利息理论第一章课后标准答案
新编利息理论 刘波 课后答案
第一章习题答案1. 设总量函数为A(t) = t2 + 2t + 3 。
试计算累积函数a(t) 和第n 个时段的利息In 。
解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(0)=（t2 + 2t + 3）/3 In = A(n) − A(n − 1)= (n2 + 2n + 3) − ((n − 1)2 + 2(n − 1) + 3))= 2n + 12. 对以下两种情况计算从t 时刻到n(t < n) 时刻的利息: (1)Ir(0 < r <n); (2)Ir = 2r(0 < r < n). 解:()n n-1t 11I A (n )A (t)I I I n (n 1)/2t(t 1)/2+=-=+++=+-+・・・(2)1t 11I A (n )A (t) 22nn k k t I ++=+=-==-∑3. 已知累积函数的形式为:2a (t) at b=+。
若0 时刻投入的100 元累积到3 时刻为172 元，试计算：5 时刻投入的100 元在10 时刻的终值。
解: 由题意得a(0) = 1, a(3) =A(3)/A(0)= 1.72⇒ a = 0.08, b = 1∴ A(5) = 100 A(10) = A(0) ・ a(10) = A(5) ・ a(10)/a(5)= 100 × 3 = 300. 4. 分别对以下两种总量函数计算i5 和i10 :(1) A(t) = 100 + 5t; (2)tA (t) 100(1 0.1)=+.解：(1)i5 =(A(5) − A(4))/A(4)=5120≈ 4.17% i10 =(A(10) − A(9))/A(9)=5145≈ 3.45% (2)i5 =(A(5) − A(4))/A(4)()()()544109109100(1 0.1)100(1 0.1)10%100(1 0.1)100(1 0.1)100(1 0.1)i (A 10A 9)/A 9 10%100(1 0.1)+-+==++-+=-==+5.设()n A 4 1000, i 0.01n==. 试计算A(7) 。
刘占国《利息理论》习题解答
《利息理论》习题详解 第一章 利息的基本概念1、解： （1）)()0()(t a A t A =又()25A t t =+(0)5()2()1(0)55A A t a t t A ∴===++ （2）3(3)(2)11(92 2.318I A A =-=== （3）4(4)(3)0.178(3)A A i A -===2、解：202()(0)(1)1(1-6)180=100(a 5+1)4a=125a t at ba b i =+∴==+=∴∴用公式(8)300(83)386.4A a ∴=-=3、解：15545(4)(3)(1)100(10.04)0.05 5.2n n n I i A I A i A i i -=∴==+=+⨯=4、解： （1）1n n n I i A -=113355(1)(0)1101000.1(0)(0)100(3)(2)1301200.0833(2)(2)120(5)(4)1501400.0714(4)(4)140I A A i A A I A A i A A I A A i A A --∴====--====--====（2）1nn n I i A -=113355(1)(0)1101000.1(0)(0)100(3)(2)133.11210.1(2)(2)121(5)(4)161.051146.410.1(4)(4)146.41I A A i A A I A A i A A I A A i A A --∴====--====--====5、证明： （1）123(1)()(2)(1)(3)(2)()(1)m m m m k I A m A m I A m A m I A m A m I A m k A m k ++++=+-=+-+=+-+=+-+-123123()()()()()m m m m k m m m n I I I I A m k A m n m k A n A m I I I I m n +++++++∴++++=+-=+-=++++<令有（2）()(1)()1(1)(1)n A n A n A n i A n A n --==---()1(1)()(1)(1)n n A n i A n A n i A n ∴+=-∴=+-6、证明： （1）112123123(1)(0)(0)(2)(0)(0)(0)(3)(0)(0)(0)(0)()(0)(0)(0)(0)(0)k nk i a a a i a a a i a