

2、数列应用题常见模型（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差；（2）等比数列：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比。

数列求和1

1 2n
1

1 2n
1

nn

1
1n

2

1 2

1
nn
1

n

1
1n

2

已知：an 3n 1,求
1 1 1
a1a2 a2a3
an an 1
五、公式法求和：
所给数列的通项是关于n的多
项式，此时求和可采用公式
法求和，常用的公式有：
数列求和
一、倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末
两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.
二、错位相减法：
如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.
四、分裂通项法：
把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法.
已知an

1
nn
2

,
求sn
1
nn 1

1 n

1 n -1
2n

1
12n

1

1 2

例：求前n项的和.
三、分组求和法：
把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组求和法.
例：若数列{an}中， an= -2[ n - (-1)n ]，求 S10和S99．

专题08 数列求和-倒序相加、绝对值、奇偶性求和(解析版)

数列求和-倒序相加、绝对值、奇偶性求和◆倒序相加法求和等差数列的求和公式()12n n n a a S +=,其过程正是利用倒序相加的原理.这类题之所以能够利用倒序相加来求和,是因为其自身具备明显的特征,那就是首项与末项相加为定值.一般题中出现12x x k +=(k 为常数),()()12f x f x m +=(m 为常数)时,可以采用倒序相加的方法进行求和.【经典例题1】已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有()()11f x f x +-=，数列{}n a 满足()120n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n f f n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭.求数列{}n a 的通项公式. 【答案】12n n a += 【解析】因为()()11f x f x +-=，∴111n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故()120n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n f f n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭.① ∴()121n n n a f f f n n --⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()01f n f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.② ∴①+②，得21n a n =+，∴12n n a +=. 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a +=.【练习1】已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且120191a a =，试用推导等差数列前n 项和的方法探求：若24()1f x x=+，则()()()122019f a f a f a +++=（）A ．2018B ．4036C ．2019D ．4038【答案】D 【解析】120191a a ⋅=，∵函数24()1f x x =+ ∵222214444()41111+⎛⎫+=+== ⎪++⎝⎭+x f x f x x x x，令122019()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+，则201920181()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+， ∵()()()()()()120192201820191242019T f a f a f a f a f a f a =++++⋅⋅⋅++=⨯， ∵4038T =. 故选：D.【练习2】已知函数1()1f x x =+，数列{}n a 是正项等比数列，且101a =，则()()()()()1231819f a f a f a f a f a +++⋅⋅⋅++=__________．【答案】192【解析】函数1()1f x x =+，当0x >时，1111()()111111xf x f x x x xx+=+=+=++++，因数列{}n a 是正项等比数列，且101a =，则2119218317101a a a a a a a =====，119111()()()()1f a f a f a f a +=+=，同理2183171010()()()()()()1f a f a f a f a f a f a +=+==+=，令()()()()()1231819S f a f a f a f a f a =+++++，又()()()()()19181721S f a f a f a f a f a =+++++，则有219S =，192S =，所以()()()()()1231819192f a f a f a f a f a +++⋅⋅⋅++=. 故答案为：192【练习3】已知()442xx f x =+，求122010201120112011f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】1005. 【解析】因为()442x x f x =+，所以()1144214242442x x x x f x ---===++⨯+，所以()()11f x f x +-=.令12200920102011201120112011S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，倒写得20102009212011201120112011S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.两式相加得22010S =，故1005S =.【练习4】函数()f x 对任意x ∈R ,都有1()(1)2f x f x +-=. (I)求12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值;(II)若数列{}n a 满足11(0)(1)n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,数列{}n a 是等差数列吗?【解析】(I)令 12x =,得1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (II)已知函数()f x 对任意x ∈R ,都有1()(1)2f x f x +-=,可得 11(0)(1)11(1)(0)n n n a f f f f n n n a f f f f n n ⎧-⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨-⎛⎫⎛⎫⎪=++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩由两式相加可得11(1)112(2)244n n n n n a a a n -++==⇒-=故数列{}n a 是等差数列.◆数列绝对值求和(1)对于首项小于0而公差大于0的等差数列{}n a 加绝对值后得到的数列{}n a 求和,设{}n a 的前n 项和为 {},n n S a 的前n 项和为n T ,数列{}n a 的第k 项小于0而从第1k +项开始大于或等于0,于是有 ,;2,n n nk S n k T S S n k -⎧=⎨->⎩(2)对于首项大于0而公差小于0的等差数列{}n a 加绝对值后得到的数列{}n a 求和,设{}n a 的前n 项和为 {},n n S a 的前n 项和为n T ,数列{}n a 的第k 项大于0而从第1k +项开始小于或等于0,于是有 ,2,n n kn S n k T S S n k ⎧=⎨->⎩ 。

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数列求和—倒序相加法的应用
石家庄实验中学安军茹在等差数列的前n 项和公式的推导中，我们使用了倒序相加法：
n n a a a a S ++++=Λ321 ①
121a a a a S n n n n ++++=--Λ ②
①+②得：
)
()()()(2123121a a a a a a a a S n n n n n ++++++++=--Λ)()()(111n n n a a a a a a ++++++=Λ（共n 个）
)(1n a a n +=
2
)(1n n a a n S +=∴ 这种求和方法的本质是得到了n 个相同的和，把一般等差数列求和问题转化为常数列求和问题，从而把问题简化。

利用这种方法，我们还可以解决下面的问题：
1、求证：1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ 2
证明：设=S n n n n n n n nC C n C C C +-++++-1321)1(32Λ ①
121)2()1(n n n n n n n C C n C n nC S ++-+-+=--Λ ②
①+②得：
n n n n n n n n n n n n n nC C n C C C n C C n nC S +-++++-++-+=---])1([]2)2[(])1[(2112211Λ 021n n n n n n n nC nC nC nC ++++=-
-Λ
)(021n n n n n n n C C C C n ++++=-
-Λn n 2⋅=
12-⋅=∴n n n S
2、求和：2
22
222222222222101109293832921101++++++++++Λ 3、已知),(),,(),(2
41)(222111y x P y x P R x x f x ∈+=
是函数)(x f y =图像上的两点，且线段21P P 中点P 的横坐标是21。

（1）求证：点P 的纵坐标是定值。

（2）若数列{}n a 的通项公式是),,2,1,)((
m n N m m
n f a n Λ=*∈=求数列{}n a 的前n 项和m S 。

这是一道综合题，第二题的解决要用到第一题的结论：
)1()1()2()2()1()1(m
f m m f m m f m f m m f m f +-==-+=-+Λ，共1-m 个相同的和，求出)13(12
1-=m S m 。

可见，只要理解了倒叙相加的本质，利用这种方法解题就不困难了。

数列求和的方法有很多种，对于每一种方法，我们都要掌握其实质，不能只靠生搬硬套。

那样，对于一些稍微有点变化的题目，就会感觉无从下手。