九年级相似三角形中考真题选择题型练习】
浙教新版九年级上册《4.5 相似三角形的性质及其应用》2024年同步练习卷(3)+答案解析
浙教新版九年级上册《4.5相似三角形的性质及其应用》2024年同步练习卷（3）一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上，则的重心是()A.点GB.点DC.点ED.点F2.如图，在中，E，G分别是AB，AC上的点，，的平分线AD交EG于点F，若，则()A.B.C.D.3.如图，的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作交AD于点F，则FG：AG是()A.1：4B.1：3C.1：2D.2：34.如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，，交BC于点F，则与的大小关系为()A.B.C.D.无法确定二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
5.如图，在中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点若，则EF的长是______.6.如图，AD是的高，AE是的外接圆的直径，且，，，则的直径______.7.点G是的重心，，如果，那么AB的长是______.8.如图，E，F分别为AC，BC的中点，D是EC上一点，且若，，则BE的长为______.9.如图，在等腰中，，，点E在边CB上，，点D在边AB上，，垂足为F，则AD的长为______.10.如图，点D在的边BC上，已知点E、点F分别为和的重心，如果，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于______.三、解答题：本题共3小题，共24分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.本小题8分已知，如图，在中，CD是斜边上的中线，交BC于点F，交AC的延长线于点∽吗？为什么？你能推出结论吗？请试一试．12.本小题8分已知：如图，在中，点D、E分别在边BC、AB上，，AD与CE相交于点F，求证：；求证：13.本小题8分如图，在中，，，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒，连接若与相似，求t的值；连接AN，CM，若，求t的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：取BC的中点N，取AC的中点M，连接AN，BM，如图所示，则AN与BM的交点为D，故点D是的重心，故选：取BC的中点N，取AC的中点M，连接AN，BM，然后根据图形可知AN与BM的交点为D，即可得到点D 为的重心．本题考查三角形的重心，解答本题的关键是明确三角形的重心是三角形中线的交点．2.【答案】C【解析】解：，，，，∽，故选：根据两组对应角相等可判断∽，可得，则可得出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用定理是关键．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理的应用，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，根据重心的性质得到，，根据平行线分线段成比例定理计算即可．【解答】解：的两条中线AD和BE相交于点G，点G是的重心，，，，，：：4，故选：4.【答案】C【解析】解：，，，，∽，且相似比为2，，，又，∽，易证∽，求得CF的长，可得根据勾股定理即可求得AE、EF的长，即可判定∽，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，相似三角形对应角相等的性质，本题中求证∽是解题的关键．5.【答案】3【解析】解：点D，E分别是BC，AC的中点，，且，，，，故答案为：由题意可知，DE是的中线，则，且，可得，代入BF的长，可求出EF的长，进而求出BE的长．本题主要考查三角形中位线，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．6.【答案】【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出∽首先根据两个对应角相等可以证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出关于AE的比例式，计算即可．【解答】解：由圆周角定理可知，，，，∽：：AC，，，，：：5，，故答案为：7.【答案】6【解析】解：如图，AD为AB边上的中线，点G是的重心，，，，故答案为先根据三角形重心的性质得到，则，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到AB的长．本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：也考查了直角三角形斜边上的中线性质．8.【答案】【解析】解：，，，∽，，，，E，F分别为AC，BC的中点，，，解得：故答案为：由可得：，结合公共角，可证得∽，从而利用相似三角形的对应中线之比等于相似比即可求BE的长．本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是明确相似三角形的对应中线的之等于相似比．9.【答案】【解析】解：过D作于H，在等腰中，，，，，，，，，，∽，，，，，，，故答案为：过D作于H，根据等腰三角形的性质得到，，求得，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．10.【答案】【解析】解：如图，连接AE并延长交BD于G，连接AF并延长交CD于H，点E、F分别是和的重心，，，，，，，，，，∽，，，故答案为：连接AE并延长交BD于G，连接AF并延长交CD于H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．11.【答案】证明：，，，，，∽；为的中线，，，又，，又是公共角，∽，，即【解析】根据题意，得，，则，易证∽；由中，CD是斜边上的中线，得，则，又，所以，又是公共角，所以∽，即可得出；本题主要考查了直角三角形和相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解答本题的关键．12.【答案】证明：，，，，，，∽，，；∽，，即，，，∽，，，，【解析】根据等腰三角形的性质得到，，推出∽，根据相似三角形的性质得到，于是得到；根据相似三角形的性质得到，即，推出∽，根据相似三角形的性质得到，于是得到，等量代换即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，证得∽是解题的关键．13.【答案】解：，，，，由题意得，，当∽时，，即，解得：；当∽时，，即，解得：，综上所述，与相似时，t的值为或；如图，过点M作于点D，，，∽，，，，，，，，，，，，，，，∽，，即，解得：【解析】根据勾股定理求出AB，分∽、∽两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；过点M作于点D，分别证明∽，∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。
数学初三相似三角形试卷
一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列各组图形中，能够构成相似三角形的是（）A. 两个等腰三角形B. 两个等边三角形C. 两个直角三角形D. 两个锐角三角形2. 已知两个三角形ABC和DEF，若∠A=∠D，∠B=∠E，则下列说法正确的是（）A. 三角形ABC与三角形DEF相似B. 三角形ABC与三角形DEF不一定相似C. 三角形ABC与三角形DEF一定不相似D. 无法判断三角形ABC与三角形DEF是否相似3. 在相似三角形中，对应边的比称为（）A. 相似比B. 对应角C. 相似中心D. 相似轴4. 若一个三角形的边长分别为3、4、5，那么与这个三角形相似的三角形的边长可能是（）A. 6、8、10B. 6、9、12C. 7、10、14D. 8、12、165. 在相似三角形中，若相似比为2：1，则周长比是（）A. 2：1B. 1：2C. 4：1D. 1：4二、填空题（每题4分，共16分）6. 如果两个相似三角形的相似比是3：2，那么它们的面积比是_______。
7. 在相似三角形中，如果相似比是5：3，那么对应高的比是_______。
8. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB=6cm，DE=4cm，那么BC与EF的比是_______。
9. 在相似三角形中，若一个三角形的周长是另一个三角形的3倍，则它们的相似比是_______。
10. 两个相似三角形的相似比为1：2，那么它们的面积比是_______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. （10分）已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=90°，∠C=45°，点D、E分别在边AB、BC上，且AD=DE=EC。
求证：三角形ADE与三角形ABC相似。
12. （10分）已知两个相似三角形ABC和DEF，其中∠A=30°，∠D=45°，∠B=∠E=75°。
求证：三角形ABC与三角形DEF相似。
人教版九年级下册数学 27.2相似三角形 同步练习(含解析)
27.2相似三角形同步练习一．选择题1．如图，△ABC∽△DCA，∠B＝33°，∠D＝117°，则∠BAD的度数是（）A．150°B．147°C．135°D．120°2．两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，那么这两个三角形的面积的比是（）A．2：3B．4：9C．16：36D．16：93．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠F B．且∠B＝∠DC．D．且∠A＝∠D4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED 的是（）①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；④＝．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．5：7B．10：4C．25：4D．25：496．已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上，则下列判断正确的是（）A．若△AEF与△ABC相似，则EF∥BCB．若AE×BE＝AF×FC，则△AEF与△ABC相似C．若，则△AEF与△ABC相似D．若AF•BE＝AE•FC，则△AEF与△ABC相似7．如图，在△ABC，D是BC上一点，BD：CD＝1：2，E是AD上一点，DE：AE＝1：2，连接CE，CE的延长线交AB于F，则AF：AB为（）A．1：2B．2：3C．4：3D．4：78．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则△DEF与四边形EFCO的面积比为（）A．1：4B．1：5C．1：6D．1：79．如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝3，BC＝4，DC＝6，若在边DC上有点P，使△P AD 与△PBC相似，则这样的点P有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于F，连接DF，若BF＝，BC ＝3，则DF＝（）A．4B．3C．2D．二．填空题11．已知△ABC∽△A′B′C′，且AB＝3cm，A′B′＝5cm，则相似比为．12．如图，△ABC中，CA＝CB，点E在BC边上，点D在AC边上，连接AE、DE，若AB ＝AE，2∠AEB+∠ADE＝180°，BE＝8，CD＝，则CE＝．13．如图，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥CD，AE＝2EC，则AF：FD：DB＝．14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则的值是．15．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E、F分别是AB、CD边上的动点，EF⊥AC，则AF+CE的最小值为．三．解答题16．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB 的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．17．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF•DF＝CF•BF．求证：△CAB∽△DAE．18．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC∽△DCA，∴∠BAC＝∠D＝117°，∠DAC＝∠B＝33°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝150°，故选：A．2．解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，∴它们的相似比为4：3，∴它们的面积比为16：9．故选：D．3．解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠F，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；B、＝且∠B＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；C、＝＝，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；D、＝且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；故选：B．4．解：∵∠A＝∠A，∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．∵＝，∴＝∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故①②③可以判断三角形相似，故选：B．5．解：设DE＝5k，EC＝2k，则CD＝7k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝7k，DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝＝＝，故选：D．6．解：选项A错误，∵△AEF与△ABC相似，可能是∠AEF＝∠C，推不出EF∥BC．选项B错误，由AE×BE＝AF×FC，推不出△AEF与△ABC相似．选项C错误，由，推不出△AEF与△ABC相似．选项D正确．理由：∵AF•BE＝AE•FC，∴＝，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．故选：D．7．解：过D作DH∥AB交CF于H，如图，∵DH∥BF，∴＝，∵BD：CD＝1：2，∴CD：BC＝2：3，∴BF＝DH，∵DH∥AF，∴＝＝2，∴AF＝2DH，∴AF：BF＝2DH：DH＝4：3，∴AF：AB＝4：7．故选：D．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AB∥CD，∵E为OD的中点，∴DE＝EO＝DO，∴BO＝2EO，BE＝3DE，∵DF∥AB，∴△DFE∽△BAE，∴＝（）2＝，设S△DEF＝x，则S△BEA＝9x，∵BO＝2OE，∴S△AOB＝6x＝S△DOC，∴四边形EFCO的面积＝5x，∴△DEF与四边形EFCO的面积比＝1：5，故选：B．9．解：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠P AD＝∠PBC＝90°．设DP的长为x，则CP长为6﹣x．若AB边上存在P点，使△P AD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则DP：CP＝AD：BC，即x：（6﹣x）＝3：4，解得：x＝②若△APD∽△BPC，则DP：PC＝AD：BC，即x：4＝3：（6﹣x），整理得：x2﹣6x+12＝0，∵△＜0，这种情形不存在，∴满足条件的点P的个数是1个，故选：A．