高中数学 2.2.2直线与平面平行的性质 新人教A版必修2
高中数学人教A版必修2第二章2.2.2平面与平面平行的判定课件
④两个平面分别经过两条平行直线,则
这两个平面平行.
(×)
⑤过已知平面外一条直线,必能作出与已知
平面平行的平面.
(×)
练习：已知两个全等的矩形ABCD和 ABEF相交于AB， P，Q，R分别是AE，BD，AB的中点。
求证：平面PQR∥平面BCE。
D
C Q
A F
R
B
P
E
（E)平面 内不共线的三点到 的距离相等
（F) // r ， // r.
(G) α⊥AA’，β⊥AA’
例1.如图,在长方体 ABCD A'B'C'D' 中, 求证: 平面C'DB // 平面AB'D' .
分析：只要证一个平面内有
两条相交直线和另一个平面平 行即可．
D' A'
C' B'
D A
C B
2.2.2 平面与平面平行的判定
回顾：两个平面的位置关系
位置关系 公共点 符号表示
两平面平行 没有公共点
α∥β
两平面相交 有一条公共直线
α∩β=a
图形表示
提问1:平面 内有一条直线与平面 平行， 则 和 平行吗？
提问2:平面 内有两条平行直线与平面 平行，则 和 平行吗？
提问3:平面 内有两条相交直线与平面
（1）已知平面 , 和直线m, n ，
若 m , n , m // , n // ，则 // 错误
（2）一个平面 内两条不平行的直线都平行于另
一平面 ，则 //
正确
b
a
m n
P
2、平面和平面平行的条件可以是（D,F,G）
（A） 内有无数多条直线都与 平行 （B）直线 a //, a // , （C）直线 a ，直线 b ，且a // ,b // （D） 内的任何一条直线都与 平行
人教A版必修2第二章2.2.3《直线与平面平行的性质》精选题高频考点(含答案)-1
人教A 版必修2第二章2.2.3《直线与平面平行的性质》精选题高频考点（含答案)-1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面 2．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，M N ，分别为AC PC ，上的点，且MN ∥平面PAD ，则（ ）A ．MN PD PB ．MN PA ∥C ．MN AD P D ．以上均有可能 3．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 上一点，且13AE ED =，F 为PC 上一点，当//PA 平面EBF 时，PF FC=（ ）A ．23B ．14C ．13D ．12 4．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，121AB BC AA ，===，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ）A．3 BC．5 D．5 5．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1AA 的中点，且平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则（ ）A ．115DG DD =B ．113AH HC = C ．114DG DD = D ．138AH HC = 6．如图，1111ABCD A B C D -是正方体，E 为棱1BB 上的动点（不含端点），平面11AC E 与底面ABCD 的交线为l ，则l 与AC 的位置关系是（ ）A ．异面B ．平行C ．相交D ．与E 点位置有关 7．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，下列命题中正确的有（ ） ①若m α⊥，m β⊥，则//αβ②若//m α，m β⊂，n αβ=I ，则//m n③若//m α，//m β，则//αβ④若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④ 8．已知//,a b αα⊂，则直线a 与直线b 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交或异面C ．异面D ．平行或异面 9．已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -,点E 是棱AB 的中点，12CF FC =u u u r u u u u r ，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1PB P 面DEF ，则PC 的长度范围为（ ）A ．B ．5⎡⎢⎣C ．5⎡⎢⎣D ．5⎡⎢⎣10．如图，各棱长均为a 的正三棱柱111ABC A B C -，M 、N 分别为线段1A B 、1B C 上的动点，且MN ∥平面11ACC A ，M ，N 中点S 111ABC A B C -的体积为（ ）A B C ．3 D ．11．点E ，F 分别是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1PA ∥面AEF ，则1PA 的长度范围为（ ）A ．1,2⎡⎢⎣⎦B ．42⎡⎢⎣⎦C ．342⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP ⊥AC ；②EP ∥BD ；③EP ∥平面SBD ；④EP ⊥平面SAC ，其中恒成立的为( )A ．①③B ．③④C ．①②D ．②③④13．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面交线的位置关系是（ ）A ．异面B ．相交C ．不能确定D ．平行 14．如图所示，a P α，A 是α的另一侧的点，B C D a ∈，，，线段AB AC AD ，，分别交α于点EFG ，，，若445BD CF AF ===，，，则EG =（ ）A ．169B ．209C ．94D ．5415．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，AC 交BD 于点O ，E 为AD 中点，F 在PA 上，AP AF λ=，//PC 平面BEF ，则λ的值为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3 16．给出下列关于互不相同的直线,,l m n 和平面,,αβγ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，,l m αβ⊂⊂，则//αβ；②若//,,l m αβαβ⊂⊂，则//l m ；③若,,,//l m n l αββγγαγ===I I I ，则//m n ．其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．317．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当P A ∥平面EBF 时，PF FC＝（ ）A ．23B ．14C ．13D ．12 18．如果直线m//直线n ，且m//平面α，那么n 与α的位置关系是（） A ．