高中数学 必修二 圆与方程 经典例题

习题精选精讲圆标准方程已知圆心),(b a C 和半径r ，即得圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题.一、求圆的方程例1 (06重庆卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( )(A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x解 已知圆心为)1,2(-，且由题意知线心距等于圆半径，即2243546+++=dr ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C).点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-即得圆的方程.二、位置关系问题例2 (06安徽卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( )(A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+--(D))12,0(+解 化为标准方程222)(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =.∵直线1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距ar a d =>-=21，平方去分母得22212a a a >+-，解得1212-<<--a ，注意到0>a ，∴120-<<a ，故选(A).点评：一般通过比较线心距d 与圆半径r 的大小来处理直线与圆的位置关系：⇔>r d 线圆相离；⇔=r d 线圆相切；⇔<r d 线圆相交.三、切线问题例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31=(B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-= (D)x y 3=或x y 31=解 化为标准方程25)1()2(22=++-y x ,即得圆心)1,2(-C 和半径25=r .设过坐标原点的切线方程为kx y =，即0=-y kx ，∴线心距251122==++=r k k d ，平方去分母得0)3)(13(=+-k k ，解得3-=k 或31，∴所求的切线方程为x y 3-=或x y 31=，故选(A).点评：一般通过线心距d 与圆半径r 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.四、弦长问题例4 (06天津卷理) 设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为32，则=a .解 由已知圆4)2()1(22=-+-y x ，即得圆心)2,1(C 和半径2=r .∵线心距112++=a a d，且222)2(r AB d=+，∴22222)3()11(=+++a a ，即1)1(22+=+a a ，解得0=a . 点评：一般在线心距d 、弦长AB 的一半和圆半径r 所组成的直角三角形中处理弦长问题：222)2(r AB d =+. 五、夹角问题例5 (06全国卷一文) 从圆012222=+-+-y y x x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )(A)21 (B)53(C)23 (D) 0解 已知圆化为1)1()1(22=-+-y x ，即得圆心)1,1(C 和半径1=r .设由)2,3(P 向这个圆作的两条切线的夹角为θ，则在切线长、半径r和PC构成的直角三角形中，522cos=θ，∴5312cos 2cos 2=-=θθ，故选(B). 点评：处理两切线夹角θ问题的方法是：先在切线长、半径r 和PC所构成的直角三角形中求得2θ的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角θ问题.六、圆心角问题例6 (06全国卷二) 过点)2,1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率=k .解 由已知圆4)2(22=+-y x ，即得圆心)0,2(C 和半径2=r .设)2,1(P ，则2-=PC k ；∵⊥PC 直线l 时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线l 的斜率221=-=PCk k .点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.七、最值问题例7 (06湖南卷文) 圆0104422=---+y x y x上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( )(A) 30 (B) 18 (C)26 (D)25 解 已知圆化为18)2()2(22=-+-y x ，即得圆心)2,2(C 和半径23=r .设线心距为d ，则圆上的点到直线014=-+y x 的最大距离为r d +，最小距离为r d -，∴262)()(==--+r r d r d ，故选(C).点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距d 与圆半径r 的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为r d +，最小距离为r d-.八、综合问题例8 (06湖南卷理) 若圆0104422=---+y x y x上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )(A)]4,12[ππ (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2,0[π解 已知圆化为18)2()2(22=-+-y x ，即得圆心)2,2(C 和半径23=r .∵圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，∴2222222=-≤++=r b a ba d ，即0422≤++b ab a ，由直线l 的斜率b a k -=代入得0142≤+-k k ，解得3232+≤≤-k ，又3212tan-=π，32125tan +=π，∴直线l 的倾斜角的取值范围是]125,12[ππ，故选(B). 点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.圆的方程1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径；(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心坐标为(2,2E D --)，半径为r ＝2422FE D -+2. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 22.3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2， ｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下： ｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2⇔两圆外离； ｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2⇔两圆外切；｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2⇔两圆相交； ｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜⇔两圆内切； ０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜⇔两圆内含. ●点击双基1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是A.－1<t <71 B.－1<t <21C.－71<t <1 D .1<t <2 解析：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1.答案：C2.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是 A.｜a ｜＜1 B.a ＜131 C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131 解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔｜a ｜＜131.答案：D 3.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是 A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点B.当a =r 时，圆与y 轴相切 C.当b =r 时，圆与x 轴相切D .当b <r 时，圆与x 轴相交 解析：已知圆的圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，当b <r 时，圆心到x 轴的距离为|b |，只有当|b |<r 时，才有圆与x 轴相交，而b <r 不能保证|b |<r ，故D 是错误的.故选D .答案：D●典例剖析【例2】 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程. 剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上，故设圆方程为（x －3b ）2+（y －b ）2=9b 2. 又因为直线y =x 截圆得弦长为27，则有（2|3|b b -）2+（7）2=9b 2，解得b =±1.故所求圆方程为（x －3）2+（y －1）2=9或（x +3）2+（y +1）2=9.夯实基础1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则 A.D +E =0B. B.D +F =0 C.E +F =0 D. D +E +F =0解析：曲线关于x +y =0成轴对称图形，即圆心在x +y =0上.答案：A2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D .4条解析：分别以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________. 解析：圆心（－21，3）在直线上，代入kx －y +4=0，得k =2.答案：2 4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的 距离的最小值为____________. 解析：圆心（0，0）到直线3x －4y －10=0的距离d =5|10|-=2.再由d －r =2－1=1，知最小距离为1.答案：1 5.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足OP ·OQ =0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.解：（1）曲线方程为（x +1）2+（y －3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称，∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m =－1. （2）∵直线PQ 与直线y =x +4垂直， ∴设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），PQ 方程为y =－x +b .将直线y =－x +b 代入圆方程，得2x 2+2（4－b ）x +b 2－6b +1=0.Δ=4（4－b ）2－4×2×（b 2－6b +1）>0，得2－32<b <2+32.由韦达定理得x 1+x 2=－（4－b ），x 1·x 2=2162+-b b .y 1·y 2=b 2－b （x 1+x 2）+x 1·x 2=2162+-b b +4b .∵OP ·OQ =0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即b 2－6b +1+4b =0.解得b =1∈（2－32，2+32）.∴所求的直线方程为y =－x +1.培养能力7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求（1）xy的最大值和最小值；（2）y －x 的最小值； （3）x 2+y 2的最大值和最小值.解：（1）如图，方程x 2+y 2－4x +1=0表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.设x y=k ，即y =kx ，由圆心（2，0）到y =kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由1|02|2+-k k =3，解得k 2=3.所以k max =3，k min =－3.（2）设y －x =b ，则y =x +b ，仅当直线y =x +b 与圆切于第四象限时，纵轴截距b 取最小值.由点到直线的距离公式，得2|02|b +-=3，即b =－2±6，故（y －x ）min =－2－6.（3）x 2+y 2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则（x 2+y 2）max =｜OC ′｜=2+3，（x 2+y 2）min =｜OB ｜=2－3.8.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系. 解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.因为圆过A 、B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上.由k AB =3124--=－1，AB 的中点为（2，3）， 故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2，即x －y +1=0.又圆心在直线y =0上，因此圆心坐标是方程组 x －y +1=0，y =0 半径r =22)40()11(-+--=20，所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |=22)04()12(-++=25>20，所以M 2在圆C 外.“求经过两圆04622=-++x y x和028622=-++y y x 的交点，并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程。