2020年新疆乌鲁木齐市高考数学三模试卷(理科)(问答)(有答案解析)
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学三模试卷（理科）（问答）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-x＞0}，B={x|-}，则（）A. A∩B=∅B. A∪B=RC. A⊆BD. B⊆A2.若-=2-i（其中i是虚数单位），则实数a=（）A. -3B. -1C. 1D. 33.当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a-x与y=log a x的图象是（）A. B.C. D.4.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：①α∥β⇒l⊥m，②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β正确的命题是（）A. ①与②B. ③与④C. ②与④D. ①与③5.的展开式中的常数项是（）A. -7B. -5C. 5D. 76.设等比数列的前n项和为S n，若S3=7，S6=63，则S9=（）A. 255B. 511C. 512D. 5677.在下列区间中，函数f（x）=e x+3x-4的零点所在的区间为（）A. （0，）B. （）C. （）D. （1，）8.将函数f（x）的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A. f（x）=sin（x+）B. f（x）=sin（2x-）C. f（x）=sin（2x+）D. f（x）=sin（2x+）9.正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）A. B. C. 2πa2 D. 3πa210.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数．例如：[-2.1]=-3，[3.1]=3，已知函数，则函数y=[f（x）]的值域为（）A. B. （0，2] C. {0，1，2} D. {0，1，2，3}11.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（10，0），则△AOB的面积为（）A. 4B. 4C. 8D. 812.已知函数f（x）定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e x（1-x）；②函数f（x）有2个零点；③f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）；④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）-f（x2）|＜2．其中正确命题个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是______．14.在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，F为BE的中点，若=，则λ+μ=______．15.已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心，焦距为半径的圆交y轴正半轴于点M，线段FM交双曲线于点P，且FM=4FP，则双曲线的离心率为______．16.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，2S n=a n•a n+1（n∈N*）．若b n=（-1）n，则数列{b n}的前n项和T n=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（2a-b）cos C+2c sin2=c.（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a+b=4，c=，求△ABC的面积．18.如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AC，PA⊥PB，AC⊥平面PAB，D，E分别是AC，BC上的点，且DE∥平面PAB．（Ⅰ）求证AB∥平面PDE；（Ⅱ）若D为线段AC中点，求直线PC与平面PDE所成角的正弦值．19.对某校高三年级100名学生的视力情况进行统计（如果两眼视力不同，取较低者统计），得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1，4.3）的概率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若报考高校A专业的资格为：任何一眼裸眼视力不低于5.0，已知在[4.9，5.1）中有的学生裸眼视力不低于5.0．现用分层抽样的方法从[4.9，5.1）和[5.1，5.3）中抽取4名同学，设这4人中有资格（仅考虑视力）考A专业的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．20.已知F是椭圆=1的右焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点．M是AB的中点，直线OM与直线x=2交于点N．（Ⅰ）求征：=0；（Ⅱ）求四边形OANB面积的最小值．21.已知函数f（x）=e x-kx-1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在正数a，使得0＜x＜a时，|f（x）|＞x，求实数k的取值范围．22.在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中．曲线C的极坐标方程为cos（）．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由．23.已知函数f（x）=|2x+1|-|x-3|（Ⅰ）求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥|x-3|+a恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵集合A={x|x2-x＞0}={x|x＜0或x＞1}，B={x|-}，∴A∪B=R．故选：B．先分别求出集合A={x|x2-x＞0}={xx|x＜0或x＞1}，B={x|-}，再求出A∪B，能求出结果．本题考查集合的运算及关系，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：∵=2-i，∴1+ai=（2-i）（1-i）=1-3i，∴a=-3，故选：A．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.答案：C解析：解：∵函数y=a-x与可化为函数y=，其底数大于1，是增函数，又y=log a x，当0＜a＜1时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减．故选：C．先将函数y=a-x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．4.答案：D解析：解：∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又直线m⊂β，故有l⊥m，即①正确；∵l⊥α，α⊥β，∴l∥β，或l⊂β，此时l与m可能平行，相交或异面，即②错误；∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊂β，故有α⊥β，即③正确．∵l⊥α，l⊥m，∴又m⊂β，此时α与β可能相交可能平行，故④错误；故选：D．本题应逐个判断：①④需用熟知的定理即线线垂直，面面垂直来说明，②③可举出反例来即可．本题考查直线的平行于垂直关系，熟练运用性质定理是解决问题的关键，属基础题．5.答案：B解析：解：根据=（1-）（1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6），可得它的的展开式中的常数项是1-6=-5，故选：B．把（1+x）6按照二项式定理展开，可得的展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6.答案：B解析：解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n．S3=7，S6=63．∴由等比数列的性质得S3，S6-S3，S9-S6成等比数列，即7，56，S9-63，∴562=7（S9-63），解得S9=511．故选：B．由已知条件结合等比数列的性质得S3，S6-S3，S9-S6成等比数列，由此能求出S9．本题考查等比数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．7.答案：C解析：解：f′（x）=e x+3＞0，f（x）为R上的增函数，f（）==，因为，所以，所以f（）＜0，但f（1）=e+3-4＞0，∴f（）•f（1）＜0所以f（x）的零点在区间（，1），故选：C．先判断函数的单调性，再利用零点存在定理判断零点所在的区间，属于基础题．函数零点所在区间的判断，需利用函数的单调性和零点存在定理来判断，选择怎样的点来计算其函数值且函数值异号是关键，可根据解析的特点选点，如对于对数lg x，ln x等，应选x=10n或x=e n等，对于指数a x，应选x=log a m（如0，1等）等形式的数来计算．8.答案：C解析：解：由图象知A=1，=-（-）=，即函数的周期T=π，则=π，得ω=2，即g（x）=sin（2x+φ），由五点对应法得2×+φ=π，得φ=，则g（x）=sin（2x+），将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象，即f（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+），故选：C．根据图象求出A，ω和φ的值，得到g（x）的解析式，然后将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象．本题主要考查三角函数解析式的求解，结合图象求出A，ω和φ的值以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，依题意知R2=a2，即R2=a2，∴S球=4πR2=4π•a2=．故选：B．设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，利用正方体的表面积求出与球的半径的等式，然后求出球的表面积．本题是基础题，解题的突破口是正方体的体对角线就是球的直径，正确进行正方体的表面积的计算，是解好本题的关键，考查计算能力．10.答案：C解析：解：因为，所以f（x）==，又1+2x+1∈（1，+∞），所以f（x）∈（，3），由高斯函数的定义可得：函数y=[f（x）]的值域为，故选：C．由分式函数值域的求法得：f（x）==，又1+2x+1∈（1，+∞），所以f（x）∈（，3），由高斯函数定义的理解得：函数y=[f（x）]的值域为，得解．本题考查了分式函数值域的求法及对即时定义的理解，属中档题．11.答案：C解析：解：设直线l：x=ty+2，A（x1，y1），B（x2，y2），则由，可以得到y2-8ty-16=0，所以AB的中点M（4t2+2，4t），线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（10，0），故t≠0．所以AB的中垂线的方程为：y=-（x-4t2-2）+4t=+8t+，令y=0可得x=8t2+2，解方程10=8t2+2，得t=±1．此时|AB|==8=16，O到AB的距离为d==，所以=8．故选：C．设直线l：x=ty+2，联立直线方程和抛物线方程可求得中垂线的方程，再利用P的坐标求出t，最后算出AB的长和O到AB的距离后可得所求的面积．直线与圆锥曲线相交时的产生的对称问题，应利用两个几何性质来构造不同变量之间的关系，这个两个几何性质就是中点和垂直．12.答案：B解析：解：对于①，当x＞0时，则-x＜0，由奇函数定义可知，f（x）=-f（-x）=-e-x（1-x），故①错误；对于②，当x=0时，f（0）=0，可知x=0是函数的一个零点；当x＜0时，令f（x）=e x（x+1）=0，解得x=-1，即x=-1是函数的一个零点；由奇函数的性质可知，x=1是函数的一个零点，因此函数f （x）有3个零点，故②错误，对于③，当x＜0时，令f（x）=e x（x+1）＞0，解得-1＜x＜0，当x＞0时，令f（x）=-f（-x）=-e-x （1-x）＞0，解得x＞1，综上可知，f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞），故③正确；对于④，∀x1，x2∈R，都有|f（x1）-f（x2）|≤f（x）max-f（x）min．当x＜0时，f′（x）=e x（x+2），当-2＜x＜0时，f（x）是增函数；当x＜-2时，f（x）是减函数，且x→-∞，f（x）→0，根据奇函数图象性质可知，，可知|f（x1）-f（x2）|，故④正确；故选：B．利用奇函数的定义与性质进行判断．本题考查了命题真假性的判断以及函数的性质，属于中档题．13.答案：17解析：解：画出变量x，y满足约束条件的平面区域，如图示：由，解得：A（6，5），由z=2x+y得：y=-2x+z，显然直线过A时z的值最大，z的最大值是z=2×6+5=17，故答案为：17．画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合图象得到直线过A时z的值最大，代入求出即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．14.答案：解析：解：如图，∵D为BC的中点，E为AD的中点，F为BE的中点；∴==；又；∴根据平面向量基本定理得，；∴．故答案为：．可画出图形，根据D为BC的中点，E为AD的中点，F为BE的中点即可得出，而根据平面向量基本定理即可求出λ，μ，从而得出λ+μ．考查向量加法的平行四边形法则，以及向量数乘的几何意义，平面向量基本定理．15.答案：解析：解：设以F（c，0）为圆心，焦距2c为半径的圆的方程为（x-c）2+y2=4c2，可令x=0，解得y=±c，可得M（0，c），线段FM交双曲线于点P，且FM=4FP，可设P（m，n），由=4，可得0-c=4（m-c），c-0=4（n-0），即有m=，n=，即P（，），代入双曲线的方程可得-=1，结合b2=c2-a2，e=，（e＞1），可得-=1，化为9e4-28e2+16=0，解得e2=，可得e=．故答案为：．设出F（c，0），以及圆F的方程，令x=0，求得M的坐标，可设P（m，n），由向量共线坐标表示，可得P的坐标，代入双曲线的方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，解方程即可得到所求值．本题考查双曲线的方程和性质，以及向量共线的坐标表示，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．16.答案：-1+解析：解：∵2S n=a n•a n+1（n∈N*）．当n≥2时，2S n-1=a n-1•a n，∴2a n=2S n-2S n-1=a n（a n+1-a n-1）.∵a1=1，∴a n≠0，∴a n+1-a n-1=2，∴（a n+1-a n）+（a n-a n-1）=2，∴a n-a n-1=1，∴数列{a n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴a n=1+（n-1）=n，∴b n=（-1）n=（-1）n•=（-1）n•（+），数列{b n}的前n项和T n=-（1+）+（+）-（+）+…+（-1）n•（+），当n为偶数时，T n=-1+，当n为奇数时，T n=-1+-（+）=-1-，综上所述T n=-1+.故答案为-1+．根据数列的递推公式可得数列{a n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，a n=n，则b n=（-1）n=（-1）n•（+），再分n为偶数和奇数两种情况求出前n项和．本题考查了数列的递推公式关系式、数列的通项公式以及数列的前n项和，属于中档题．17.答案：解：（Ⅰ）因为（2a-b）cos C+2c sin2=c，所以（2a-b）cos C+c（1-cos B）=c，即(2a-b)cos C=c cos B，由正弦定理得到：2sin A cos C-sin B cos C=sin C cos B，即2sin A cos C=sin A，因为A∈（0，π），故sin A＞0，所以cos C=，又C∈（0，π），可得C=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得由余弦定理可得cos C==，所以=，由于a+b=4，c=，整理得ab=3，可得S△ABC=ab sin C==．解析：本题考查二倍角公式的应用，三角恒等变换、正余弦定理的应用，三角形面积公式，属于中档题．（Ⅰ）利用降幂公式和正弦定理化简（2a-b）cos C+2c sin2=c，可得2sin A cos C=sin A，从而得到cos C=，即C=．（Ⅱ）利用余弦定理得到=，再利用a+b=4，c=，可得ab=3，利用面积公式计算即可．18.答案：（Ⅰ）证明：∵DE∥平面PAB，DE⊂平面ABC，且平面PAB∩平面ABC=AB，∴DE∥AB，又DE⊂平面PDE，AB⊄平面PDE，∴AB∥平面PDE；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，DE∥AB，又D为线段AC中点，∴E为线段BC的中点，取AB中点O，可得四边形OADE为平行四边形，则OE∥AD，由AC⊥平面PAB，可得OE⊥平面PAB，∵PA=PB，∴OP⊥AB，则OP⊥平面ABC．以O为坐标原点，分别以OB，OE，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设PA=PB=AC=2，则P（0，0，），D（-，2，0），E（0，2，0），C（-）．，，．设平面PDE的一个法向量为，由，取z=，得．∴直线PC与平面PDE所成角的正弦值为|cos＜＞|=．解析：（Ⅰ）由DE∥平面PAB，利用线面平行的性质可得DE∥AB，再由线面平行的判定可得AB∥平面PDE；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE∥AB，又D为线段AC中点，可得四边形OADE为平行四边形，得到OE∥AD，由AC⊥平面PAB，可得OE⊥平面PAB，再证明OP⊥平面ABC．以O为坐标原点，分别以OB，OE，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PDE的一个法向量与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线PC与平面PDE所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.答案：解：（Ⅰ）由从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1，4.3）的概率为．则b==0.5，则a=-1.75-0.75×2-0.5-0.25=1，故a=1，b=0.5．（Ⅱ）在[4.9，5.1）中，共有15人，其中5人不低于5.0，在这15人中，抽取3人，在[5.1，5.3]中共有5人，抽取1人，随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，∴ξ的分布列为：ξ1 2 3 4PE（ξ）=1×+2×+3×+4×=2．解析：（Ⅰ）根据从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1，4.3）的概率为可以求出b，再根据频率和为1，可以求出a；（Ⅱ）列出ξ的所有的可能取值，分别求出每个变量所对应的概率，列出ξ的分布列，求其期望即可．本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：证明：（Ⅰ）当直线AB斜率不存在时，直銭AB与x轴垂直，∴AB⊥FN，∴=0，当直线AB斜率存在时，设斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-1），设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x0=，y0=，联立得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0得x1+x2=，x1x2=，∴x0=，y0=，所以直线的方程为y=-，∴N（2，-），又∵F（1，0），∴k FN=-，∴AB⊥FN，∴=0；解：（Ⅱ）当直线AB斜率不存在时，直銭AB与x轴垂直，∴S四边形OANB=|AB|•|ON|=××2=，当直线AB斜率存在时，S四边形OANB=S OAB+S NAB，设点O到直线AB的距离为d1，点N到直线AB的距离为d2，则d1=，d2=|FN|=，|AB|=•=，∴S四边形OANB=S OAB+S NAB=d1|AB|+d2|AB|=|AB|（d1+d2）=×（+）==＞所以四边形OANB面积的最小值为．