相交 B ．n//α C ．n ⊂α D ．n//α或n ⊂α 19．若直线a 平行于平面α，则下列结论错误的是（ ）A ．直线a 上的点到平面α的距离相等B ．直线a 平行于平面α内的所有直线C ．平面α内有无数条直线与直线a 平行D ．平面α内存在无数条直线与直线a 所成的角为90o20．已知l ，m 为两条不同直线，α，β为两个不同平面.则下列命题正确的是（ ） A ．若l αP ，m α⊂，则l m PB ．若l αP ，m αP ，则l m PC ．若l α⊂，m β⊂，αβ∥，则l m PD ．若l αP ，l β∥，m αβ=I ，则l m P二、填空题21．如图,正方体1111ABCD A B C D -中, AB =点E 为11A D 的中点,点F 在11C D 上,若//EF 平面1ACB ,则EF =________．22．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1AA 的中点，且平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则1DG DD =______，1AH HC =______. 23．如图所示，a ∥α，A 是α的另一侧的点，B 、C 、D ∈a ，线段AB 、AC 、AD 交α于E 、F 、G ，若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝________．24．如图，E 是棱长为1正方体1111ABCD A B C D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1B CE ，则线段CE 的长度为___________．25．如图所示，四面体ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形．则直线CD 与平面EFGH 的关系是______．26．如图在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中正确的有______.(填上所有正确命题的序号)AC BD ⊥①，AC BD =②，//AC ③截面PQMN ，④异面直线PM 与BD 所成的角为45o ．27．在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为4的正三角形，10SA SB SC ===，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H 且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB P 平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为______．28．已知l 、m 是两条直线，α是平面，若要得到“l ∥α”，则需要在条件“m ⊂α，l ∥m ”中另外添加的一个条件是______.29．如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，EB ＝2DC ，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．则直线DP 与平面ABC 的位置关系是________．30．正方体1111ABCD A B C D -中,2AB =,点E 为AD 的中点,点F 在1CC 上,若//EF 平面1AB C ,则EF =_____.31．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，过11A B C ，，的平面与平面ABC 的交线为l ，则l 与直线11A C 的位置关系为________.32．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，其侧面展开图是边长为8的正方形，E F ，分别是侧棱11AA CC ，上的动点，且8AE CF +=，P 在棱1AA 上，且2AP =，若EF P 平面PBD ，则CF =________.33．如图所示，在三棱柱111ABC A B C 中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，则与平面BCHG 平行的平面为________.34．如图（1）所示，已知正方形ABCD 中，E F ，分别是AB ，CD 的中点，将ADE V 沿DE 折起，如图（2）所示，则BF 与平面ADE 的位置关系是________.35．已知A 、B 、C 、D 四点不共面，且AB ∥平面α，CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G ，则四边形EFHG 是_______四边形.36．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________．37．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，111BB B D =，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题：.① 四棱锥11B BED F -的体积恒为定值；②存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD E ；③存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值；④存在无数个点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得CG P 平面1EBD ，也存在无数个点E ，对棱AD 上任意的点G ， 直线CG 与平面1EBD 均相交.其中真命题的是____________．（填出所有正确答案的序号）38．已正知方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 是平面AA 1D 1D 的中心，点Q 是B 1D 1上一点，且PQ ∥平面AB 1D ，则线段PQ 长为______．39．设,a b 是平面M 外两条直线，且//a M ，那么//a b 是//b M 的________条件.40． 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是平面AA 1D 1D 的中心，点Q 是平面A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1上一点，且PQ ∥平面AA 1B 1B ，则线段PQ 的长为________．三、解答题41．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD 为正三角形，2AD =，3AB =，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为棱PB 上一点（不与P 、B 重合），平面ADE 交棱PC 于点F .