10．解：如图，连接BD，∵∠AEF＝∠BEA，∠AFE＝∠BAE＝90°，∴△AEF∽△BEA，∴＝，∵AE＝ED，∴＝，又∵∠FED＝∠DEB，∴△FED∽△DEB，∴∠EFD＝∠EDB，∵∠EFD+∠DFC＝90°，∠EDB+∠ODC＝90°，∴∠DFC＝∠ODC，∵在矩形ABCD中，OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，∴OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠DFC＝∠OCD，∴DF＝DC，在Rt△BCF中，FC＝＝＝2，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∴AF＝FC＝，∴AB＝＝＝3，∴DF＝3，故选：B．二．填空题11．解：由题意得，＝，∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为＝，故答案为：．12．解：如图，过点A作AM⊥BE于E，过点D作DN⊥EC于N，∵CA＝CB，AB＝AE，∴∠B＝∠CAB，∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠CAB＝∠AEB，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，∴∠C＝∠BAE，∴2∠AEB+∠C＝180°，又∵2∠AEB+∠ADE＝180°，∴∠C＝∠ADE，又∵∠ADE＝∠C+∠DEC，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC＝，∵AB＝AE，AM⊥BE，DE＝CC，DN⊥EC，∴BM＝ME＝BE＝4，EN＝NC＝EC，AM∥DN，∴△CDN∽△CAM，∴，∴，∴EC＝12，EC＝﹣5（不合题意舍去），故答案为：12．13．解：∵EF∥CD，AE＝2EC，∴＝＝2，∵DE∥BC，∴＝＝2，设DF＝m，则AF＝2m，AD＝3m，DB＝m，∴AF：DF：DB＝2m：m：m＝4：2：3．故答案为：4：2：3．14．解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴＝（）2＝，∴＝，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝，故答案为：．15．解：如图所示：设DF＝x，则FC＝4﹣x；过点C作CG∥EF，且CG＝EF，连接FG，当点A、F、G三点共线时，AF+FG的最值小；∵CG∥EF，且CG＝EF，∴四边形CEFG是平行四边形；∴EC∥FG，EC＝FG，又∵点A、F、G三点共线，∴AF∥EC，又∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥DC，∠D＝90°，∴四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，又∵EF⊥AC，AF＝CF＝4﹣x，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2+DF2＝AF2，又∵AD＝2，DF＝x，则FC＝4﹣x，∴22+x2＝（4﹣x）2，解得：x＝，∴AF＝，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，∴AC＝，∴AO＝，又∵OF∥CG，∴△AOF∽△ACG，∴＝，∴AG＝5，又∵AG＝AF+FG，FG＝EC，∴AF+EC＝5，故答案为5．三．解答题16．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS）；（2）∵△ABP≌△ADP，∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠E，∴∠E＝∠ABP，又∵∠FPB＝∠EPB，∴△EPB∽△BPF，∴，∴PB2＝PE•PF，∴PD2＝PE•PF．17．证明：∵EF•DF＝CF•BF．∴，∵∠EFC＝∠BFD，∴△EFC∽△BFD，∴∠CEF＝∠B，∴∠B＝∠AED，∵∠CAB＝∠DAE，∴△CAB∽△DAE．18．（1）证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∴AF⊥BC，AG⊥DE，∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，∵∠BAF＝∠DAG，∴∠B＝∠ADG，又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵，BC＝3，∴，∴BC＝．。
相似三角形中考题大全
中考数学专题练习：相似三角形一、选择题1.如图，将图形用放大镜放大，应该属于()A .平移变换B .相似变换C .旋转变换D .对称变换2.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC .若BD ＝2AD ，则()A.AD AB ＝12B.AE EC ＝12C.AD EC ＝12D.DE BC ＝123.(2019•雅安)若34a b =∶∶，且14a b +=，则2a b -的值是A ．4B ．2C ．20D ．144.（2020·河南）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，边BC 在x 轴上，顶点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为()A.(32，2) B.(2，2) C.(114，2) D.(4，2)5.(2019•重庆)下列命题是真命题的是A ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3B ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9C ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3D ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶96.(2019•巴中)如图 ABCD ，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使13DE AD =∶∶，连接EF 交DC 于点G ，则:DEG CFG S S △△=A ．2∶3B ．3∶2C ．9∶4D ．4∶97.（2020·威海）如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线l 3，l 4，l 2，l 1上．若直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4且间距相等，AB ＝4，BC ＝3，则tan α的值为（）A ．B ．C ．D ．8.（2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC 是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE ∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE 只算一个)，这样的格点三角形一共有（）个 D.7个B二、填空题9.（2020·盐城）如图，//,BC DE 且,4,10BCDE AD BC AB DE <==+=，则AEAC的值为．10.（2020·吉林）如图，在ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若ADE的面积为12．则四边形DBCE 的面积为_______．11.(2019•大庆)如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE相交于点G ，若DG=1，则AD=__________．12.（2020·临沂）如图，在ABC ∆中，D ，E 为边AB 的三等分点，////EF DG AC ，H 为AF 与DG 的交点.若6AC =，则DH =_________.13.(2020·绥化)在平面直角坐标系中，△ABC和△A 1B 1C 1的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，若点A 的坐标为(2，4)，则其对应点A 1的坐标是______．14.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于________．15.(2019•辽阳)如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO CO ，分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为(86)-，，点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足PBE △∽CBO △，当APC △是等腰三角形时，P 点坐标为__________．16.(2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当BDE △是直角三角形时，则CD 的长为__________．三、解答题17.如图，过☉O 外一点P 作☉O 的切线PA ，切☉O 于点A ，连接PO 并延长，与☉O 交于C ，D 两点，M 是半圆CD 的中点，连接AM 交CD 于点N ，连接AC ，CM.(1)求证:CM 2=MN ·MA ;(2)若∠P=30°，PC=2，求CM 的长.18.如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G.(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；(2)请连接FG ，如果α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FG 的长．19.（2020·杭州）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，DAE ∠的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ．设()0CEEBλλ=>．（1）若2AB =，λ＝1，求线段CF 的长．（2）连接EG ，若EG AF ⊥，①求证：点G 为CD 边的中点．②求λ的值．20.（2020·攀枝花）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心.如图G 是ABC ∆的重心.求证：3AD GD =.21.（2020·江苏徐州）我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BC ABAB AC=，那么称点B为线段AC的黄金分割点..（1）在图①中，若AC=20cm，则AB的长为cm；（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B的对应点H，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E （AE>DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.图①图②图③22.（2020•丽水）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．（1）求BC边上的高线长．（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长.23.如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O、B重合)，作EC⊥OB 交⊙O于点C，作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB.(1)求证：AC平分∠FAB；(2)求证：BC2＝CE·CP；(3)当AB＝43且CFCP＝34时，求劣弧BD︵的长度．24.在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x2－5x＋2＝0，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A(0，1)，B(5，2)；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图①)；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n既为该方程的另一个实数根．(1)在图②中，按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹)；(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2－5x＋2＝0的一个实数根；(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P(m1，n1)．Q(m2，n2)就是符合要求的一对固定点？答案一、选择题1.【答案】B2.【答案】B【解析】∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∵BD ＝2AD ，∴AD AB ＝AEAC＝13，∴AE EC ＝12，故选B .3.【答案】A【解析】由a ∶b =3∶4知34b a =，所以43a b =．所以由14a b +=得到：4143aa +=，解得6a =．所以8b =．所以22684a b -=⨯-=．故选A ．4.【答案】B【解析】∵点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7，∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，设正方形与x 轴的两个交点分别为G 、F ，∵EF ⊥x 轴，EF=GF=DG=2，∴EF ∥AC ，D ，E 两点的纵坐标均为2，∴EF BF AC BC =，即269BF=，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴D 点的横坐标为2，∴点D 的坐标为(2，2)．5.【答案】B【解析】A 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是假命题；B 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是真命题；C 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题；D 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题，故选B ．6.【答案】D【解析】设DE x =，∵13DE AD =∶∶，∴3AD x =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，3BC AD x ==，∵点F 是BC 的中点，∴1322CF BC x ==，∵AD BC ∥，∴DEG CFG △∽△，∴224()()392DEG CFG S DE x S CF x ===△△，故选D ．7.【答案】：作CF ⊥l 4于点F ，交l 3于点E ，设CB 交l 3于点G ，由已知可得，GE∥BF ，CE ＝EF ，∴△CEG ∽△CFB ，∴，∵，∴，∵BC ＝3，∴GB，∵l 3∥l 4，∴∠α＝∠GAB ，∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝4，∴∠ABG ＝90°，∴tan ∠BAG ，∴tan α的值为，故选：A．8.【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：B因此本题选A ．二、填空题9.【答案】2【解析】∵BC ∥DE ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AD DEAC AB BC ==，设DE ＝x ,则AB ＝10－x ∵AD ＝BC ＝4，∴4104AE x AC x ==-，∴x 1＝8,x 2＝2(舍去)，824AE AC ==，此本题答案为2．10.