解析：（Ⅰ）当直线AB斜率存在时，设出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程后可得AB中点坐标，故可用直线的斜率表示N的坐标，求出FN的斜率后可证=0．注意直线AB斜率不存在的情形．（Ⅱ）当直线AB斜率存在时，利用韦达定理弦长公式点到直线的距离可以计算S四边形OANB═＞，当直线AB斜率不存在时，S四边形OANB=，故可得四边形OANB面积的最小值．圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有x1+x2，x1x2或y1+y2，y1y2，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题．21.答案：解：（Ⅰ）函数f（x）=e x-kx-1，则f'（x）=e x-k．当k≤0时，f'（x）＞0，f（x）上（-∞，+∞）单调递增．当k＞0时，若f'（x）＞0，则x＞ln k，若f'（x）＜0，则x＜ln k；所以f（x）在（ln k，+∞）单调递增，在（-∞，ln k）上单调递减；（Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论：①，若k≤0，f（x）在（0，+∞）内单调递增，当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，所以|f（x）|=f（x），|f（x）|＞x即e x-（k+1）x-1＞0．设g（x）=e x-（k+1）x-1，g'（x）=e x-（k+1）．若k≤0，x＞0时，g'（x）＞g'（0）＞0，g（x）在（0，+∞）单调递增．所以当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，故存在正数a，使得当0＜x＜a时，|f（x）|＞x．若0＜k≤1，当0＜x＜ln （k+1）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，ln （k+1））单调递减，因为g（0）=0，所以g（x）＜0．故不存在正数a，使得当0＜x＜a时，|f（x）|＞x．②，若k＞1，f（x）在（0，ln k）单调递减，因为f（0）=0，所以存在x0，使得当x∈（0，x0）时，f（x）＜0，|f（x）|＞x可化为-f（x）＞2x，即e x-（k-1）x-1＜0．设h（x）=e x-（k-1）x-1，h'（x）=e x-（k-1）．若1＜k≤2，则x＞0时，h'（x）＞0，h（x）在（0，+∞）单调递增，又h（0）=0，所以x＞0时，h（x）＞0．故不存在正数a，使得当0＜x＜a时，|f（x）|＞x．当k＞2时，当0＜x＜ln （k-1）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，ln （k-1））单调递减，又h（0）=0，所以h（x）＜0．故存在a=min{x0，ln （k-1）}，使得当0＜x＜a时，|f（x）|＞x．综上，实数k的取值范围为（-∞，0]∪（2，+∞）．解析：（Ⅰ）根据题意，求出函数的导数，分类讨论k的值，讨论函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系，分析可得结论；（Ⅱ）根据题意，对k的取值范围分2种情况讨论：分析函数的单调性以及f（x）的最值，综合即可得答案．本题考查函数导数的应用，涉及利用导数分析函数的单调性以及最值，注意掌握导数的几何意义．属于难题．22.答案：解（Ⅰ）消去参数t，则直线l的普通方程为x-2y+2=0，因为ρ=2cos（θ+），故ρ=2cosθ-2sinθ即ρ2=2ρcosθ-2ρsinθ，曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y=0．（Ⅱ）圆心（1，-1）到直线x-2y+2=0的距离d=＞，直线l与曲线C是相离的位置关系．解析：（Ⅰ）消去参数t后可得直线的普通方程．把ρ=2cos（θ+）化成ρ2=2ρcosθ-2ρsinθ再利用化简后可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）利用圆心到直线的距离可判断直线与曲线的位置关系．本题考查了极坐标方程与直角方程的互化，关键是，必要时须在给定方程中构造ρcosθ，ρsinθ．直线与圆的位置关系可用圆心到直线的距离与半径的大小来判断，属中档题．23.答案：解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|-|x-3|=；画出函数f（x）的图象，如图所示，根据函数图象知，当f（x）≥0时，x的取值范围是x≤-4，或x≥；所以不等式f（x）≥0的解集为（-∞，-4]∪[，+∞）；（Ⅱ）f（x）≥|x-3|+a恒成立，即|2x+1|-2|x-3|≥a恒成立，令g（x）=|2x+1|-2|x-3|，则g（x）=，所以f（x）的最小值为-7，则a的取值范围是a≤7．解析：（Ⅰ）利用零点分段讨论可得不等式的解集．（Ⅱ）不等式恒成立等价于|2x+1|-2|x-3|≥a，令g（x）=|2x+1|-2|x-3|，求出g（x）的最小值后可得实数a的取值范围．本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，解题时有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，利用图象法求解时注意图象的正确刻画．。
2020年新疆高考数学三诊试卷(理科)(问卷)(含答案解析)
2020年新疆高考数学三诊试卷（理科）（问卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.2.已知复数z满足其中i是虚数单位，则A. 1B.C.D. 23.方程的实根所在的区间为A. B. C. D.4.已知，则A. B. C. D.5.已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A. 若，，且m，，则B. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则C. 若，，则D. 若，，则6.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种7.把函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍纵坐标不变，再把得到图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象．则下列命题正确的是A. 函数在区间，上单调递减B. 函数在区间，上单调递增C. 函数的图象关于直线，对称D. 函数的图象关于点，对称8.周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺，前九个节气日影长度之和为尺，则谷雨这一天的日影长度A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺9.函数的大致图象为A. B.C. D.10.多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：顶点数表面数棱长数在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体，例如富勒烯结构图如图是单纯用碳原子组成的稳定分子，具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形．除外具有封闭笼状结构的富勒烯还可能有，，，，，，，等，则结构含有正六边形的个数为A. 12B. 24C. 30D. 3211.过双曲线C：右焦点F的直线l与C交于P，Q两点，，若，则C的离心率为A. B. 2 C. D.12.若函数满足，且，则函数A. 既无极大值又无极小值B. 有极小值无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 有极大值无极小值二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量为单位向量，，且，则______．14.已知等腰直角三角形OAB的直角顶点O位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则的面积是______．15.甲、乙、丙、丁四个人背后有4个号码，赵同学说：甲是2号，乙是3号；钱同学说：丙是2号，乙是4号；孙同学说：丁是2号，丙是3号；李同学说：丁是1号，乙是3号，他们每人都只说对了一半，则丙背后的号码是______．16.已知数列前n项和为，且，若，则首项的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若的面积，且C.Ⅰ求角A的大小；Ⅱ求面积的最大值．18.如图在正方体中，E，F分别是BC，CD的中点，M，N 在上，且．Ⅰ证明：平面；Ⅱ求平面与底面ABCD所成锐二面角的余弦值．19.“网购”已经成为我们日常生活中的一部分，某地区随机调查了100名男性和100名女性在“双十一”活动中用于网购的消费金额，数据整理如表：男性消费金额频数分布表消费金额单位：元人数1515203020Ⅰ试分别计算男性、女性在此活动中的平均消费金额；Ⅱ如果分别把男性、女性消费金额与中位数相差不超过200元的消费称作理性消费，试问是否有5成以上的把握认为理性消费与性别有关．附：．20.已知函数．Ⅰ求函数的最值；Ⅱ当时，，求实数a的取值范围．21.O为坐标原点，椭圆C：的离心率为，椭圆C的右顶点为设M，N是C上位于第二象限的两点，且满足，Q是弦AM的中点，射线OQ与椭圆交于点P．Ⅰ求证：直线OQ与直线AM斜率的乘积为；Ⅱ若，求椭圆C的标准方程．22.在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同．Ⅰ求圆C的极坐标方程；Ⅱ若直线l：为参数被圆C截得的弦长为2，求直线l的倾斜角．23.已知函数，其中．Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ已知关于x的不等式的解集为，求a的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，，．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性和定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：由，得，则，则．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，然后利用复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：B解析：【分析】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用．构造函数，从而利用函数的零点的判定定理判断即可．【解答】解：令，在定义域上连续且单调递增，，，故，故a所在区间是；故选：B．4.答案：C解析：解：，可得：，化简可得：，两边平方可得：，从而解得：．故选：C．由两角和与差的正弦函数公式展开已知，化简可得，两边平方，由二倍角的正弦函数公式即可得解．本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．5.答案：D解析：解：A、若时，l与不一定垂直，故A错误；B、若三点不在平面的同侧，则与相交，故B错误；C、，，有可能，故C错误；D、根据平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于平面，故D正确．故选：D．根据线面垂直的判定定理判断A是否正确；借助图象，根据三点是否在平面的同侧来判断B是否正确；根据直线在平面内的情况，来判断C是否正确；根据平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，来判断D是否正确．本题借助考查命题的真假判断，考查线面垂直的判定．6.答案：C解析：【分析】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有种选法，再从5名女医生中选出1人，有种选法，则不同的选法共有种．故选C．7.答案：B解析：解：把函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍纵坐标不变，可得的图象，再把得到图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象．对于A，令，，解得：，，可得函数在区间上单调递减，故A错误，对于B，令，，解得：，，可得函数在区间上单调递增，故B正确，对于C，令，，解得：，，即函数的图象关于直线，对称，故C错误，对于D，令，，解得：，，即函数的图象关于点对称，故D错误，故选：B．根据函数的图象变换规律，得到的解析式，再利用正弦函数的图象性质，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象性质应用，属于基础题．8.答案：A解析：解：根据题意，设这个等差数列为，且该数列的公差为d；则有，且；解可得：，；则谷雨这一天的日影长；故选：A．根据题意，设这个等差数列为，且该数列的公差为d；结合题意可得，且；解可得与d的值，由等差数列通项公式计算可得答案．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：A解析：解：函数的定义域为R，由于为奇函数，也为奇函数，故函数为偶函数，可排除选项B，C；又，可排除选项D．故选：A．利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．本题考查利用函数的性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．10.答案：D解析：解：根据题意，顶点数就是碳原子数即为84，每个碳原子被3条棱长共用，故棱长数，由欧拉公式可得面数棱长数顶点数，设正五边形x个，正六边形y个，则，，解得，，故正六边形个数为32个，故选：D．根据题意可知顶点数为84，可求得棱长数为126，结合欧拉公式得到面数为44，列出方程组即可本题考查学生阅读理解的能力，考查合情推理的能力，属于中档题11.答案：C解析：解：设双曲线的左焦点为，由，可得，，可得，可设，可得，由双曲线的定义可得，，在直角三角形POF中，可得，在中，，在中，，由，化为，由，可得，由消去t，可得，即，则，故选：C．设双曲线的左焦点为，由向量共线定理可得，由向量垂直的条件，可得，可设，可得，再由双曲线的定义可得，，运用勾股定理和余弦定理，可得为关于t的式子，化简整理，消去t，可得a，c的方程，再由双曲线的离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量共线定理和向量垂直的条件，以及三角形的余弦定理的运用，考查化简运算能力和推理能力，是一道综合题．12.答案：A解析：解：，，，为常数，又，，，函数既无极大值也无极小值．故选：A．依题意可得，进而得到，又，可得，求出导数即可求出极值情况．本题考查了导数的运用以及利用导数研究函数的极值，本题的难点在于对函数解析式的求解，属于中档题．13.答案：解析：解：根据题意，，即，又由，则，．又由向量为单位向量，则有，解可得，，故答案为：根据题意，由数乘向量的定义可以设，结合单位向量的定义可得，解可得的值，即可得答案．本题考查向量模的计算，注意单位向量的定义，属于基础题．14.答案：36解析：解：由等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线上，由抛物线的对称性可得另外两个点关于x轴对称，可设直线，代入抛物线，可得，解得或，可得等腰直角三角形的另外两个点为，，则这个等腰直角三角形的面积为：．故答案为：36．由抛物线关于x轴对称，可得等腰三角形的另外两个点关于x轴对称，求得直线和抛物线的交点，即可得到所求面积．本题考查抛物线的方程和运用，考查等腰三角形的面积的求法，注意运用对称性，考查运算能力，属于基础题．15.答案：3解析：解：假设赵同学说的前半句“甲是2号”是对的，那后半句“乙是3号”就是错的．那么李同学说：“丁是1号”也是对的，那孙同学说“丙是3号”也是对的，钱说“丙是2号，乙是4号”中“乙是4号”就是对的．即甲2号，乙4号．丙3号，丁1号，成立，故丙背后号码为3．故答案为：3．依据现在知道四个人只对了一半，可用假设法进行推理，若得出矛盾则否定之，若得不出矛盾，则推理正确．本题考查了合情推理的应用．属于中档题．16.答案：解析：解：，，两式相减得：，即，，，，，，，，解得：，解得：，解得：，解得：，解得：，首项的取值范围是：，故答案为：由得，用表示出，，，，，再利用列出不等式组，即可求出首项的取值范围．本题主要考查了数列的递推式，考查了考生分析问题和解决问题的能力，是中档题．17.答案：解：Ⅰ由，，由，即，，又，从而．Ⅱ由，，从而，，，即面积的最大值为，此时是正三角形．解析：Ⅰ由三角形面积公式得到，再利用正弦定理对已知等式角化边得，再由余弦定理即可求出角A的大小；Ⅱ由角A求出a，再利用余弦定理结合基本不等式求出，再由三角形面积公式即可求出面积的最大值．本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，以及基本不等式的应用，是中档题．18.答案：解：Ⅰ证明：以A为原点，如图建立空间直角坐标系，不妨取棱长为6，则6，，6，，0，，3，，6，，，，，设平面的法向量，则，可取，，即，平面．Ⅱ解：由Ⅰ知平面的法向量，又面ABCD的法向量，．平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为．解析：Ⅰ以A为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面．Ⅱ求出平面的法向量和面ABCD的法向量，利用向量法能求出平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：Ⅰ由表格知男性平均消费金额为元；由频率分布直方图知女性平均消费金额为：元；Ⅱ由Ⅰ知女性的理性消费区间为人数为16人，男性理性消费区间为，人数为19人，填写列联表为：女性男性合计理性消费161935非理性消费8481165合计100100200计算，由，所以没有5成以上的把握认为理性消费与性别有关．解析：Ⅰ由表中数据和频率分布直方图，求出平均数；Ⅱ由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了平均数和独立性检验的应用问题，是基础题．20.答案：解：Ⅰ易知定义域为R，且，得，当时，在上递减，在上递增．有最小值，同理，当时，有最大值．Ⅱ当，有，，当时，．设，则，由和，得，舍在上递增，在上递减，，．解析：Ⅰ求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值即可；Ⅱ时，显然成立，时，分离参数a，得到，求出的最大值，从而求出a的范围．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．21.答案：Ⅰ证明：由知，又所以，方程可表示为，，设，，，线段AM中点，所以，因为点M在椭圆上，所以，即，代入得所以．Ⅱ解：由知椭圆得方程可以为，即，设：，代入，得，，，同理设：，由可知．所以所以，，，从而椭圆方程为．解析：Ⅰ根据题意可得，，所以，方程可表示为，设，，，，得线段AM中点Q坐标，，因为点M在椭圆上，所以，将它代入得．Ⅱ由知椭圆得方程可以为，即，设：，联立直线OP与椭圆得方程，解得，，写出，同理设：，由可知，即，得，再化简，解得，进而得椭圆方程．本题考查椭圆得标准方程，定值问题，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ圆C的参数方程为为参数，转换为普通方程为：，即，进一步利用，得到圆C的极坐标方程为；Ⅱ由l：或，由圆C的圆心，，又弦长为2，圆心C到l的距离，解得，所以直线的倾斜角为，当直线经过原点，且斜率不存在时，所截得的弦长也为2，故直线的倾斜角为．的倾斜角或．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：Ⅰ当时，，，当时，式即为，符合，当时，式即为，不符合，当时，式即为，符合，综上，不等式的解集为或；Ⅱ，又的解集为，的解集为，，，．解析：Ⅰ将代入中，然后根据，利用零点分段法解不等式即可；Ⅱ利用绝对值三角不等式可知，然后由的解集为，得到关于a的方程，再求出a的值．本题考查了绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法和根据不等式的解集求参数的值，考查了分类讨论思想和方程思想，属中档题．。
2020年新疆高考数学三诊试卷(理科)(问卷) (含答案解析)