（1）求证：AD EF P ；（2）若二面角––B AC E ，求点B 到平面AEC 的距离. 42．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，且//BC AD ，2AD BC =，点Q 是线段AD 的中点，过BQ 的平面BQMN 交平面PCD 于MN ，且PQ AB ⊥，AP PD =，且120APD ∠=︒，24BD AB ==，30ADB ∠=︒.（1）求证：//BQ MN ；（2）求直线PA 与平面PCD 所成角的余弦值.43．如图所示的一块木料中，棱BC 平行于面A C ''.（1）要经过面A C ''内的一点P 和棱BC 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ （2）所画的线与平面AC 是什么位置关系？44．如图，已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1AA ，1CC 上的点，且1AE C F =.求证：四边形1EBFD 是平行四边形.45．如图所示，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 是PD 的中点、若M 是CD 上异于C ，D 的点，连接PM 交CE 于点G ，连接BM 交AC 于点H ，连接GH ，求证：GH //PB .46．已知如图，斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D 、D 1分别为AC 、A 1C 1上的点． （1）当1111A D D C 等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1？ （2）若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值．47．如图所示，已知三棱柱ABC-A'B'C'中，D 是BC 的中点，D'是B'C'的中点，设平面A'D'B∩平面ABC=a ，平面ADC'∩平面A'B'C'=b ，判断直线a ，b 的位置关系，并证明．48．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，且112BC AD ==，BC DC ⊥，60BAD ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点，PAD ∆为等边三角形，M 是棱PC 上的一点，设PM k MC=（M 与C 不重合）.（1）当1k =时，求三棱锥M BCE -的体积；（2）若//PA 平面BME ，求k 的值.49．如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且::AE EB AH HD m ==，::CF FB CG GD n ==.（1）证明：E ，F ，G ，H 四点共面.（2）m ，n 满足什么条件时，四边形EFGH 是平行四边形？50．如图，在四校锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，//PD 平面MAC ，PA PD ==4AB =.求证：M 为PB 的中点.参考答案1．A2．B3．B4．D5．D6．B7．A8．D9．B10．D11．B12．A13．D14．B15．D16．B17．D18．D19．B20．D21．222．163823．20 92425．平行26．①③④27．10 28．lα⊄29．平行3031．平行. 32．2. 33．平面1A EF 34．平行35．平行【答案】9 237．①②③④3839．充分不必要40．241．（1）证明见解析；（2.42．（1）证明见解析（243．（1）见解析（2）直线EF与平面AC平行直线,BE CF与平面AC相交. 44．证明见解析45．证明见解析46．（1）1；（2）1.47．直线a，b的位置关系是平行，证明见试题解析．48．（1）14；（2）1.49．（1）见解析（2）当m n时，四边形EFGH是平行四边形. 50．证明见解析。
2.2_直线、平面平行的判定及其性质 单元测试1_新人教A版必修2
高一数学必修二第二章《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》单元测试一、选择题(每题5分，总25分)1、若α//l ，α∈A ，则下列说法正确的是（ ）A 、过A 在平面α内可作无数条直线与l 平行B 、 过A 在平面α内仅可作一条直线与l 平行C 、 过A 在平面α内可作两条直线与l 平行D 、 与A 的位置有关2、b a //，P a =⋂α，则b 与α的关系为（ ）A 、 必相交B 、 必平行C 、 必在内D 、 以上均有可能3、下列结论中，正确的有( )①若a α,则a ∥α ②平面α∥平面β,a α,b β,则a ∥b③a ∥平面α,b α则a ∥b ④平面α∥β,点P ∈α,a ∥β,且P ∈a ，则aα A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4、下列命题中正确的命题的个数为( )①直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α;②若直线a 在平面α外，则a ∥α; ③若直线a ∥b,直线bα,则a ∥α; ④若直线a ∥b,b 平面α，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线.A.1B.2C.3D.45、若直线a∥直线b ，且a∥平面α，则b 与a 的位置关系是（ ）A 、一定平行B 、不平行C 、平行或相交D 、平行或在平面内三、解答题6、如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点. 求证：SA ∥平面MDB. (10分)7、如图,已知点M 、N 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的两棱A 1A 与A 1B 1的中点，P 是正方形ABCD 的中心， 求证：MN ∥平面PB 1C.(10分)8、如图，□EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH．(10分)9、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AP＝B1Q，N是PQ的中点，M是正方形ABB1A1的中心．求证：(1)MN∥平面B1D1；(2)MN∥A1C1．(15分)10、已知平行四边形ABCD与平行四边形ABEF共边AB，M、N分别在对角线AC、BF上，且AM∶AC＝FN∶FB．求证：MN∥平面ADF．(15分)11、如图，直线AC，DF被三个平行平面α、β、γ所截.①是否一定有AD∥BE∥CF；②求证：.(15分)。
直线与平面平行 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
∴AM＝2DC，AM∥DC，
∴AM∥GN，AM＝GN，∴四边形AMNG为平行四边形，
∴MN∥平面PAD.
