考点22 利用空间向量求解立体几何中的角-2019届高考数学(理)提分必备30个黄金考点(原卷版)

【考点剖析】1.命题方向预测：空间角的计算是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题．此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角.2.课本结论总结：一种方法用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：(1)适当的选取基底{a ，b ，c }；(2)用a ，b ，c 表示相关向量；(3)通过运算完成证明或计算问题．两个理解(1)共线向量定理还可以有以下几种形式：①a ＝λb ⇒a ∥b ；②空间任意两个向量，共线的充要条件是存在λ，μ∈R 使λa ＝μb .③若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →＋μOB →且λ＋μ＝1.(2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解．空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”．四种运算空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全 一致可类比学习．学生要特别注意共面向量的概念．而对于四种运算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进行学习．三种成角(1)异面直线所成的角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2； (2)直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2； (3)二面角的范围是[0，π]．3.名师二级结论：1.夹角计算公式(1)线线角：直线与直线所成的角θ，如两直线的方向向量分别为a ，b ，则||cos cos a b θ＝〈，〉.(2)线面角：直线与平面所成的角θ，如直线的方向向量为a ，平面的法向量为n ，则||sin cos a n θ＝〈，〉.(3)面面角：两相交平面所成的角θ，两平面的法向量分别为n 1，n 2，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|.判定二面角的平面角是锐角还是钝角的情况来决定cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|还是cos θ＝－|cos 〈n 1，n 2〉|.2.距离公式(1)点点距：点与点的距离，以这两点为起点和终点的向量的模；(2)点线距：点M 到直线a 的距离，如直线的方向向量为a ，直线上任一点为N ，则点M 到直线a 的距离d ＝|MN →|sin 〈MN →，a 〉；(3)线线距：两平行线间的距离，转化为点线距离；两异面直线间的距离，转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度；(4)点面距：点M 到平面α的距离：如平面α的法向量为n ，平面α内任一点为N ，则点M 到平面α的距离d ＝|MN →||cos 〈MN →，n 〉|＝|MN →·n ||n |； (5)线面距：直线和与它平行的平面间的距离，转化为点面距离；(6)面面距：两平行平面间的距离，转化为点面距离.4.考点交汇展示：三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图如图所示.设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN NP ⊥.（1）证明：P 为线段BC 的中点；（2）求二面角A NP M --的余弦值.【2018年理数全国卷II】如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．【2018年全国卷Ⅲ理】如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．【考点分类】考向一利用空间向量求空间角1.【2018年江苏卷】如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；（2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．2.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，AD AB ^，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．C（Ⅰ）证明：DC BE ⊥；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为棱PC 上一点，满足AC BE ⊥，求二面角F AB P --的余弦值．【方法规律】1．利用向量法求异面直线所成的角时，注意向量的夹角与异面直线所成的角的异同．同时注意根据异面直线所成的角的范围(0，π2]得出结论． 2．利用向量法求线面角的方法一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.3．利用空间向量求二面角可以有两种方法：一是分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．4．利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角．求解过程中应注意以下几个方面：(1)两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求；(2)求平面的法向量的方法：①待定系数法：设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的方程解之；②先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定了平面的法向量．当平面的垂线较易确定时，常考虑此方法.5. (1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．(2)求直线与平面所成的角θ，主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角α求得，即sin θ＝|cos α|. 【解题技巧】运用空间向量求解空间的角关键是建立空间直角坐标系后，空间角转化为向量的运算．使用空间向量解决立体几何计算，直线的标志是它的方向向量，平面的标志是它的法向量，我们可以借助于直线和平面的标志用向量这个工具解决立体几何计算问题．利用向量法求解空间角，可以避免利用定义法作角、证角、求角中的“一作、二证、三计算”的繁琐过程，利用法向量求解空间角的关键在于“四破”．第一破“建系关”，第二破“求坐标关”；第三破“求法向量关”；第四破“应用公式关”，熟记线面成的角与二面角的公式，即可求出空间角．【易错点睛】1.异面直线所成角的范围；线面角的正弦值是直线的方向向量和平面法向量所成角余弦的绝对值；两相交平面所成的角θ，两平面的法向量分别为n1和n2，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|，其特殊情况是两个半平面所成的角即二面角，也可以用这个公式解决，但要判定二面角的平面角是锐角还是钝角的情况以决定cosθ＝|cos〈n1，n2〉|还是cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|.这是利用向量求二面角的难点、易错点．2.向量的书写不规范，字母上方缺少＂→＂．3.作图马虎，虚实线不分，不用直尺作图．考向二利用空间向量解决探索与翻折问题1.【2018年理新课标I卷】如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.2.如图，在三棱锥S ABC -中， SA ⊥底面ABC ， 2AC AB SA ===， AC AB ⊥， D ， E 分别是AC ， BC 的中点， F 在SE 上，且2SF FE =．（1）求证： AF ⊥平面SBC ；（2）在线段上DE 上是否存在点G ，使二面角G AF E --的大小为30︒？若存在，求出DG 的长；若不存在，请说明理由．【方法规律】1.解决探索性问题，都是先假设存在，然后根据已知条件和结论逐步进行计算和推导，若推出矛盾则不存在，这是解决探索性问题的常用方法．2.解决翻折问题，关键是弄清翻折前后哪些量变了，哪些量没有变，特别是没有变的量是我们解决问题的关键．【解题技巧】探索性问题命题背景宽，涉及到的知识点多，综合性较强，通常是寻找使结论成立的条件或探索使结论成立的点是否存在等问题，全面考查考生对立体几何基础知识的掌握程度，考生的空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力．空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，因此使用问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．【易错点睛】解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．如本题把直二面角转化为这两个平面的法向量垂直，利用两法向量数量积为零，得参数p的方程．即把与两平面垂直有关的存在性问题转化为方程有无解的问题．与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法．【热点预测】1.【2016高考新课标1卷】平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α//平面CB1D1,αI平面ABCD=m,αI 平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为(B)2(D)132.在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.3.【2018届河北省定州中学高三上第二次月考】已知点在正方体的对角线上，在上，则与所成角的大小为___________.4. 【2018届浙江省名校协作体高三上学期考试】如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α内，三条棱AB,AC, AD都在平面α的同侧. 若顶点B, C到平面αABC与平面所成锐二面角的余弦值为________-中，四边形ABCD为菱形，5.【2018届贵州省黔东南州高三上第一次联考】如图所示，在四棱锥P ABCD∆为正三角形，且,E F分别为,PADAD AB的中点，PE⊥平面ABCD，BE⊥平面PAD．（1）求证：BC⊥平面PEB；（2）求EF与平面PDC所成角的正弦值．6.【2017课标3，理19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.7.【2018年浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．8．【2018年理数天津卷】如图，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：；（II）求二面角的正弦值；（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.9．【2018年理北京卷】如图，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BEF ；（Ⅱ）求二面角B-CD -C 1的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG 与平面BCD 相交．10.如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．（I ）证明：CD ⊥平面1C A O ； （II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．11.【2017山东，理17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是DF 的中点.（Ⅰ）设P 是CE 上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小；（Ⅱ）当3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小.12.【2018届浙江省诸暨市5月适应性考试】如图，四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面是直角梯形，，，是的中点. （1）证明：； （2）设是棱上的点，平面，求与平面所成角的正弦值.13.如下图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==.（1）求证：1⊥BC D E（2）求证：1//BC 平面1BED ；（3）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π，求线段1D E 的长度.14.【2017天津，理17】如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒.点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA=AC=4，AB=2.（Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C-EM-N 的正弦值；（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BEAH 的长.1。