2020年新疆高考数学三诊试卷(理科)(问卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2<1}，B={x|y=ln(−x)}，则A∩B=()A. ⌀B. {x|x<0}C. {x|−1<x<0}D. {x|0<x<1}2.已知复数z=103+i−2i，其中i是虚数单位，则|z|=()A. 2√2B. 2√3C. 3√2D. 3√33.方程log3x=3−x的根所在区间是()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)4.若sin(π4+α)=35，则)A. 725B. 15C. −15D. −7255.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的是()A. 若m⊥α，n⊂α，则m⊥nB. 若m//α，n//α，则m//nC. 若m⊥α，m⊥n，则n//αD. 若m//α，m⊥n，则n⊥α6.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种7.将函数的图象向右平移π6个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是()A. 函数g(x)的最大值为√3+1B. 函数f(x)的最小正周期为πC. 函数g(x)的图象关于直线x=π3对称D. 函数g(x)在区间[π6,2π3]上单调递增8.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为()A. 15.5尺B. 12.5尺C. 10.5尺D. 9.5尺9. 函数f(x)=xsinx 的图象大致是( ) A. B. C. D.10. 已知C 60分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，C 60是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图，已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为( )个．A. 10B. 12C. 16D. 20 11. 过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)左焦点F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若OM ⊥FN ，则C 的离心率为( )A. 2B. √7C. 3D. √10 12. 已知函数f(x)=lnx −12x 2，则f(x)( )A. 有极小值，无极大值B. 无极小值有极大值C. 既有极小值，又有极大值D. 既无极小值，又无极大值二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 给出下列说法：①单位向量都平行；②零向量与任意向量都平行；③0是唯一没有方向的向量；④|AB →|=|BA →|.其中正确的是________.(填序号)14. 已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2=2px(p >0)上，求这个等边三角形的边长__________；15. 甲乙丙丁四个人背后各有1个号码，赵同学说：甲是2号，乙是3号；钱同学说：丙是2号，乙是4号；孙同学说：丁是2号，丙是3号；李同学说：丁是1号，乙是3号．他们每人都说对了一半，则丙是16. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −2，则a 2= .三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知√3bcosA=asinB．(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若a=√7，b=2，求△ABC的面积．18.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为AB的中点，F为D1C的中点．(1)证明：EF//平面ADD1A1；(2)若AE=2，求二面角D−EF−C的余弦值．19.11月11日有2000名网购者在某购物网站进行网购消费(金额不超过1000元)，其中女性1100名，男性900名．该购物网站为优化营销策略，根据性别采用分层抽样的方法从这2000名网购者中抽取200名进行分析，如表．(消费金额单位：元)(Ⅰ)计算x，y的值，在抽出的200名且消费金额在[800,1000]的网购者中随机抽出2名发放网购红包，求选出的2人均为女性的概率；(Ⅱ)若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上数据列2×2列联表，并回答能否有95%的把握认为“是否为网购达人与性别有关？”，n=a+b+c+d附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知函数f(x)=aln2x−e2x e．(1)若函数f(x)=aln2x−e2x e在x=e处有最大值，求a的值；2(2)当a≤e时，求函数f(x)的零点的个数．21. 已知点O 为坐标原点，椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=2，且过点(−1,−√22)． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)过点H (−2,0)的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若AF 1⊥BF 1，求直线AB 的方程．22. 在平面直角坐标系中，圆C 的参数方程为{x =1+2cosαy =2sinα(α为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=1−√22． (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 交于A,B 两点，M 是圆C 上不同于A,B 两点的动点，求ΔMAB 面积的最大值．23. 已知函数f(x)=|x|+|x −2|．(1)求关于x 的不等式f(x)<3的解集；(2)如果关于x 的不等式f(x)<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵A={x|−1<x<1}，B={x|x<0}；∴A∩B={x|−1<x<0}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集的运算．2.答案：C−2i=3−3i，解析：解：∵z=103+i∴|z|=√32+(−3)2=3√2，故选：C．根据复数的运算性质求出z，从而求出z的模．本题考查了复数的运算，考查复数求模问题，是一道基础题．3.答案：C解析：【试题解析】本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用，属基础题．令f(x)=log3x+x−3，从而利用函数的零点的判定定理判断即可．解：令f(x)=log3x+x−3，易知f(x)在其定义域上连续，f(2)=log32+2−3=log32−1<0，f(3)=log33+3−3=1>0，故f(x)=log3x+x−3在(2,3)上有零点，故方程log3x=3−x的根所在的区间是(2,3)．故选C．4.答案：D解析：本题主要考查二倍角公式和和差公式的应用，涉及同角三角函数的基本关系，属于基础题．由和差公式将展开后平方即可求出结果．解：展开可得，，所以cosα+sinα=3√2，5平方可得，即，故选D．5.答案：A解析：利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力及数形结合思想，是中档题．解：对于A，若m⊥α，n⊂α，根据线面垂直的性质可得m⊥n；故正确；对于B，若m//α，n//α，则m与n可能相交、平行或者异面；故错误；对于C，若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，故错误；对于D，若m//α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故错误．故选：A．6.答案：C解析：本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．属于基础题．。
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学三模试卷(理科)(问卷) (含解析)
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学三模试卷(理科)(问卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数3−ii=()A. 1+3iB. −1−3iC. −1+3iD. 1−3i2.已知集合A={−1,0，2，3，4}，B={x∈N|x<3}，则A∩B=()A. {0,1，2}B. {2}C. {0,2，3}D. {0,2}3.已知命题p：∀x∈R，x2−2x−4≤0，则￢p为()A. ∀x∈R，x2−2x−4≥0B. ∃x0∈R，x02−2x0−4>0C. ∀x∉R，x2−2x+4≤0D. ∃x0∈R，x02−2x0−4>04.在等差数列{a n}中，a2+a10=0,a6+a8=−4,a100=()A. 212B. 188C. 一212D. 一1885.已知角α的终边过点P(−4,−6sin150°)，则sin2α的值为()A. −34B. 43C. 1225D. 24256.从某中学高三年级甲、乙两个班各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)如下：甲：79 78 80 x85 92 96乙：72 81 81 y91 91 96其中甲班学生成绩的平均分和乙班学生成绩的中位数都是85，则x+y的值为()A. 167B. 168C. 169D. 1707.如图的正方体ABCD−A′B′C′D′中，异面直线AA′与BC所成的角是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8. 在△ABC 中，AB =AC =2，BC =2√3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2√3 B. 2 C. −2√3 D. −29. 如图，已知直线与抛物线x 2=2py 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标为(2,4)，则p 的值为( )A. 2B. 4C. 32 D. 5210. 已知在四面体ABCD 中，AB =AD =BC =CD =BD =2，平面ABD ⊥平面BDC ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )A.20π3B. 6πC.22π3D. 8π11. 设P 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)上且在一象限内的点，F 1，F 2分别是双曲的左、右焦点，PF 2⊥F 1F 2，x 轴上有一点A 且AP ⊥PF 1，E 是AP 的中点，线段EF 1与PF 2交于点M.若PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率是( )A. 1+√2B. 2+√2C. 3+√2D. 4+√212. 若函数f(x)=|(12)x −1|−2a 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,12)B. (0,1)C. (12,+∞)D. (1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若f(x)为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f(x)=log 2(2−x)，则f(0)+f(2)的值为________．14.如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)=x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于______．15.已知f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)，f(π6)=f(π3)，且f(x)在区间(π6,π3)上有最小值，无最大值，则ω=__________．16.已知数列{a n}的前n项和S n=n2，则a n=________;1a1a2+1a2a3+1a3a4+...+1a2019a2020=________.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB+√3bcos(B+C)=0，a=√19．(1)求A；(2)若b=2，求△ABC的面积．18.某次有600人参加的数学测试，其成绩的频数分布表如图所示，规定85分及其以上为优秀．区间[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]人数3611424415650(Ⅰ)现用分层抽样的方法从这600人中抽取20人进行成绩分析，求其中成绩为优秀的学生人数；(Ⅱ)在(Ⅰ)中抽取的20名学生中，要随机选取2名学生参加活动，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望．19.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=CD=√7，点E为线段AD上的一点．现将△DCE沿线段EC翻折到PAC(点D与点P重合)，使得平面PAC⊥平面ABCE，连接PA，PB．(Ⅰ)证明：BD⊥平面PAC；(Ⅱ)若∠BAD=60°，且点E为线段AD的中点，求二面角P−AB−C 的大小．20.已成椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√33.其右顶点与上顶点的距离为√5，过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于A、B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)设M是AB中点，且Q点的坐标为(25,0)，当QM⊥AB时，求直线l的方程．21.已知函数f(x)=x2+alnx．(1)当a=−2时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若x∈[1,+∞)时，f(x)≥3−2恒成立，求实数a的取值范围．x22.已知曲线C的参数方程为{x=1+√2cosα(α为参数).以坐标原点O为极点.x轴的正半轴为极y=−1+√2sinα)=1．轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程为√2ρsin(θ+π4(Ⅰ)写出曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l与曲线C交于A、B两点，求△OAB的面积．23.已知a，b，c为正数，且满足a+b+c=3．(1)证明：√ab+√bc+√ac⩽3．(2)证明：9ab+bc+4ac≥12abc．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：3−ii =−i(3−i)−i2=−1−3i，故选：B．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数3−ii，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：D解析：本题主要考查了集合交集的运算，属于基础题．根据集合交集的运算法则计算即可求解．解：∵B={x∈N|x<3}={0,1，2}，A={−1,0，2，3，4}，∴A∩B={0,2}．故选D．3.答案：B解析：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，x2−2x−4≤0，则￢p为：∃x0∈R，x02−2x0−4>0．故选：B．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4.答案：D解析：解析：在等差数列{a n}中,∵a2+a10=2a6，∴a6=0，又∵a 6+a 8=−4， ∴a 7=−2，∴公差d =a 7−a 6=−2， ∴a n =a 6+(n −6)d =12−2n ， ∴a 100=12−2×100=−188， 故选D ．5.答案：D解析：由条件利用任意角的三角函数的定义和二倍角公式即可求出答案． 本题主要考查任意角的三角函数的定义和二倍角公式，属于基础题． 解：由P(−4,−3)得点P 到坐标原点的距离r =5， ∴sinα=−35，cosα=−45，∴sin2α=2sinαcosα=2×(−35)×(−45)=2425． 故选：D ．6.答案：D解析：本题考查了中位数和平均数，是一般题．根据公式求出平均数和中位数，这样可以得出答案．解：由数据知，乙班学生成绩的中位数是y ， ∴y =85． 又甲班学生成绩的平均分为85，即79+78+80+x +85+92+96=85×7，解得x =85． ∴x +y =170． 故选D ．7.答案：D解析：本题考查异面直线所成的角，属于基础题．根据异面直线所成角定义找出角，再利用正方体的特征求出角的大小． 解：正方体ABCD −A′B′C′D′中，AD//BC ， 所以∠A′AD 为异面直线AA′与BC 所成的角． 因为∠A′AD =90°，所以异面直线AA′与BC 所成的角为90°． 故选D ．8.答案：D解析：本题考查了平面向量数量积的运算，属于基础题．建立坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算即可得出． 解：如图所示，根据题意，设A(0,1)，B(−√3,0)，C(√3,0)． ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1)⋅(√3,−1)=−3+1=−2． 故选：D ．9.答案：D解析：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．。
2020届新疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷(理科)(有答案)(已审阅)
新疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|1＜x＜3}，则（）A．A=B B．A⊇B C．A⊆B D．A∩B=∅2．若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数m等于（）A．﹣1 B．C．D．13．等差数列{a n}中，已知a1=2，a3+a5=10，则a7等于（）A．5 B．6 C．8 D．104．“log2a＞log2b”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为（）A．53 B．54 C．158 D．2636．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．B．y=sin22x﹣cos22xC．y=sin2x+cos2x D．y=sin2xcos2x7．已知实数x，y满足，则z=﹣3x﹣y的最大值为（）A．﹣19 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣48．已知x，y∈R，x2+y2+xy=315，则x2+y2﹣xy的最小值是（）A．35 B．105 C．140 D．2109．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．8+2πB．8+3πC．10+2πD．10+3π10．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半价为，则其离心率为（）A．B．2 C．D．11．球O与棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个面都相切，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截球O所得截面的面积为（）A．B．πC．D．12．已知对任意实数k＞1，关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则a的最大整数值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若单位向量满足，则向量的夹角的余弦值为．14．学校拟安排六位老师至5 月1日至5月3日值班，要求每人值班一天，每天安排两人，若六位老师中王老师不能值5月2日，李老师不能值5月3日的班，则满足此要求的概率为．15．若P是抛物线y2=8x上的动点，点Q在以点C（2，0）为圆心，半径长等于1的圆上运动．则|PQ|+|PC|的最小值为．16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足，S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n+n，则f（a5）+f（a6）=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最大值．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，E是棱BB1的中点．