∴MN∥AG.又MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，
课堂小结
1.直线与平面平行的判定定理
线线平行
线面平行
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与
此平面平行.
2.直线与平面平行的性质定理
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行.
3、等角定理
定理 如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
复习回顾
4、直线与平面有哪些位置关系？
(1)直线在平面内——有无数个公共点；
⊂
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点； ∩ =
直线在平面外
(3)直线与平面平行——没有公共点.
线线平行Βιβλιοθήκη 线面平行一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么
该直线与交线平行.
3．应用线面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤：
（1）利用性质定理在面内找平行线;
（2）证明直线与直线平行；
（3）说明两线与平面的位置关系（一条在面内，一条不在面内）；
（4）得出结论.
E
证明： 连接BD.
F
∵ AE EB,AF FD,
∴ EF / / BD.
又 EF 平面BCD,BD 平面BCD,
D
B
C
∴ EF / / 平面BCD.
今后要证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一
条与此直线平行的直线就可以了.
巩固训练
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，
2.2.2平面与平面平行的判定课件 新人教A版必修2
思考3：三角板的一条边所 在直线与桌面平行，这个三 角板所在平面与桌面平行吗？
A
思考4：三角板的两条边所在直线分别与桌 面平行，三角板所在平面与桌面平行吗？
思考5: 建筑师如何检验屋顶平面与水平面 是否平行？
思考6：一般地，如果平面α内有一条直线 平行于平面β，那么平面α与平面β一定平 行吗？如果平面α内有两条直线平行于平面 β，那么平面α与平面β一定平行吗？
定理 一个平面内的两条相交直线与另一 个平面平行，则这两个平面平行.
思考4:上述定理通常称为平面与平面平行的 判定定理，该定理用符号语言可怎样表述？
b a P
α
β
a , b , a b P,且 a // , b // //
思考5:在直线与平面平行的判定定理中， “a∥α ,b∥β ” ，可用什么条件替代？ 由此可得什么推论？ 推论 如果一个平 面内有两条相交直 线分别平行于另一 个平面内的两条直 线，那么这两个平 面平行.
N B
作业： P58练习：1， 3（做书上），2. P62习题2.2A组：7，8.
a α b
β
理论迁移
1 5730 p 2
t
例1 在正方体ABCD-A′B′C′D′中. 求证：平面AB′D′∥平面BC′D.
D′
A′ B′
C′
D
A B
C
例2 在三棱锥P-ABC中，点D、E、F分别 是△PAB、△PBC、△PAC的重心，求证： 平面DEF//平面ABC.