i a a a i ai a i a n a a i a i a i a i ∴=+=++=+++=+++++第期的单利利率是又(0)1a =123123()1()(0)()1nna n i i i i a n a a n i i i i ∴=+++++∴-=-=++++（2）由于第5题结论成立，当取0m =时有12()(0)n A n A I I I -=+++7、解：（1）由单利定义有()(0)()(0)(1)A t A a t A i t ==+ (5.5)50003000(1 5.5)A i ∴==+解得0.121i =（2）由复利定义有()(0)()(0)(1)t A t A a t A i ==+ 5.5(5.5)50003000(1)A i ∴==+解得0.0973i =8、解：（1）有单利积累公式建立方程有300200(10.058)t =+解得8.62t =（2）由复利积累公式建立方程有300200(10.058)t =+解得7.19t =9、解：（1）以单利积累计算1205003i =⨯1200.085003i ∴==⨯800(10.085)1120∴+⨯=（2）以复利积累计算3120500500(1)i +=+0.074337i ∴=5800(10.074337)1144.97∴+=10、解：设在第n 期等价于5%的实际利率有()(1)(1)n A n A n i A n --=-又()(0)(1),(1)(0)(1)A n A n i A n A n i i =+-=+-0.15%10.1(1)n i n ∴==+-解得11n =11、解：设该款项的金额为(0)A 有（1）在第三个月单利利息为：30.01(0)I A =单在第三个月复利利息为：323(0)1+0.01-(0)1+0.01=0.010201(0)I A A A =复（）（）33:=0.010.010201=0.98I I ∴单复：（2）在第六个月单利利息为：6=0.01(0)I A 单在第六个月复利利息为：656(0)1+0.01-(0)1+0.01=0.01051(0)I A A A =复（）（）66:=0.010.01051=0.951I I ∴单复：12、解：设原始金额为(0)A 有(0)(10.1)(10.08)(10.06)1000A +++=解得 (0)794.1A =13、证明： （1）令()(1)(1)t f i i it =+-+有(0)0f =，1()(1)t f i t i t -'=+-又对于所有0<i<1有111(1)=1(1)t ti i --+<+ 11()(1)0t i f i t i t -'∴<<=+-<当0时，，即()f i 在1i <<0是单调减函数，因此有当1i <<0时有()(1)(1)0,(1)(1)t t f i i it i it =+-+<+<+即，命题得证。
利息理论第一章-1
i 对整数n 1
故常数的复利意味着常数的实际利率，且两者相等， 从而虽然复利利率与实际利率定义不同，但其实两 者是一致的。
19
例题
例3 某银行以单利计息，年息为6%，某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少?
A(5) 5000 a(5) 5000(1 5 6%) 5000 1.3 6500
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
解：由于i=8%，故 a(4)=(1+8%) 4 从而现值 10000 pv=10000 a (4)= 7350.3 4 (1 8%)
1
即4年后支付10000元的现值为7350.3
24
1.1.3
实际贴现率
1、定义： 一个度量期内的实际贴现率为该度量期内 取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。 d 通常用字母 来表示实际贴现率 2、实际贴现率的表达式的推导
3
二、利息度量的基本概念： 1、本金：每项业务开始时投资的金额称为本 金。 2、积累值：业务开始一定时间后回收的总金 额称为该时刻的积累值（或终值）。 3、利息金额：积累值与本金的差额就是这一 时期的利息金额。 注意：假定 一旦给定了本金金额，在投资期间不再加入 或抽回本金。
4
故：对第一个度量期，即当t=1时，a(t)=a (t ); 当t 1时，a(t)>a* (t )； 当t 1时，a(t)<a* (t )；
利息理论复习题及参考答案
利息理论复习题及参考答案第1页（共7页）利息理论复习题单项选择题1. 已知()223A t t t =++，要使10%n i ≤，则n 至少等于（）。