（Ⅰ）求证平面AEC1⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）若AA1=AB，求二面角C﹣AE﹣C1的平面角的余弦值．19．对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①y=bx+a，②y=ce dx拟合，得到回归方程分别为，，作残差分析，如表：身高x（cm）60708090100110体重y（kg）68101415180.410.01 1.21﹣0.190.41﹣0.360.070.12 1.69﹣0.34﹣1.12（Ⅰ）求表中空格内的值；（Ⅱ）根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；（Ⅲ）残差大于1kg的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对（Ⅱ）所选择的模型重新建立回归方程．（结果保留到小数点后两位）附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n），其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．20．在平面直角坐标系xOy中，M，N是x轴上的动点，且|OM|2+|ON|2=8，过点M，N分别作斜率为的两条直线交于点P，设点P的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）过点Q（1，1）的两条直线分别交曲线E于点A，C和B，D，且AB∥CD，求证直线AB的斜率为定值．21．设函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜﹣2时，讨论f（x）的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）讨论直线l与圆C的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线l的垂线，垂足为P，求点P的轨迹与圆C相交所得弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+a|．（Ⅰ）当a=1时，求y=f（x）图象与直线y=3围成区域的面积；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．新疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|1＜x＜3}，则（）A．A=B B．A⊇B C．A⊆B D．A∩B=∅【考点】15：集合的表示法．【分析】化简集合A，即可得出集合A，B的关系．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+2＜0}=（1，2），B={x|1＜x＜3}，∴A⊆B．故选：C．2．若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数m等于（）A．﹣1 B．C．D．1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0列式求得m值．【解答】解：∵为纯虚数，∴，得m=1．故选：D．3．等差数列{a n}中，已知a1=2，a3+a5=10，则a7等于（）A．5 B．6 C．8 D．10【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据题意和等差数列的性质得到：a1+a7=a3+a5，代入数据求出a7的值．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=10，∴由等差数列的性质得，a1+a7=a3+a5=10，解得a7=8，故选：C．4．“log2a＞log2b”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵．反之不成立，可能0＞a＞b．故选：A．5．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为（）A．53 B．54 C．158 D．263【考点】EF：程序框图．【分析】【方法一】根据正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求出n的最小值．【方法二】按此歌诀得算法的程序框图，按程序框图知n的初值，代入循环结构求得n的值．【解答】解：【方法一】正整数n被3除余2，得n=3k+2，k∈N；被5除余3，得n=5l+3，l∈N；被7除余4，得n=7m+4，m∈N；求得n的最小值是53．【方法二】按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为按程序框图知n的初值为263，代入循环结构得n=263﹣105﹣105=53，即输出n值为53．故选：A．6．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．B．y=sin22x﹣cos22xC．y=sin2x+cos2x D．y=sin2xcos2x【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性、周期性，得出结论．【解答】解：∵cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，故排除A；∵y=sin22x﹣cos22x=﹣cos4x，是偶函数，且，故B满足条件；∵y=sin2x+cos2x=sin（2x+）是非奇非偶函数，故排除C；∵y=sin2xcos2x=sin4x是奇函数，故排除D，故选：B．7．已知实数x，y满足，则z=﹣3x﹣y的最大值为（）A．﹣19 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣4【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图所示，联立，解得A（2，﹣1），化目标函数z=﹣3x﹣y为y=﹣3x﹣z，由图可知，当直线z=﹣3x﹣y过点A（2，﹣1）时，z=﹣3x﹣y有最大值，最大值为﹣5．故选：C．8．已知x，y∈R，x2+y2+xy=315，则x2+y2﹣xy的最小值是（）A．35 B．105 C．140 D．210【考点】7F：基本不等式．【分析】x，y∈R，x2+y2+xy=315，可得x2+y2=315﹣xy≥2xy，因此xy≤105．即可得出．【解答】解：∵x，y∈R，x2+y2+xy=315，∴x2+y2=315﹣xy，315﹣xy≥2xy，当且仅当x=y=±时取等号．∴xy≤105．∴x2+y2﹣xy=315﹣2xy≥315﹣210=105．故选：B．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．8+2πB．8+3πC．10+2πD．10+3π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱结合所成，即可求出表面积．【解答】解：根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱结合所成，所以表面积．故选D．10．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半价为，则其离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用等积法和勾股定理，可得r=c﹣a，结合条件和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用面积相等可得S=|AF2|•|F1F2|=r（|AF1|+|AF2|+|F1F2|），由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2，解得r=，，则离心率e==，故选A．11．球O与棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个面都相切，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截球O所得截面的面积为（）A．B．πC．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】求出圆心到截面距离，利用d2+r2=1求出截面半径，即可求出截面的面积．【解答】解：设圆心到截面距离为d，截面半径为r，由V O﹣ACM =V M﹣AOC，即，∴，又d2+r2=1，∴，所以截面的面积为．故选D．12．已知对任意实数k＞1，关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则a的最大整数值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，画出函数的大致图象，结合图象求出a的范围，从而确定a的最大整数值即可．【解答】解：令，依题意，对任意k＞1，当x＞0时，y=f（x）图象在直线y=k（x﹣a）下方，，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x（0，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣f（x）递增递减y=f（x）的大致图象：则当a=0时，∵f'（0）=2，∴当1＜k＜2时不成立；当a=﹣1时，设y=k0（x+1）与y=f（x）相切于点（x0，f（x0））．则，解得．∴，故成立，∴当a∈Z时，a max=﹣1．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若单位向量满足，则向量的夹角的余弦值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设向量，的夹角为θ，根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：∵，∴，∵为单位向量，即，∴4﹣4cosθ+1=2，∴．故答案为：．14．学校拟安排六位老师至5 月1日至5月3日值班，要求每人值班一天，每天安排两人，若六位老师中王老师不能值5月2日，李老师不能值5月3日的班，则满足此要求的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】六位老师值班每天两人的排法有种，求出满足要求的排法有42种，即可求出概率．【解答】解：六位老师值班每天两人的排法有种，满足要求的排法有：第一种情况，王老师和李老师在同一天值班，则只能排在5月1号，有种；第二种情况，王老师和李老师不在同一天值班，有种，故共有42种．因此满足此要求的概率．故答案为．15．若P是抛物线y2=8x上的动点，点Q在以点C（2，0）为圆心，半径长等于1的圆上运动．则|PQ|+|PC|的最小值为3．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．【解答】解：由于点C为抛物线的焦点，则|PC|等于点P到抛物线准线x=﹣2的距离d．又圆心C到抛物线准线的距离为4，则|PQ|+|PC|=|PQ|+d≥3．当点P为原点，Q为（1，0）时取等号．故|PQ|+|PC|得最小值为3．故答案为：3．16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足，S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n+n，则f（a5）+f（a6）=3．【考点】8E：数列的求和．【分析】由已知求得函数周期，再由数列递推式求出数列通项，求得a5、a6的值，则答案可求．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），又∵，∴．∴．∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵数列{a n}满足a1=﹣1，且S n=2a n+n，∴当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1+n﹣1，则a n=2a n﹣2a n﹣1+1，即a n=2a n﹣1﹣1，∴a n﹣1=2（a n﹣1﹣1）（n≥2），则，∴．上式对n=1也成立．∴a5=﹣31，a6=﹣63．∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f（﹣2）=3．故答案为：3．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最大值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得到a2+b2﹣c2=﹣ab，由此利用余弦定理能求出．（Ⅱ）由正弦定理求出a=2sinA，b=2sinB．由此利用正弦加法定理求出周长l=，由此能求出△ABC周长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC．∴由已知，得，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴，由0＜C＜π，∴．（Ⅱ）∵，∴，∴a=2sinA，b=2sinB．设周长为l，则==∵，∴2＜2sin（A+）+≤2+，∴△ABC周长的最大值为．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，E是棱BB1的中点．（Ⅰ）求证平面AEC1⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）若AA1=AB，求二面角C﹣AE﹣C1的平面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；L Y：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）分别取AC，AC1的中点O，F，推导出四边形OBEF是平行四边形，从而OB ∥EF．推导出OB⊥面ACC1A1，从而EF⊥平面ACC1A1，由此能证明平面AEC1⊥平面AA1C1C．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AE﹣C1的平面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）分别取AC，AC1的中点O，F，连结OB，OF，EF，则OF BE，∴四边形OBEF是平行四边形，∴OB∥EF．∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，ABC是正三角形，O是AC的中点，∴OB⊥面ACC1A1，∴EF⊥平面ACC1A1，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．（Ⅱ）建立如图O﹣xyz空间直角坐标系，设AA1=AB=2，则，，设平面AEC的法向量为，平面AEC1的法向量为，则有，，得，设二面角C﹣AE﹣C1的平面角为θ，则．∴二面角C﹣AE﹣C1的平面角的余弦值为．19．对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①y=bx+a，②y=ce dx拟合，得到回归方程分别为，，作残差分析，如表：身高x（cm）60708090100110体重y（kg）68101415180.410.01 1.21﹣0.190.41﹣0.360.070.12 1.69﹣0.34﹣1.12（Ⅰ）求表中空格内的值；（Ⅱ）根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；（Ⅲ）残差大于1kg的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对（Ⅱ）所选择的模型重新建立回归方程．（结果保留到小数点后两位）附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n），其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据残差分析，把x=80代入得.10﹣10.39=﹣0.39，即可求表中空格内的值；（Ⅱ）求出残差的绝对值和，即可得出结论；（Ⅲ）确定残差大于1kg的样本点被剔除后，剩余的数据，即可求出回归方程．【解答】解：（Ⅰ）根据残差分析，把x=80代入得.10﹣10.39=﹣0.39．所以表中空格内的值为﹣0.39．（Ⅱ）模型①残差的绝对值和为0.41+0.01+0.39+1.21+0.19+0.41=2.62，模型②残差的绝对值和为0.36+0.07+0.12+1.69+0.34+1.12=3.7.2.62＜3.7，所以模型①的拟合效果比较好，选择模型①．（Ⅲ）残差大于1kg的样本点被剔除后，剩余的数据如表由公式：，．得回归方程为y=0.24x﹣8.76．20．在平面直角坐标系xOy中，M，N是x轴上的动点，且|OM|2+|ON|2=8，过点M，N分别作斜率为的两条直线交于点P，设点P的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）过点Q（1，1）的两条直线分别交曲线E于点A，C和B，D，且AB∥CD，求证直线AB的斜率为定值．【考点】J3：轨迹方程．【分析】（Ⅰ）求出M，N的坐标，利用|OM|2+|ON|2=8求曲线E的方程；（Ⅱ）利用点差法，求出CD的斜率，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：设P（m，n），直线，令y=0，得，直线，令y=0，得．∴．∴曲线E的方程是；（Ⅱ）证明：∵AB∥CD，设，A（x A，y A），B（x B，y B），C （x C，y C），D（x D，y D），则（1﹣x A，1﹣y A）=λ（x C﹣1，y C﹣1），即x A=1+λ﹣λx C，y A=1+λ﹣λy C①，同理x B=1+λ﹣λx D，y B=1+λ﹣λy D②将A（x A，y A），B（x B，y B），代入椭圆方程得，化简得3（x A+x B）（x A﹣x B）=﹣4（y A+y B）（y A﹣y B）③把①②代入③，得3（2+2λ）（x C﹣x D）﹣3λ（x C+x D）（x C﹣x D）=﹣4（2+2λ）（y C﹣y D）+4λ（2+2λ）（y C+y D）（y C﹣y D）将C（x C，y C），D（x D，y D），代入椭圆方程，同理得3（x C+x D）（x C﹣x D）=﹣4（y C+y D）（y C ﹣y D）代入上式得3（x C﹣x D）=﹣4（y C﹣y D）．即，∴直线AB的斜率为定值21．设函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜﹣2时，讨论f（x）的零点个数．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出f（e﹣a），由f（1）＞0，f（e﹣a）＜0，及f（x）的单调性，可知f（x）在（1，e﹣a）上有唯一零点，取，则，根据函数的零点存在定理讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=2（x﹣1）（lnx+a）（x＞0）．①当a=0时，f'（x）=2（x﹣1）lnx，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，当x＞1时，f'（x）＞0．当x=1时，f'（x）=0．∴f（x）在（0，+∞）递增；②当a＞0时，令f'（x）=0，得，此时e﹣a＜1．易知f（x）在（0，e﹣a）递增，（e﹣a，1）递减，（1，+∞）递增；③当a＜0时，e﹣a＞1．易知f（x）在（0，1）递增，（1，e﹣a）递减，（e﹣a，+∞）递增．（Ⅱ）当a＜﹣2时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，1）上递增，（1，e﹣a）上递减，（e﹣a，+∞）上递增，且，将x=e﹣a代入f（x），得，∵a＜﹣2，∴f（e﹣a）＜0．下面证明当x∈（0，1）时存在x0，使f（x0）＜0．首先，由不等式lnx＜x﹣1，∴，∴，∴．考虑到x2﹣2x=x（x﹣2）＜0，∴．再令，可解出一个根为，∵a＜﹣2，∴，∴，就取．则有f（x0）＜0．由零点存在定理及函数f（x）在（0，1）上的单调性，可知f（x）在（0，1）上有唯一的一个零点．由f（1）＞0，f（e﹣a）＜0，及f（x）的单调性，可知f（x）在（1，e﹣a）上有唯一零点．下面证明在x∈（e﹣a，+∞）上，存在x1，使f（x1）＞0，就取，则，∴，由不等式e x＞x+1，则e﹣a+a＞（﹣a+1）+a＞0，即f（x1）＞0．根据零点存在定理及函数单调性知f（x）在（e﹣a，+∞）上有一个零点．综上可知，f（x）当a＜﹣2时，共有3个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）讨论直线l与圆C的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线l的垂线，垂足为P，求点P的轨迹与圆C相交所得弦长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l为过定点A（0，1），倾斜角在内的一条直线，圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，即可讨论直线l与圆C的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线l的垂线，垂足为P，联立得，即可求点P的轨迹与圆C相交所得弦长．【解答】解：（Ⅰ）直线l为过定点A（0，1），倾斜角在内的一条直线，圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，∴当时，直线l与圆C有1个公共点；当时，直线l与圆C有2个公共点（Ⅱ）依题意，点P在以OA为直径的圆上，可得轨迹极坐标方程为．联立得．∴点P的轨迹与圆C相交所得弦长是．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+a|．（Ⅰ）当a=1时，求y=f（x）图象与直线y=3围成区域的面积；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．【考点】5B：分段函数的应用；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）当a=1时可写出f（x）的解析式，进而可从图象上看出围成的区域即为三角形，计算即得结论；（Ⅱ）分与两种情况讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+|x+1|=，其图象如图所示，易知y=f（x）图象与直线y=3交点坐标，所以围成区域的面积为 [1﹣（﹣1）]×（3﹣）=．（Ⅱ）当，即时，．所以，所以﹣a﹣1=1，解得a=﹣，满足题意；当，即时，，所以f（x）min=f（）=|+a|=+a=1，解得a=，满足题意；综上所述，或．。
