练习13答案

练习13答案
1．C
2．D [由正态分布图象知，μ＝3为该图象的对称轴，
P (ξ<3)＝P (ξ>3)＝12
.] 3．C [
∵P (ξ<4)＝0.8，
∴P (ξ>4)＝0.2，
由题意知图象的对称轴为直线x ＝2，
P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，
∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6.
∴P (0<ξ<2)＝12
P (0<ξ<4)＝0.3.] 4．D [由φ(x )＝12πσ()222x e m s --＝18π
28x e -对照得σ＝2，μ＝0，∴E (ξ)＝μ＝0，σ＝D (ξ)＝2.]
5．A [由正态分布N (μ，σ2)性质知，x ＝μ为正态分布密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2；又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.]
课堂活动区
例1 解题导引 要确定一个正态分布的正态分布密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．
解 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值为12π
，所以μ＝20. 由12πσ＝12π
，解得σ＝ 2. 于是正态分布密度曲线的解析式是
φμ，σ(x )＝12π
()2204x e --，x ∈(－∞，＋∞)． 均值和方差分别是20和2.
变式迁移1 解 (1)由于该正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，所以其图象关
于y 轴对称，即μ＝0.由12π σ＝12π·4
， 得σ＝4，
故该正态分布的正态分布密度函数的解析式是
φμ，σ(x )＝142π
232x e -，x ∈(－∞，＋∞)． (2)P (－4<X ≤4)＝P (0－4<X ≤0＋4)
＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6.
例2 解题导引 求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助于正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．
解 由已知μ＝5，σ＝1.
∵P (4<X ≤6)＝0.682 6，
P (3<X ≤7)＝0.954 4，
∴P (3<X ≤4)＋P (6<X ≤7)
＝0.954 4－0.682 6＝0.271 8.
如图，由正态曲线的对称性可得
P (3<X ≤4)＝P (6<X ≤7)
∴P (6<X ≤7)＝0.271 82
＝0.135 9. 变式迁移2 解 ∵X ～N (1,22)，∴μ＝1，σ＝2.
(1)P (－1<X ≤3)＝P (1－2<X ≤1＋2)
＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)
＝0.682 6.
(2)∵P (3<X ≤5)＝P (－3<X ≤－1)，
∴P (3<X ≤5)＝12
[P (－3<X ≤5)－P (－1<X ≤3)] ＝12
[P (1－4<X ≤1＋4)－P (1－2<X ≤1＋2)] ＝12
[P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ<X ≤μ＋σ)] ＝12
×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. (3)∵P (X ≥5)＝P (X ≤－3)，
∴P (X ≥5)＝12
[1－P (－3<X ≤5)] ＝12
[1－P (1－4<X ≤1＋4)] ＝12
[1－P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)] ＝12
(1－0.954 4)＝0.022 8. 例3 解题导引 正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．
解 ∵ξ～N (90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.
由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，
所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.
一共有 2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有 2 000×0.682 6≈1 365(人)．
变式迁移3 解 ∵成绩服从正态分布N (80,52)，
∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
于是成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%.
这样成绩在(80,85]内的同学占全班同学的34.13%.
设该班有x 名同学，则x ×34.13%＝17，解得x ≈50.
又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%.
∴成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%.
即有50×2.28%≈1(人)．即成绩在90分以上的仅有1人．
课后练习区
1．D [μ＝0，且σ2＝1，∴σ1<1，σ3>1.]
2．B [∵ξ～N (2,9)，∴P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<3－c )．
又P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，
∴3－c ＝c －1，∴c ＝2.]
3．B [μ＝80，故A 正确；σ＝10，故D 正确；
∵P (X >110)＝P (X >μ＋3σ)，
P (X <50)＝P (X <μ－3σ)，
∴P (X >110)＝P (X <50)，故C 正确. ]
4．B [由于X 服从正态分布N (3,1)，
故正态分布曲线的对称轴为X ＝3.
所以P (X >4)＝P (X <2)，
故P (X >4)＝1－P (2≤X ≤4)2
＝0.158 7.] 5．C [由于X ～N (110,52)，∴μ＝110，σ＝5.
因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4.
由于一共有60人参加考试，
∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：
60×0.682 6≈41(人)，60×0.954 4≈57(人)，
60×0.997 4≈60(人)，
故大约应有57人的分数在(100,120]区间内．]
6．μ2<μ1<μ3 σ1<σ3<σ2
7．0.8
解析 ∵ξ服从正态分布(1，σ2)，
∴ξ在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.
∴ξ在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8.
8．0.16
解析 ∵μ＝2，∴P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)
＝1－P (ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.
9．(1)证明 因为X ～N (10,1)，所以，正态曲线φμ，σ(x )关于直线x ＝10对称，而区间[1,2]
和[18,19]关于直线x ＝10对称，所以ʃ21φμ，σ(x )d x ＝ʃ1918φμ，σ(x )d x ，
即P (1<X <2)＝P (18<X <19)．
(6分)
(2)解 P (10<X <18)＝P (2<X <10)
＝P (X <10)－P (X ≤2)＝12
－a .(12分) 10．解 (1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲
线关于直线x ＝80对称，且在x ＝80处取得最大值．因此μ＝80，12π·σ＝182π
，所以σ＝8.
故正态分布密度函数解析式是
φμ，σ(x )＝182π
()280128x e --.(6分) (2)由μ＝80，σ＝8，得
μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，
所以零件尺寸X 位于区间(72,88)内的概率是0.682 6.
因此尺寸在72 mm ～88 mm 间的零件大约占总数的68.26%.(12分)
11．解 (1)设参加竞赛的学生人数共n 人．
则P (X ≥90)＝13n
，(2分) 而P (X ≥90)＝1－P (30<X <90)2
＝1－P (60－30<X <60＋30)2＝1－0.997 42
＝0.001 3. (6分)
∴13n
＝0.001 3，n ＝10 000(人)． ∴参加竞赛的学生总数约有1万人．(7分)
(2)设受奖学生的分数线为x 0，
则P (X ≥x 0)＝22810 000
＝0.022 8，(9分) 因为0.022 8<0.5，
所以x 0>60，所以P (X ≥x 0)＝P (X －60≥x 0－60)
＝1－P (|X －60|<x 0－60)2
＝0.022 8，(12分) 所以P (|X －60|<x 0－60)＝0.954 4，
所以x 0－60＝20，即x 0＝80(分)
∴受奖学生的分数线是80分．(14分)。