(A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 21 (E) 222. 已知21t t δ=+，则第10年的()2d 等于（）。
(A) 0.1671 (B) 0.1688 (C) 0.1715 (D) 0.1818 (E) 0.1874第2页（共7页）3. 某永久年金在第一年末支付1，第二年末支付3，第三年末支付5，LL ，则该年金的现值为（）。
(A) 221v v v +?(B)21v v v ?+ (C)()221v v v +?(D) 2221v v v +? (E)221v v v ++4. 如果现在投资3，第二年末投资1，则在第四年末将积累5，则实际利率为（）。
(A) 6.426% (B) 6.538% (C) 6.741% (D) 6.883% (E) 6.920%5. 假定名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%，则1000元在3年末的积累值为（）元。
(A) 1065.2 (B) 1089.4 (C) 1137.3 (D) 1195.6 (E) 1220.16.某人初始投资额为100，假定年复利为4%，则这个人从第6年到第10年的5年间所赚利息为（）。
(A)26(B)27(C)28(D)29(E)307.某人用2000元一次性购买了15年确定年金，假定年利率为6% ，第一次年金领取从购买时开始，计算每次可以领取的金额为（）元。
(A)167.45(B)177.45(C)180.13(D)194.27(E)204.188.某年金分20年于每月月初支付30元。
利息每月转换一次，年名义利率为12％，则该年金现值为（）元。
(A)2652.52(B)2751.84(C)2755.42(D)2814.27(E)2842.33第3页（共7页）第4页（共7页）9. 某总额1000元的债务，原定将分10年于每年年末等额偿付，合同年有效利率为5%。
东北财经大学智慧树知到“保险”《利息理论》网课测试题答案1
东北财经大学智慧树知到“保险”《利息理论》网课测试题答案（图片大小可自由调整）第1卷一.综合考核(共15题)1.投资年法可以有效地避免投资组合法的固有缺陷。
()A.正确B.错误2.一项期初付永久年金(永续年金)每年付款1万元，年实际利率为5%。
根据以上信息，该年金的现值为()万元。
A.20B.21C.22.5D.253.某人在未来20年内以等额本金法来偿还一笔金额为100万元的贷款，贷款年利率为4%。
该人前10年内支付的利息总额为()万元。
A.30B.31C.32D.334.利用年金当前值的概念，如果{图}，则X、Y和Z分别等于()。
A.4﹔3﹔3B.3﹔4﹔3C.2﹔5﹔4D.2﹔4﹔45.金融函数与积累函数的关系式为：A(t)=A(0)×a(t)。
()A.正确B.错误6.债券账面值的递推公式为：。
()A.正确B.错误7.等额本息法和等额本金法的区别在于：前者的每期偿还额均相等，而后者的每期偿还额的本金部分均相等。
()A.正确B.错误8.等额本息法分期偿还表中，每期本金部分之和等于贷款金额。
()A.正确B.错误9.有一项年金，在前10年的每年末付款1，在后10年的每年末付款2，则该年金在第1年初的现值为{图}。
()A.正确B.错误10.如果年实际利率为6%，则年实际贴现率为()。
A.6/106B.6/94C.4/106D.4/10411.在1年内，本金X既可以产生336元利息，也可以产生300元贴息。
根据以上信息，X等于()元。
A.2500B.2800C.2900D.295012.某人在未来20年内以等额本息法来偿还一笔金额为100万元的贷款，贷款年利率为4%。
该人每年需要支付的偿还额为()元。
A.72581.75B.73581.75C.74581.75D.75581.7513.在根据投资组合法来分配收益时，如果投资者预期到未来利率可能上升，就可能出于投机心理而不追加投资甚或抽走资金，以提高投资收益。
第一章 利息理论(年金问题)
例1.12
某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷 款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。 问：（1）他每月等额还款额等于多少？ （2）假如他想在第五年末提前还完贷款， 问除了该月等额还款额之外他还需一次性 付给银行多少钱？
例1.12答案
（1） Ra1512 0.465% 300000
例1.19:
某人每年年初存进银行1000元,前4次存款 的年利率为6%,后6次付款的年利率升到 10%,计算第10年年末时存款的积累值.