新疆2020版高考数学三模试卷(理科)A卷
新疆2020版高考数学三模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共23分)1. （2分）已知集合,则A . {3,5}B . {3,6}C . {3,7}D . {3,9}【考点】2. （2分）已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（）A .B .C .D . 4【考点】3. （2分） (2016高一上·桂林期中) 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A . y=x+1B . y=﹣x2C . y=D . y=x|x|【考点】4. （1分）(2017·福建模拟) 设不等式，表示的平面区域为M，若直线y=k（x+2）上存在M 内的点，则实数k的最大值是________．【考点】5. （2分） (2017高二上·平顶山期末) 已知点F1 ， F2是椭圆C： =1的焦点，点M在椭圆C上且满足| + |=2 ，则△MF1F2的面积为（）A .B .C . 1D . 2【考点】6. （2分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A . 36B . 40C . 44D . 48【考点】7. （2分）(2017·鄂尔多斯模拟) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A .B .C .D . 1【考点】8. （2分） (2019高二上·双鸭山期末) 若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是（）A .B .C .D .【考点】9. （2分） (2019高二下·广州期中) 已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是（）A .B .C .D .【考点】10. （2分） (2017高一下·河北期末) 已知二面角为为垂足，,则异面直线与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .【考点】11. （2分） (2019高二上·遵义期中) 已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的体积为（）A .B .C .D .【考点】12. （2分） (2019高三上·沈河月考) 设函数是函数的导函数，为自然对数的底数，若函数满足，且，则不等式的解集为（）A .B .C .D .【考点】二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·上海期末) 某校有高一学生105人，高二学生126人，高三学生42人，现用分层抽样的方法从中抽取13人进行关于作息时间的问卷调查，设问题的选择分为“同意”和“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答题情况的部分信息，估计所有学生中“同意”的人数为________人同意不同意合计高一2高二4高三1【考点】14. （1分） (2020高一下·开封期末) 将函数的图象向左平移个单位长度，若所得图象关于原点对称，则a的值为________．【考点】15. （1分） (2016高二上·澄城期中) 数列{an}中，已知对任意n∈N* ，a1+a2+a3+…+an=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+an2=________【考点】16. （1分） (2017高三下·绍兴开学考) 已知点A（﹣1，0），点B（1，0），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是3，则点M轨迹是________．【考点】三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分）已知数列{an}中，a1=0，a2=2，且an+1+an﹣1=2（an+1）（n≥2）（1）求证：数列{an+1﹣an}是等差数列；（2）求{an}的通项公式．【考点】18. （5分）为落实国务院“十三五”规划中的社会民生建设，某医院到社区检查老年人的体质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式如图：根据老年人体质健康标准，成绩不低于80的为优良．（Ⅰ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的人数，求ξ的分布列及期望．【考点】19. （10分） (2016高二下·南安期中) “特罗卡”是靶向治疗肺癌的一种药物，为了研究其疗效，医疗专家借助一些肺癌患者，进行人体试验，得到如右丢失一些数据的2×2列联表：疫苗效果试验列感染未感染总计没服用203050服用X y50总计M N100设从没服用该药物的肺癌患者中任选两人，未感染人数为ξ；从服用该药物的肺癌患者中任选两人，未感染人数为η，研究人员曾计算过得出：P（ξ=0）= P（η=0）．（1）求出列联表中数据x，y，M，N的值．（2）能否有97.5%的把握认为该药物对治疗肺癌有疗效吗？P（K2≥k0）0.100.050.0250.010k0 2.7063.8415.0246.635注：K2= ．【考点】20. （5分） (2019高二下·昭通月考) 如图，焦点在轴上的椭圆，焦距为，长轴长为6.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点为轴上一点，过点作轴的垂线交椭圆于不同的两点，过点作的垂线交于点，求与的面积之比.【考点】21. （5分）(2019·晋城模拟) 已知函数 .（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【考点】22. （10分）(2017·蔡甸模拟) 在直角坐标系中，圆C1：x2+y2=1经过伸缩变换后得到曲线C2以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ=（1）求曲线C2的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；（2）在C2上求一点M，使点M到直线l的距离最小，并求出最小距离．【考点】参考答案一、选择题 (共12题；共23分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共45分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
2020届新疆乌鲁木齐地区高三第三次质量监测数学(理)试题(解析版)
2020届新疆乌鲁木齐地区高三第三次质量监测数学（理）试题一、单选题 1．计算复数41ii+得( ) A ．22i + B ．22i -C ．22i -+D ．22i --【答案】A【解析】利用复数的除法和乘法运算求解. 【详解】()()()41444221112i i i i i i i i -+===+++- 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．已知集合()(){}|220A x x x =-+<，{}2,1,0,1,2,3B =--，则A B =( )A ．∅B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,0,1,2--【答案】C【解析】先解不等式得集合A ，再根据交集定义求结果. 【详解】()(){}|220(2,2)A x x x =-+<=-,{}2,1,0,1,2,3B =-- A B ∴={}1,0,1-故选：C 【点睛】本题考查集合交集以及一元二次不等式解法，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．已知命题“:p x R ∀∈,211x +≥”的否定是（ ） A ．0x R ∃∈,2011x +≤ B ．0x R ∃∈,2011x +<C ．x R ∀∈,211x +<D ．x R ∀∈,211x +≤【答案】B【解析】根据全称命题与特称命题的关系,直接写出命题的否定即可.解::p x R ∀∈,211x +≥所以0:p x R ⌝∃∈,2011x +<.故选:B 【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定,属于基础题. 4．已知等差数列{}n a 满足13518a a a ++=，35730a a a ++=，则246a a a ++=( )A ．20B ．24C ．26D ．28【答案】B【解析】直接根据等差数列的性质求解即可． 【详解】解：∵等差数列{}n a 满足13518a a a ++=，35730a a a ++=，∴35351748a a a a a a +++=++，即()()()33571548a a a a a a +++=++， ∴24622482a a a ++=， ∴24624a a a ++=， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．5．若角α的终边过点()3,4P -，则sin 2α的值为( )A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-【答案】D【解析】根据三角函数的定义求出sin ,cos αα，即可求出结论. 【详解】角α的终边过点()3,4,||5P OP -∴=， 43sin ,cos 55αα∴=-=，24sin 22sin cos 25ααα==-.【点睛】本题考查三角函数定义以及二倍角公式求三角函数值，考查计算求解能力，属于基础题. 6．某校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班有50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是( ) A ．85 B ．85.5C ．86D ．86.5【答案】A【解析】本题是一个加权平均数的问题，求出甲和乙两个班的总分数，再除以两个班的总人数，就是这两个班的平均成绩． 【详解】解：由题意，这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是40905081854050⨯+⨯=+，故选：A ． 【点睛】本题主要考查加权平均数的求法，属于基础题．7．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，1DD 的中点为N ，则异面直线1B M 与CN 所成角的大小为( )A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】D【解析】取CD 中点E ，连1,C E ME ，可证11//C E B M ，转化为求1,C E CN 所成的角，利用平面几何关系，证明1C E CN ⊥即可. 【详解】取CD 中点E ，连1,C E ME ，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为AB 中点，1111////ME BC B C ME BC B C ∴,==，四边形11B C EM 为平行四边形，11//C E B M ∴，∴异面直线1B M 与CN 所成角为直线1,C E CN 所成的角，在正方形11CC D D 中，1Rt C CE Rt CDN ≅△△，1111,90CC E DCN CC E C EC DCN C EC ∴∠=∠∠+∠=∠+∠=︒， 1,C E CN ∴⊥∴直线1B M 与CN 所成角的大小为90︒.故选：D..【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明异面直线垂直，考查直观想象、逻辑推理能力，属于基础题.8．在Rt ABC 中，1AB AC ==，点D 满足2BD CD =，则AB AD ⋅=( ) A ．-1 B ．13-C ．13D ．1【答案】A【解析】由题意可知A ∠为直角，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立平面直角坐标系，设(),D x y ，利用向量共线求出点D ，从而再根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】在Rt ABC 中，1AB AC ==， 所以A ∠为直角，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立平面直角坐标系，则()10B ,，()0,1C ，设(),D x y ，()1,BD x y =-，(),1CD x y =-， 由2BD CD =，可得()1,x y -()2,1x y =-， 即1222x xy y -=⎧⎨=-⎩，解得1x =-，2y =，所以()1,2D -，由()1,0AB = ，()1,2AD =- 所以()11021AB AD ⋅=⨯-+⨯=-. 故选：A 【点睛】本题考查了平面向量的线性坐标运算、向量数量积的坐标表示，属于基础题.9．直线2y x =-与抛物线()220y px p =>交于A ，B 两点，若OA OB ⊥，则p 的值为( ) A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222y x y px=-⎧⎨=⎩并消元得，()22440x p x -++=，得韦达定理结论，由题意得0OA OB ⋅=，由此根据数量积的坐标表示求解即可． 【详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222y x y px=-⎧⎨=⎩并消元得，()22440x p x -++=，∴1224x x p +=+，124x x =， 又OA OB ⊥，∴1212OA OB x x y y ⋅=+()()121222x x x x =+--()1212224x x x x =-++()82244p =-++440p =-=，∴1p =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，属于基础题． 10．在四面体ABCD 中，2AB =，1DA DB CA CB ====，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( ) A ．π B ．2πC ．3πD ．4π【答案】B【解析】取AB 的中点O ，连接OC ，OD ，由题意可得O 为外接球的球心，利用球的表面积公式即可求解. 【详解】 由2AB =，1DA DB CA CB ====，所以222CA CB AB +=，222AD BD AB +=可得90ACB ADB ∠=∠=，所以22OA OB OC OD ====，即O 为外接球的球心，球的半径22R =所以四面体ABCD 的外接球的表面积为：214422S R πππ==⨯=. 故选：B 【点睛】本题考查了多面体的外接球的表面积，需熟记球的表面积公式，属于基础题.11．M 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>上位于第二象限的一点，1F ，2F 分别是左、右焦点，112MF F F ⊥.x 轴上的一点N 使得290NMF ∠=︒，A ，B 两点满足MA AN =，12MB BF =，且A ，B ，2F 三点共线，则双曲线C 的离心率为( )A ．21+B ．31+C ．22+D ．32+【答案】A【解析】由题意，先求出2,b M c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再根据290NMF ∠=︒，求出442,02a c N a c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再求出()22222,42a c b A a c a ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，再求出2,3b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据A ，B ，2F 三点共线，利用向量平行，找到,a c 的关系即可求解. 【详解】 解：如图，()1,0F c -，()2,0F c把x c =-代入()222210,0x y a b a b -=>>，得2by a =±，2,b M c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭设(),0N n ，222+,,2,b b MN n c MF c a a ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为290NMF ∠=︒，所以20MN MF ⋅=，所以()422+0b c n c a += ，4422a c n a c--=， 即442,02a c N a c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因为MA AN =，所以是A 线段MN 的中点，所以44222,22a c c b a c A a ⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 即()22222,42a c b A a c a ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 设(),B x y ，则2,b MB x c y a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()1,BF c x y =---因为12MB BF =，所以2222x c c x b y y a +=--⎧⎪⎨-=-⎪⎩，23x c b y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2,3b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 222,3b BF c a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2222442222226,,4242a c b a c a c b AF c a c a a c a ⎛⎫+⎛⎫++ ⎪=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为A ，B ，2F 三点共线，所以22//BF AF ，所以24422226243b a c a c b c a a c a ⎛⎫⎛⎫++⨯-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 442260a c a c +-=，42610e e -+=，23e =±因为1e >，所以)2231e =+=，所以e =，故选：A . 【点睛】结合向量考查用解析法求双曲线的离心率，对于学生的运算求解能力是挑战，计算量大，容易出错；中档题.12．定义在R 上的函数()y f x =，当[]0,2x ∈时，()2144x f x --=-，且对任意实数122,22(,2)k k x k N k +⎡⎤∈--∈≥⎣⎦，都有1()122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()()log a g x f x x =-有且仅有5个零点，则实数a 的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由()()log 0a g x f x x =-=，可得()log a f x x =，分别作出函数()f x 和log a y x =的图像，利用数形结合即可得出结果.