【答案】32【解析】 点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，1//,2DE BC DE BC ∴=ADE ABC∴ 21()4ADE ABC S DE S BC ∴==△△，即4ABC ADES S =△△又12ADE S =，1422ABC S ∴=⨯= 则四边形DBCE 的面积为13222ABC ADE S S -=-= .故答案为：32．11.【答案】3【解析】∵D 、E 分别是BC ，AC 的中点，∴点G 为△ABC 的重心，∴AG=2DG=2，∴AD=AG+DG=2+1=3．故答案为：3．12.【答案】1【解析】∵D 、E 为边AB 的三等分点，∴BE=ED=AD=13AB.∵////EF DG AC ，∴123EF AC ==∴112DH EF ==.13.【答案】(－4，－8)或(4，8)【解析】∵△ABC 和△A1B1C1的相似比等于12，∴△A1B1C1和△ABC 的相似比等于2．因此将点A(2，4)的横、纵坐标乘以±2即得点A1的坐标，∴点A1的坐标是(－4，－8)或(4，8)．14.【答案】78【解析】如解图，过A 作AH ⊥BC ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.法一：BC·AH ＝AB·AC ，AH ＝AB·AC BC ＝15×2025＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.法二：DE ＝152－122＝9，由△CDE ∽△CAH 可得，CD CA ＝ED HA ，∴AH ＝9×2015＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.15.【答案】326()55-，或(43)-，【解析】∵点P 在矩形ABOC 的内部，且APC △是等腰三角形，∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上；①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，如图1所示，∵PE BO ⊥，CO BO ⊥，∴PE CO ∥，∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，，∴点P 横坐标为﹣4，6OC =，8BO =，4BE =，∵PBE △∽CBO △，∴PE BE CO BO =，即468PE =，解得：3PE =，∴点(43)P -，．②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ，过点P 作PE BO ⊥于E ，如图2所示，∵CO BO ⊥，∴PE CO ∥，∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，，∴8AC BO ==，8CP =，6AB OC ==，∴22228610BC BO OC =+=+=，∴2BP =，∵PBE △∽CBO △，∴PE BE BP CO BO BC ==，即：26810PE BE ==，解得：65PE =，85BE =，∴832855OE =-=，∴点326(55P -，，综上所述：点P 的坐标为：326(55-，或(43)-，，故答案为：326()55-，或(43)-，．16.【答案】3或247【解析】分两种情况：①若90DEB ∠=︒，则90AED C ∠=︒=∠，CD ED =，连接AD ，则Rt Rt ACD EAD △≌△，∴6AE AC ==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，∵Rt BDE △中，222DE BE BD +=，∴2224(8)x x +=-，解得3x =，∴3CD =；②若90BDE ∠=︒，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=︒，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，∴90AFE EDB ∠=∠=︒，AEF B ∠=∠，∴AEF EBD △∽△，∴AF EFED BD=，设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-，∴68x x x x -=-，解得247x =，∴247CD =，综上所述，CD 的长为3或247，故答案为：3或247．三、解答题17.【答案】解:(1)证明:∵在☉O 中，点M 是半圆CD 的中点，∴∠CAM=∠DCM ，又∵∠CMA 是△CMN 和△AMC 的公共角，∴△CMN ∽△AMC ，∴=，∴CM 2=MN ·M A .(2)连接OA ，DM ，∵PA 是☉O 的切线，∴∠PAO=90°，又∵∠P=30°，∴OA=PO=(PC +CO ).设☉O 的半径为r ，∵PC=2，∴r=(2+r )，解得r=2.又∵CD 是直径，∴∠CMD=90°，∵点M 是半圆CD 的中点，∴CM=DM ，∴△CMD 是等腰直角三角形，∴在Rt △CMD 中，由勾股定理得CM 2+DM 2=CD 2，∴2CM 2=(2r )2=16，∴CM 2=8，∴CM=2.18.【答案】解：(1)△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM 等．(写出两对即可)以下证明△AMF ∽△BGM.由题知∠A ＝∠B ＝∠DME ＝α，而∠AFM ＝∠DME ＋∠E ，∠BMG ＝∠A ＋∠E ，∴∠AFM ＝∠BMG ，∴△AMF ∽△BGM.(2)当α＝45°时，可得AC ⊥BC 且AC ＝BC ，∵M 为AB 中点，∴AM ＝BM ＝2 2.由△AMF ∽△BGM 得，AF·BG ＝AM·BM ，∴BG ＝83.又AC ＝BC ＝42cos 45°＝4，∴CG ＝4－83＝43，CF ＝4－3＝1，∴FG ＝（43）2＋12＝53.19.【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，∴∠DAF ＝∠F ．∵AG 平分∠DAE ，∴∠DAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠F ，∴EA ＝EF ．∵λ＝1，∴BE ＝EC ＝1．在Rt △ABE 中，由勾股定理得EA ，∴CF ＝EF －EC －1．（2）①∵EA ＝EF ，EG ⊥AF ，∴AG ＝GF ．又∵∠AGD ＝∠FGC ，∠DAG ＝∠F ，所以△DAG ≌△CFG ，∴DG ＝CG ，∴点G 为CD 边的中点．②不妨设CD ＝2，则CG ＝1．由①知CF ＝AD ＝2．∵EG ⊥AF ，∴∠EGF ＝90°．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，∴∠BCD ＝∠FCG ，∠EGC ＋∠CGF＝90°，∠EGC ＋∠GEC ＝90°，∴∠CGF ＝∠GEC ，∴△EGC ∽△GFC ，∴ECCG ＝CG CF ＝12，∴EC ＝12，∴BE ＝32，∴λ＝13．20.【答案】证明：连接DE ，∵点G 是△ABC 的重心，∴点E 和点D 分别是AB 和BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AC 且DE=12AC ，∴△DEG ∽△ACG ，∴2AG AC DG ED ==，∴2AG GD =∴AD=3DG ，即AD=3GD ．21.【答案】解：（1）10-.解：∵ABAC=，AC=20，∴AB=10-.（2）延长CG 交DA 的延长线于点J ，由折叠可知：∠BCG=∠ECG ，∵AD ∥BC ，∴∠J=∠BCG=∠ECG ，∴JE=CE.由折叠可知：E 、F 为AD 、BC 的中点，∴DE=AE=10，由勾股定理可得：==,∴EJ=AJ=JE-AE=-10，∵AJ ∥BC ，∴△AGJ ∽△BGC，∴AG AJ BG BC ===,∴G 是AB 的黄金分割点.（3）PB=BC ，理由如下：∵E 为AD 的黄金分割点，且AE>DE ，∴AE=12 a.∵CF ⊥BE ，∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠BCF=90˚,∴∠ABE=∠FCB,在△BEA 和△CFB 中，∵90ABE FCB AB BCA FBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△BEA ≌△CFB ，∴a.∴12AF BF BF AB ==,∵AE ∥BP ，∴△AEF ∽△BPF,∴AE AF BF PB BF AB==,∵AE=BF,∴PB=AB ，∴PB=BC.22.【答案】解：（1）如图1中，过点A 作AD ⊥BC 于D．在Rt △ABD 中，AD ＝AB•sin45°＝44．（2）①如图2中，∵△AEF ≌△PEF ，∴AE ＝EP ，∵AE ＝EB ，∴BE ＝EP ，∴∠EPB ＝∠B ＝45°，∴∠PEB ＝90°，∴∠AEP ＝180°﹣90°＝90°．②如图3中，由（1）可知：AC，∵PF ⊥AC ，∴∠PFA ＝90°，∵△AEF ≌△PEF ，∴∠AFE ＝∠PFE ＝45°，∴∠AFE＝∠B，∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴，即，∴AF＝2，在Rt△AFP，AF＝FP，∴AP AF＝2．23.【答案】(1)证明：∵PF切⊙O于点C，CD是⊙O的直径，∴CD⊥PF，又∵AF⊥PC，∴AF∥CD，∴∠OCA＝∠CAF，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠CAF＝∠OAC，∴AC平分∠FAB；(2)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠DCP＝90°，∴∠ACB＝∠DCP＝90°，又∵∠BAC＝∠D，∴△ACB∽△DCP，∴∠EBC＝∠P，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠CBP＝90°，∴∠BEC＝∠CBP，∴△CBE∽△CPB，∴BCPC＝CECB，∴BC2＝CE·CP；(3)解：∵AC平分∠FAB，CF⊥AF，CE⊥AB，∴CF＝CE，∵CFCP＝34，∴CECP＝34，设CE＝3k，则CP＝4k，∴BC2＝3k·4k＝12k2，∴BC＝23k，在Rt△BEC中，∵sin∠EBC＝CEBC＝3k23k＝32，∴∠EBC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形，∴∠DOB ＝120°，∴BD ︵＝120π·23180＝43π3.24.【答案】【思路分析】(1)因为点C 是x 轴上的一动点，且∠ACB ＝90°保持不变，所以由圆周角的性质得，点C 必在以AB 为直径的圆上，所以以AB 为直径画圆，与x 轴相交于两点，除点C 的另一点就是所求；(2)因为∠ACB ＝90°，∠AOC ＝90°，所以过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为E ，则构造了一个“K”字型的基本图形，再由相似三角的性质得出比例式，化简后得m 2－5m ＋2＝0，问题得证；(3)由(2)中的证明过程可知，一个二次项系数为1的一元二次方程，一次项系数是点A 的横坐标与点B 的横坐标的和的相反数；常数项是点A 的纵坐标与点B 的纵坐标的积，先把方程ax 2＋bx ＋c ＝0，化为x 2＋b a x ＋ca＝0，再根据上述关系写出一对固定点的坐标；(4)由(2)的证明中知，本题的关键点在“K”字型的构造，所以本小题解题的关键是要抓住图②中的“K”字型，只要P 、Q 两点分别在AD 、BD 上，过P 、Q 分别作x 轴垂线，垂足为M 、N ，这样就构造出满足条件的基本图形，再应用相似三角形的性质，可得相应的关系式．图①图②(1)解：如解图①，先作出AB 的中点O 1，以O 1为圆心，12AB 为半径画圆．x 轴上另外一个交点即为D 点；(4分)(2)证明：如解图①，过点B 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，∵∠ADB ＝90°，∴∠ADO ＋∠BDE ＝90°，∵∠OAD ＋∠ADO ＝90°，∴∠OAD ＝∠BDE ，∵∠AOD ＝∠DEB ＝90°，∴△AOD ∽△DEB ，(6分)∴AO DE ＝OD EB ，即15－m ＝m2，∴m 2－5m ＋2＝0，∴m 是x 2－5x ＋2＝0的一个实根；(8分)(3)解：(0，1)，(－b a，c a )或(0，1a )，(－ba ，c )；(10分)(4)解：在解图②中，P 在AD 上，Q 在BD 上，过P ，Q 分别作x 轴的垂线交x轴于M ，N.由(2)知△PMD ∽△DNQ ，∴n 1m 2－x ＝x －m 1n 2，(12分)∴x 2－(m 1＋m 2)x ＋m 1m 2＋n 1n 2＝0与ax 2＋bx ＋c ＝0同解，∴－b a ＝m 1＋m 2；ca＝m 1m 2＋n 1n 2.(14分)【难点突破】本题是一道考查数形结合思想的题．本题解题的突破口要抓住∠ACB ＝90°保持不变的特征，构造相似三角形中的基本图形，通过数形结合的方法，以相似三角形的比例式为桥梁，以此获得关于m 的等量关系，从而使问题得以解决．。
湘教版九年级数学上册《3.4 相似三角形的判定与性质》练习题-带参考答案
湘教版九年级数学上册《3.4 相似三角形的判定与性质》练习题-带参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.已知△ABC∽△A′B′C′且ABA′B′＝12，则S△ABC∶S△A′B′C′为( )A.1∶2B.2∶1C.1∶4D.4∶12.如图，△ABC与△DE F相似，相似比为1∶2，BC的对应边是EF，若BC＝1，则EF的长是( )A.1B.2C.3D.43.已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶14.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF ：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：25.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对6.如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条7.如图，点P是△ABC的边AB上的一点，过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有( )A.2条B.3条C.4条D.5条8.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在格点为( )A.P1 B.P2C.P3D.P49.要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架乙共有( )A.1种B.2种C.3种D.4种10.如图，在△ABC中，CD⊥AB，且CD2＝AD•DB，AE平分∠CAB交CD于F，∠EAB＝∠B，CN＝BE.①CF＝BN；②∠ACB＝90°；③FN∥AB；④AD2＝DF•DC.则下列结论正确的是( )A.①②④B.②③④C.①②③④D.①③二、填空题11.若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比值为.12.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是.13.若△ABC∽△A′B′C′，且AB：A′B′＝3：4，△ABC的周长为12 cm，则△A′B′C′的周长为____________．14.下图中的每个点(包括△ABC的各个顶点)都在边长为1的小正方形的顶点上，在P、Q、G、H中找一个点，使它与点D、E构成的三角形与△ABC相似，这个点可以是.(写出满足条件的所有的点)15.如图，平行四边形ABCD中，E是BC边延长线上一点，AE交CD于F，则图中相似三角形有对．16.如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A(0，1)作y轴的垂线l于点B，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B.BA为邻边作▱ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1.B1A1为邻边作▱A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则Cn的坐标是.