例1.19答案
前四次付款第四年年末积累值为 1000 4 0.06 4637 .09 s 这笔存款再按6%的年利率积累到第 年年末, 积累值为 10 4637 .09 (1 6%)6 6577 .80 后六年年金积累到第十年的积累值为 1000 6 0.1 8487 .17 s 两笔年金积累值之和为: 6577 .80 8487 .17 15064 .97
分类
等时间间隔付款 付款频率与利息转换频率一致 每次付款金额恒定 不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金
一般年金
二、基本年金
基本年金
等时间间隔付款 付款频率与利息转换频率一致 每次付款金额恒定 付款时刻不同：初付年金/延付年金 付款期限不同：有限年金/永久年金
分类
基本年金图示
1.延付年金（期末付年金）
an v v 2 v n
记：an ——延付年金现值
2.初付年金（期初付年金）
记：an ——延付年金现值
an an sn
v (1 v n ) 1 v n v v v 1 v i 基本年金公式推导 1 v n 1 v v n 1 (1 i ) an d 1 (1 i ) n (1 i ) n 1 n 1 1 (1 i ) (1 i ) 1 (1 i ) i
利息理论 第1章 利息的基础知识
ln a ( t )
t
a(t) e0sds
。
当 s 为常数时：
a(t) et
各年的利息力分别为：
1 ,2
时
n
积累函数值
n
a(n) e0tdt
e 0 11d t 12 2d tnn1nd t
e12 n
n
k e k 1
A1 A0 A0
a1 1
第二年：
i2
A2 A1 A1
a2 a1 a1
第 n年：
in
An An1 A n 1
a n a n1 a n1
例一
设：at =ct2+d (c、d为常数），
a 5=126 , A0=100
求：A i at ct2d
10、 、 10
第n年的利率为
。 inaa (n (n )1)1en 1
现值函数值为：
n
k vn e k1
(1 i1 ) 1 (1 i2 ) 1 (1 in ) 1
例：设某项投资基金的利息力为，
k51 20 k,0k1,2,3
其中k为投资年度。求某投资者在开始投资多 少资金于该基金时，使得投资在5年末的终值 为50，000元。
an
(1i)n
1i
或：
d iv
i
d 1 d
4）贴现率与折现因子
公式一
d1v
及：
公式二
vt vt (1d)t
及：
v1d
at (1d)t
例：94年1月1日的积累值为1，000元，d=10% 求：1）90年1月1日的现值为多少？
利息理论课后习题答案
第一章利息的基本概念1.)()0()(t a A t A =2.，11)0(=∴=b a 180)5(100=a 508)8()5(300=a a 3~5.用公式(1-4b)7~9.用公式（1-5）、（1-6）11.第三个月单利利息1%，复利利息23%)11(%)11(+−+12.1000)1)(1)(1(321=+++i i i k 14.nn nni i i i −−+⋅+>+++)1()1(2)1()1(16.用p.6公式17.用P.7最后两个公式19.用公式（1-26）20.(1)用公式（1-20）;(2)用公式（1-23）22.用公式（1-29）23.(1)用公式（1-32）;(2)用公式（1-34）及题6（2）结论24.用公式（1-32）25.44216%1(1)(110%)118%45%12i ⎛⎞+=++⎜⎟−⎝⎠⎛⎞−⎜⎟⎝⎠26.对于c)及d)，，，c)中，，δn e n a =)(1111)1(−=−=+==∴v di e a δ∴v ln −=δd)中，δ−−=ed 128.∫=tdxx e t a 0)()(δ29.；4411⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+j i h e j =+131.（1）902天39.，两边同时求导，，类似t e tA dr +=∫10δ)1ln(0t dr tA +=∫∴δtt A +=11)(δ)(t B δ46.，10009200.081000d −==9202108.01(288)08.01(=×−+−x 第二章年金4.解：12010.087110.0870.08712160001000110.087121212A −−⎛⎞−+⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎝⎠=+⋅++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠5.解：()()()()22211111111(*)nnn nn i a x i xiii xi a y i i −−−−+==⇒+=−−+−−===将代入（*）1d i d=−7.