【详解】当[]0,2x ∈时，()2144x f x --=-，当2k =时，[]2,6x ∈，此时[]10,22x-∈， 则1()122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭211222211444422x x-----⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3k =时，[]6,14x ∈，此时[]12,62x-∈，则1()122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12225224211444422xx -----⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，当4k =时，[]14,30x ∈，此时[]16,142x-∈，则1()122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1522114228411444422xx -----⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，由()()log 0a g x f x x =-=，可得()log a f x x =， 分别作出函数()f x 和log ay x =的图像：若01a <<时，此时两个函数图像只有1个交点，不满足条件； 若1a >时，当对数函数经过点A 时，两个图像有4个交点， 经过点时B 有6个交点，则要使两个函数有有且仅有5个零点， 则对数函数图像必须在点A 以下，在点B 以上，()103f =，()3222f =， ()10,3A ∴，322,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即满足log 1033log 222a a <⎧⎪⎨>⎪⎩，解得3321022a a ⎧>⎪⎨⎪<⎩3310484a <<. 故选：C 【点睛】本题考查了由函数的零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合以及转化与化归的思想，属于难题.二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时，()()3log 1f x x =-，则()8f =______.【答案】-2【解析】根据()f x 定义在R 上的奇函数，则()()88f f =--，然后再由0x <时，()()3log 1f x x =-求解.【详解】因为()f x 定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()()3log 1f x x =-， 所以()()233log 9lo 8g 328f f =---===--.故答案为：-2 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用以及对数运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14．如图，在边长为1的正方形OABC 内随机取一点，则此点恰好取自曲线y x =下方与正方形OABC 所围成阴影部分的概率为______.【答案】23【解析】先求得正方形的面积，再用定积分求得阴影部分的面积，代入几何概型的概率公式求解. 【详解】正方形的面积为：11=1⨯，阴影部分的面积为320122033xdx x ==，所以此点恰好取自曲线y x =OABC 所围成阴影部分的概率为22313p ==.故答案为：23【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法以及定积分的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15．f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)，在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω＝________. 【答案】34【解析】【详解】 函数f (x )的周期T ＝2πω，因此f (x )＝2sin ωx 在0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∵0<ω<1，∴0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦的子集， ∴f (x )在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∴3f π⎛⎫⎪⎝⎭，即2sin 3πω⎛⎫⎪⎝⎭，∴3πω＝4π， ∴ω＝34，故答案为34. 16．黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想涉及到很多领域的应用，有些数学家将黎曼猜想的攻坚之路趣称为：“各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客则潜伏敲着键盘蓄势待发”.黎曼猜想研究的是无穷级数1111()123ss n s ss n ξ∞-===+++∑，我们经常从无穷级数的部分和1111123ss s s n++++入手.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12100111S S S ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦______（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）. 【答案】18【解析】根据已知结合前n 项和与通项关系，可得2{}n S 为等差数列，进而求出n S ，再利用22n S <，以及当1n >时，22nS <，求出12100111S S S ++⋅⋅⋅+的范围，即可求出结论. 【详解】当1n =时，111111111,2a S a a a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭， 21111,0,1n a a a S =>∴==，当2n ≥时，111,21n n n n n n n n S S a S S S S S ---=--+-∴=，221111,1n n n n n n S S S S S S ---+=∴-=-，2{}n S ∴是以1为首项，公差为1的等差数列，2n S n ∴=，0,0,n n n a S S >∴>=22nS -=<，又1n >时，22n S << 令12100111S S S S =++⋅⋅⋅+，(21)]1)18S>+++-=->，(21)]11)119S <+++-+=+<，即1819S <<，从而[]18S =. 故答案为：18. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查数列的前n 项和与通项的关系、数列前n 项和的范围，构造新的等差数列2{}n S 以及用放缩法求数列和是解题的关键，注意常见的裂项相消法求和的模型，属于较难题.三、解答题17．在ABC 中，a ，b ，c 是A ∠，B ，C ∠所对的边，7a =，1c =，3sin cos 0A A +=.（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若D 为BC 边上一点，且AD AB ⊥，求ACD 的面积. 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）3320. 【解析】（Ⅰ）由题意求得150A =︒，再根据余弦定理即可求出答案； （Ⅱ）根据正弦定理可得21sin 14B =，从而求得3tan 5B =，则35AD =，再根据三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：（Ⅰ）由3sin cos 0A A +=，得3tan 3A =-， ∴150A =︒， 又∵7a =，1c =，又2222cos a b c bc A =+-，即2360b b +-=， 解得3b =，(负值舍去)；（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin sin a b A B =， ∴13si 21sin 14n 27B ab A⋅===，∴21si 57co 1n s 4B B ==-， ∴3tan 5B =，∵AD AB ⊥， ∴3tan 5AD c B ==，且60=︒∠DAC ，∴ACD 的面积133sin 60220ACD S AD AC ︒=⋅⋅=△． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，属于基础题． 18．在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图：（Ⅰ）是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”；（Ⅱ）将频率视为概率，从全校高三学生这次数学成绩超过120分的学生中随机抽取10人，求抽取的10人中每天在线学习时长超过1小时的人数的数学期望和方差.()20P K k ≥ 0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【答案】（Ⅰ）没有；（Ⅱ）()6E X =，() 2.4D X =.【解析】（1）根据条形图提供的数据完成列联表，然后再将数据代入公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，求得2K ，与临界表对比下结论.（2）由列联表得到数学成绩超过120分的学生每天在线学习时长超过1小时的概率，然后用二项分布的期望和方差公式求解. 【详解】（Ⅰ）依题意，得22⨯列联表数学成绩 在线学习时长120≤分120>分合计1≤小时15 10 25 1>小时5 15 20 合计 202545∵2245(1515510)4415.51256.6352025252080K ⨯-⨯===<⨯⨯⨯∴没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”； （Ⅱ）从上述22⨯列联表中可以看出：这次数学成绩超过120分的学生中每天在线学习时长超过1小时的频率为150.625=， 则()~10,0.6X B ，∴()100,66E X =⨯=，()()100.610.6 2.4D X =⨯⨯-=. 【点睛】本题主要考查独立性检验和二项分布的期望与方差，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．如图，将等腰直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 翻折，使二面角B AD C --的大小为3π，翻折后BC 的中点为M .（Ⅰ）证明BC ⊥平面ADM ； （Ⅱ）求二面角D AB C --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ7. 【解析】（Ⅰ）根据等腰直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 翻折，则AB AC =，BD CD =，又M 是BC 的中点，易得DM BC ⊥，AM BC ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明.（Ⅱ）建立空间直角坐标系，不妨设1AD =，易知二面角B AD C --的平面角是BDC ∠，则1BD BC CD AD ====，然后分别求得平面ABD 的一个法向量1n ，平面ABC 的一个法向量2n ，代入公式121212cos ,n n n n n n ⋅=求解..【详解】（Ⅰ）∵折叠前AB AC =，AD 是斜边上的高， ∴D 是BC 的中点，∴BD CD =，又因为折叠后M 是BC 的中点， ∴DM BC ⊥，折叠后AB AC =， ∴AM BC ⊥，AM DM M =，∴BC ⊥平面ADM ；（Ⅱ）建立如图空间直角坐标系，不妨设1AD =，易知二面角B AD C --的平面角是BDC ∠， 则1BD BC CD AD ====，∴()0,0,1A ，31,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,1,0C ，()0,0,0D ，设平面ABD 的一个法向量为()1,,n x y z =，得1100n AD n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即031022z x y =⎧+=⎩，令1x =, 得()11,3,0n =-，设平面ABC 的一个法向量()2,,n x y z =,得2200n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即31022x y z y z +-=⎪⎨⎪-=⎩，令1z =， 得233n ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭∴12121233732c 2os 3,1n n n n n n =⨯⋅==.所以二面角D AB C --的余弦值是 7. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>右焦点为()2,0F ，P 为椭圆上异于左右顶点A ，B 的一点，且PAB △面积的最大值为. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线AP 与直线x a =交于点Q ，线段BQ 的中点为M ，证明直线FM 平分PFB ∠.【答案】（Ⅰ）22195x y +=；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）由题意得2222ab a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解出即可； （Ⅱ）设直线AP 的方程为3x my =-，与椭圆方程联立求得点222152730,5959m m P m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，求出点63,Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而得中点33,M m ⎛⎫⎪⎝⎭，利用斜率的计算公式与正切的定义即可证明结论． 【详解】解：（Ⅰ）由题意得2222ab a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得2295a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆C 的标准方程为22195x y +=；（Ⅱ）设直线AP 的方程为3x my =-，代入22195x y +=，得()2259300m y my +-=， 解得0y =，或23059my m =+，∴222230152735959P m m x m m -=-=++， ∴222152730,5959m m P m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，易知直线AP 与3x =的交点63,Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴线段BQ 的中点33,M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设MFB α∠=，则33tan 1m mα==， ∴22326tan 2991m m m mα⨯==--，222223030659tan 15275459259PF m m m m PFB k m m m m +∠====----+， ∵()20,απ∈，()0,PFB π∠∈，tan 2tan PFB α=∠， ∴2PFB α∠=，即直线FM 平分PFB ∠． 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中档题．21．已知函数()()22xf x ax x a e -=++，()()ln 1g x b x =+.（Ⅰ）当0a >时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a =时，()()f x g x ≤在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】（Ⅰ）当102a <<时，()f x在⎛-∞ ⎝⎭，12,2a a ⎛⎫--+∞⎪ ⎪-⎝⎭上单调递减，在121222a a a a ⎛⎫-+- ⎪ ⎪--⎝⎭上单调递增；当12a ≥时，()f x 在R 上单调递减（Ⅱ）1b ≥.【解析】（Ⅰ）求出导函数()()2212x f x e ax ax x a -'=-+-+-，令()0f x '=，只需2(21)120ax a x a -+-+-=，由241a ∆=-+，讨论a 的取值范围，根据导数与函数单调性的关系即可求解. （Ⅱ）将不等式转化为ln(1)0xxeb x --+≤在[)0,+∞上恒成立，令()ln(1)x h x xe b x -=-+，求出()h x '，讨论b 的取值范围，当0b >时，令()2()1x m x e x b -=--，利用导数研究()m x 的单调性，确定()m x 的符号，进而可到()h x 的单调性，根据单调性即可求解.【详解】（Ⅰ）()2()(21)2x x f x a e ax x a e --'=+-++()2212x e ax ax x a -=-+-+-，令()0f x '=，即2(21)120ax a x a -+-+-=，241a ∆=-+， ∵0a >， ①当102a <<时，>0∆，1x =2x =， ∴()f x在12,2a a ⎛⎫--∞ ⎪ ⎪-⎝⎭，12,2a a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪-⎝⎭上单调递减，在121222a a a a ⎛⎫-+- ⎪ ⎪--⎝⎭上单调递增； ②当12a ≥时，0∆≤，()f x 在R 上单调递减； （Ⅱ）当0a =时，ln(1)x xeb x -≤+在[)0,+∞上恒成立， 即ln(1)0x xe b x --+≤在[)0,+∞上恒成立，令()ln(1)x h x xe b x -=-+，则()21()11xx x e x b b h x e xe x x -----'=--=++， 当0b ≤时，在[)0,+∞上，都有0x xe ≥，()ln 10b x +≤，即ln(1)x xe b x -+≥恒成立，与题意矛盾；当0b >时，令()2()1x m x e x b -=--，()2()21x m x e x x -'=--，当[)1,x ∈+∞时，()0m x ≤恒成立，当[)0,1x ∈时，()0m x '<，()m x 在[)0,1上单调递减，()01m b =-， ①若()010m b =-≤，即1b ≥，[)0,1x ∈时，()()00m x m ≤=，∴()0h x '≤，()h x 在[)0,+∞上单调递减，∴()()00h x h ≤=成立，②当()010m b =->，即01b <<，()10m b =-<，∴存在()00,1x ∈使得()00m x =，()00,x x ∈，()0m x >，()0,1x x ∈，()0m x <，()h x 在()00,x 单调递增，∴存在()00,k x ∈使得()0h k >与题意矛盾， 综上所述1b ≥.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立，考查了分类讨论的思想，属于难题.22．已知曲线1C的参数方程为23x t y t⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设1C 与2C 交点为A ，B ，求AOB 的面积.【答案】（Ⅰ）24cos 6sin 80ρρθρθ--+=；（Ⅱ）1.【解析】（Ⅰ）先根据曲线1C 的参数方程，消去参数t 化为直角坐标方程，然后将 cos ,sin x y ρθρθ==代入求解.（Ⅱ）先把曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，然后与曲线1C 的直角坐标方程联立，求得A ，B 的坐标，再求面积.【详解】（Ⅰ）因为曲线1C的参数方程为23x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得：()()22235x y -+-=，即：224680x y x y +--+=，又因为cos ,sin x y ρθρθ==，代入上式得曲线1C ：24cos 6sin 80ρρθρθ--+=；（Ⅱ）因为曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，所以22sin ρρθ=，所以2220x y y +-=， 联立方程2222468020x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩， ∴()0,2A ，()1,1B ， ∴12112AOB S =⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．设a ，b 均为正数，且222a b +=，证明：（Ⅰ）()33()4a b a b ++≥；2≤.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）利用分析法、作差法即可证明不等式.（Ⅱ）将不等式两边平方，利用分析法即可证明.【详解】（Ⅰ）∵222a b +=，要证()33()4a b a b ++≥，只需要证明，()2443322a b ab ba a b +++≥+，也就是要证明4433442220a b ab ba a b a b +++---≥，即证()20ab a b -≥，∵a ，b 均为正数，∴()20ab a b -≥，∴()33()4a b a b ++≥；（Ⅱ）∵a ，b 均为正数，∴a b +≥，∴22()a b +≥，≤≤，又∵222a b +=2≤.【点睛】本题考考查了分析法、作差法、基本不等式证明不等式，属于基础题.。