P F A D M E C
α β
知识探究(二):平面与平面平行的判定定理 思考1:对于平面α 、β ，你猜想在什么条件 下可保证平面α 与平面β 平行？ 思考2:设a，b是平面α 内的两条相交直线，且 a//β ，b//β . 在此条 件下，若α ∩β =l ，则 直线a、b与直线l 的位置 关系如何？
数学：2.2.2《平面与平面平行的判定》课件(新人教A版必修2)
教学目标
• 理解并掌握两平面平行的判定定理。会用这个定 理证明两个平面的平行。 • 教学重点：两个平面平行的判定定理及应用。 • 教学难点：两个平面平行的证明。
复习回顾：
1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线 与平面平行的方法呢? （1）定义法； （2）直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直 线平行，则该直线与此平面平行．
a b α β β α b a
事实上，
建筑师如何检验屋顶平面是否与 水平面平行？
两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行
a , b， ab=P a // b // 符号语言
线不在多 贵在相交 //
P b
a
图形语言
面面平行
转化
线面平行
转化
线线平行？
两个平面平行的判定定理： 变式探究
如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行 1.线面平行是否可用其它条件代替？ 推论 如果一个平面内有两条 相交 直线分 别平行于另一个平面内的两相交直线，那 么这两个平面平行。 a a , b， ab=P P b // a∥a' , a ' a' b' b∥ , b' b'
无限
转化
有限
启示?
两个平面平行的问题，可以转化为一个 平面内的直线与另一个平面平行的问题。 面面平行
转化
线面平行
2、如果平面α内的任意直线都平 行于平面β，则α∥β吗？
α
β
3、若平面α内有一条直线a平行 于平面β，则能保证α∥β吗？
人教A版必修二立体几何 直线、平面平行的判定及其性质——解答题篇常规运用
一、直线与平面平行1．判定定理2(1)证线面平行①若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α．②若a∥α，α∥β，a⊄β，则a∥β．(2)线面平行的性质①若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b．②若a∥α，a⊥β，则α⊥β．二、平面与平面平行1．判定定理2平面与平面平行的几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．一、直线与平面平行的判定1．(2015·海淀模拟)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，P A ＝PB ，且侧面P AB ⊥平面ABCD ，点E 是棱AB 的中点．(1)求证：CD ∥平面P AB ；【证明】(1)因为底面ABCD 是菱形，所以CD ∥AB ．又因为CD ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以CD ∥平面P AB ．2．(2015·南京检测)如图，在正三棱锥ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点．(1)求证：BF ∥平面A 1EC ；【证明】(1)连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1． 又因为F 为AC 中点，所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1．因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1．所以BE ∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE ． 又BF ⊄平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ， 所以BF ∥平面A 1EC ．3．(2014·安徽高考)如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217 ．点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．(1)证明：GH∥EF；【证明】(1)因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC．同理可证EF∥BC，因此GH∥EF．三、平面与平面平行的判定4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD．D1，B1C．∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，【证明】如图，连接B∴PN∥B1D1．又B1D1∥BD，∴PN∥BD．又PN⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD；∴PN∥平面A1BD．同理MN∥平面A1BD，又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD．5．(2015·西城模拟)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，BF＝3，G和H分别是CE和CF的中点．(2)求证：平面BDGH∥平面AEF；【证明】(2)在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF．设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF．又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF．6．(2015·南通模拟)如图所示，斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，试求ADDC的值【解】由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O得BC 1∥D 1O ，∴A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB． 又A 1D 1D 1C 1＝DC AD ，A 1OOB ＝1， ∴DC AD ＝1即ADDC＝1．[思想方法]1．对线面平行，面面平行的认识一般按照“定义—判定定理—性质定理—应用”的顺序．其中定义中的条件和结论是相互充要的，它既可以作为判定线面平行和面面平行的方法，又可以作为线面平行和面面平行的性质来应用．2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，其转化关系为在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．[易错防范]1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．2．线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断．3．解题时注意符号语言的规范应用．(2015·南通模拟)如图所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的中点．(1)证明AD1∥平面BDC1．(2)证明BD∥平面AB1D1．