三、解答题17.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°. 求证：△ADC∽△DEB.18.如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．(1)判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；(2)求∠BAC的度数．19.如图所示，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C.求证：(1) ∠EAF＝∠B；(2) AF2＝FE·FB.20.如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD.(1)求证△ADC∽△BGC；(2)求证CG·AB＝CB·DG.21.如图，已知P是正方形ABCD边BC上一点，BP＝3PC，Q是CD的中点(1)求证：△ADQ∽△QCP；(2)若AB＝10，连接BD交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长.22.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB延长线上一点，E是AC上一点，DE交BC于点F.(1)如图①，若BD＝CE，求证：DF＝EF.(2)如图②，若BD＝1nCE，试写出DF和EF之间的数量关系，并证明.(3)如图③，在(2)的条件下，若点E在CA的延长线上，那么(2)中结论还成立吗？试证明.答案1.C2.B3.B4.A5.C.6.C7.C.8.B9.C.10.C.11.答案为：1：4.12.答案为：4：9.13.答案为：16cm.14.答案为：Q.15.答案为：4.16.答案为(﹣3×4n﹣1，4n).17.证明：∵△ABC是等边三角形∴∠B＝∠C＝60°∴∠ADB＝∠CAD＋∠C＝∠CAD＋60°∵∠ADE＝60°∴∠ADB＝∠BDE＋60°∴∠CAD＝∠BDE∴△ADC∽△DEB.18.解：(1)△PBA与△ABC相似，理由如下：∵AB＝5，BC＝5，BP＝1∴∵∠PBA＝∠ABC∴△PBA∽△ABC；(2)∵△PBA∽△ABC∴∠BAC＝∠BPA∵∠BPA＝90°＋45°＝135°∴∠BAC＝135°．19.证明：(1)∵AB∥CD∴∠B＝∠C又∠C＝∠EAF∴∠EAF＝∠B(2)∵∠EAF＝∠B，∠AFE＝∠BFA ∴△AFE∽△BFA则AFBF＝FEFA∴AF2＝FE·FB20.解：(1) ∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高∴∠BGC＝∠ADC＝90°.又∠C＝∠C∴△ADC∽△BGC.(2)∵△ADC∽△BGC∴CGDC＝BCAC.∴CGBC＝DCAC.又∠C＝∠C∴△GDC∽△BAC.∴CGBC＝DGAB.∴CG·AB＝CB·DG.21.证明：(1)∵正方形ABCD中，BP＝3PC，Q是CD的中点∴PC＝14﹣BC，CQ＝DQ＝12CD，且BC＝CD＝AD∴PC ：DQ ＝CQ ：AD ＝1：2 ∵∠PCQ ＝∠ADQ ＝90° ∴△PCQ ∽△ADQ (2)∵△BMP ∽△AMD ∴BM ：DM ＝BP ：AD ＝3：4 ∵AB ＝10 ∴BD ＝10 2 ∴BM ＝同理QN ＝53 5.22.证明：(1)在题图①中作EG ∥AB 交BC 于点G 则∠ABC ＝∠EGC ，∠D ＝∠FEG. ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C. ∴∠EGC ＝∠C.∴EG ＝EC. ∵BD ＝CE ，∴BD ＝EG. ∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠GFE ∴△BFD ≌△GFE. ∴DF ＝EF. (2)解：DF ＝1nEF.证明：在题图②中作EG ∥AB 交BC 于点G ，则∠D ＝∠FEG.由(1)得EG ＝EC. ∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠EFG ∴△BFD ∽△GFE.∴BD EG ＝DF EF. ∵BD ＝1n CE ＝1n EG∴DF ＝1n EF.(3)解：成立.证明：在题图③中作EG ∥AB 交CB 的延长线于点G则仍有EG＝EC，△BFD∽△GFE.∴BDEG＝DFEF.∵BD＝1nCE＝1nEG，∴DF＝1nEF.。
完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案
完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案1.填空题：1) 若$a=8$cm，$b=6$cm，$c=4$cm，则$a$、$b$、$c$的第四比例项$d=\underline{12}$；$a$、$c$的比例中项$x=\underline{5}$。
2) $(2-x):x=x:(1-x)$。
则$x=\underline{1}$。
3) 在比例尺为1：的地图上，距离为3cm的两地实际距离为\underline{30}公里。
4) 圆的周长与其直径的比为\underline{$\pi$}。
5) $\frac{a^5-ab}{b^3}=\frac{a^4}{b^2}$，则$\frac{a}{b}=\underline{a^2}$。
6) 若$a:b:c=1:2:3$，且$a-b+c=6$，则$a=\underline{2}$，$b=\underline{1}$，$c=\underline{3}$。
7) 如图1，则$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CE}=\underline{\frac{3}{2}}$；若$BD=10$cm，则$AD=\underline{6}$cm；若$\triangle ADE$的周长为16cm，则$\triangle ABC$的周长为\underline{24}cm。
8) 若点$c$是线段$AB$的黄金分割点，且$AC>CB$，则$\frac{AC}{AB}=\underline{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$，$\frac{CB}{AB}=\underline{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$。
2.选择题：1) 根据$ab=cd$，共可写出以$a$为第四比例项的比例式的个数是（）A．$1$，B．$2$，C．$3$，D．$4$。
答案：B。
2) 若线段$a$、$b$、$c$、$d$成比例，则下列各式中一定能成立的是（）A．$abcd=1$，B．$a+b=c+d$，C．$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，D．$a^2+b^2=c^2+d^2$。
数学九年级上册相似试卷【含答案】
数学九年级上册相似试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若两个三角形的对应角相等，则它们是相似的，这句话是否正确？A. 正确B. 错误2. 在ΔABC和ΔDEF中，若AB/DE = BC/EF = AC/DF，则这两个三角形是否相似？A. 相似B. 不相似3. 两个相似三角形的面积比是9:1，它们的边长比是：A. 3:1B. 1:3C. 9:1D. 1:94. 若ΔABC ∽ ΔA'B'C'，则以下哪个比例是错误的？A. AB/A'B' = BC/B'C'B. AB/A'B' = AC/A'C'C. AB/A'B' = (BCAC)/(B'C'A'C')D. AB/A'B' = (BC+AC)/(B'C'+A'C')5. 在ΔABC中，AB = 6cm, BC = 8cm, ∠B = 90°，若ΔDEF ∽ ΔABC，且EF = 4cm，则DE的长度是：A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm二、判断题（每题1分，共5分）6. 相似三角形的对应边长之比相等。
（）7. 相似三角形的面积比等于对应边长比的平方。
（）8. 若两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形一定相似。
（）9. 在ΔABC中，若AB = AC，则ΔABC是等腰三角形。
（）10. 两个全等三角形的面积比一定是1:1。
（）三、填空题（每题1分，共5分）11. 在ΔABC和ΔDEF中，若AB/DE = BC/EF = AC/DF = 2/3，则ΔABC与ΔDEF______。
12. 若ΔABC ∽ ΔA'B'C'，且AB = 6cm, A'B' = 9cm，则BC与B'C'的长度之比是______。
九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习(含答案)
九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE =1：2，那么下列等式一定成立的是 A ．BC ：DE =1：2B ．△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2 C ．∠A 的度数：∠D 的度数=1：2D ．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2 【答案】D2．如图，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，且AB =1，CD =3，那么EF 的长是A ．13B ．23 C ．34D ．45【答案】C【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF DF AB DB =，EF BF CD BD =，∴EF EF DF BFAB CD DB BD+=+=1． ∵AB =1，CD =3，∴13EF EF +=1，∴EF =34．故选C ．3．已知：如图，在ABCD中，AE：EB=1：2，则FE：FC=A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．3：2 【答案】B【解析】在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∵BE=2AE，∴BE=23AB=23CD，∵AB∥CD，∴EFFC=BEDC=23，故选B．4．已知：如图，E是ABCD的边AD上的一点，且32AEDE=，CE交BD于点F，BF=15cm，则DF的长为A．10cm B．5cmC．6cm D．9cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，∴DE∥BC，且AD=BC，∴∠DEF=∠BCF；∠EDF=∠CBF，∴△EDF∽△CBF，∴BC BF ED DF=，∵32AEDE=，∴设AE=3k，DE=2k，则AD=BC=5k，52BC BFED DF==，∵BF=15cm，∴DF=25BF═6cm．故选C．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为A．9：1 B．1：9C．3：1 D．1：3【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比为3，∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，故选B．6．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为A．63°B．72°C．73°D．83°【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，∴∠C=180°–35°–72°=73°，∵△ABC∽△AB'C'，∴∠AC′B′=∠C=73°，故选C．7．如图，△ABC中，E为AB中点，AB=6，AC=4.5，∠ADE=∠B，则CD=A．32B．1C．12D．23【答案】C【解析】∵E为AB中点，∴AE=12AB，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AE ADAC AB，∴12AB2=AD•AC，∴AD=4，∴CD=AC–AD=0.5，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．两个三角形相似，相似比是12，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是__________．【答案】36【解析】∵两个三角形相似，相似比是12，∴两个三角形的面积比是14，∵小三角形的面积是9，∴大三角形的面积是36，故答案为：36．9．矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．【答案】65或310．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__________．【答案】3≤AP<4【解析】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0<AP<4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0<AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP<4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP<4．故答案为：3≤AP<4．11．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE与△ABC相似，则点E的坐标是__________．【答案】（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．①当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；②当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC；③当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；同理，当点E的坐标为（4，2）、（4，5）、（4，0），故答案为：（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）【解析】已知：如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k ．求证：111ABC A B C S S △△=k 2；证明：作AD ⊥BC 于D ，A 1D 1⊥B 1C 1于D 1，∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应， ∴∠B =∠B 1，∵AD 、A 1D 1分别是△ABC ，△A 1B 1C 1的高线， ∴∠BDA =∠B 1D 1A 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴11AD A D =11ABA B =k ， ∴111ABC A B C S S △△=11111212BC AD B C A D ⋅⋅⋅⋅=k 2．13．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM 、EN 分别是斜边AB 、DF 上的中线，已知AC =9cm ，CB =12cm ，DE =3cm ．（1）求CM 和EN 的长； （2）你发现CMEN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB =22AC CB +=22912+=15，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM =12AB=7.5， ∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE DF AC AB =，即319315DF==， ∴DF =5，∵EN 为斜边DF 上的中线，∴EN =12DF =2.5； （2）∵7.532.51CM EN ==，相似比为9331AC DE ==，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．14．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB ．（1）求∠APB 的大小．（2）说明线段AC 、CD 、BD 之间的数量关系．15．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD =CD ，则∠ACB =__________°． （2）如图2，在△ABC 中，AC =2，BC 2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解析】（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知得AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA=BDBC，设BD=x2）2=x（x+2），∵x＞0，∴x3–1，∵△BCD∽△BAC，∴CD BDAC BC=32，∴CD 312-×62．故答案为：96．。