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学三模试卷1(问卷) (含答案解析)
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学三模试卷1（问卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设i 为虚数单位，则复数3−4i i=( )A. −4−3iB. −4+3iC. 4+3iD. 4−3i 2. 集合A ={x |−2<x <3}，B ={x ∈Z |x 2−5x <0}，则A ∩B =( )A. {1,2}B. {2,3}C. {1,2，3}D. {2,3，4}3. 命题“∀x ∈(0,π2)，tanx >0”的否定是( )A. ∃x 0∈(0,π2)，tanx 0≤0 B. ∃x 0∉(0,π2)，tanx 0≤0 C. ∀x ∈(0,π2)，tanx ≤0 D. ∃x 0∈(0,π2)，tanx 0>0 4. 在等差数列{a n }中，a 1+a 5=8，a 4=7，则a 5=( )A. 11B. 10C. 7D. 3 5. 若角A 的终边过点(−4,−3)，则sin2A 的值为( )A. −2425B. −725C. 2425D. 7256. 某校5人参加头脑奥林匹克竞赛选拔考试，已知这5人的平均考试成绩为81分，其中4人的成绩分别为73分、82分、82分、84分，由这5人得分所组成的一组数据的中位数是( )A. 81B. 82C. 83D. 847. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E,F,G,H 分别为A 1D 1,C 1D 1,BC,C 1C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角大小等于( )．A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°8. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，且AB =4，BD =1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 4 B. 2 C. 2√3 D. 14 9. 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)是抛物线y 2=2px(p >0)上的两点，并且满足OA ⊥OB.则y 1y 2等于( ) A. −4p 2B. 4p 2C. −2p 2D. 2p 210. 四面体ABCD 的外接球为O ，AD ⊥平面ABC ，AD =2，∠ACB =30°，AB =√3，则球O 的表面积为( )A. 32πB. 16πC. 12πD.223π11. 已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，若E 上存在一点P 使得|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=b ，则E 的离心率的取值范围是( )A. [√52,+∞) B. (1,√52] C. [√5,+∞) D. (1,√5]12. 若函数f(x)=|4x −x 2|+2a −8至少有3个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,3)B. (−∞,3]C. [2,3)D. [2,3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 今有四张卡片上分别写有“好”、“好”、“学”、“习”四个字，现将其随机排成一行，则恰好排成“好好学习”的概率是 _______．14. 已知 f(x)是定义在R 上的奇函数，当 x <0时，f(x)=log 2(2−x)，则f(0)+f(2)=______． 15. 若函数y =2cosωx 在区间[0,2π3]上递减，且有最小值1，则ω的值可以是____． 16. 设等差数列{a n }满足a 2=5，a 6+a 8=30，则数列{1a n 2−1}的前n 项的和等于______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，cosA =√33，c =√3，a =3√2． (Ⅰ)求sin C 的值； (Ⅱ)求△ABC 的面积．18. 某学校在高二年级学生中进行了一次有关数学学习时长与学习效果的跟踪调查，为期一个月，共调查了120人.其中日平均学习数学时间超过40分钟的有70人，不超过40分钟的有50人.在一个月后的月考成绩中，日平均学习数学时间超过40分钟的学生中有42人成绩提升，不超过40分钟的学生中有18人成绩提升． (Ⅰ)根据以上数据建立一个2×2的列联表； 2×2的列联表：有提升没有提升合计超过40分钟不超过40分钟合计(Ⅱ)画出等高条形图；(Ⅲ)检验学习时长是否与成绩提升有关，可靠性有多大．P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001k 2.7063.8415.0246.63510.828，其中n=a+b+c+d.附：K2=2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°(1)证明：AB⊥A1C(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求点A到平面BB1C1C的距离．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F2(1,0),离心率为e=12.(1)求椭圆的方程:(2)设直线y=kx+1与椭圆相交于A.B两点.M,N分别为线段AF2,BF2的中点,若坐标原点O在以MN为直径的圆上,求k的值.21.已知函数f(x)=2x−e x+1(Ⅰ)求f(x)的最大值；(Ⅱ)已知x∈(0,1),af(x)<tanx,求a的取值范围。
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学三模试卷(理科)(问卷) (解析版)
解： ＝ ．
故选：A．
2．已知集合A＝{x|（x﹣2）（x+2）≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．∅B．{0，1，2}
C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．
解：∵集合A＝{x|（x﹣2）（x+2）≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，
A． B．
C． D．
【分析】作出y＝f（x）的函数图象，根据y＝f（x）和y＝logax的图象有5个交点列不等式组得出a的范围．
解：当x∈[0，2]时，f（x）＝42﹣|x﹣1|﹣4，
故f（x）在[0，2]上的函数图象关于直线Байду номын сангаас＝1对称，
又任意实数x∈[2k﹣2，2k+1﹣2]（k∈N，k≥2），都有 ，
A． B． C． D．
6．某校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是（ ）
A．85B．85.5C．86D．86.5
7．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（ ）
3．命题P：∀x∈R，x2+1≥1，则￢P是（ ）
A．∀x∈R，x2+1＜1B．∀x∈R，x2+1≥1
C． D．
4．已知等差数列{an}满足a1+a3+a5＝18，a3+a5+a7＝30，则a2+a4+a6＝（ ）
A．20B．24C．26D．28
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学三模试卷2(问答) (含答案解析)
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学三模试卷2（问答）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x>0}，B={x|x2<1}，则A∪B=()A. (0,+∞)B. (0,1)C. (−1,+∞)D. (−1,0)2.已知i为虚数单位，若11+i=a+bi(a,b∈R)，则a b=()A. 1B. √2C. √22D. 23.已知0<a<b<1<c，则()A. a b>a aB. log c a>log c bC. c a<c cD. log b c>log b a4.设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是()A. 若l||α，l||β，则α||βB. 若l||α，l⊥β，则α⊥βC. 若α⊥β，l⊥α，则l||βD. 若α⊥β，l||α，则l⊥β5.(2x+1)(1−1x )5的展开式的常数项是()A. −10B. −9C. 11D. 96.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S6=2S3，则S12S3=()A. 3B. 4C. 13D. 157.在下列区间中，函数f(x)=√x−3x+4的零点所在的区间为()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)8.将函数的图像向右平移12个单位长度后得到g(x)的图像，则()A. g(x)=sin(πx−12) B. g(x)=cosπxC. g(x)=sin(πx+12) D. g(x)=−cosπx9.正方体的边长为2，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为()A. 12πB. −125πC. 0D. 以上都不对10.函数f(x)=|x−1|−1，x∈[0,3]的值域是()A. [0,1]B. [0,3]C. [−1,0]D. [−1,1]11.已知点F为抛物线y2=x的焦点，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，x轴上一点M(−14,0)，若∠AMB=π4，则|AB|=()A. √3B. 2+2√2C. 3+2√2D. 312.若函数f(x)=(x+1)e x，则下列命题正确的是()A. 对任意m<−1e2 ，都存在x∈R，使得f(x)<mB. 对任意m>−1e2 ，都存在x∈R，使得f(x)<mC. 对任意x ∈R ，都存在m <−1e 2 ，使得f(x)<m D. 对任意x ∈R ，都存在m >−1e 2 ，使得f(x)<m二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y 满足约束条件{1≤x +y ≤2x ≥0y ≥0，则z =2x +y 的最大值为______ ．14. 在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为CD 中点，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=_． 15. 已知双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过左焦点F 1作斜率为√33的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是______ ．16. 已知数列{a n }满足a 1=34，a n+1−a n =2n +1，则数列{1a n}的前100项和S 100=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c ，且asin 2A+B 2+csin 2B+C 2=54b ．(1)求ba+c 的；(2)若△ABC 的面积S =2√2，cosB =13，求△ABC 的周长．18. 如图，在三棱锥P −ABC 中，AB ⊥BC ，AB =BC =12PA ，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．(1)求证：OD//平面PAB ；(2)求直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值．19.从某校高三年级中随机抽取100名学生，对其高校招生体检表中的视图情况进行统计，得到如．图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在0.3～0.5的概率为110(1)求a，b的值；(2)若某大学A专业的报考要求之一是视力在0.9以上，则对这100人中能报考A专业的学生采用按视力分层抽样的方法抽取8人，调查他们对A专业的了解程度，现从这8人中随机抽取3人进行是否有意向报考该大学A专业的调查，记抽到的学生中视力在1.1～1.3的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．20. 已知椭圆x 25+y 24=1，过右焦点F 2的直线l 交椭圆于M ，N 两点．(Ⅰ)若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−83，求直线l 的方程； (Ⅱ)若直线l 的斜率存在，线段MN 的中垂线与x 轴相交于点P(a,0)，求实数a 的取值范围．21. 已知函数f (x )=x 22+(1−k )x −klnx ．(Ⅰ)讨论f (x )的单调性；(Ⅱ)若k 为正数，且存在x 0，使得f (x 0)<32−k 2，求k 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为√3x −y +2√3=0，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2(sinθ+cosθ)． (1)求曲线C 的普通方程；(2)过点P(1,0)作直线l 的垂线交曲线C 于M ，N 两点，求1|PM|+1|PN|的值．23.已知函数f(x)=|x−2|−|2x−2|(Ⅰ)求不等式f(x)+1>0的解集；(Ⅱ)当x∈R时，f(x)<−x+a恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A ={x|x >0}， B ={x|x 2<1}={x|−1<x <1}， ∴A ∪B ={x|x >−1}=(−1,+∞)． 故选：C ．先求出集合A ，B ，由此能求出A ∪B ．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：B解析： 【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a ，b 的值，则答案可求． 【解答】解：由11+i =1−i 1+i 1−i =12−12i =a +bi ， 得a =12,b =−12， ∴a b =(12)−12=√12=√2．故选B ．3.答案：C解析： 【分析】本题考查了不等式的基本性质和指数函数和对数函数的性质，属于基础题． 根据不等式的基本性质和指数函数和对数函数的性质即可判断． 【解答】解：因为0<a <b <1<c ， 所以a b <a a ，故A 错误； log c a <log c b ，故B 错误；构造函数f(x)=c x(c>1)，因为a<c，所以c a<c c，故C正确；log b c<log b a，故D错误．故选C．4.答案：B解析：【分析】本题考查空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，属于基础题．根据相关性质定理及判定定理逐一判断即可.【解答】解：若l//α , l//β，则平面α,β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；若l//α , l⊥β，根据线面平行的性质以及面面平行的判定定理，可得B正确；若α⊥β, l⊥α，则l可能在β内，故C错误；若α⊥β, l//α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选B．5.答案：B解析：【分析】本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题．(2x+1)(1−1x )5=(2x+1)·(1−5x+10·1x2−10·1x3+5·1x4−1x5)，分成两类相加，即可得到答案．【解答】解：(2x+1)(1−1x )5=(2x+1)·(1−5x+10·1x2−10·1x3+5·1x4−1x5)，故展开式中的常数项是2×(−5)+1=−9．故选B．6.答案：B解析：解：∵数列{a n}是等比数列，∴S3，S6−S3，S9−S6，S12−S9构成等比数列，又S6=2S3，∴(S6−S3)2=S3⋅(S9−S6)，即S32=S3(S9−2S3)，得S9=3S3，再由S12−S9=S3⋅13=S3，得S12=S9+S3=4S3，∴S12S3=4．故选B．由等比数列的性质得到S3，S6−S3，S9−S6构成等比数列，再由等比中项的概念列式求得S9，然后由等比数列的通项公式可得S 12=4S 3，答案可求．本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的前n 项和，是中档题．7.答案：B解析： 【分析】本题主要考查，函数零点存在性定理，属于基础题． 根据函数零点存在性定理分析求解即可． 【解答】解：函数f (x)=√x −3x +4在[0,+∞)上连续，f(0)=3>0，f(1)=2>0，f(2)=√2−5<0，f(3)=√3−23<0，f(4)=−75<0， 即f(1)·f(2)<0，故函数f (x)=√x −3x +4的零点所在的区间为(1,2)， 故选B ．8.答案：D解析： 【分析】本题主要考查y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，考查了诱导公式的应用，属于基础题． 由条件利用y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，再结合诱导公式进行化简解析式，得出结论． 【解答】解：将函数f(x)=sinπx 的图象向右平移12个单位长度后， 得到g(x)=sin[π(x −12)]=sin(πx −π2)=−cosπx 的图象， 故选：D ．9.答案：A解析： 【分析】本题考查球的表面积的求法，正方体的外接球，属于简单题．由题得正方体的体对角线为球的直径，求得球半径R =√3，由此能求出球的表面积． 【解答】解：∵棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，即球的直径为正方体的体对角线， ∴(2R)2=22+22+22=12， 解得球半径R =√3，∴球的表面积S =4π(√3)2=12π．10.答案：D解析： 【分析】本题考查函数值域的求法，属于基础题． 判断单调性，代值计算可得答案． 【解答】解：∵函数f(x)=|x −1|−1， x ∈[0,3]，∴当x =1时，f(x)min =f(1)=−1， 当x =3时，f(x)max =f(3)=1，∴f(x)=|x −1|−1，x ∈[0,3]的值域为[−1,1]， 故选D ．11.答案：C解析：解：设直线l 的方程为x =my +14，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{x =my +14y 2=x ，消去x 并化简整理可得y 2−my −14=0， ∴y 1+y 2=m ，y 1y 2=−14，∴x 1x 2=y 12y 22=116，x 1+x 2=m(y 1+y 2)+12=m 2+12， ∵tan∠AMB =tan(∠AMF +∠BMF)， ∴y 1x 1+14+−y 2x 2+141+y 1y 2(x 1+14)(x 2+14)=y 1(my 2+12)−y 2(my 1+12)(my 1+12)(my 2+12)+y 1y 2=12(y 1−y 2)(m 2+1)y 1y 2+12m(y 1+y 2)+14=2(y 1−y 2)m 2=1，∴2(y 1−y 2)=m 2，∴m 2=2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2√m 2+1， 解得m 2=2+2√2∴|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+12=m 2+1=3+2√2，故选：C ．