【证明】(1)∵D1，D分别为A1C1与AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，∴C1D1∥DA，且C1D1＝DA；∴四边形ADC1D1为平行四边形，∴AD1∥C1D，又AD1⊄平面BDC1，C1D⊂平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1．(2)连接D1D，∵BB1∥平面ACC1A1，BB1⊂平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，∴BB1∥D1D，又D1，D分别为A1C1AC中点，∴BB1＝DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形，∴BD∥B1D1，又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1∴BD∥平面AB1D1．1．(2012·北京高考)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．(1)求证：DE∥平面A1CB；【证明】(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC．又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB所以DE∥平面A1CB．2．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB ＝AA1＝2．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；【证明】(1)由题设知，BB1∥DD1，且BB1＝DD1；∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1．又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1．∵A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝B1C1＝BC；∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C．又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1∴A1B∥平面CD1B1．又∵BD∩A1B＝B，BD、A1B⊂平面A1BD∴平面A1BD∥平面CD1B1．3．如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG．【证明】(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF．(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG．又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG．4．(2014·长沙模拟)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M ，N 分别是AF ，BC 的中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ；【证明】(1)由三视图可知：AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∠CBF ＝π2．取BF 的中点G ，连接MG ，NG ，由M ，N 分别为AF ，BC 的中点， 得NG ∥CF ，MG ∥AB ∥EF ，又NG ⊄平面CDEF ，CF ⊂平面CDEF ；∴NG ∥平面CDEF ；同理MG ∥平面CDEF ； 又NG ∩MG ＝G ，NG 、MG ⊂平面MNG ∴平面MNG ∥平面CDEF ， 又MN ⊂平面MNG ， ∴MN ∥平面CDEF ．5．(2014·四川高考)在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．【证明】(2)取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知，O 为AC 1的中点． 连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以，MD ∥AC ，且MD ＝12AC ；OE ∥AC ，且OE ＝12AC ；因此MD ∥OE ，且MD ＝OE ；连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO ． 因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， 所以直线DE ∥平面A 1MC ．即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC ．1．(2014·江苏高考)如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5．求证：(1)直线P A∥平面DEF；【证明】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥P A．又因为P A⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线P A∥平面DEF．2．(2015·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E．求证：(1)DE∥平面AA1C1C；【证明】(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC．(三角形的中位线)又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C．(直线与平面的平行的判定定理)3．如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；【证明】(1)连接AB′，AC′，如图，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′因此MN∥平面A′ACC′．4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(2)求证：C1F∥平面ABE；【证明】(2)取AB 中点G ，连接EG ，FG ．因为E ，F 分别为是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ．因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1． 所以四边形FGEC 1为平行四边形． 所以C 1F ∥EG ．又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE ．5．(2014·山东高考)如图，四棱锥P -ABCD 中， AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ；【证明】(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC ．由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ， 因此四边形ABCE 为菱形， 所以O 为AC 的中点． 又F 为PC 的中点，因此在△P AC 中，可得AP ∥OF ． 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ． 