初三数学13 相似三角形-2024年中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)
专题13 相似三角形一．选择题1．（2022·黑龙江哈尔滨）如图，,,AB CD AC BD ∥相交于点E ，1,2,3AE EC DE ===，则BD 的长为（ ）A ．32B ．4C ．92D ．6【答案】C【分析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE 的长，即可求得BD 的长．【详解】∵//AB CD ∴ABE CDE ∽ ∴AE BE EC DE= ∵1,2,3AE EC DE ===，∴32BE =∵BD BE ED =+ ∴92BD = 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的对应边长成比例，解题的关键在于找到对应边长．2．（2022·广西贺州）如图，在ABC 中，25DE BC DE BC ==∥，，，则:ADE ABC S S 的值是（ ）A ．325B ．425C ．25D ．35【答案】B【分析】根据相似三角形的判定定理得到ADE ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：25DE BC DE BC ==∥，，∴ADE ABC ，∴2224525ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选：B ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．（2022·广西梧州）如图，以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形''''A B C D ﹐已知'13OA OA =，若四边形ABCD 的面积是2，则四边形''''A B C D 的面积是（ ）A ．4B ．6C ．16D ．18【答案】D 【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：由题意可知，四边形ABCD 与四边形''''A B C D 相似，由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：''''22'1139ABCD A B C D S OA S OA ⎛⎫⎛⎫= ⎪= ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又四边形ABCD 的面积是2，∴四边形''''A B C D 的面积为18，故选：D ．【点睛】本题考察相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键．4．（2022·四川雅安）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 上的点，DE ∥BC ，若AD BD ＝21，那么DE BC ＝（ ）A ．49B ．12C ．13D ．23【答案】D【分析】先求解2,3AD AB =再证明,ADE ABC ∽可得2.3DE AD BC AB ==【详解】解： AD BD ＝21，2,3AD AB ∴= DE ∥BC ，,ADE ABC ∴ ∽ 2,3DE AD BC AB ∴== 故选D 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明ADE ABC △△∽是解本题的关键．5．（2022·内蒙古包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A ，B ，C ，D 四个点均在格点上，AC 与BD 相交于点E ，连接,AB CD ，则ABE △与CDE △的周长比为（ ）A ．1：4B ．4：1C ．1：2D ．2：1【答案】D 【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM 为平行四边形，接着证明ABE CDE ∽，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．【详解】如图：由题意可知，3DM =，3BC =， ∴DM BC =，而DM BC ∥，∴四边形DCBM 为平行四边形，∴AB DC ∥，∴BAE DCE ∠=∠，ABE CDE ∠=∠，∴ABE CDE ∽，∴21ABE CDE C AB C CD ===△△．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．6．（2022·黑龙江绥化）如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一个动点，连接BP ，CP ，过点B 作射线，交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得ABE CBP =∠∠，如果2AB =，5BC =，AP x =，PM y =，其中25x < ．则下列结论中，正确的个数为（ ）（1）y 与x 的关系式为4y x x =-；（2）当4AP =时，ABP DPC ∽；（3）当4AP =时，3tan 5EBP ∠=．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【分析】（1）证明ABM APB ∽，得AB AM AP AB=，将2AB =，AP x =，PM y =代入，即可得y 与x 的关系式；（2）利用两组对应边成比例且夹角相等，判定ABP DPC ∽；（3）过点M 作MF BP ⊥垂足为F ，在Rt APB △中，由勾股定理得BP 的长，证明FPM APB ∽，求出MF ，PF ，BF 的长，在Rt BMF △中，求出tan EBP ∠的值即可．【详解】解：（1）∵在矩形ABCD 中，∴AD BC ∥，90A D ∠=∠=︒，5BC AD ==，2AB DC ==，∴APB CBP ∠=∠，∵ABE CBP =∠∠，∴ABE APB ∠=∠，∴ABM APB ∽，∴AB AM AP AB=，∵2AB =，AP x =，PM y =，∴22x y x -=，解得：4y x x=-，故（1）正确；（2）当4AP =时，541DP AD AP =-=-=，∴12DC DP AP AB ==，又∵90A D ∠=∠=︒，∴ABP DPC ∽，故（2）正确；（3）过点M 作MF BP ⊥垂足为F ，∴90A MFP MFB ∠=∠=∠=︒，∵当4AP =时，此时4x =，4413y x x =-=-=，∴3PM =，在Rt APB 中，由勾股定理得：222BP AP AB =+，∴BP ===，∵FPM APB ∠=∠，∴FPM APB ∽，∴MF PF PM AB AP PB ==，∴24MF PF ==∴MF =PF =∴BF BP PF =-=∴3tan 4MF EBP BF ∠===故（3）不正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，矩形的性质，正确找出相似三角形是解答本题的关键．7．（2022·湖北鄂州）如图，定直线MN ∥PQ ，点B 、C 分别为MN 、PQ 上的动点，且BC =12，BC 在两直线间运动过程中始终有∠BCQ =60°．点A 是MN 上方一定点，点D 是PQ 下方一定点，且AE ∥BC ∥DF ，AE =4，DF =8，ADBC 在平移过程中，AB +CD 的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】如图所示，过点F 作FH CD ∥交BC 于H ，连接EH ，可证明四边形CDFH 是平行四边形，得到CH =DF =8，CD =FH ，则BH =4，从而可证四边形ABHE 是平行四边形，得到AB =HE ，即可推出当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF ，延长AE 交PQ 于G ，过点E 作ET ⊥PQ 于T ，过点A 作AL ⊥PQ 于L ，过点D 作DK ⊥PQ 于K ，证明四边形BEGC 是平行四边形，∠EGT =∠BCQ =60°，得到EG =BC =12，然后通过勾股定理和解直角三角形求出ET 和TF 的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点F 作FH CD ∥交BC 于H ，连接EH ，∵BC DF FH CD ∥∥，，∴四边形CDFH 是平行四边形，∴CH =DF =8，CD =FH ，∴BH =4，∴BH =AE =4，又∵AE BC ∥，∴四边形ABHE 是平行四边形，∴AB =HE ，∵EH FH EF +≥，∴当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF ，延长AE 交PQ 于G ，过点E 作ET ⊥PQ 于T ，过点A 作AL ⊥PQ 于L ，过点D 作DK ⊥PQ 于K ，∵MN PQ BC AE ∥∥，，∴四边形BEGC 是平行四边形，∠EGT =∠BCQ =60°，∴EG =BC =12，∴=cos =6=sin GT GE EGT ET GE EGT ⋅⋅∠，∠，同理可求得8GL AL ==，，4KF DK ==，，∴2TL =，∵AL ⊥PQ ，DK ⊥PQ ，∴AL DK ∥，∴△ALO ∽△DKO ，∴2AL AO DK DO==，∴2133AO AD DO AD ====∴24OL OK ===，，∴42TF TL OL OK KF =+++=，∴EF ==故选C ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线推出当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF 是解题的关键．8．（2022·广西贵港）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，动点E 在AB 边上（与点A 、B 均不重合），点F 在对角线AC 上，CE 与BF 相交于点G ，连接,AG DF ，若AF BE =，则下列结论错误的是（ ）A ．DF CE =B ．120BGC ∠=︒C ．2AF EG EC =⋅D ．AG【答案】D【分析】先证明△BAF ≌△DAF ≌CBE ，△ABC 是等边三角形，得DF =CE ，判断A 项答案正确，由∠GCB +∠GBC =60゜，得∠BGC =120゜，判断B 项答案正确，证△BEG ∽△CEB 得BE CE GE BE= ，即可判断C 项答案正确，由120BGC ∠=︒，BC =1，得点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上，易得当点G 在等边△ABC 的内心处时，AG 取最小值，由勾股定理求得AG D 项错误．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，∴AB =AD =BC =CD ，∠BAC =∠DAC =12∠BAD =12(180)ABC ⨯︒-∠=60ABC ︒=∠，∴△BAF ≌△DAF ≌CBE ，△ABC 是等边三角形，∴DF =CE ，故A 项答案正确，∠ABF =∠BCE ，∵∠ABC =∠ABF +∠CBF =60゜，∴∠GCB +∠GBC =60゜，∴∠BGC =180゜-60゜=180゜-（∠GCB +∠GBC ）=120゜，故B 项答案正确，∵∠ABF =∠BCE ，∠BEG =∠CEB ，∴△BEG ∽△CEB ，∴BE CE GE BE = ，∴2BE GE CE = ，∵AF BE =，∴2AF GE CE = ，故C 项答案正确，∵120BGC ∠=︒，BC =1，点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上，∴当点G 在等边△ABC 的内心处时，AG 取最小值，如下图，∵△ABC 是等边三角形，BC =1，∴BF AC ⊥，AF =12AC =12，∠GAF =30゜，∴AG =2GF ，AG 2=GF 2+AF 2，∴2221122AG AG ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得AG D 项错误，故应选：D【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．9．（2022·贵州贵阳）如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC 与ACB △的周长比是（ ）A ．B ．1:2C ．1:3D ．1:4【答案】B 【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，即有12AC AD CD AB AC BC ===，则可得12AC AD CD AB AC BC ++=++，问题得解．【详解】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD CD AB AC BC ==，∵12AC AB =，∴12AC AD CD AB AC BC ===，∴12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ++====++，∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．10．（2022·广西）已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比（ ）A ．1 ：3B ．1：6C ．1：9D ．3：1【答案】C【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．【详解】∵△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，∴△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为1：9，故选：C ．【点睛】本题考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键．11．（2022·山东临沂）如图，在ABC 中，∥DE BC ，23AD DB =，若6AC =，则EC =（ ）A ．65B ．125C ．185D ．245【答案】C【分析】由∥DE BC ，23AD DB =，可得2,3AD AE DB EC ==再建立方程即可．【详解】解： ∥DE BC ，23AD DB =，2,3AD AE DB EC ∴== 6AC =，62,3CE CE -∴= 解得：18.5CE =经检验符合题意故选C 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明“23AD AE DB EC ==”是解本题的关键．12．（2022·山东威海）由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝∠LOM ＝30°．若S △AOB ＝1，则图中与△AOB 位似的三角形的面积为( )A ．（43）3B ．（43）7C ．（43）6D ．