根据韦达定理，结合tan∠AMB =tan(∠AMF +∠BMF)，即可求出2(y 1−y 2)=m 2，根据弦长公式即可求出．本题考查了抛物线的性质、直线方程、直线与抛物线的交点，对学生的综合能力有很高的要求，属于中档题解析：【分析】本题考查命题的真假判断与应用、利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属中档题．对函数f(x)=(x+1)e x，求导数f′(x)，令f′(x)=0，求得x值，然后列表，根据导数符号即可判断极值点求得极值，即可得出正确答案．【解答】解：令f′(x)=(x+2)e x=0，得x=−2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(−∞,−2)−2(−2,+∞)y′−0+y↘极小值↗所以，当x=−2时，函数有极小值，且f(−2)=−1e2 ，如图．故对任意m>−1e2 ，都存在x∈R，使得f(x)<m．故选B．13.答案：4解析：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，显然直线z =2x +y 过(2,0)时，z 最大，z 的最大值是4． 画出满足条件的平面区域，结合图象求出z 的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．14.答案：85解析： 【分析】本题考查向量加法、向量数乘的几何意义，以及相等向量的概念，向量的数乘运算，向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理． 【解答】解：如图，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ−12μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(12λ+μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以{λ−12μ=112λ+μ=1解得λ=65,μ=25，λ+μ=85 故答案为85．15.答案：√3解析：解：由题意，过焦点F1(−c,0)的直线l的方程为：y=√33(x+c)，∵直线l交双曲线右支于点P，且y轴平分线F1P，∴直l交y轴于点Q(0,√33c)．设点P的坐标为(x,y)，则x+c=2c，y=2√3c3，∴P点坐标(c,2√3c3)，代入双曲线方程得：c2a2−(2√3c3)2b2=1又∵c2=a2+b2，∴c2=3a2，∴c=√3a∴e=ca=√3故答案为：√3．先求过焦点F1(−c,0)的直线l的方程，进而可得P的坐标，代入双曲线方程，结合几何量之间的关系，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，确定P的坐标是关键．16.答案：400201解析：【分析】本题考查了数列递推关系、累加法与裂项相消法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用已知的递推关系和累加法可得a n，即可得1a n，利用裂项求和方法即可得出S n，进而得解S100．【解答】解：∵a n+1−a n=2n+1，∴n≥2时，a n−a n−1=2n−1．∴a n=(a n−a n−1)+⋯+(a2−a1)+a1=(2n−1)+⋯+(2×2−1)+3 4=n2−14，(n≥2)当n=1时a1=34也满足上式，∴a n =n 2−14，(n ∈N ∗) ∴1a n=44n 2−1=2(12n−1−12n+1)，(n ∈N ∗).∴数列{1a n}的前n 项和S n =2[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=2(1−12n +1) =4n2n +1(n ∈N ∗). 所以数列{1a n}的前100项和S 100=400200+1=400201 故答案为：400201．17.答案：解：(1)∵在△ABC 中，asin 2A+B 2+csin 2B+C 2=54b ，∴a ×1−cos(A+B)2+c ×1−cos(B+C)2=5b 4，∴a +acosC +c +ccosA =5b 2，由正弦定理可得，sinA +sinC +sinAcosC +sinCcosA =52sinB ， ∴sinA +sinC +sin(A +C)=52sinB ，∴sinA +sinC +sinB =52sinB ， 故sinA +sinC =32sinB ，由正弦定理，ba+c =sinBsinA+sinC =23．(2)∵cosB =13，∴sinB =2√23，∴面积S =12acsinB =2√2，∴ac =6，由余弦定理可得，13=a 2+c 2−b 22ac=(a+c)2−12−4(a+c)2912，∴a +c =12√55，b =8√55，故△ABC 的周长为a +c +b =4√5．解析：本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，是中档题． (1)由二倍角公式化简得a +acosC +c +ccosA =5b 2，再由正弦定理和两角和与差的三角函数公式可得sinA +sinC =32sinB ，即可得出ba+c 的值；(2)由面积S =12acsinB =2√2，得ac =6，由余弦定理可得a +c =12√55，则b =8√55，即可得出周长． 18.答案：证明：(1)∵点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，∴OD//PA又∵OD ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ∴OD//平面PAB ； (2)连接OB ，∵AB =BC ，点O 是AC 的中点，∴OB ⊥AC又∵OP ⊥底面ABC ．故可以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 令AB =BC =12PA =1，AB ⊥BC ， 则OA =OB =OC =√22，OP =√142则O(0,0，0)，B(√22,0，0)，C(0,√22,0)，P(0,0，√142)，D(0,√24,√144)∴OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√24,√144)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,0)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,−√142) 设m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)是平面PBC 的一个法向量 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√22x +√22y =0√22y −√142z =0令z =1，则m ⃗⃗⃗ =(√7,√7,1) 直线OD 与平面PBC 所成角θ满足：sinθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21030 故直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为√21030解析：(1)根据三角形中位线定理可得OD//PA ，再由线面平行的判定定理得到OD//平面PAB ； (2)以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量和直线OD 的方向向量，代入向量夹角公式，可得直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，二面角的求法，熟练掌握空间线面关系判定的方法和步骤是解答(1)的关键．建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答(2)的关键．19.答案：解：(1)因为b ×0.2=0.1，所以b =0.50，因为(b +0.75+1.75+a +0.75+0.25)×0.2=1 所以a =1.00；(2)现按分层抽样的方法从视力在0.9以上中抽取8人，则0.9～1.1有4人，1.1～1.3有3人，1.5以上有1人ξ的可能取值为0，1，2，3，概率为：P(ξ=0)=C 53C 83=1056,P(ξ=1)=C 52⋅C 31C 83=3056，P(ξ=2)=C 51⋅C 32C 83=1556,P(ξ=3)=C 33C 83=156，所以其分布列如下：则E(ξ)=6356=98．解析：(1)由频率分布直方图求出求解a ，b 即可．(2)求出ξ可能的取值为0，1，2，3，求出概率，得到分布列，由此能求出E(ξ)．本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．20.答案：解：(Ⅰ)当直线l 的斜率不存在时，可得M(1,4√55)，N(1,−4√55)， OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1−165=−115，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 直线l 的方程为y =k(x −1)，① 椭圆x 25+y 24=1，②由①②可得(4+5k 2)x 2−10k 2x +5k 2−20=0， ∴x 1+x 2=10k 24+5k 2，x 1x 2=5k 2−204+5k 2，∴y 1y 2=k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]=k 2[5k 2−204+5k 2−10k 24+5k 2+1]=−16k 24+5k 2，∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=−11k 2−205k 2+4=−83，解得k 2=4， ∴k =±2，即直线l 的方程为y =2(x −1)或y =−2(x −1)； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知y 1+y 2=k(x 1+x 2)−2k =10k 34+5k 2−2k =−8k 4+5k 2，设MN 的中点为Q ，即Q(5k 24+5k 2,−4k4+5k 2)，∵k PQ ⋅k MN =−1，直线PQ 的方程是y +4k 4+5k =−1k (x −5k 24+5k )，令y =0解得x =a =k 25k 2+4=15+4k 2，当k =0时，M ，N 为椭圆长轴的两个端点，则点P 与原点重合， 当k ≠0时，a ∈(0,15)， 综上所述，存在点P 且a ∈[0,15).解析：(Ⅰ)讨论直线l 的斜率不存在和存在，设出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，求得斜率k ，即可得到所求直线方程；(Ⅱ)运用中点坐标公式可得MN 的中点Q 的坐标，k PQ ⋅k MN =−1，求得PQ 的方程，可令y =0，可得a 关于k 的关系式，讨论k 是否为0，即可得到所求范围．本题考查直线方程与椭圆方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，考查两直线垂直的条件，以及分类讨论思想方法，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=x +1−k −kx=x 2+(1−k)x−kx=(x+1)(x−k)x，(ⅰ)k ≤0时，f′(x)>0， f(x)在(0,+∞)上单调递增； (ⅰ)k >0时，x ∈(0,k)，f′(x)<0； x ∈(k,+∞)，f′(x)>0， ∴f(x)在(0,k)上单调递减， f(x)在(k,+∞)上单调递增； (Ⅱ)因k >0，由(Ⅰ)知f(x)+k 2−32的最小值为f(k)+k 2−32=k 22+k −klnk −32，由题意得k 22+k −klnk −32<0，即k2+1−lnk −32k <0． 令g(k)=k 2+1−lnk −32k ， 则g′(k)=12−1k +32k2=k 2−2k+32k 2>0，∴g(k)在(0,+∞)上单调递增， 又g(1)=0，∴k ∈(0,1)时，g(k)<0， 于是k 22+k −klnk −32<0；k ∈(1,+∞)时，g(k)>0， 于是k 22+k −klnk −32>0．故k 的取值范围为0<k <1．解析：本题主要考查利用导数求函数的单调性研及函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(Ⅰ)求出函数的定义域，求导，讨论k 的取值，分别解出f′(x)>0，f′(x)<0即可得出； (Ⅱ)由(Ⅰ)可求得函数的最小值，f(x 0)<32−k 2，将其转化成k2+1−lnk −32k <0，构造辅助函数，判断其单调性，即可求得k 的取值范围．22.答案：解(1)由题意知ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，所以曲线C 的普通方程为：x 2+y 2−2x −2y =0． (2)∵直线l 的斜率为√3，∴直线MN 的斜率为：−√33，∴直线MN 的参数方程为：{x =1−√32ty =12t(t 为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程得t 2−t −1=0， 设M ，N 对应的参数为t 1，t 2， 则t 1+t 2=1，t 1t 2=−1， ∴1|PM|+1|PN|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√1+4=√5．解析：(1)由题意知ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，所以曲线C 的普通方程为：x 2+y 2−2x −2y =0； (2)先求出直线MN 的参数方程，再根据参数的几何意义可得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)=|x −2|−|2x −2|，当x ≤1时，f(x)=−(x −2)+(2x −2)=x ， ∴不等式f(x)+1>0转化为x +1>0，解得−1<x ≤1；当1<x ≤2时，f(x)=−(x −2)−(2x −2)=−3x +4，∴不等式f(x)+1>0化为−3x +5>0，解得1<x <53；当x >2时，f(x)=(x −2)−(2x −2)=−x ， 不等式f(x)+1>0化为−x +1>0，解得x ∈⌀； 综上，不等式f(x)+1>0的解集为{x|−1<x <53}； (Ⅱ)由(Ⅰ)知，函数f(x)={x,x ≤1−3x +4,1<x ≤2−x,x >2；画出f(x)的图象如图所示；由图象知，当x =1时，令f(x)<−x +a ， 即1<−1+a ，解得a >2； ∴实数a 的取值范围是(2,+∞)．解析：(Ⅰ)利用分类讨论法去绝对值，求不等式f(x)+1>0的解集即可；(Ⅱ)利用分段函数画出f(x)的图象，结合图象求出不等式f(x)<−x +a 恒成立时a 的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，是中档题．。
2020年新疆高考数学三诊试卷(理科)(问卷)
2020年新疆高考数学三诊试卷（理科）（问卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合2{|20}A x x x =--„，3{|log 1}B x x =„，则(A B =I ) A ．[1-，2]B ．(0，1]C ．(0，2]D ．[1，3]2．（5分）已知复数z 满足11zi z+=--（其中i 是虚数单位），则|1|(z += )A ．1B C D ．23．（5分）方程40lnx x +-=的实根所在的区间为( ) A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)4．（5分）已知4sin()45x π-=，则sin 2(x = )A ．1825B ．725C ．725-D ．1625-5．（5分）已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．若l m ⊥，l n ⊥，且m ，n α⊂，则l α⊥B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβC ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥6．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( ) A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种7．（5分）把函数()sin()6f x x π=+的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到图象上所有点向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象．则下列命题正确的是( )A ．函数()g x 在区间[,]44k k ππππ-+，()k Z ∈上单调递减 B ．函数()g x 在区间[,]63k k ππππ-+，()k Z ∈上单调递增C ．函数()g x 的图象关于直线2k x π=，()k Z ∈对称D ．函数()g x 的图象关于点(,0)23k ππ+，()k Z ∈对称 8．（5分）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度( ) A ．5.5尺B ．4.5尺C ．3.5尺D ．2.5尺9．（5分）函数2()sin (1)f x x ln x x =+-g的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．10．（5分）多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：顶点数+表面数-棱长数2=．在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体，例如富勒烯60C （结构图如图）是单纯用碳原子组成的稳定分子，具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形．除60C 外具有封闭笼状结构的富勒烯还可能有28C ，32C ，50C ，70C ，84C ，240C ，540C ，等，则84C 结构含有正六边形的个数为( )A ．12B ．24C ．30D ．3211．（5分）过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右焦点F 的直线l 与C 交于P ，Q 两点，2QP PF =u u u r u u u r ，若0OP FQ =u u u r u u u rg ，则C 的离心率为( )A B ．2 C D 12．（5分）若函数()f x 满足()(())f x x f x lnx '=-，且11()f e e=，则函数()(f x )A ．既无极大值又无极小值B ．有极小值无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．有极大值无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知向量a r为单位向量，(1,1)b =r ，且0()a b R λλ-=∈r r r ，则||λ= ．14．（5分）已知等腰直角三角形OAB 的直角顶点O 位于原点，另外两个顶点在抛物线26y x =上，则OAB ∆的面积是 ．15．（5分）甲、乙、丙、丁四个人背后有4个号码，赵同学说：甲是2号，乙是3号；钱同学说：丙是2号，乙是4号；孙同学说：丁是2号，丙是3号；李同学说：丁是1号，乙是3号，他们每人都只说对了一半，则丙背后的号码是 ．16．（5分）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且2123n n S S n n ++=+，若1n n a a +<，则首项1a 的取值范围是 ．三、解答题：第17-21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤.17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积14S abc =，且2sin sin 2sin sin 2sin b B a A B C C -=-． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值．18．（12分）如图在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，M ，N 在1DD 上，且1D M MN ND ==．（Ⅰ）证明：//MF 平面1B EN ；（Ⅱ）求平面1B EN 与底面ABCD 所成锐二面角的余弦值．。