所以AP ∥平面BEF ．6．如图，已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，且AB ∥CD ，O 是AB 中点，PO ＝CD ＝DA ＝12AB ＝4，M 是P A 中点．(1)证明：平面PBC ∥平面ODM ；【证明】(1)由题意，CD ∥BO ，CD ＝BO ，∴四边形OBCD 为平行四边形，∴BC ∥OD ． 又∵AO ＝OB ，AM ＝MP ，∴OM ∥PB ． 又OM ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， ∴OM ∥平面PBC ．同理，OD ∥平面PBC ，又OM ∩OD ＝O ， ∴平面PBC ∥平面ODM ．7．如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，AB＝2，P A＝22，M是P A的中点．(1)求证：平面PCD∥平面MBE；【证明】(1)连接AD交BE于点G，连接MG，则点G是正六边形的中心，所以G是线段AD的中点．因为M是P A的中点，所以MG∥PD．因为PD⊄平面MBE，MG⊂平面MBE，所以PD∥平面MBE．因为DC∥BE，DC⊄平面MBE，BE⊂平面MBE，所以DC∥平面MBE．因为PD∩DC＝D，所以平面PCD∥平面MBE．8．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1．【证明】(1)如图所示，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB．又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1．(2)连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD．又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．9．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、M、N分别是B1C1、A1D1、A1B1、BD、B1C的中点，求证：(1)MN ∥平面CDD 1C 1；(2)平面EBD ∥平面FGA ．【证明】(1)连接BC 1，DC 1，∵四边形BCC 1B 1为正方形，N 为B 1C 的中点，∴N 在BC 1上，且N 为BC 1的中点．又∵M 为BD 的中点，∴MN ∥DC 1，且MN ＝12DC 1；又MN ⊄平面CDD 1C 1，DC 1⊂平面CDD 1C 1，∴MN ∥平面CDD 1C 1．(2)连接EF ，B 1D 1，则EF ∥AB ，EF ＝12AB ；∴四边形ABEF 为平行四边形，∴AF ∥BE ．又易知FG ∥B 1D 1，B 1D 1∥BD ，∴FG ∥BD ．又AF ⊄平面EBD ，BE ⊂平面EBD ，∴AF ∥平面EBD ，同理FG ∥平面EBD又∵AF ∩FG ＝F ，AF 、FG ⊂平面FGA∴平面EBD ∥平面FGA ．10．如图所示，四边形EFGH 所在平面为三棱锥A -BCD 的一个截面，四边形EFGH 为平行四边形．(1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ．(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值范围．【证明】(1)∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥GH ．∵HG ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，∴EF ∥平面ABD ．∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，∴EF ∥AB ，∵EF ⊂平面EFGH ，AB ⊄平面EFGH ，∴AB ∥平面EFGH ．同理可得CD ∥平面EFGH ．【解析】(2)设EF ＝x (0＜x ＜4)，四边形EFGH 的周长为l ．由(1)知EF ∥AB ，则CF CB ＝x 4又由(1)同理可得CD ∥FG ，则FG CD ＝BF CB∴FG 6＝BF CB ＝BF －CF CB ＝1－x 4，从而FG ＝6－32x ， ∴四边形EFGH 的周长l ＝2(x ＋6－32x )=12－x ． 又0＜x ＜4，∴8＜l ＜12，即四边形EFGH 周长的取值范围为(8,12)．1．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 在AD 1上移动，点N 在BD 上移动，D 1M ＝DN ＝a (0＜a ＜2)，连接MN ．(1)证明：对任意a ∈(0，2)，总有MN ∥平面DCC 1D 1；(2)当a 为何值时，MN 的长最小？【证明】(1)作MP ∥AD ，交DD 1于P ，作NQ ∥BC ，交DC 于Q ，连接PQ ；由题意得MP ∥NQ ，且MP ＝NQ ，则四边形MNQP 为平行四边形．∴MN ∥PQ ．又PQ ⊂平面DCC 1D 1，MN 平面DCC 1D 1, ∴MN ∥平面DCC 1D 1．(2)由(1)知四边形MNQP 为平行四边形，∴MN ＝PQ ， 由已知D 1M ＝DN ＝a ，DD 1＝AD ＝DC ＝1， ∴AD 1＝BD ＝2，∴D 1P ∶1＝a ∶2，DQ ∶1＝a ∶2，即D 1P ＝DQ ＝a 2． ∴MN ＝PQ ＝(1－D 1P )2＋DQ 2＝(1－a 2)2＋( a 2)2＝(a －22)2＋12(0＜a ＜2)， 故当a ＝22时，MN 的长有最小值22． 即当M 、N 分别移动到AD 1，BD 的中点时，MN 的长最小，此时MN 的长为22．。
高中数学 直线和平面平行的性质定理说课课件 新人教A版必修2
BC、B/C/、A/D/ 3、B
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第三环节(huánjié)：分组合作，讨论解时疑间(shíjiān) 约 7
分钟
讨论内容： 1、探究案中探究1、探究2、探究3 2、自学过程中存在的其他疑问。
判定方法. 3、思维上：从经验型抽象思维开始上升到理论型抽
象思维. 4、能力上：知识迁移、主动重组、整合的能力较弱.
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二、教学目标
学习目的：
知识(zhī shi)目标直线(zh直íx观ià认n)识与、平体面会之空间间位置关系
掌握直线与平面(píngmiàn) 平行的性质定理
空间想象能力
设计意图：让学生尝试在平面 (píngmiàn)内画出与直线平行 的直线
问题(wèntí)1：如果直线a与平面a平行，那么直线a与平
面 一条a内和的直直线线a有平a哪行些的位直置线关b. 系？请在a 图中的平面内画出
α
α
问题请(在w图èn中tí)2：我设计们意图知：引道出性两质条(xìng平zhì行) 线可以确定一个平面， 把直线a、b理确中定的过定的度平平面 面 画出来，并且表示为 .
三、预习自测
1、若直线l与平面a平行，则直线l与平面内n的直线的位置关系可能是 2. 如下图,长方体ABCD-A’B’C’D’中, (1)与AB 平行的面是__________________;与AB平行的直线是 (2)与AA’ 平行的平面是________________;与AA/平行的直线是 (3)与AD 平行的平面是________________ 与AD平行的直线是
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栏 目 链
求证：l1∥l3，l2∥l3.