解：100010001000011718…()51218100010.0839169.84s −+=&&8.解：100.1100.15000s Ra =&&&&9.解：100.1100.155000s Ra =&&&&14.解：永续年金每年支付R112n n Ra R a i ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠17.解：解得即正常还款次数为95次0.0081500100000m a =95.6m ≈解得95950.0081500(10.008)100000a f −++=965.74f =19.解：()()()(2)(2)(2)1055222105100020001700011171150i i i s s s i i i ⎛⎞−+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∴+++−++=令105()1715f t t t t =+−+0(1.03)(1.035)(1.03)1.03 1.035 1.03f f f i −−=−−(1.032)0.003186f =−23.解：，()4660.0411 1.04i a i −−−++40.04114i ⎛⎞+=+⎜⎟⎝⎠24.解：R 1.1025R 1.205R 01423得4321.05 1.1025 1.05 1.1025 1.05 1.205 1.0511000R R R R ×+++=2212.147R =25.解：()()()1211111nn nn n a i n i i i a iii −−−−∂−++−++=∴=∂其中通过公式（2-76）得到0.1020.116.8670.10.002n n n n i a a a i==∂−∴==∂L n29.解:7777111v a v i a iKi−=∴=−=−类似地，111811181111v ia iL v ia iM=−=−=−=−，从而71118(1)(1)1v v v iK iL iM =∴−−=−Q L K M i KL+−=31.解：(2)(12)(2)(12)(12)1112nn nnnv v i i aaa id i−−⎛⎞===+⎜⎟⎝⎠&&，32.解：()500lim 110000tn i n a i −→∞+=&&半半，()()122111111i i i d d−+==+⇒+=−−半半()1211i d −=−−半()1120ti i −+∴=半半36.解：()()()2020201195.36n n anv a i n i Ia ii−−+−+=∴=&&37.解：110123……1该永续年金现值为1i11123……6541该永续年金现值为：()()24111(2)i i i i−−++++=+L ∴所求年金现值为：113(2)(2)i i i i i i++=++39.解：()01ntkt v dt f g h−=−−∫11lim lim n n n n v f a δδ→∞→∞−===1(1)ng kn v δ=−⋅40.解：011()1tdrr a t e t+∫==+1001()ln(1)1nnn a a t dt dt n t−===++∫∫42.解：后五年等比()()()551051111000105011k i s s i i i k+⎛⎞−⎜⎟+⎝⎠−+×++−&&&&43.解：120567……10983…414684468111v v v v a a a i i i i i i i vd−+−+−+=+++=−L L 45.解：2300.015251.0215KsKa−=+&&&&46.解：1010120180180300300 1.03 1.03i i i iia a a a a −−++=月月新月新月月11x110000047.解：011()1tdrr a t e t+∫==+231414212111(0)(1)()(1)84.51v t a t dt t dt t−=−=−=+∫∫48.解：11tn t n v v a a δδ−−==，()001111144010%t n nnt n v v a dt dt n n a δδδδ⎛⎞−−==−=−=×=⎜⎟⎝⎠∫∫49.解：1）()11t n nt tt t atv Ia i==−=∑∑&&第三章收益率2.解：234000 1.120000.93382×−×=3.解：237000100040005500(0)v v v v v −−++=110.090.11.09 1.1i v i v ====时，；时，令(0)0v v i=⇒及7.解：81.516.510(1)11.995%x x i i ⋅⋅=+⇒=8.解：11100.250.751(1)1(1)1(1)100000150002000011000kkkdtdtdtt k t k t k e ee+−+−+−∫∫∫+−=解得：0.14117k =10.解：1234567810911111i 2i 3i 4i 5i5i5i5i5i5i本金利息560.0450.0461000 1.04550.04s i is −⎛⎞++⎜⎟⎝⎠13.解：50000068000060000500055000A B I ===−=，，29.78%Ii A B I=≈+−14.解：()11144320000112%5000180001112%196104B i −⎛⎞⎡⎤⎛⎞=×++×+−×+−×=⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎝⎠15.解：书后答案是，不知我对它对。