（34）6【答案】C【分析】根据题意得出A 、O 、G 在同一直线上，B 、O 、H 在同一直线上，确定与△AOB 位似的三角形为△GOH ，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=6x ，再由相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝∠LOM ＝30°∴∠AOG ＝180°，∠BOH ＝180°，∴A 、O 、G 在同一直线上，B 、O 、H 在同一直线上，∴与△AOB 位似的三角形为△GOH ，设OA =x ，则OB=1cos30OA x ==︒，∴OC=24cos303OB x x ==︒，∴OD=3cos30OC x ==︒，…∴OG=6x ，∴6OG OA =，∴12643GOH AOB S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∵1AOB S = ，∴643GOH S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，故选：C ．【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出相应边的比值规律是解题关键．二．填空题13．（2022·贵州黔东南）如图，折叠边长为4cm 的正方形纸片ABCD ，折痕是DM ，点C 落在点E 处，分别延长ME 、DE 交AB 于点F 、G ，若点M 是BC 边的中点，则FG =______cm．【答案】53【分析】根据折叠的性质可得DE =DC =4，EM =CM =2，连接DF ，设FE =x ，由勾股定理得BF ，DF ，从而求出x 的值，得出FB ，再证明FEG FBM ∆∆ ，利用相似三角形对应边成比例可求出FG ．【详解】解：连接,DF 如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴4,90.AB BC CD DA A B C CDA ︒====∠=∠=∠=∠=∵点M 为BC 的中点，∴114222BM CM BC ===⨯=由折叠得，2,4,ME CM DE DC ====∠90,DEM C ︒=∠=∴∠90DEF ︒=，90,FEG ∠=︒设,FE x =则有222DF DE EF =+∴2224DF x =+又在Rt FMB ∆中，2,2FM x BM =+=，∵222FM FB BM =+∴FB ==∴4AF AB FB =-=在Rt DAF ∆中，222,DA AF DF +=∴2224(44,x +=+解得，124,83x x ==-（舍去）∴4,3FE =∴410233FM FE ME =+=+=∴83FB ==∵∠90DEM ︒=∴∠90FEG ︒=∴∠,FEG B =∠又∠.GFE MFB =∠∴△FEG FBM∆ ∴,FG FE FM FB=即4310833FG =∴5,3FG =故答案为：53【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．14．（2022·上海）如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =90°，D 为AB 中点，E 在线段AC 上，AD DE AB BC=，则AE AC =_____．【答案】12或14【分析】由题意可求出12DE BC =，取AC 中点E 1，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，满足112DE BC =，进而可求此时112AE AC =，然后在AC 上取一点E 2，使得DE 1＝DE 2，则212DE BC =，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝14AC ，即可得到214AE AC =，问题得解．【详解】解：∵D 为AB中点，∴12AD DE AB BC ==，即12DE BC =，取AC 中点E 1，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，此时DE 1∥BC ，112DE BC =，∴112AE AD AC AB ==，在AC 上取一点E 2，使得DE 1＝DE 2，则212DE BC =，∵∠A =30°，∠B =90°，∴∠C =60°，BC ＝12AC ，∵DE 1∥BC ，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等边三角形，∴DE 1＝DE 2＝E1E2＝12BC ，∴E1E2＝14AC ，∵112AE AC =，∴214AE AC =，即214AE AC =，综上，AE AC 的值为：12或14，故答案为：12或14．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据12DE BC =进行分情况求解是解题的关键．15．（2022·北京）如图，在矩形ABCD 中，若13,5,4AF AB AC FC ===，则AE 的长为_______．【答案】1【分析】根据勾股定理求出BC ，以及平行线分线段成比例进行解答即可．【详解】解：在矩形ABCD 中：AD BC ∥，90ABC ∠=︒，∴14AE AF BC FC ==，4BC =，∴144AE =，∴1AE =，故答案为：1．【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．16．（2022·江苏常州）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =．在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF ，Rt DEF 从起始位置（点D 与点B 重合）平移至终止位置（点E 与点A 重合），且斜边DE 始终在线段AB 上，则Rt ABC △的外部被染色的区域面积是______．【答案】28【分析】过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如图，需要知道的是Rt ABC 的被染色的区域面积是MNF F S '梯形，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解．【详解】解：过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如下图：90C ∠=︒ ，9AC =，12BC =，15AB ∴==，在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．5DE ∴==，15510AE AB DE =-=-= ，//,EF AF EF AF ''= ，∴四边形AEFF '为平行四边形，10AE FF '∴==，11622DEF S DF EF DE GF =⋅=⋅= ，解得：125GF =， //DF AC ，,DFM ACM FDM CAM ∴∠=∠∠=∠，DFM ACM ∴ ∽，13DM DF AM AC ∴==，1115344DM AM AB ∴===，//BC AF ' ，同理可证：ANF DNC ' ∽，13AF AN BC DN '∴==，345344DN AN AB ∴===，451530444MN DN DM ∴=-=-=，Rt ABC 的外部被染色的区域面积为130121028245MNF F S '⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭梯形，故答案为：28．【点睛】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．17．（2022·广西）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．【答案】12【分析】根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质解答．【详解】解：设旗杆为AB ，如图所示：根据题意得：ABC DEF ∆∆ ，∴DE EF AB BC= ∵2DE =米， 1.2EF =米，7.2BC =米，∴2 1.2=7.2AB 解得：AB =12米．故答案为：12．【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．18．（2022·广东深圳）已知ABC 是直角三角形，90,3,5,B AB BC AE ∠=︒===连接CE 以CE 为底作直角三角形CDE 且,CD DE =F 是AE 边上的一点，连接BD 和,BF BD 且45,FBD ∠=︒则AF 长为______．【分析】将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，利用SAS 证明EDH CDB ∆≅∆，得5EH CB ==，90HED BCD ∠=∠=︒，从而得出////HE DC AB ，则ABF EHF ∆∆∽，即可解决问题．【详解】解：将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，BDH ∴∆是等腰直角三角形，又EDC ∆ 是等腰直角三角形，HD BD ∴=，EDH CDB ∠=∠，ED CD =，()EDH CDB SAS ∴∆≅∆，5EH CB ∴==，90HED BCD ∠=∠=︒，90EDC ∠=︒ ，90ABC ∠=︒，////HE DC AB ∴，,ABF EHF BAF HEF ∴∠=∠∠=∠，ABF EHF ∴∆∆∽，∴==-AB AF AF EH EF AE AF ，AE =∴35=AF ∴=，【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．19．（2022·广西河池）如图，把边长为1：2的矩形ABCD 沿长边BC ，AD 的中点E ，F 对折，得到四边形ABEF ，点G ，H 分别在BE ，EF 上，且BG ＝EH ＝25BE ＝2，AG 与BH 交于点O ，N 为AF 的中点，连接ON ，作OM ⊥ON 交AB 于点M ，连接MN ，则tan ∠AMN ＝_____．【答案】58##0.625【分析】先判断出四边形ABEF 是正方形，进而判断出△ABG ≌△BEH ，得出∠BAG =∠EBH ，进而求出∠AOB =90°，再判断出△AOB ~△ABG ，求出OA OB ==△OBM ～△OAN ，求出BM =1，即可求出答案．【详解】解：∵点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，∴11,22AF AD BE BC ==，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =90°，AD ∥BC ，AD =BC ，∴12AF BE AD ==，∴四边形ABEF 是矩形，由题意知，AD =2AB ，∴AF =AB ，∴矩形ABEF 是正方形，∴AB =BE ，∠ABE =∠BEF =90°，∵BG =EH ，∴△ABG≌△BEH（SAS），∴∠BAG=∠EBH，∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°，∴∠AOB=90°，∵BG＝EH＝25BE＝2，∴BE=5，∴AF=5，∴AG==∵∠OAB=∠BAG，∠AOB=∠ABG，∴△AOB∽△ABG，∴OA OB ABAB BG AG==，即52OA OB==∴OA OB==∵OM⊥ON，∴∠MON=90°=∠AOB，∴∠BOM=∠AON，∵∠BAG+∠FAG=90°，∠ABO+∠EBH=90°，∠BAG=∠EBH，∴∠OBM=∠OAN，∴△OBM～△OAN，∴OB BM OA AN=，∵点N是AF的中点，∴1522AN AF==，52BM=，解得：BM=1，∴AM=AB-BM=4，∴552tan48ANAMNAM∠===．故答案为：5 8【点睛】此题主要考查了矩形性质，正方形性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出BM 是解本题的关键．20．（2022·内蒙古赤峰）如图，为了测量校园内旗杆AB 的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O 处，然后观测者沿着水平直线BO 后退到点D ，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A ，此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼睛与地面距离CD =1.7m ，BD =11m ，则旗杆AB 的高度约为_________m ． 1.7≈）【答案】17【分析】如图容易知道CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，即∠CDO =∠ABO =90°．由光的反射原理可知∠COD =∠AOB =60°，这样可以得到△COD ∽△AOB ，然后利用对应边成比例就可以求出AB ．【详解】解：由题意知∠COD =∠AOB =60°，∠CDE =∠ABE =90°，∵CD =1.7m ，∴OD =60CD tan =︒≈1(m)，∴OB =11-1=10(m)，∴△COD ∽△AOB ．∴CD OD AB OB =，即1.7110AB =，∴AB =17(m)，答：旗杆AB 的高度约为17m ．故答案为：17．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．21．（2022·湖北鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD =CE =2，则△ABP 的周长为 _____．【答案】6+【分析】如图所示，过点E 作EF ⊥AB 于F ，先解直角三角形求出AF ，EF ，从而求出BF ，利用勾股定理求出BE 的长，证明△ABD ≌△BCE 得到∠BAD =∠CBE ，AD =BE ，再证明△BDP ∽△ADB ，得到62BP PD==，即可求出BP ，PD ，从而求出AP ，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点E 作EF ⊥AB 于F ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC ，∠ABD =∠BAC =∠BCE =60°，∵CE =BD =2，AB =AC =6，∴AE =4，∴cos 2sin AF AE EAF EF AE EAF =⋅∠==⋅∠=，，∴BF =4，∴BE =又∵BD =CE ，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠BAD =∠CBE ，AD =BE ，又∵∠BDP =∠ADB ，∴△BDP ∽△ADB ，∴BD BP DP AD AB BD==，62BP PD==，∴BP PD =∴AP AD AP =-=，∴△ABP 的周长=6AB BP AP ++=故答案为：6+【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．22．（2022·山东潍坊）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD 的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A B C D ''''，若:2:1A B AB =''，则四边形A B C D ''''的外接圆的周长为___________．【答案】【分析】根据正方形ABCD 的面积为4，求出2AB =，根据位似比求出4A B ''=，周长即可得出；【详解】解： 正方形ABCD 的面积为4，∴2AB =，:2:1A B AB ''=，∴4A B ''=，∴A C ''==所求周长=；故答案为：．【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形ABCD 的边长．23．（2022·内蒙古包头）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC BC ==，D 为AB 边上一点，且BD BC =，连接CD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交BC 于点E （异于点C ），连接DE ，则BE的长为___________．【答案】3##3-+【分析】过点D 作DF ⊥BC 于点F ，根据题意得出DC DE =，根据等腰三角形性质得出CF EF =，根据90ACB ∠=︒，3AC BC ==，得出AB =CF x =，则3BF x =-，证明DF AC ，得出BF BDCF AD=，列出关于x 的方程，解方程得出x 的值，即可得出3BE =．