接
.
分析：欲证线线平行，只需根据条件转化为线面平行， 再进一步应用线面平行的性质定理转化为线线平行．
证明：∵l1∥l2，l1⊄γ，l2⊂γ，
∴l1∥γ(根据直线和平面平行的判定定理)．
∵l1⊂β，β∩γ＝l3，
栏
∴l1∥l3(根据直线和平面平行的性质定理)．
解析：∵PA∥平面 EFGH，PA⊂平面 PAB，
栏
目
平面 PAB∩平面 EFGH＝EH，
链
接
∴PA∥EH，
同理，PA∥FG，BC∥EF，BC∥HG；
∴BECF＝AAEB，EF＝AEA·BBC；
FAGP＝CCAF＝BBAE，FG＝BEB·AAP. .
►跟踪训练
3．如图，a∥α，A是α另一侧的点，B，C，D∈a，线段 AB，AC，AD交α于E，F，G三点，若BD＝4，CF＝4， AF＝2，求EG.
线面平行的判定定理、性质定理、公理4常结合起来
使用．
栏
(2)证明线线平行常用的方法有：
目
①定义法：在同一个平面内没有公共点的两条直线平
链 接
行．
②平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行．
③直线与平面平行的性质定理．
④反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进 而证明两条直线应当是平行的．
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►跟踪训练 2．已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l. 证明：如图，过a作平面γ交α于b，
解析：∵A∉a，∴A，a 可确定一个平面，设为 β.
∵B∈a，∴B∈β.又 A∈β，∴AB⊂β.
栏 目
同理 AC⊂β，AD⊂β.
链 接
∵点 A 与直线 a 在 α 的异侧，∴β与 α 相交．
∴平面 ABD 与平面 α 相交，设交线为 EG.
∵BD∥α，BD⊂平面 BAD，而平面 BAD∩α＝EG，
∴BD∥EG.∴△AEG∽△ABD.
∴EBGD＝AACF .∴ EG＝AACF ·BD. ＝26×4＝43.
证明：∵BB1∥CC1，BB1⊄平面D1DCC1，
栏
CC1⊂平面D1DCC1，
目
链
∴BB1∥平面D1DCC1.
接
又∵BB1⊂平面BB1E1E，
平面BB1E1E∩平面DD1C1C＝EE1，
∴BB1∥EE1.
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题型二 线面平行性质的综合应用
例 2 已知 E，F，G，H 为空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，
CD，DA 上的点，且 EH∥FG.求证：E⊂平面BCD ⇒EH∥平面 BCD，
EH∥FG
平面 BCD∩平面 ABD＝BD⇒EH∥BD.
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点评：(1)应用线面平行的性质定理时，应着力寻找
过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到
交线还需作出辅助平面．证明与平行有关的问题时，
2．2.2 直线与平面平行的性质
.
栏 目 链 接
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熟练掌握直线与平面平行的性质定理的应用，并在 应用中充分感知、体验转化的数学思想方法在立体 几何中的作用．
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栏
典例精析
目 链
接
.
题型一 证线线平行
例1 三个平面两两相交有三条交线，如果其中两条交 线平行，则第三条也和它们分别平行．
已知：如图，平面α∩平面β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3， l1∥l2.
目 链
又∵l1∥l2，∴l2∥l3，∴l1∥l3，l2∥l3.
接
点评：直线与平面平行的判定定理与直线与平面平行 的性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出 线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂 的题目还可继续推下去．
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►跟踪训练
1．如图所示，过正方体ABCDA1B1C1D1的棱
BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证： BB1∥EE1.
栏
∵a∥α，∴a∥b，
目 链
过a作平面ε交平面β于c，
接
∵a∥β，∴a∥c，∴b∥c，
又b⊄β且c⊂β，∴b∥β.
又平面α过b交β于l，
∴b∥l，∵a∥b，∴a∥l.
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题型三 线面平行性质的有关计算
例 3 如图所示，在三棱锥 PABC 中，PA＝4，BC＝6，与 PA，BC
都平行的截面四边形 EFGH 的周长为 l，试确定 l 的取值范围．