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1.已知A （t)=2 +５,求
（1）对应的ａ（t ）；A （0)＝５ a （ｔ)=()(0)A t A =25t
+5＋１
（2）I 3;I ３=A(3)-A(２）
－(２
（3）i 4; i
4=4(4)(3)(3)
(3)I A A A A -===
2.证明:(1)()()(m 1)(2).....A n A m I I m In -=+++++
（2）()(1)(1).A n in A n =+-
(1)
()()()(1)(1)(2)....(1)()1...Im 1A n A m A n A n A n A n A m A m In In -=--+---++-=+-+++ (ｍ<n)
(2)()()()()111---=-=n A n A n A n A In i n (1)()(1)inA n A n A n -=-- ()(1)(1)A n in A n =+-
3.(a ）若k i 是时期k 的单利利率(k ＝1,2..．,ｎ）证明a （n ）-a （0）＝
12...n i i i +++ (b ）若k i 是时期k 的复利利率(ｋ=1,２．...,n ）证明12()(0)....n A n A I I I -=+++
（a ）a(n)-a(0)＝a （ｎ)-a(ｎ－1)+ａ(n －１）-ａ(n-2）+..．＋a(1）-a(0)＝
11.....n n i i i -+++ （b ）11()(0)()(1)(1)(2)...(1)(0)...n n A n A A n A n A n A n A A I I I --=--+---++-=+++
4.已知投资500元，３年后得到120元的利息。
试分别确定以相同的单利利息,复利利息投资800元在5年后的积累值。
①单利 ()1a t it =+ 3
(3)(0)500(13*1)120I A A i =-=+-=
1200.08150*3i =
= (5)800(15*0.08)1120A =+= ②复利 ()(1)t a t i =+ 33(3)(0)500(1)1120I A A i ⎡⎤=-=+-=⎣⎦
1i 55/3(5)800(1)800*1.241144.97A i =+==元
5.已知某笔投资在三年后的积累值为１000元,第一年的利率为1i =10%,第二年的利率为2i
＝
8%,第三年的利率为3=6％,求该笔投资的原始金额 123(3)(0)(1)(1)(1)
A A i i i =+++ 123(3)1000(0)794.10(1)(1)(1) 1.1*1.08*1.06A A i i i ===+++
6.证明：设当前所处时刻为０,则过去n 期的一元钱的现值与未来n 期后的一元钱的现值之和大于等于2
过去n 期1元钱的现值为(1)n i +，未来n 期后一元钱的现值为1
(1)n i +
1(1)2(1)n n
i i ++≥+ （当n ＝0时,等号成立）
7.（1）对于8％的复利,确定
4d ; (2)对于８％的单利,确定4
d ; （1）()(18%)t a t =+ 43444(18%)(18%)110.074(4) 1.08(18%)I d a +-+===-=+
（2）4418%*418%*38%0.061(4)18%*4 1.32I d a +--=
===+
8.已知
(5)
()(6)
151()16m i i m i ++=+,确定m (5)()(6)151()16m i i m i ++=+ (5)5*5()5630(6)6*6
(1)51(1)(1)(1)(1)6m
m m m m m m i i i i i m i -++=+==+=++
30m ∴=
9.如果2()t t c
t A t ka b d =，其中k,a,b,c,d 为常数，求&t 的表达式 2()t t c
t A t ka b d =2222ln 2ln ln ln '()&ln 2ln ln ln ()t t t t t c t c t c t t t t t t t c t ka b d a kta b d b kc a b d d c A t a t b c d c A t ka b d
++===++ 10.确定下列导数:。