【详解】解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，如图所示：根据作图可知，DC DE =，∵DF ⊥BC ，∴CF EF =，∵90ACB ∠=︒，3AC BC ==，∴AB ===∵3BD BC ==，∴3AD =，设CF x =，则3BF x =-，∵90ACB ∠=︒，∴AC BC ⊥，∵DF BC ⊥，∴DF AC ，∴BF BDCF AD =，即3x x -=，解得：x =，∴226CE x ===-，∴3363BE CE =-=-+=．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，作出辅助线，根据题意求出CF 的长，是解题的关键．24．（2022·江苏泰州）如图上，Δ,90,8,6,ABC C AC BC ∠=== 中O 为内心，过点O 的直线分别与AC 、AB 相交于D 、E ，若DE=CD+BE ，则线段CD 的长为__________.【答案】2或12##12或2【分析】分析判断出符合题意的DE 的情况，并求解即可；【详解】解：①如图，作//DE BC ，OF BC OG AB ⊥⊥，，连接OB ，则OD ⊥AC ，∵//DE BC ，∴OBF BOE ∠=∠∵O 为ABC ∆的内心，∴OBF OBE ∠=∠，∴BOE OBE ∠=∠∴BE OE =，同理，CD OD =，∴DE=CD+BE ，10AB ===∵O 为ABC ∆的内心，∴OF OD OG CD ===，∴BF BG AD AG==，∴6810AB BG AG BC CD AC CD CD CD =+=-+-=-+-=∴2CD =②如图，作DE AB ⊥，由①知，4BE =，6AE =，∵ACB AED CAB EAD ∠=∠∠=∠，∴ABC ADE ∆∆ ∴AB ADAC AE=∴1061582AB AE AD AC ⋅⨯===∴151822CD AC AD =-=-=∵92DE ===∴19422DE BE CD =+=+=∴12CD =故答案为：2或12．【点睛】本题主要考查三角形内心的性质、勾股定理、三角形的相似，根据题意正确分析出符合题意的情况并应用性质定理进行求解是解题的关键．25．（2022·黑龙江绥化）如图，60AOB ∠=︒，点1P 在射线OA 上，且11OP =，过点1P 作11PK OA ⊥交射线OB 于1K ，在射线OA 上截取12PP ，使1211PPPK =；过点2P 作22P K OA ⊥交射线OB 于2K ，在射线OA 上截取23P P ，使2322P P P K =.按照此规律，线段20232023P K 的长为________．20221【分析】解直角三角形分别求得11PK ，22P K ，33P K ，……，探究出规律，利用规律即可解决问题．【详解】解：11PK OA ⊥ ，11OPK ∴△是直角三角形，在11Rt OPK 中，60AOB ∠=︒，11OP =，12111tan 60PP PK OP ∴==⋅︒=11PK OA ⊥ ，22P K OA ⊥，1122PK P K ∴∥，2211OP K OPK ∴△∽△，222111P K OP PK OP ∴=，=221P K ∴，同理可得：2331P K =+，3441P K =，……，11n n n P K -∴=，2022202320231P K ∴=，20221．【点睛】本题考查了图形的规律，解直角三角形，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会探究规律的方法．26．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ……在x 轴上且11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =……按此规律，过点1A ，2A ，3A ，4A ……作x轴的垂线分别与直线y =交于点1B ，2B ，3B ，4B ……记11OA B ，22OA B △，33 OA B ，44 OA B ……的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ……，则2022S =______．【答案】2【分析】先求出11A B =，可得11OA B S =112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥∥，从而得到11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ∽……∽n n OA B △，再利用相似三角形的性质，可得11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ∶……∶n n OA B S =()()()2222231:2:2:2::2n ，即可求解．【详解】解：当x =1时，y =，∴点(1B ，∴11A B =∴11112OA B S =⨯= ，∵根据题意得：112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥∥，∴11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ∽……∽n n OA B △，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ：……∶n n OA B S = OA 12∶OA 22∶OA 32∶……∶OAn 2，∵11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =，……，∴22OA =，2342OA ==，3482OA ==，……，12n n OA -=，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ∶……∶n n OA B S =()()()2222231246221:2:2:2::21:2:2:2::2n n --= ，∴11222n n n OA B OA B S S -= ，∴220222202222S ⨯-==故答案为：2【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是解题的关键．27．（2022·广西）如图，在正方形ABCD 中，AB =，对角线,AC BD 相交于点O ．点E 是对角线AC 上一点，连接BE ，过点E 作EF BE ⊥，分别交,CD BD 于点F 、G ，连接BF ，交AC 于点H ，将EFH △沿EF 翻折，点H 的对应点H '恰好落在BD 上，得到EFH '△若点F 为CD 的中点，则EGH '△的周长是_________．【答案】5+【分析】过点E 作PQ //AD 交AB 于点P ，交DC 于点Q ，得到BP =CQ ，从而证得BPE ≌EQF △，得到BE =EF ，再利用BC =F 为中点，求得BF ==BE EF ===，再求出2EO ==，再利用AB //FC ，求出ABH CFH △∽△21AH CH ==，求得216833AH =⨯=，18833CH =⨯=，从而得到EH =AH -AE =1610233-=，再求得EOB GOE △∽△得到21242OG ===，求得EG OG =1， 过点F 作FM ⊥AC 于点M ，作FN ⊥OD 于点N ，求得FM =2，MH =23，FN =2，证得Rt FH N '△≌Rt FMH 得到23H N MH '==，从而得到ON =2，NG =1，25133GH '=+=，从而得到答案．【详解】解：过点E 作PQ //AD 交AB 于点P ，交DC 于点Q ，∵AD //PQ ，∴AP =DQ ，BPQ CQE ∠=∠，∴BP =CQ ，∵45ACD ∠=︒，∴BP =CQ =EQ ，∵EF ⊥BE ，∴90PEB FEQ ∠+∠=︒∵90PBE PEB ∠+∠=︒∴PBE FEQ ∠=∠，在BPE 与EQF △中BPQ FQE PB EQPBE FEQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BPE ≌EQF △，∴BE =EF ，又∵BC AB ==F 为中点，∴CF =∴BF ==∴BE EF ===，又∵4BO ==，∴2EO ==，∴AE =AO -EO =4-2=2，∵AB //FC ，∴ABH CFH △∽△，∴AB AH CF CH=，21AH CH ==，∵8AC ==， ∴216833AH =⨯=，18833CH =⨯=，∴EH =AH -AE =1610233-=，∵90BEO FEO ∠+∠=︒，+90BEO EBO ∠∠=︒，∴FEO EBO ∠=∠，又∵90EOB EOG ∠=∠=︒，∴EOB GOE△∽△∴EG OG OE BE OE OB==，21242OG ===，∴EG OG =1，过点F 作FM ⊥AC 于点M ，∴FM=MC 2=，∴MH =CH -MC =82233-=， 作FN ⊥OD 于点N ，2,FN ==，在Rt FH N '△与Rt FMH 中FH FH FN FM'=⎧⎨=⎩∴Rt FH N '△≌Rt FHM∴23H N MH '==，∴ON =2，NG =1，∴25133GH '=+=，∴10533EGH C EH EG GH EH EG GH '''=++=++=△，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质应用，重点是与三角形相似和三角形全等的结合，熟练掌握做辅助线是解题的关键．28．（2022·辽宁）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ．若6AB =，则AEF 的面积为___________．【答案】3【分析】由正方形的性质可知1113222AE AD AB BC ====，//AD BC ，则有AEF CBF ∽△△，然后可得12EF AE BF BC ==，进而问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，6AB =，∴6AD BC AB ===，//AD BC ，∴AEF CBF ∽△△，∴EF AE BF BC=，∵E 为AD 的中点，∴1113222AE AD AB BC ====，∴12EF AE BF BC ==，192ABE S AE AB =⋅= ，∴13EF BE =，∴133AEF ABE S S == ；故答案为3．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．29．（2022·贵州贵阳）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，6cm AC BC ==，90ACB ADB ∠=∠=︒．若2BE AD =，则ABE △的面积是_______2cm ，AEB ∠=_______度．【答案】 36-36- 112.5【分析】通过证明ADE BCE ，利用相似三角形的性质求出23m AE =，263m CE =-，再利用勾股定理求出其长度，即可求三角形ABE 的面积，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，证明AEF 是等腰直角三角形，再求出AE CE =，继而证明()Rt BCE Rt BFE HL ≅ ，可知122.52EBF EBC ABC ∠=∠=∠=︒，利用外角的性质即可求解．【详解】90,ACB ADB AED BEC ∠=∠=︒∠=∠ ，ADE BCE ∴ ，AD AE BC BE∴=，6,2BC AC BE AD === ，设,2AD m BE m ==，62m AE m∴=，23m AE ∴=，263m CE ∴=-，在Rt BCE 中，由勾股定理得222BC CE BE +=，22226(6)(2)2m m ∴+-=，解得236m =-或236m =+ 对角线AC ，BD 相交于点E ，236m ∴=-，12AE ∴=-，6CE ∴=，∴(2111263622ABE S AE BC =⋅⋅=⨯-⨯=- ，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，90,ACB AC BC ∠=︒= ，45BAC ABC AEF ∴∠=∠=︒=∠，6AE AF AE CE ∴====，BE BE = ，()Rt BCE Rt BFE HL ∴≅ ，122.52EBF EBC ABC ∴∠=∠=∠=︒，112.5AEB ACB EBC ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：36-，112.5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．三．解答题30．（2022·河北）如图，某水渠的横断面是以AB 为直径的半圆O ，其中水面截线MN AB ∥．嘉琪在A 处测得垂直站立于B 处的爸爸头顶C 的仰角为14°，点M 的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m ．(1)求∠C 的大小及AB 的长；(2)请在图中画出线段DH ，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：tan 76︒取4 4.1）【答案】(1)=76C ∠︒， 6.8(m)AB =(2)见详解，约6.0米【分析】（1）由水面截线MN AB ∥可得BC AB ⊥，从而可求得76C ∠=︒，利用锐角三角形的正切值即可求解．（2）过点O 作O H M N ⊥，交MN 于D 点，交半圆于H 点，连接OM ，过点M 作MG ⊥OB 于G ，水面截线MN AB ∥，即可得DH 即为所求，由圆周角定理可得14BOM ∠=︒，进而可得ABC OGM ，利用相似三角形的性质可得4OG GM =，利用勾股定理即可求得GM 的值，从而可求解．(1)解：∵水面截线MN AB∥BC AB ∴⊥，90ABC ∴∠=︒，90=76C CAB ∴∠=︒-∠︒，在t R ABC 中，90ABC ∠=︒， 1.7BC =，tan 76 1.7AB AB BC ∴︒==，解得 6.8(m)AB ≈．(2)过点O 作O H M N ⊥，交MN 于D 点，交半圆于H 点，连接OM ，过点M 作MG ⊥OB 于G ，如图所示：水面截线MN AB ∥，OH AB ⊥，DH MN ∴⊥，GM OD =，DH ∴为最大水深，7BAM ∠=︒ ，214BOM BAM ∴∠=∠=︒，90ABC OGM ∠=∠=︒ ，且14BAC ∠=︒，ABC OGM ∴ ，OG MG AB CB ∴=，即6.8 1.7OG MG =，即4OG GM =，在Rt OGM △中，90OGM ∠=︒， 3.42AB OM =≈，222OG GM OM ∴+=，即2224(3.4)GM GM +=（），解得0.8GM ≈，= 6.80.86DH OH OD ∴-=-≈，∴最大水深约为6.0米．【点睛】本题考查了解直角三角形，主要考查了锐角三角函数的正切值、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、平行线的性质和勾股定理，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键．31．（2022·吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC h =⋅ ，12DBC S BC h =⋅△．∴ABC DBC S S = ．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h '，则ABC DBC S h S h ='△△．证明：∵ABC S(2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM =△△．证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒，∴AE ∥ ．∴AEM △∽ ．∴AE AM DF DM =．由【探究】（1）可知ABC DBC S S =△△ ，∴ABC DBC S AM S DM =△△．(3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBC S S △△的值为 ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)73【分析】（1）根据三角形的面积公式可得11,22ABC DBC S S BC h BC h '=⋅=⋅ ，由此即可得证；（2）过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，先根据平行线的判定可得AE DF ，再根据相似三角形的判定可证AEM DFM ~ ，根据相似三角形的性质可得AE AM DF DM=，然后结合【探究】（1）的结论即可得证；（3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，先根据相似三角形的判定证出AME DNE ~ ，再根据相似三角形的性质可得73AM AE DN DE ==，然后根据三角形的面积公式可得12ABC S BC AM =⋅ ，12DBC S BC DN =⋅ ，由此即可得出答案．(1)证明：12ABC S BC h =⋅ ，12DBC BC h S '=⋅ ，ABC DBC S h S h ∴='．(2)证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒，AE DF ∴∥．AEM DFM ~∴ ．AE AM DF DM∴=．由【探究】（1）可知ABC DBC S AE S DF= ，ABC DBC S AM S DM ∴= ．(3)解：过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，则90AME DNE ∠=∠=︒，AM DN ∴ ，AME DNE ∴~ ，AM AE DN DE∴=， 点,,A E D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，5 1.5 3.5AE ∴=-=， 1.5DE =，3.571.53AM DN ∴==，又12ABC S BC AM =⋅ ，12DBC S BC DN =⋅ ，73ABCDBC S AM S DN =∴= ，故答案为：73．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．32．（2022·山东青岛）如图，在Rt ABC △中，90,5cm,3cm ACB AB BC ∠=︒==，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到ADE ，连接CD ．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1cm/s ．PQ 交AC 于点F ，连接,CP EQ ．设运动时间为(s)(05)t t <<．解答下列问题：(1)当EQ AD ⊥时，求t 的值；(2)设四边形PCDQ 的面积为()2cm S ，求S 与t 之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t ，使PQ CD ∥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)16s 5(2)213714210S t t =-+(3)存在，65s 29t =【分析】（1）利用AQE AED △∽△得AQ AE AE AD =，即445t =，进而求解；（2）分别过点C ，P 作,CM AD PN BC ⊥⊥，垂足分别为M ，N ，证ABC CAM △∽△得，AB BC AC CA AM CM ==，求得121655AM CM ==，再证BPN BAC △∽△得BP PN BA AC=，得出45PN t =，根据ABC ACD APQ BPC PCDQ S S S S S S ==+-- 四边形即可求出表达式；（3）当PQ CD ∥时AQP ADC ∠=∠，易证APQ MCD △∽△，得出AP AQ MC MD =，则5161355t t -=，进而求出t 值．(1)解：在Rt ABC △中，由勾股定理得，4AC ===∵ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到ADE。
浙教版数学九年级上册第四章相似三角形 单元测试(含答案)
浙教版数学九年级上册第四章相似三角形一、选择题1．已知c 是a 和b 的比例中项，a =2，b =18，则c =（ ）A ．±6B ．6C ．4D ．±32．如图，DE ∥BC ，在下列比例式中，不能成立的是（）A ．AD DB =AEECB ．DE BC =AEEC C ．AB AD =AC AED ．DB EC =ABAC3．如果两个相似三角形的周长之比为5：7，那么这两个三角形的面积之比为（ ）A ．5：7B ．7：5C ．25：49D ．49：254．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AE =9，AC =6，BD =4，则BF 的长是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA 为15米（如图），然后在A 处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC 为3米，则楼高为（ ）A ．10米B ．12米C ．15米D ．22.5米6．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C．D．7．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD=1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）．A．1：2B．1：3C．1：4D．1：58．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为5，则下列结论中正确的是（ ）A．m=5B．m=45C．m=35D．m=109．如图，已知AB=AC，∠B＜30°，BC上一点D满足∠BAD=120°，BDCD =73，则ADAC的值为（ ）A．12B．33C．13D．3210．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P是BD上的一个动点，过点P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F，连接OE，OF，设BP=x，△OEF的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．如图，线段AC 、BD 交于点O ，请你添加一个条件： ，使△AOB ∽△COD ．12．如图，点G 为△ABC 的重心，GE ∥AC ，若DE ＝2，则DC ＝ ．13．在某市建设规划图上，城区南北长为120cm ，该市城区南北实际长为36km ，则该规划图的比例尺是 ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，AC =5，AE 平分∠BAC ，点D 是AC 的中点，AE 与BD交于点O ，则的值AOOE ．15．如图， EB 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点 P 处与地面 BE 的距离为1.6米，车头 FACD 近似看成一个矩形，且满足 3FD =2FA ，若盲区 EB 的长度是6米，则车宽 FA 的长度为 米．16．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD，BE与AC交于点F，设AF=x，EF=y．（1）当BE⊥AC，x=9，y=3时，AD的长是 ；（2）当BD=BF，2x=7y时，△DEF与△ABD的面积之比是 ．三、解答题17．如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，ADBD =32，求DEBC的值．18．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C.（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．19．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部设计为多高？（结果保留小数点后两位）参考数据：2=1.414，3=1.732，5=2.23620．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E是边BC上的一点（不与B、C重合），DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DFA；S△ABE，求BE的长．（2）若S△DFA=1321．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC=3，AD=2，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上．（1）设EF=x(0<x<2)，矩形EFGH的周长为y，求y关于x的函数解析式；（2）当EFGH为正方形时，求正方形EFGH的面积．22．如图，矩形ABCD中，点M在对角线BD上，过点A、B、M的圆与BC交于点E．（1）若AM=4，EB=EM=3，求BM．（2）若AB=6，BC=8，①求AM:ME．②若BM=7，求BE．23．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接PO并延长交BC于点E，过点Q作QF//AC，交BD于点F，设运动时间为t(s)(0<t<6)，解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形；（2）设五边形OECQF的面积为S(c m2)，试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，当S五边形OECQF：S△ACD=9：16时.直接写出t的值．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】AB∥CD（答案不唯一）12．【答案】6．13．【答案】1:3000014．【答案】9415．【答案】12716．【答案】5；1417．【答案】3518．【答案】（1）证明：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA（2）解：设DC＝x，∵△ABD∽△CBA，∴ABBD=BCAB，∴63=2+x6，解得，x＝9；即CD＝719．【答案】1.24米．20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=4，∴∠B=90°，AD∥BC，AD=BC=4，∴∠AEB=∠DAF，∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠B=∠DFA，∴△ABE∽△DFA；（2）解：∵△ABE∽△DFA，S△DFA=13S△ABE，∴(AEAD )2=S△ABES△DFA=3，∴AEAD=3或AEAD=−3（负数不符合题意，舍去），∴AE=3AD=43，∴BE=AE2−AB2=(43)2−62=12=23，∴BE的长为23．21．【答案】（1）解：设AD，EH交于点M，∵矩形EFGH，∴EH∥BC，AM⊥EH，∴△ABC∼△AEH，∴EHBC=AMAD∵EF=DM=x，AD=2∴AM=2−x∴EH3=2−x2∴EH=32(2−x)∴y=2(EH+EF)=2(3−32x+x)=−x+6(0<x<2)∴y关于x的函数解析式为∴y=−x+6(0<x<2)（2）解：当EFGH为正方形时，∴EF=EH，由（1）得：EF =x ，EH =32(2−x)，∵EF =EH ，∴x =3(2−x)2，∴x =65，即EF =65．正方形EFGH 的面积=65×65=3625.22．【答案】（1）245（2）①43，②17423．【答案】（1）解：在矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =8cm ，∴AC =10，①当AP =PO =t ，如图1，过P 作PM ⊥AO 于点M ，∴AM =12AO =52，∵∠PMA =∠ADC =90°，∠PAM =∠CAD ，∴△APM∽△ACD ，∴AP AC =AM AD，∴AP =t =258，②当AP =AO =t =5，∴当t 为258或5时，△AOP 是等腰三角形；（2）解：如图2，过点O 作OH ⊥BC 交BC 于点H ，则OH =12CD =12AB =3cm ，由矩形的性质可知∠PDO =∠EBO ，DO =BO ，又得∠DOP =∠BOE ，∴△DOP≌BOE(ASA)，∴BE =PD =8−t ，则S △BOE =12BE ⋅OH =12×3(8−t)=12−32t.∵FQ//AC ，∴△DFQ∽△DOC ，相似比为DQ DC =t6，∴S △DFQ S △DOC =t 236，∵S △DOC =14S 矩形ABCD =14×6×8=12c m 2，∴S △DFQ =12×t 236=t 23，∴S 五边形OECQF =S △DBC −S △BOE −S △DFQ =12×6×8−(12−32t)−t 23=−13t 2+32t +12；∴S 与t 的函数关系式为S =−13t 2+32t +12；（3）t =3或32。
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相似三角形考试真题练习
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（ ）51加速度学习网 整理
1、（2009年滨州）如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB CD BC
=；④2AC AD AB = 其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
（5题图）（6题图）
2、2009年上海市)如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ）
A ．AD BC DF CE =
B ．B
C DF CE A
D = C ．CD BC EF B
E = D ．CD AD E
F AF
= 3、(2009成都)已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为
(A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1
4、（2009重庆綦江）若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ）
A ．1∶4
B ．1∶2
C ．2∶1
D 25、（2009年杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角 三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ）
A ．只有1个
B ．可以有2个
C ．有2个以上但有限
D ．有无数个
6、(2009年宁波市）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ）
A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形
B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形
C ．四边形AMON 与四边形ABC
D 是位似图形
D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形
7、（2009年江苏省）如图，在55 方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ）
A ．先向下平移3格，再向右平移1格
B ．先向下平移2格，再向右平移1格
C ．先向下平移2格，再向右平移2格
D ．先向下平移3格，再向右平移2格
(11题图
)
（13题图）
8、(2009年义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。
已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为
A ．12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm
9、（2009年娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O 、准星A 、目标B 在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A ′，若OA=0.2米，OB=40米，AA ′=0.0015米，则小明射击到的点B ′偏离目标点B 的长度BB ′为 （ ）
A ．3米
B ．0.3米
C ．0.03米
D ．0.2
10、2009年孝感）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB =30°，∠B =90°，AB =1，则B′点的坐标为( )
D B C
A
N M
O。